直線與圓（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單

專題15直線與圓

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

思維構(gòu)建-耀蓿際紿

知行盤點(diǎn)-置；層訃煤

知識(shí)點(diǎn)1直線的方程

1、直線的傾斜角

（1）定義：當(dāng)直線/與X軸相交時(shí)，取X軸作為基準(zhǔn)，尤軸正向與直線/向上方向之間所成的角叫做直線/

的傾斜角.當(dāng)直線/與X軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.

（2）范圍：直線/傾斜角的取值范圍是［0,無(wú)）.

2、直線的斜率

（1）定義：一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母/表示，即％=tana,傾

斜角是齊勺直線沒(méi)有斜率.

（2）過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)尸1（方，M），B（尤2,竺）印抄2）的直線的斜率公式為左='三"

X2—X1

3、直線方程的五種形式

形式幾何條件方程適用范圍

點(diǎn)斜式過(guò)一點(diǎn)（沏，yo）,斜率上y—yo=k(x—xo)與x軸不垂直的直線

斜截式縱截距b,斜率左y=kx+b與X軸不垂直的直線

y—y\x-xj與x軸、y軸均不垂直的

兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)（xi，%）,（%2，yi）

y2~y\X2—X1直線

不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原

截距式橫截距m縱截距6~+^=l

ab點(diǎn)的直線

Ax+By+C=0平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有直

一般式

(A2+B2#O)線

【注意】“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正、可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).

知識(shí)點(diǎn)2兩條直線的位置關(guān)系

1、兩條直線平行與垂直的判定

（1）兩條直線平行

①對(duì)于兩條不重合的直線/l，h，若其斜率分別為由，無(wú)，則有/1〃/2=任=比.

②當(dāng)直線/1，/2不重合且斜率都不存在時(shí)，h//h.

（2）兩條直線垂直

①如果兩條直線A，/2的斜率存在，設(shè)為內(nèi)，心，則有/」/2=匕笈2=—L

②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為o時(shí)，hn2.

2、兩條直線的交點(diǎn)的求法

直線/i：Ai尤+_Biy+G=0,，2：A2x+&y+。2=。(4,Bi，G，A2’&,C2為常數(shù)),

[Aix+8iy+Ci=0,

則/1與/2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組，,',八的解.

[A2x+B2y+C2^0

3、三種距離公式

（1）平面上的兩點(diǎn)P1（X1，Jl）,P2（X2，,2）間的距離公式|P，2|=＞尤2—XJ+R—y/.

特別地，原點(diǎn)。（0,0）與任一點(diǎn)P（x,y）的距離|。尸|=^。+與.

|Aro+8yo+C|

(2)點(diǎn)P(x(),yo)到直線Z：Ax~\~By~\~C=0的距禺d—、4+序

(3)

兩條平行線Ax+By+Ci=0與/U+BJ+C2=0間的距離

4、直線系方程的常見(jiàn)類型

（1）過(guò)定點(diǎn)尸（項(xiàng)，W）的直線系方程是：y—刃=人（無(wú)一xo）/是參數(shù)，直線系中未包括直線x=xo）,也就是平

常所提到的直線的點(diǎn)斜式方程；

（2）平行于已知直線Ax+2y+C=0的直線系方程是：Ax+By+2=0（4是參數(shù)且后:C）；

（3）垂直于已知直線Ax+8y+C=0的直線系方程是：&一&十九=0（2是參數(shù)）；

(4)過(guò)兩條已知直線/i：Aix+2iy+G=0和b：A>+&y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程是:

J

Aix+Biy+Ci+^A2xrB2y+C2)=0(/1eR,但不包括Z2).

知識(shí)點(diǎn)3圓的方程

1、圓的定義及方程

定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓

標(biāo)準(zhǔn)方程(x—a)2+(廠Z?)2=戶(r>0)圓心：(a,。)半徑：r

圓心:(-S-0

一般方程^+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

W+廬一

半徑：

7一2

2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)M(xo，加)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-b)2=3.

