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文檔簡介
第05講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
目錄
第一部分:基礎(chǔ)知識.................................................2
第二部分:高考真題回顧.............................................3
第三部分:高頻考點(diǎn)一遍過...........................................4
高頻考點(diǎn)一:指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算..................................4
高頻考點(diǎn)二:指數(shù)函數(shù)的概念......................................6
高頻考點(diǎn)三:指數(shù)函數(shù)的圖象......................................7
角度1:判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象...................................7
角度2:根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù)..............................8
角度3:指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題..............................9
角度4:指數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用......................................10
高頻考點(diǎn)四:指數(shù)(型)函數(shù)定義域...............................16
高頻考點(diǎn)五:指數(shù)(型)函數(shù)的值域...............................17
角度1:指數(shù)函數(shù)在區(qū)間[私用上的值域..........................17
角度2:指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域....................................18
角度3:根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域(最值)求參數(shù).......................19
高頻考點(diǎn)六:指數(shù)函數(shù)單調(diào)性.....................................22
角度1:由指數(shù)(型)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù).........................22
角度2:根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式...........................23
高頻考點(diǎn)七:指數(shù)函數(shù)的最值.....................................26
角度1:求已知指數(shù)型函數(shù)的值域................................26
角度2:根據(jù)指數(shù)函數(shù)最值求參數(shù)...............................28
第四部分:新定義題(解答題)......................................32
第一部分:基礎(chǔ)知識
(1)概念:式子布叫做根式,其中九叫做根指數(shù),。叫做被開方數(shù).
(2)性質(zhì):
①=a("eN*且”>1);
②當(dāng)〃為奇數(shù)時,=當(dāng)〃為偶數(shù)時,=\a\=[a,a~°^
"-a,a<0
2、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞
m___
①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)募的意義是^J="(a>0,7%/eN*,且〃>1);
m
②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是a:m,neN*且”>1);
③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于0;0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)募沒有意義.
3、指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)
r+
①a%'=a\a>0,r,5GR);
②(")'=a"(a>0,r,seR);
③(ab)r=a'b'\a>0,b>0,reR).
4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)指數(shù)函數(shù)的概念
函數(shù)/(?=相(。>0,且awl)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)》是自變量,函數(shù)的定義域是R.
(2)指數(shù)函數(shù)/(x)=a,的圖象和性質(zhì)
底數(shù)a>\0<a<l
圖象
-二
定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+8)
性質(zhì)
圖象過定點(diǎn)(0,1)
當(dāng)x>0時,恒有
當(dāng)尤>0時,恒有/a)>i;
0</(x)<l;
當(dāng)尤<o時,恒有0</(%)<1
當(dāng)無<0時,恒有y(x)>i
在定義域R上為增函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)
指數(shù)函數(shù)/(x)=優(yōu)(。>0,且akl)的圖象和性質(zhì)與。的取值有關(guān),應(yīng)分a>1
注意
與0<a<l來研究
第二部分:高考真題回顧
1.(2023?天津?統(tǒng)考高考真題)設(shè)a=L0產(chǎn)5,6=1。心64=0.6°點(diǎn),則(c的大小關(guān)系為()
A.a<b<cB.b<a<c
C.c<b<aD.c<a<b
【答案】D
【分析】根據(jù)對應(yīng)哥、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.
【詳解】由y=1.01*在R上遞增,則a=1.01°5<6=1。產(chǎn)6,
由y=X0-5在[0,+8)上遞增,則。=1.01。$>c=0.6?.
所以6>a>c.
故選:D
2.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)已知2"=5,log83=b,則4。厘=()
255
A.25B.5C.——D.-
93
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化,幕的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出.
14a(2")25
【詳解】因?yàn)?"=5,^=log83=-log23,即2*3,所以4y=*=—=第=不.
34(2第)39
故選:C.
3.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(刈=士,則對任意實(shí)數(shù)X,有()
A./(-x)+/(x)=0B./(-x)-f(x)=0
C.f(T)+/(x)=lD./(一尤)一/(無)=;
【答案】C
【分析】直接代入計算,注意通分不要計算錯誤.
112X
【詳解】7(-%)+/(%)=------------F=1,故A錯誤,C正確;
l+2-x1+2%1+2,1+2'
%
112尤12-1」
/(-%)-/(%)==1,不是常數(shù),故BD錯誤;
XXX
1+2-x1+2、1+21+2尤2+12+1
故選:C.
