指對同構(gòu)、對數(shù)與指數(shù)均值不等式-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

指對同構(gòu)、對數(shù)與指數(shù)均值不等

式

1.指對同構(gòu)

在解決指對混合不等式時(shí)，如恒成立求參數(shù)或證明不等式，部分試題是命題者利

用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個(gè)函數(shù)模型（即不等式兩邊對應(yīng)的是

同一函數(shù)），無疑大大加快解決問題的速度.找到這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們稱為

同構(gòu)法，其實(shí)質(zhì)還是指數(shù)、對數(shù)恒等式的變換.

⑴五個(gè)常見變形：

e%xe'

e*+in%—e""x+lnx=ln(xex),%—lnx=ln-.

“'x￡=ein%r,

（2）三種基本模式

ae“WZdn匕二種膽典方式

①積型:

同左:aeaW(Inb)e1nb(x)=xex

e"lne"Wblnb-^^f(x)

<=

同右:xlnx9

通道/(x)=x+lnx.

I取對:a+如aWlnb+ln(InZ?)

e,b三種同構(gòu)方式

②商型:

aInb

同左:

aInbJX

_e^x

<同右:

Ine"InZ?J'In%'

構(gòu)造，(、i

I取對:tz—Intz<lnZ?—In(InZ?)----V(%)=%—Inx.

③和差型：ea±a＞6±lnb兩種膽枸方式

同左：ea±a>eln"±ln(x)=exix,

、同右：ea±lne0>Z?±ln(x)=x±lnx.

2.對數(shù)與指數(shù)均值不等式

結(jié)論1對任意的a,》＞°（若"）,有迎（舟工＜三.

證明不妨設(shè)a>6>0(0Va<6時(shí)同理可得)

首先，由47<丁上~牝■等價(jià)于lna-lnb<g=暫，即In￡<°一尸.

，Intz—Inb7而ba

^\lb

令x=NZ>I,只要證In%2Vx,

即證2xlnx—A2+KO.

令人工)=2xln%—x2+l(x>l),

2

則/(x)=21nx+2—2x,f\x)=--2<0,/(%)在(1,+8)單調(diào)遞減，f(x)</(l)=O,

兀x)在(1,+8)單調(diào)遞減,即。x)V;(D=O.

故—r-7.

、In。―Inb

a—b中等價(jià)于

其次,

Ina—Inb

2(4一方)

In〃一lnb>

a+b

即in1>

人arr、-2(x—1)

令只要證In%>一百^—,

即證(%+l)ln%—2x+2>0.

設(shè)g(x)=(x+l)lnx—2x+2(x>1),

同理可證g(X)在(1,+8)單調(diào)遞增，

有g(shù)a)>g(i)=。

,,a~b4+6

ln〃—lnb<2*

需注意的是，在實(shí)際解題過程中，凡涉及這兩個(gè)不等式的都需給出證明，以確保

考試不被扣分.

+

—mnQm一+.e〃

結(jié)論2對任意實(shí)數(shù)加，n(m^n)有e2<-----<---.

9m—n2

證明在指數(shù)均值不等式中，令e"=〃、e"=b,則加=ln〃，n=lnb,從而可得對

數(shù)均值不等式.

題型一同源函數(shù)的構(gòu)造

例1已知函數(shù)?x)=lnx+%2—3%,對于任意九1,[L10],當(dāng)％i<%2時(shí)，不等

m(Y7—Y1)

^>1)->2)>—；二二恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

u,m(X2—xi)卜、

斛當(dāng)XI<X2時(shí)，於1)—j[X2)>—；怛成立,

4142

所以對于任意XI,X2e[l,10],

當(dāng)X1<X2時(shí)，兀U)—3>火了2)—恒成立，

41人，

所以函數(shù)y=Ax)—?ryj在[1,10]上單調(diào)遞減.

令"(x)=/(x)—1Mlnx+r—Bx—[1,10],

1rvj

所以"(x)=，+2x—3+與WO在[1,10]上恒成立，

XX

則機(jī)W—Zx^+Bx2—%在[1,10]上恒成立.

設(shè)網(wǎng)x)=—ZV+Bx2—x(x￡[l,10]),

則F(x)=—6X2+6X—1=—6(x—+1.