理論依據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系

(xo—a)2+(州—bp三點(diǎn)在圓上

三種情況(xo—a)2+(yo—bp2戶o點(diǎn)在圓外

2

(xo—a)+(yo—/?)20r20點(diǎn)在圓內(nèi)

3、二元二次方程與圓的關(guān)系

不要把形如x2+/+Z)x+￡y+F=0的結(jié)構(gòu)都認(rèn)為是圓，一定要先判斷D2+￡2-4F的符號(hào)，只有大于0時(shí)

才表示圓.

若/+>2+。尤+/+尸=0表示圓，則有：

(1)當(dāng)尸=0時(shí)，圓過(guò)原點(diǎn).

(2)當(dāng)D=0,母0時(shí)，圓心在y軸上；當(dāng)以0,￡=0時(shí)，圓心在無(wú)軸上.

(3)當(dāng)D=尸=0,今0時(shí)，圓與無(wú)軸相切于原點(diǎn)；E=F=0,。加時(shí)，圓與y軸相切于原點(diǎn).

(4)當(dāng)UMEZMZI歹時(shí)，圓與兩坐標(biāo)軸相切.

知識(shí)點(diǎn)4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓的位置關(guān)系

(1)直線與圓位置關(guān)系的判斷方法

Z>0o相交

聯(lián)立方程得方程組消去x或y

①代數(shù)法</=0=相切

得一元二次方程，A=lr-Aac

/<0=相離

"d<r=相交

圓心到直線的距離為d

②幾何法<d=rQ相切

相離

（2）圓的切線與切線長(zhǎng)

①過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線

過(guò)圓/+產(chǎn)=戶上一點(diǎn)M（xo，澗）的切線方程是x^x+yoy—r2-.

過(guò)圓（x—a）2+（j—萬(wàn)產(chǎn)=/2上一點(diǎn)M（xo,yo）的切線方程是（xo—a）（x—a）+So—b）。-6）=戶.

②過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線

過(guò)圓外一點(diǎn)M（xo,%）的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜

率左，從而得切線方程；若求出的上值只有一個(gè)，則說(shuō)明另一條直線的斜率不存在，其方程為x=xo.

③切線長(zhǎng)

從圓/+/+m+/+/=0（。2+￡2—4Q0）外一點(diǎn)M（x0,州）引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)為

yfx^+yo+Dxo+Eyo+F.

兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)：利用等面積法，切線長(zhǎng)。與半徑r的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)b

的積，即6=等.

【注意】過(guò)一點(diǎn)求圓的切線方程時(shí)，要先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以便確定切線的條數(shù).

（3）圓的弦長(zhǎng)：直線和圓相交，求被圓截得的弦長(zhǎng)通常有兩種方法

①幾何法：因?yàn)榘胂议L(zhǎng)全弦心距小半徑廠構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L=2/—肥

②代數(shù)法：若直線與圓有兩交點(diǎn)A（xi，%）,8（X2,刃），

則有=11+R|xi—x2|1+表M-9I.

2、圓與圓的位置關(guān)系

（1）圓與圓位置關(guān)系的判斷方法（兩圓半徑為八，「2,〃=|。1。2|）

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

圖示電率

交點(diǎn)個(gè)數(shù)01210

d與八,弓的關(guān)系d>q+Gd=rx+r2\r\—r^<d<rx-\-r2d=4-』G<d<\rx一目

【注意】涉及兩圓相切時(shí)，沒(méi)特別說(shuō)明，務(wù)必要分內(nèi)切和外切兩種情況進(jìn)行討論.

（2）兩圓公切線的條數(shù)

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

圖示3

公切線條數(shù)4條3條2條1條無(wú)公切線

點(diǎn)突破?看分?伊特

重難點(diǎn)01與直線有關(guān)的最值問(wèn)題

1、定直線的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和的最小值，直線將其中一點(diǎn)對(duì)稱，使兩點(diǎn)在直線異側(cè)，三點(diǎn)共線最短;

2、定直線的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離差的最大值，直線將其中一點(diǎn)對(duì)稱，使兩點(diǎn)在直線同側(cè)，三點(diǎn)共線最短.