第三部分:高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一:指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算
典型例題
-2
29
(上?湖北?高一校聯(lián)考期末)計算:
例題1.202427§+7+lg--21g3=
【答案】24
【分析】由指數(shù)幕運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算可求.
2
【詳解】27i+
故答案為:24
例題2.(2024上?河南潺河?高一潺河高中期末)計算.
]_
-12
-0.25||3
(1)(0.008Ip-3x(1)°81+3
X
【答案】(1)3
(2)2
【分析】(1)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則計算即可;
(2)先將根式轉(zhuǎn)化為指數(shù)累,利用指數(shù)的運(yùn)算法則計算即可.
]_
i
-12
-0.25[|3
【詳解】(1)(0.008Ip-3x(1)°81+3
X
=(0,3)44)一3Tx34*(95)
(2)W-125+,(-36)2+,(兀一46-芯一兀丫
=[(-5)3]3+(64)Z+|K-4|-(3-K)
=—5+6+4—兀一3+兀=2.
練透核心考點(diǎn)
1.(2024上?安徽亳州?高一亳州二中??计谀┗喦笾?
_224
(1)(0.12)。+(|卜]3滬(廝)7(1_何
1+10g32
⑵3+Ig5+log32xlog23xlg2
【答案】①0-2
(2)7
【分析】(1)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕和根式的運(yùn)算公式,即可化解求值;
(2)利用對數(shù)運(yùn)算法則和運(yùn)算公式,化解求值.
[詳解](1)川2m3胃:乒
=l+-x--3+>/2-l=V2-2;
94
1+Iog32
(2)3+Ig5+log32xlog23xlg2
=3i.3iog,2+lg5+]g2=3x2+lg(2x5)
=6+1=7.
2.(2024上?湖南長沙?高一統(tǒng)考期末)計算下列各式的值:
⑴N-0+0.25入層);
⑵Ig:+21g2-log24+e叱
【答案】⑴-3
(2)1
【分析】(1)根據(jù)指數(shù)累的運(yùn)算法則,化簡求值,即得答案;
(2)根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則,化簡求值,即得答案;
【詳解】(1)原式=一4一1+0.5文(可=-5+白4=一3.
(2)原式=lg|+lg4-2+2=lgl0—2+2=1.
高頻考點(diǎn)二:指數(shù)函數(shù)的概念
典型例題
例題1.(2024上,內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高二??计谀?已知指數(shù)函數(shù)/。)=才'(0>0且"l)J(l)=g,則/(-1)=
()
1?
A.3B.2C.-D.-
32
【答案】A
【分析】先根據(jù)函數(shù)值求出。,再求函數(shù)值即可.
【詳解】f(x)=ax,f(V)=a1=-=^-,:.a=3,
a3
;./(一l)=jT)=a=3.
故選:A.
例題2.(2024上?云南昆明?高一期末)若指數(shù)函數(shù)“X)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,9),求的解析式及“T)的
值.
【答案】〃力=31/(-1)=|
【分析】設(shè)〃#=爐(。>0,。彳1),由"2)=9可求出。的值,可得出函數(shù)的解析式,進(jìn)而可求得/'(-I)
的值.
【詳解】解:設(shè)指數(shù)函數(shù)〃x)=a,(a>0,awl),則八2)=〃=9,解得。=3,
所以,/(x)=3\
故1)=3-=;.
練透核心考點(diǎn)
1.(多選)(2024?江蘇?高一假期作業(yè))若函數(shù)〃x)=(病+2,”-2)就是指數(shù)函數(shù),則實(shí)數(shù)",的值為()
A.-3B.1C.-1D.-2
【答案】AB
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃%)=屐+2加-2)優(yōu)是指數(shù)函數(shù),
所以蘇+2m—2=1,解得根=1或相=-3.
故選:AB
2.(2024上?山東棗莊?高一??计谀┤糁笖?shù)函數(shù)>=/(力的圖象經(jīng)過點(diǎn)12,:J,則/[-鼻=
【答案】1/0.125
O
3
【分析】采用待定系數(shù)法,結(jié)合指數(shù)函數(shù)所過點(diǎn)可求得函數(shù)解析式,代入X=-=即可.
2
【詳解】設(shè)指數(shù)函數(shù)/(力="(。>0且。中1),
l
??"("過點(diǎn)(一2,4],;.1=[,解得:a=4,.-.f(x)=4,
\lo)lo
故答案為:—.