當(dāng)x@[l,10]時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,

所以產(chǎn)(x)在[1,10]上單調(diào)遞減,

32

所以F(x)min=F(10)=-2X10+3X10-10=-l710,

所以mW—1710.

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-8,-1710].

感悟提升此類問題一般是給出含有XI,X2,>1),而⑵的不等式，若能通過變形,

把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)形式相同的代數(shù)式，即轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)，可利用該函數(shù)

單調(diào)性求解.

訓(xùn)練1已知函數(shù)?v)=lnx—'ax+1,對于函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)A(xi,兀⑴),

5(X2,>2)),直線A3的斜率為上若xi+x2+%>0恒成立，求a的取值范圍.

5,/(XI)—/(X2)

角牛由越思，k=,

XI-X2

I]b-6]、八、，,,f(XI)—f(X2)

則原不等式化為X1+X2+>0,

X1~X2

不妨設(shè)XI>X2>0,

則(XI+%2)(X1—X2)一火無2)>0,

即X?—+/(X1)—J(X2)>0,

即火元1)+6>7(%2)+%1

設(shè)g(x)=/(%)+x2=lnx+x2—ax+l,

由已知，當(dāng)Xl>X2>0時(shí)，不等式g(Xl)>g(X2)恒成立，

則g(x)在(0,+8)上是增函數(shù).

1,2A2—ax+1

則g'(%)=l+2x—。=---------,

所以當(dāng)%>0時(shí),g'(%)20,

即zf—ax+ieo,

曰L_2/+1I1L11、

即aW------=21+一怛成立，

xx

因?yàn)?x+：e2也，當(dāng)且僅當(dāng)2%=：,

JiJi

即x=坐時(shí)取等號，

所以卜x+口=2也.

\"min

故。的取值范圍是(一8,2^2].

題型二指對同構(gòu)

例2(2022?新高考I卷節(jié)選)已知函數(shù)?x)=ex—x和g(x)=x—lnx.證明：存在直

線y=b,其與兩條曲線尸治)和尸g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的

三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

證明兀乃=守一x,g(x)=x—lnx,

則兀0在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

/(X)min=g(%)min=1.

當(dāng)直線y=b與曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，

如圖，設(shè)三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為I1,X2,X3,且％1<X2<X3,

則火XI)=火%2)=g(X2)=g(X3)=b.

*.*XX)=e%—%,g(x)=x—Inx=elnx—Inx=filnx),

???汽打)=火%2)=/(lnX2)=/(lnX3).

由于X2:7Z-X1?X2111X29

??％2=lnx3,xi=lnX2y

則filn%2)=elnx2—In%2=X2—InX2=X2—xi=b,

filnX3)—eln"3—lnx3=X3—InX3=%3-xz=b,

上述兩式相減得X1+X3=2X2,

即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

感悟提升指對同構(gòu)的關(guān)鍵是利用指數(shù)、對數(shù)恒等式將所給關(guān)系式湊配成同源函

數(shù).

訓(xùn)I練2(2020?新高考全國I卷節(jié)選)已知函數(shù)加0=或廠1—ln%+lna,若兀c)21,

求a的取值范圍.

解八%)的定義域?yàn)?0,+8),

fix)—aex~1—Inx+In<7=eln6r+x-1—Inx+ln

等價(jià)于elna+x~iJrlna+x~1^lnx+x=elnx+lnx.

令g(x)=e%+x,上述不等式等價(jià)于g(lna+x-l)^g(lnx).

顯然g(x)為單調(diào)增函數(shù)，

所以又等價(jià)于Ina+x—l^lnx,

即Intz^lnx—x+1.

令/z(x)=ln%—x+1,

11--V

則w)=~-i=-

當(dāng)x?(0,1)時(shí),h'(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x?(l,+8)時(shí),h'(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減，

所以/?(X)max=/l(l)=0,所以InoNO,

即。三1,所以a的取值范圍是［1,+8).

題型三指數(shù)、對數(shù)均值不等式

例3已知函數(shù)y(x)=：—x+alnx.