【典例1］（23-24高三上.山東濟(jì)寧?月考）在平面直角坐標(biāo)系無(wú)Oy中，已知點(diǎn)4（0,-2）,點(diǎn)3（1,0）,P為直線

2尤-4y+3=0上一動(dòng)點(diǎn),則1PAi+|PB|的最小值是

【答案】4

【解析】設(shè)點(diǎn)4（0,-2）關(guān)于直線2》-分+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為4"?）,

11

2X--4X^^+3=0x=----

225

則解得

y+21.，12

------X—=-1照了

x2

所以A卜M11，二12

256144)

所以1PAi+「川=歸4|+|尸8閆4同=——+——=4,

2525

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為線段H3與直線2x-4y+3=0的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立,

所以|PA|+|PB|的最小值是4.

【典例2］（23-24高三上?重慶?零診）（多選）已知直線，：x-2y+8=。和三點(diǎn)A（2,0）,B（-2,-4）,C（2,5）,過(guò)

點(diǎn)C的直線《與無(wú)軸、y軸的正半軸交于M,N兩點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（）

A.尸在直線/上，貝+3的最小值為4近

B.直線/上一點(diǎn)P（12,10）使|附|一|叫最大

UUUUUUU

C.當(dāng)|CM|.|CN|最小時(shí)/1的方程是X+y-7=0

UUUIUUUU

D.當(dāng)|OM|?|ON|最小時(shí)4的方程是5尤+y—15=0

【答案】BC

【解析】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)8關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為9(機(jī),"),

〃

__+__4V_1———1I

m+22—,解得川卡年

則

-2+m_-4+n__

-----------2x--------+8=0

22

.'.|PA|+|PB|=\PA\+\PB'\>\AB'\=12,

4

又L：y=1(x-2),即尤-丁-2=0,

x-y-2=0

聯(lián)立,解得％=12,y=10,

x-2y+8=0

即直線I上一點(diǎn)P(12,10)使H-!PAII最大，B正確;

當(dāng)x=O時(shí)，y=-2k+5,當(dāng)y=0時(shí)，X---+2,

k

=10/2+1+/>10j2+2.%"=2°,

當(dāng)且僅當(dāng)*=公，即左=-1時(shí)等號(hào)成立,

止匕時(shí)4：y=—(%—2)+5,即％+y—7=0,C正確;

uuumHIT2525

對(duì)于D：\OM\-\ON\+5)=20+——+4(—左)220+2/—x4(—女)=40,

—ky—-kk

755

當(dāng)且僅當(dāng)￡=4(此)，即左=-]時(shí)等號(hào)成立,

此時(shí)4：y=-g(x-2)+5,即5x+2y-20=0,D錯(cuò)誤.故選:BC.

重難點(diǎn)02與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

求解與圓有關(guān)的最值問(wèn)題步驟

第一步定型：根據(jù)題目條件確定最值問(wèn)題的類型；

第二步作圖：根據(jù)幾何意義，畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想求解；

第三步求值：根據(jù)圖形，利用相關(guān)知識(shí)求解.

【典例1](23-24高三上?北京順義?期中)過(guò)直線x+y=4上一動(dòng)點(diǎn)"，向圓。：爐+V=4引兩條切線，A、

B為切點(diǎn)，則圓。上的動(dòng)點(diǎn)尸到直線48距離的最大值等于()

A.1+0B.2+72C.73+72D.3+72

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)M在直線x+y=4上，設(shè)M3力，則0+6=4,

過(guò)點(diǎn)尸作圓O：尤2+^=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,貝！JM4LQ4,MBA.OB,

則點(diǎn)A、8在以為直徑的圓上，

又由/①力)，則以O(shè)M為直徑的圓的方程是(x-j)2+(y-1)2=1(a2+b2),

圓。的方程為爐+丁=4,

聯(lián)立兩個(gè)圓的方程可得：直線的方程為6+勿=4,即依+外-4=0,

因?yàn)閍+6=4,所以》=4-.，代入直線A8的方程，

得以+(4-a)y—4=0,gpa(x—y)+4y—4=0,

當(dāng)％=,且4y-4=0,BPx=l,y=l時(shí)該方程恒成立，所以直線A5過(guò)定點(diǎn)N(l,l),

點(diǎn)尸到直線A8距離的最大值即為點(diǎn)0,N之間的距離加上圓的半徑，

即點(diǎn)0(0,0)到直線AB距離的最大值為7F7F=插.