O
高頻考點(diǎn)三:指數(shù)函數(shù)的圖象
角度1:判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象
典型例題
例題1.(2024下?浙江溫州?高一浙江省樂清中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=a*與
【答案】D
【分析】分0<。<1和。>1兩種情況,利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對于A,B,當(dāng)。時,函數(shù)>=優(yōu)在R上為單調(diào)遞減函數(shù);
又1-。>0,所以)=1+上三在區(qū)間(-8,1)和區(qū)間(1,+?)上單調(diào)遞減,
且當(dāng)x=0時,y=^=a>0,故A和B均錯誤;
對于C,當(dāng)時,函數(shù)y=就在R上為單調(diào)遞增函數(shù),
又所以y=Y=l+f在區(qū)間(-8,1)和區(qū)間(1,y)上單調(diào)遞增,故C錯誤,D正確.
x—1x—1
故選:D.
例題2.(2024上?江西宜春?高一??计谀?函數(shù)y=2㈤的圖象是()
【答案】A
【分析】根據(jù)圖象變換可得函數(shù)>=2用的圖象是由函數(shù)y=2"的圖象向左平移1個單位長度得到的,由此
可得出結(jié)論
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2向的圖象是由函數(shù)y=2'的圖象向左平移1個單位長度得到的,
而>=2,的圖象過點(diǎn)(1,2),且在R上是增函數(shù),
所以>=2向的圖象過點(diǎn)(0,2),且在R上是增函數(shù),
故選:A
角度2:根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù)
典型例題
例題1.(2024?上海?高一專題練習(xí))若函數(shù)y=:+7”的圖象與x軸有公共點(diǎn),則"Z的取值范圍是()
A.m<—1B.—1<m<0C.m>lD.0<m<l
【答案】B
【分析】>=§產(chǎn)+“與無有公共點(diǎn),轉(zhuǎn)化為y=(;產(chǎn)與y=一切有公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,可得結(jié)果.
【詳解】y=(Jf+機(jī)與尤有公共點(diǎn),即y=(Jf與y=一m有公共點(diǎn),y=g)Z圖象如圖
可知0<Tn<1—1<777<0
故選:B
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的交點(diǎn)問題,考查了運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題目.
例題2.(多選)(2024?全國?高一專題練習(xí))函數(shù)=的圖象如圖所示,其中。涉為常數(shù),則下列結(jié)
論正確的是()
A.a>1B.b>0C.0<A<lD.b<0
【答案】AD
【分析】根據(jù)〃x)的單調(diào)性確定a>1,由〃0)=/e(0,l)確定b<0.
由圖知()為減函數(shù),故。所以。故正確錯誤;
【詳解】〃尤)fx<5<1,>1,AC
由圖知/(0)=。展(0,1),所以b<0,故B錯誤D正確.
故選:AD
角度3:指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題
典型例題
例題L(2024上?重慶?高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校校考期末)函數(shù)/(尤)="-3+15>。且的定點(diǎn)
為.
【答案】(3,2)
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)的性質(zhì)即可確定定點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】因?yàn)椤?/3+1(。>0且”1),令彳_3=0,得到X=3,此時y=2,
所以函數(shù)的定點(diǎn)為(3,2),
故答案為:(3,2).
例題2.(2024上?廣東江門?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃力=。1+1(。>0,且awl)的圖象恒過定點(diǎn)P,
則尸的坐標(biāo)為.
【答案】(1,2)
【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由函數(shù)可知,當(dāng)x=l時,f(l)=a°+l=2,
即函數(shù)圖象恒過點(diǎn)P(l,2).
故答案為:(1,2)
角度4:指數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用
典型例題
例題1.(2024下?四川遂寧?高三射洪中學(xué)校考開學(xué)考試)函數(shù)=-品
?cos尤的圖象大致為()
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性即可排除CD,由特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可排除A.
【詳解】/(X)=(1-37-^)-COSX,則“X)的定義域?yàn)镽,
l-^.COSX=f-l+
又/(~x)=COS(t)=?cos尤
y+1)I
所以/(尤)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故排除CD,
當(dāng)X=7t時,=\OSJT=-1+-^—<0,故排除A.
I3+1J3+1
故選:B.