(1)討論Hx)的單調(diào)性；

(2)若兀0存在兩個(gè)極值點(diǎn)XI,X2,

證明：HxG

Xl-X2

(1)解危)的定義域?yàn)?0,+8),

1,ax1~ax+1

①若aW2,則了(x)W0,

當(dāng)且僅當(dāng)a=2,x=l時(shí)，/(x)=0,

所以?v)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

②若。>2,令了a)=o,

用a—yja2—^4

fTXl=2或X2=2

當(dāng)xG(0,X1)U(X2,+8)時(shí)，/(x)<0；

當(dāng)X@(X1,X2)時(shí)，/(%)>0.

所以人X)在(0,Xl),(X2,+8)上單調(diào)遞減，在(XI,X2)上單調(diào)遞增.

(2)證明法一由(1)知，1%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

由于X1X2=1,不妨設(shè)X1<X2,則X2>1.

由于y(xi)一/(X2)=~~xi+alnxi-\~—X2-\-aln%2j=2(x2-xi)+a(lnx\-InX2).

XI—X2x1—xi

利用對數(shù)均值不等式且m。.看—2…

法二由(1)知，人x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

由于/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)xi,及滿足/一奴+1=0,

所以X1X2=1,不妨設(shè)X1<X2,則X2>1.

,(XI)~f(X2),Inxi—In%2—21nx2

由于------------2+a---------2+。

X1~X2X1~X21

——X2

X2

f(_ri)—f(X?)1

所以JwJw<a—2等價(jià)于上一X2+21nx2<0.

XI—X2X2

設(shè)函數(shù)g(x)=~—%+21nx,

由⑴知，g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

又g(l)=0,從而當(dāng)尤￡(1,+8)時(shí),g(x)<0.

所以,一X2~\~2lnX2<0,

(XI)一于(%2)

V。一2.

XI—X2

感悟提升關(guān)鍵是湊配出利用對數(shù)均值不等式的形式.

訓(xùn)練3(1)若函數(shù)八光)=ln%一必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)%2,證明：xiX2>e2.

證明借助〃作為媒介，構(gòu)造對數(shù)均值不等式.

依題意，Inxi—(2xi=0,InX2_6/X2=0.

兩式相減，得Inxi—In%2=a(xi—xi),

.Inxi—lnx2

即a=---------,

X1~X2

兩式相加，得Inxi+In%2=a(xi+xi).

故欲證xix2>e2,即證Inxi+lnx2>2,

即證a(x\+%2)>2,

In%lIn2

即證>

X\~X2Xl+%2

由對數(shù)均值不等式知上式顯然成立.

綜上，無1%2>匕2成立.

(2)(2022.新高考H卷節(jié)選)設(shè)〃￡N*,證明:Titi…+?^皿"

+1).

證明先證對數(shù)均值不等式

a—b卜、

ab<■■—7(a>Z?>0)成立.

ma—mb

不等式47〈記■:_如b(〃>b>。)成立

,a-ba

=lna-Inb</—-<=^>lnT<

ylabb

=>21n其中x=

、H>D，

構(gòu)造函數(shù)/z(x)=21nx—

21

則h\x)=--l--2=4

當(dāng)x>l時(shí)，"(x)VO,

所以函數(shù)/z(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，/z(x)<A(l)=O,從而不等式成立.

1

法一令a=l+《，b=l,則有n

1+-<

n皿+力-山1

整理可得，皿+1也擊，

n

故苫n叩十另1<￡了石,

即亡…+赤匕>皿〃+1)成立.

法二因?yàn)?1n%<%一1(%>1),

JC

所以對任意的〃GN*,

〃+1n~\~1n

有2hf

nnn~\-1'

整理得ln(n+l)—Inn<—j===,

yjn十幾

,,1,1,,1

故后1+不裁+…+赤心

>ln2—In1+ln3-In2+***+ln(n+1)—Inn

=ln(n+l),

故不等式成立.

「利用切線放縮法解決不等式問題微點(diǎn)突破

1.切線放縮是指曲線y=/(x)在某點(diǎn)處的切線方程為丁=履+。，若y=/U)的圖象

恒在直線y=kv+人的上方或下方，則有人或成立，當(dāng)且僅

當(dāng)x與切點(diǎn)橫坐標(biāo)相等時(shí)等號成立.

2.利用切線放縮法得到的常見不等式有：

(De^x+L當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號；

(2)e*2ex,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號；

(3)ln@+l)Wx,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號；

(4)lnxWx—1,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號；

(5)lnxWex—2,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.