動(dòng)點(diǎn)尸到直線距離的最大值為亞+2,故選：B

【典例2](23-24高三上?江蘇蘇州?月考)已知點(diǎn)P?+lJ)JeR,點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。是圓

(X_獷+(y+=4上的動(dòng)點(diǎn)，則IP。I-1P。I的最大值為.

【答案】4

【解析】由圓(x-3y+(y+l)2=4,可得圓心C(3,-l),半徑為r=2,

又由點(diǎn)P?+i,f),可得點(diǎn)尸在直線x-y-i=o上的動(dòng)點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓(彳-3)2+(y+iy=4上的動(dòng)點(diǎn)，

則忸0-儼。區(qū)(|PC|+r)-\PO\=\PC\-\PO\+2,

如圖所示，設(shè)點(diǎn)。關(guān)于直線X-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為N?,%),

^xl=-l

可得藥,解得%=1.%=-1,即N(L-l),

土-叢-1=0

[22

設(shè)直線CN與直線x-y-1=0的交點(diǎn)為Af,

則直線CN的方程為y=T,聯(lián)立方程組廠=一：八，解得x=0,y=-l,

[x—y-l=0

即M(0,-l),則陷=3,

當(dāng)點(diǎn)尸與M重合時(shí)，此時(shí)|pq=|7w|,則|尸，一|尸6=|尸4—|叫=|困一||四,

此時(shí)歸。-|尸。取得最大值，最大值為3-1=2,

所以|尸。一|尸0|+2=4,即「。|—|尸0]的最大值為4.

故答案為：4.

2222

【典例3](23-24高三上?湖北荊州?月考)已知O1:x+(y-2)=l,02:(x-3)+(y-4)=4,過(guò)x軸上一點(diǎn)p

分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是M，N,當(dāng)I9I+IPNI取到最小值時(shí)，點(diǎn)尸坐標(biāo)為.

【答案】(1,0)

【解析】如圖所示：

2

設(shè)貝!IPAfI+1PN\=「-1+^|PO2|-2,

=&+4—1+7（?-3）2+16-4=而+3+7（f-3）2+12，

=_0）~+（0-卜6））+J（，-3）2+（0—26），

取A（0,-g）,2（3,2石），

則|PM|+|PN|=|B4|+|PF|N|AB|,當(dāng)且僅當(dāng)4尸I三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào),

此時(shí)磯=2癢卜@=5直線AB的方程為y+g=J§x,

令產(chǎn)0,得*=1,所以尸（1,0）,

故答案為：(1,0).

重難點(diǎn)03隱圓問(wèn)題及其應(yīng)用

1、隱圓問(wèn)題的幾大類型

(1)類型一：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)；

(2)類型二：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值;

(3)類型三：到兩定點(diǎn)的夾角為直角；

(4)類型四：對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值；

(5)類型五：阿波羅尼斯圓

2、阿波羅尼斯圓

阿波羅尼斯圓”的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A（-a,。），B（a,O）（a>0）的距離之比為正數(shù)的點(diǎn)的

軌跡是C（套[a,0）為圓心，:為半徑的圓,即為阿波羅尼斯圓.

【典例1]（23-24高三下.陜西銅川.模擬預(yù)測(cè)）已知A（-2,0）,3（2,0）,若圓+（丁一3。+2）2=4上

存在點(diǎn)P滿足PA./>8=5，則。的取值范圍是（）

A.[-1,2]B.[—2,1]C.[-2,3]D.[—3,2]

【答案】A

【解析】設(shè)點(diǎn)尸（無(wú),了），則PA=（-尤-2,-y）,PB=（-x+2,-y）,

所以PA-PB=（-無(wú)一2）（-尤+2）+丁=5,

所以P的軌跡方程為尤?+丁=9,圓心為（0,0）,半徑為3.

由此可知圓（工-。-l>+（y-3a+2）2=4與/+丁=9有公共點(diǎn)，

又圓（尤-a-l）2+（y-3a+2）2=4的圓心為（a+l,3a-2）,半徑為2,

所以1WJ（a+iy+（3a-2）2V5,解得一lVaV2,

即。的取值范圍是[T2].故選：A.

