遼寧省朝陽(yáng)市普通高中高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則為（）A．2B．C．D．13．某商場(chǎng)對(duì)一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的樣本莖葉圖，則該樣本的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．46,45B．45,46C．46,47D．47,454．若在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則“直線與圓相交”的概率為（）A．B．C．D．5．《九章算術(shù)》中有“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則該竹子的容積為（）A．升B．升C．升D．升6．已知是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，給出下列說法：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中說法正確的個(gè)數(shù)為（）A．3B．2C．1D．07．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的（）A．6B．5C．4D．38．已知函數(shù)，，且在區(qū)間上有最小值，無最大值，則的值為（）A. B.C.D.9．已知點(diǎn)是拋物線：上的一點(diǎn)，是其焦點(diǎn)，定點(diǎn)，則的外接圓的面積為（）A．B．C．D．10．在的二項(xiàng)展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，若，則二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為（）A．6B．9C．12D．1811．已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若（分別表示的面積）恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．12．已知是定義在區(qū)間上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且，，則不等式的解集是（）A．B．C．D．二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．已知向量與的夾角為，，，則.14．若，則.15．已知實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最大值是.16．如圖，在正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為.三、解答題（本大題共6題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列，求的值.18．今年，樓市火爆，特別是一線城市，某一線城市采取“限價(jià)房”搖號(hào)制度，客戶以家庭為單位進(jìn)行抽簽，若有套房源，則設(shè)置個(gè)中獎(jiǎng)簽，客戶抽到中獎(jiǎng)簽視為中簽，中簽家庭可以在指定小區(qū)提供的房源中隨機(jī)抽取一個(gè)房號(hào)，現(xiàn)共有20戶家庭去抽取6套房源.（1）求每個(gè)家庭中簽的概率；（2）已知甲、乙兩個(gè)友好家庭均已中簽，并共同前往某指定小區(qū)抽取房號(hào).目前該小區(qū)剩余房源有某單元27、28兩個(gè)樓層共6套房，其中，第27層有2套房，第28層有4套房.記甲、乙兩個(gè)家庭抽取到第28層的房源套數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19．如圖，在中，，是的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，且，，將沿折起使得二面角是直二面角.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.20．如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，線段的中垂線的斜率為且直線與交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.21．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.請(qǐng)考生在22、23二題中任選一題作答，如果都做，則按所做的第一題記分.22．選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)是.（1）求直線的普通方程；（2）求直線上的點(diǎn)到點(diǎn)距離最小時(shí)的點(diǎn)的直角坐標(biāo).23．選修45：不等式選講已知函數(shù).（1）若，解不等式；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.數(shù)學(xué)（理科）參考答案 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．題號(hào)123456789101112答案CCACDCCDBBAD二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.13．614．15．1216．三、解答題：本大題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．解：(Ⅰ)因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，①所以②①②，得，所以又當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.（2）據(jù)（1）求解知，，，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列又因?yàn)?，所?18．(Ⅰ)因?yàn)楣灿?0戶家庭去抽取6套房源且每個(gè)家庭中簽的概率都是相同的，所以每個(gè)家庭能中簽的概率.（2）據(jù)題意知，的所有可能取值是0，1，2，，的分布列為的數(shù)學(xué)期望.19．解：(Ⅰ)因?yàn)?，所以又，，所以又因?yàn)樗允堑男边吷系闹芯€，所以是的中線，所以是的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹形痪€，所以又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（Ⅱ）據(jù)題設(shè)分析知，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，且分別是的中點(diǎn)，所以，所以有點(diǎn)，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即，所以令，則設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.又，所以，所以.故直線與平面所成角的正切值為.20.解：(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為，所以，解得又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(Ⅱ)證明：因?yàn)榫€段的中垂線的斜率為，所以直線的斜率為，所以可設(shè)直線的方程為據(jù)得設(shè)點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)?，所以所以點(diǎn)在直線上，又點(diǎn)也在直線上，所以三點(diǎn)共線.21．解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，討論：?dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得,所以此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，綜上，實(shí)數(shù)的最小值是.（2）由，得設(shè)，則“函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)”等價(jià)于“函數(shù)與的圖象在上沒有公共點(diǎn)”討論：當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)在上也是單調(diào)遞增函數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)滿足題意的草圖（草圖可能有兩種情況）如下：圖1圖2（i）如圖1，，即，解得；（ii）如圖2，對(duì)任意恒成立又當(dāng)時(shí)，，所以，解得又，得綜上，或；當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)滿足題意的草圖如下：觀察圖象可知符合題意.綜上，