一'用切線放縮法求參數(shù)值

例1已知y(x)=ex—ax—l(a>0),若?v)NO對任意xGR恒成立，求實(shí)數(shù)a的值.

解由切線放縮法可知ex>x+l,

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立，

所以?x)三九+1—ax—1=(1—d)x,

要使兀0>0,則只需(1—a)x》O對任意x￡R恒成立,

所以1一。=0,即a=l.

可驗(yàn)證當(dāng)a=l時(shí)，恒成立.

二、用切線放縮法求參數(shù)范圍

例2已知函數(shù)八1)=才7+%—ln(ax)—2(a>0),若?x)在(0,+8)上存在零點(diǎn)，求

實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Z7Y

解令人元)=。，得-^T=ln(Qx)—%+2,

所以eln(dLX)-%+1=ln(6zx)—x+2,

令t=ln(ax)—x+l,則et=t+l,

由切線放縮法得e，2%+l,當(dāng)且僅當(dāng)1=0時(shí)等號成立，

因?yàn)閑t=t+l,所以t=0,

即ln(ax)—》+1=0有解，

所以ln(ox)=x—1,即Ina+lnx=x—l,

因?yàn)榍€y=lnx在x=l處的切線方程為y=x-l,

所以當(dāng)a=l,即lna=0時(shí)，直線y=x—1與曲線y=lnx有一個(gè)交點(diǎn)，

即方程ln(ax)—x+l=0有一個(gè)解，

結(jié)合圖象可知，當(dāng)。>1時(shí)，直線y=x—l與曲線y=lna+lnx有兩個(gè)交點(diǎn),

即方程ln(ax)—x+l=0有兩個(gè)解，所以a'l.

三'用切線放縮法證明不等式

例3已知函數(shù)I/(x)=aex—lnx—1,證明：當(dāng)。三/時(shí)，段)三0.

證明因?yàn)閍〉：，

所以J[x)^——\nx-1=e「i—Inx-l.

因?yàn)閥=e*-i在x=l處的切線方程為y=x,

因此用切線放縮法可得不等式ex-Nx,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號，

所以得exT—ln龍一1Nx—lnx—1,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號.

設(shè)gQ)~x—Inx—1,

1V—1

則g,(x)=l--=——.

當(dāng)0<x<l時(shí)，gr(x)<0,所以g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時(shí)，g，(x)>0,所以g(x)單調(diào)遞增.

所以x=l是g(x)的最小值點(diǎn).

故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)2g(1)=0.

因此，當(dāng)時(shí)，/(x)N0.

cix^x—1

訓(xùn)練已知函數(shù)人為二-2一二，證明：當(dāng)。三1時(shí)，/(x)+eN0.

cix^x—1

證明因?yàn)?x)+e20=--------+e^0?tzx2+x—1+ex+1^0.

因?yàn)楹瘮?shù)y=e*+i在x=-1處的切線方程為y=x+2,

因此用切線放縮法可得不等式e-+1>x+2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時(shí)取等號，

所以ax1~\~x—1+ex+1ax2~\~x—1+x+2=af+2x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號.

又因?yàn)樾?,

所以ax2+2x+12x2+2x+1=(x+1)2>0,

當(dāng)且僅當(dāng)x=-l取等號.

故當(dāng)。三1時(shí)，有火x)+eNO.

分層精練?鞏固提升

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.若不等式xe*—'oNlnx+x—1恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解xe%—a^lnx+x—1,

eln"x—a》lnx+x—1,

令/=ln無+x,

則U—a-t—1恒成立,

則a^d—t+l恒成立，

令(p(f)=d—1+1,—1,

當(dāng)/G(—8,0)時(shí)，夕，⑺V0;

當(dāng)/e(o,+8)時(shí)，。，⑺>0,

.,.夕⑺在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

??9(7)min=0(0)=2,

??.所求a的取值范圍是(-8,2].

2.(2023?常德模擬改編)已知函數(shù)於尸十一x.

證明：當(dāng)x>0時(shí)，y(x)—Inx^l.

證明要證y(x)—lnxNl,

即證%ex—%—InxN1,

即證eA+ln*一(x+Inx)三1,

令t=x+\nx,

易知/?R,待證不等式轉(zhuǎn)化為e，一

設(shè)n(t)=ef—t,則u'(t)=e?—1,

當(dāng)。<