【典例2】（23-24高三上?江西宜春?月考）若48是平面內(nèi)不同的兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足兩=%（%>0且&片1）,

則點(diǎn)尸的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故被稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏

圓.已知尸是圓G：尤?+/=4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C（4,0）,￡>（4,9）,則21Pz|PC|的最大值為.

【答案】6710

【解析】由題意得設(shè)|尸。=2|尸耳，P(x,y),E(m,n),

所以(x-4)2+;/=4]x-m)"+(y-w)]，貝(|3尤②+3/+(8-8/w)x-8ny+4m2+4n2-16=0,

由于P(x,y)是圓G+V=4上的點(diǎn)，

所以12+(8-8m)尤-8〃y+4-2+4”=-16=(8-Sm)x-8ny+4m2+4n2-4=0,

8-8m=0

\m=l

所以-8"=0,解得力即EQ，。)，

、n=O

4m2+4n92—4=0

所以2儼口一忸。=2（|尸。一忸閭）<2|。目，如圖,

，D

-1O

-1

所以2|包>|—|PC|的最大值為2|。同=2,(4—+(9-0『=6M,

故答案為：6>^0.

法技巧?逆親學(xué)霸

一、直線的傾斜角與斜率范圍的求法

1、求傾斜角的取值范圍的一般步驟

(1)求出斜率左=12116(的取值范圍.

(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角a的取值范圍.求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在.

2、斜率取值范圍的2種求法

(1)數(shù)形結(jié)合法：作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定;

(2)函數(shù)圖象法：根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可.

【典例1](23-24高三上?云南曲靖?月考)若直線尤+ysin(z+2=0(aeR)的傾斜角的取值范圍是.

【解析】設(shè)直線傾斜角為當(dāng)sin。=0時(shí)直線斜率不存在，此時(shí)傾斜角。為

當(dāng)sinawO時(shí)，斜率為々=tan。，直線x+ysin(z+2=0(aeR)

17

化為斜截式為y=--：—%--：—￡R)，

k=--------(aeR),因?yàn)橐籌Wsina41且sina,

sinor

所以--：—￡(―8,-1][1,+8),

Tt7171371

即左e（-oo，TJl,+oo）,所以。G

4'22'4

兀3兀

綜上有:6?e

4'T

【典例2]（23-24高三上?四川雅安?期中）若直線/：y=依-若經(jīng)過(guò)直線方+1=1在第一象限上的點(diǎn)，則直

線/的傾斜角a的取值范圍是（）

A.（30°,90°）B,[30°,90°）C.（60°,90°）D.[30°,90°]

【答案】A

【解析】因?yàn)橹本€尹六1與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)（3,0）,（0,2）,直線1恒過(guò)點(diǎn)-6），

所以%＞衛(wèi)=也,所以30。＜。＜90。.故選：A

0-33

二、求解直線方程的兩種方法

（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫(xiě)出直線方程；

（2）待定系數(shù)法：①設(shè)所求直線方程的某種形式；②由條件建立所求參數(shù)的方程（組）；③解這個(gè)方程（組）

求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程

【典例1]（23-24高三上?福建福州?月考）已知VABC的頂點(diǎn)44,1）,邊A3上的高線C"所在的直線方程為

x+y-l=0,邊AC上的中線所在的直線方程為3x-y-l=0.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo);

（2）求直線BC的方程.

【答案】(1)(TT)；⑵7x+y+H=0.

【解析】（1）由邊A3上的高線C"所在的直線方程為x+y-l=0,得直線A3的斜率為1,

直線A8方程為y-1=X-4,即y=x-3,

y=x-3

由；,八，解得尤=-l,y=_4,

3x-y-i=()

所以點(diǎn)8的坐標(biāo)是（-1,-4）.

(2)由點(diǎn)C在直線尤+yT=O上，設(shè)點(diǎn)C(a,l-a),

于是邊AC的中點(diǎn)+-[在直線3x-y-l=。上，

因此6+稱一1+：—1=0,解得。=一2,即得點(diǎn)C(-2,3),

22

-4-3

直線BC的斜率k==-7,

-1一(-2)

所以直線BC的方程為y—3=—7(x+2),即7x+y+ll=0.

【典例2](23-24高三上?福建莆田?月考)已知VABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-3,0),3(2,l),C(-2,3).

(1)求邊AB的垂直平分線的方程；

(2)已知平行四邊形ABCD,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】⑴5無(wú)+y+2=O；(2)0(-7,2)

【解析】(1)設(shè)線段43的中點(diǎn)且心》=g=1，

則邊A2的垂直平分線的斜率左=-5,

由直線的點(diǎn)斜式可得、-；=-5卜+J,

化簡(jiǎn)可得5x+y+2=0.

(2)由四邊形ABCD為平行四邊形,且A(—3,0),3(2,l),C(-2,3),則標(biāo)=前,

又3C=(T,2),則。(-7,2).

三、由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法

/1：AlX+Biy+Ci=0(Ai+Bt^O),

直線方程

Z2：A2x+B2y+C2=0(AHB^0)

/1與/2垂直的充要條件A1A2+5152=0

「=黯（4/2c2邦）

/1與/2平行的充分條件

/1與，2相交的充分條件區(qū)⑶昆邦）

?=空=梟4赤2c2知）

與/2重合的充分條件

A202C2

【典例1］（23-24高三上.江西南昌?月考）已知a>0,b>0,直線（aT）x+yT=。和尤+2勿+1=。垂直,

則32+；1的最小值為（）

ab

A.16B.8C.4D.2

【答案】B

【解析】a>0,b>0,直線《：（〃一1）1+》一1=0,l2:x+2by+l=0,且/i^U，

/.（?—1）x1+1x2Z?=0,艮|3a+2b=1.

m,i212a+4ba+2b_4ba__14ba..o

貝1］一+—=------+------=2+—+-+2>4+2/-----=4+4=8,

ababab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=26=：時(shí)，等號(hào)成立，

故42+；1的最小值為8,故選：B.

ab

【典例2］（23-24高三上?江蘇?月考）已知直線4:"+y-a=0,￡4x+ay-a-2=0，則“°=-2”是“l(fā)A〃/2”的

（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.非充分也非必要

【答案】C

【解析】若。=一2,貝必：-2x+y+2=04：4x—2y+2—2=0,

所以兩個(gè)直線的斜率尢=%=2,

且44不重合，所以4〃九

4

若4〃4,則尢=-a=左2=—，解得a=±2,

當(dāng)a=2時(shí)，4:2x+y-2=04：4x+2y-4=0,兩個(gè)直線重合，舍去.

故。=-2.

所以“a=-2”是“乙〃4”的充分必要條件.故選：C

四、兩條直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題

1、求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法

求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線方程，也

可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

2、點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件

（1）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式.

（2）求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.

【典例23-24高三上?河北衡水?月考）已知斜率均為負(fù)的直線/：6元+毆=0與直線加:"+2勿+”0平行,

則兩條直線之間的距離為.

【答案】^/|V3

33

【解析】因?yàn)樾甭示鶠樨?fù)的直線/：6x+ay=0與直線機(jī)：依+2勿+。=0平行，

所以“涉同號(hào)，且2解得：回,

a2ba

所以直線/:冗+也丁=0與直線相：工+&,+1=0,

所以這兩條直線之間的距離為一#+（可".

故答案為：巫.

3

【典例2】（23-24高三上?江蘇淮安?月考）已知直線/滿足:原點(diǎn)到它的距離為告，點(diǎn)（3,0）到它的距離為20,

請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的直線/的一個(gè)方程：.

【答案】x-y+l=0（答案不唯一，x+y+l=。）

【解析】當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，設(shè)/的方程為x=a,于是|“|=走，且|.-3|=2四，顯然無(wú)解，

2

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為＞=依+6,即日-y+6=0,

_V2

一2廿一=一1

,整理得，消去常數(shù)項(xiàng)得（"3（3左+56）=0,

22=8

=272k+6kb+b

k2-2b2=-1

即有上一b=0或3左+5Z?=0,由＜解得左=/?=1或左=b=一1,

k-b=0

2_2/?2=_］

而方程組《無(wú)解，因此k=Z?=1或左=》=-1,

13%+5。=0

所以直線/的方程為％—y+i=o或％+y+i=o.

故答案為：x-y+l=O

五、對(duì)稱問(wèn)題的求解方法

y—2b—y.

2、線關(guān)于點(diǎn)：直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決.

3、點(diǎn)關(guān)于線：點(diǎn)A（a,力關(guān)于直線Ar+By+C=O（B9）的對(duì)稱點(diǎn)4（m，〃），

Im-aIBj'

則有《

4、線關(guān)于線：直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決.

【典例1］（23-24高三上.重慶九龍坡.月考）已知直線（l+Qx+y-々-2=0恒過(guò)定點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸關(guān)于直線

x-y-2=o的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.

【答案】（3,-1）

【解析】由直線(1+左)x+y-左一2=0化為Mx—l)+(x+y—2)=0,

fx—1=0fx=1/、

令|x+y-2=0'解得|y=l'于是此直線恒過(guò)點(diǎn)。(U)?

設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線X-y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)為Q[m,n),

m+\n+1

22-[m=3/、

貝葉「，解得.,.23,-1).

n-11\n=-l

------xl1=-li

故答案為：（3,-1）

【典例2］（23-24高三上.陜西榆林.模擬預(yù)測(cè)）已知直線乙：3x-4y-4=0關(guān)于直線4的對(duì)稱直線為V軸,

則12的方程為.

【答案】y=2尤-1或尸-；無(wú)一1

【解析】

設(shè)直線4的方程為y=kx-l,則M關(guān)于直線12的對(duì)稱點(diǎn)N（a,b）在V軸上,

所以。=0,則的中點(diǎn)在直線4上，所以“一1=’①，

乙）D乙

1/7-0

又一%②，聯(lián)立①②可得k=2或左=—大，

°一32

所以直線4的方程為＞=2彳-1或＞=一;x—L

故答案為：y=2x-l或y=_gx-l.

六、求圓的方程的兩種方法

1、幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程.

2、待定系數(shù)法：（1）若已知條件與圓心（a,6）和半徑，有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,

b,r的方程組，從而求出a,b,r的值；

（2）若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，E,F的

方程組，進(jìn)而求出D,E,尸的值.

【典例1］（23-24高三上?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）圓心在x軸的正半軸上，半徑為8,且與直線4x-3y=0相切

的圓的方程為.

【答案】（x-10）2+y2=64

【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為（a,0）（。＞0）

因?yàn)閳A的半徑為8,且與直線4x-3y=0相切，

14al||

則圓心到直線4x-3y=0的距離r號(hào)〒=8n4?=40,

A/42+32

解得a=10或a=—10（舍），則圓的坐標(biāo)為（1。,。），

所求圓的方程為（x-10）2+V=64

故答案為：（x-10）2+y2=64

【典例2](23-24高三上.寧夏銀川?月考)己知人(-1,0),以4,0),。(0,2),則VABC外接圓的方程

為.

【答案】卜-小丁=手

【解析】設(shè)圓的方程為(x-ay+(y-6)2=/(r>0),

3

'(-l-a)2+(O-Z>)2=r2a=-

2

貝卜(4一〃)2+(0-32=/，解得<b=0

(0--+(2-6)2=產(chǎn)225

r=一

4

25

所以NABC外接圓的方程為+/

4

225

故答案為:+丁=彳

七、求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的方法

1、直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；

2、定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程；

3、幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程；

4、代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式

【典例1米23-24高三上?青海西寧?期中)已知A(-l,0),3(1,0),C為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足|AC|=拒忸。，

則點(diǎn)C的軌跡方程為.

【答案】x2+y2-6x+\=0

【分析】設(shè)C(%y),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到方程，整理即可得解.

【解析】依題意，設(shè)C(x,y),由|AC|=拒|BC|,得J(x+l『+y2='(無(wú)一廳+)，

即(x+iy+/=2[(x-l)2+/],整得得/+/-6x+l=0,

所以點(diǎn)C的軌跡方程為Y+V-6x+l=0.

故答案為：x2+y2-6x+l=0

【典例2](23-24高三上?山東煙臺(tái)?月考)已知定點(diǎn)8(3,0),點(diǎn)A在圓尤2+產(chǎn)=1上運(yùn)動(dòng)，/4。8的平分線

交線段AB于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡方程是.

【答案】、一：]+必=:.

【解析】設(shè)AO,"),貝1]〃/+“2=],設(shè)M(x,y),

由AAf為NAO3的角平分線，可得需=端=；，即有

|MDI|UDIJ3

可得(％—y—〃)=g(3—x,0—y),BPx-m=l--x,y-n=~y,

44

可得z根=§x-l,n=—y,

貝U4%—1)2+4y)2=1,即為0—m)2+/=2.

JJ4lo

故答案為：(x-，+y2=g

416

八、解決有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題的常用方法及結(jié)論

1、幾何法：如圖所示，設(shè)直線/被圓C截得的弦為A8,圓的半徑為廠，圓心到直線的距離為d,則有關(guān)系

式：|AB|=2^r-^

2、代數(shù)法：若斜率為左的直線與圓相交于A(尤A,泗)，B(XB，》B)兩點(diǎn)，

則|A8|=M1+嚴(yán)、/川+◎2-4XAXB=陽(yáng)(其中存0).

特別地,當(dāng)人=0時(shí)，\AB\=\XA-XB\;當(dāng)斜率不存在時(shí)，\AB\=\yA-yB\.

【典例1](23-24高三上?四川成都?期末)寫(xiě)出經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且被圓C:(x-l)2+(y-2)2=4截得的弦長(zhǎng)為

2K的直線I的方程.

【答案】x=0或3x-4y=。

【解析】由題意可知圓心C(l,2),半徑r=2,顯然橫軸與圓相切，

不妨設(shè)/:》=◎,由點(diǎn)到直線的距離公式可知C至IJ/的距離為

=ln左=0或z=§,

所以/的方程為：x=0或3x-4y=0.

故答案為：x=0或3x-4y=0.

【典例2X23-24高三上?江蘇鹽城?月考）（多選）若直線，：、=履+1與圓C:（尤-21+/=9相交于AB兩點(diǎn),

則|鉆|長(zhǎng)度可能等于（）

A.2B.4C.3A/2D.5

【答案】BCD

【解析】由圓C:（尤一2）2+9=9,可得圓心C（2,0）,半徑為r=3,

又由直線尸區(qū)+1恒過(guò)定點(diǎn)/（0,1）,且點(diǎn)"（0,1）在圓C的內(nèi)部，可得=

當(dāng)直線/LMC時(shí)，此時(shí)直線/與圓C相交，截得的弦長(zhǎng)|力陰最短，

此時(shí)|=2^r2-|MC|2=4,

當(dāng)直線/過(guò)圓心時(shí)，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)|4B|最長(zhǎng)，止匕時(shí)卜2r=6,

所以弦長(zhǎng)|4B|的取值范圍為［4,6］,結(jié)合選項(xiàng)，選項(xiàng)B、C、D符合題意.故選：BCD.

九、求過(guò)一點(diǎn)（xo,yo）的圓的切線方程的方法

1、幾何法：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為左，則切線方程為y—加=%（尤一xo）,即fcv—y+yo—'Axon。.由圓心到直線的

距離等于半徑，即可求出左的值，進(jìn)而寫(xiě)出切線方程，當(dāng)斜率不存在時(shí)，要進(jìn)行驗(yàn)證；

2、代數(shù)法：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為總則切線方程為y—加=4（無(wú)一沏），即/=日一fcro+yo，代入圓的方程，得

到一個(gè)關(guān)于尤的一元二次方程，由/=0,求得公切線方程即可求出，當(dāng)斜率不存在時(shí)，要進(jìn)行驗(yàn)證.

【典例1］（23-24高三上?河北邢臺(tái)?期末）已知圓O:V+V=4,過(guò)M（1,也）作圓。的切線/,則直線/的傾

斜角為.

5兀

【答案】斗（或?qū)憺?50）

6

【解析】因?yàn)?2+（若了=4,所以，點(diǎn)“在圓。上，直線的斜率為的用=至2=后，

由圓的幾何性質(zhì)可知，OMU,則直線/的斜率為左=-±=-4=-@,

k0M63

設(shè)直線/的傾斜角為a,則0Wa<7i,貝Utana=-3，故1=孚.