例題2.(2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末)函數(shù)〃力=4M-陰在[-3,3]上的大致圖象為()
【答案】D
【分析】根據(jù)給定函數(shù)的奇偶性,結(jié)合了(。)=-1即可判斷得解.
【詳解】依題意,/(-x)=41-%|-eh^=41x|-ew=/(x),因此函數(shù)/(幻是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,
排除AB;
又〃0)=-1,選項(xiàng)C不滿足,D符合題意.
故選:D
例題3.(2024上?上海?高一上海南匯中學(xué)??计谀┮阎瘮?shù)>=|3工-1|的定義域?yàn)椋蹍^(qū)切,值域?yàn)?,;
則b-a的最大值為()
?4,2
B.log2
A-log3-3C-log3-D.2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象,結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象相關(guān)性質(zhì)和對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可.
3x-l,x>0
【詳解】由題意得,>=|3'-1|=
-3x+l,x<0,
作出函數(shù)圖象如圖所示,
令,-1卜;,解得klogsg或X=log3|>
42
則當(dāng)b=log3§,〃=log3§時,人-。取得最大值,
42
止匕時人一a=log3——log3—=log32.
故選:B
練透核心考點(diǎn)
1.(2。24上?陜西西安?高一西安市鐵一中學(xué)??计谀┖瘮?shù)的圖象大致為()
【答案】D
【分析】根據(jù)奇偶性可知函數(shù)”力為偶函數(shù),結(jié)合賦值法和排除法即可求解.
【詳解】由題可知,2-2嗎0=>"±1,
所以函數(shù)/(X)的定義域?yàn)閧x|xw±l},關(guān)于原點(diǎn)對稱,
又/(T)==^="x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),排除A,C;
2-211
4
又/(2)=「=-2<0,排除B.
2-4
故選:D.
2.(多選)(2024上?湖南婁底?高一統(tǒng)考期末)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=f+以+。-3與>=優(yōu)的圖
象可能是()
Fy
【解析】按照。>1、0<。<1討論,結(jié)合二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】若則函數(shù)y=/是R上的增函數(shù),
函數(shù)>=/+辦+。-3的圖象的對稱軸方程為尤=-|<0,故A可能,B不可能;
若0<a<1,則函數(shù)丁=就是R上的減函數(shù),
。一3<0,函數(shù)>=/+辦+。一3的圖象與y軸的負(fù)半軸相交,對稱軸為尤=—|<0,
故C可能,D不可能.
故選:AC.
3.(多選)(2024上?江蘇常州?高一統(tǒng)考期末)若函數(shù)/(尤)=/+6(其中。>0且"1)的圖象過第一、
三、四象限,貝U()
A.0<?<1B.a>l
C.—1<Z?<0D.Z?<-1
【答案】BD
【分析】根據(jù)圖象的性質(zhì)可得:a>l,a°+b<0,即可求解.
【詳解】函數(shù)/。)=屋+》(其中”>0且"1)的圖象在第一、三、四象限,
根據(jù)圖象的性質(zhì)可得:a>l,a°+b<0,
即a
故選:BD.
4.(多選)(2024下?全國?高一開學(xué)考試)已知函數(shù)"力="">0且。片1)的圖象如圖所示,則函數(shù)了=苫。+4
的大致圖象不可能為()
【分析】由指數(shù)函數(shù)的圖象特征,結(jié)合幕函數(shù)在第一象限的圖象特征可得答案.
【詳解】根據(jù)題意可得。>1,
y=x"+。的圖象是y=V1向上平移a個單位得到的,
結(jié)合塞函數(shù)的性質(zhì)可知y=x\a>1)在(0,+s)上為單調(diào)遞增函數(shù),
當(dāng)。為奇數(shù)時,y=x〃+a圖象如C選項(xiàng)所示;當(dāng)a為偶數(shù)時,y=/+。圖象如B選項(xiàng)所示,
選項(xiàng)A,D不符合題意.
故選:AD.
5.(2024上?江蘇徐州?高三校考開學(xué)考試)函數(shù)"》)=(》-犬3)州在區(qū)間卜3,3]上的圖象大致是()
【分析】判斷函數(shù)為奇函數(shù)得到選項(xiàng)C錯誤,計算〃2)<0,得到選項(xiàng)D錯誤,根據(jù)0<x<l時,/(%)>0,
選項(xiàng)B錯誤,得到答案.
【詳解】函數(shù)/3=卜-三).小,xe[-3,3]的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,
=(-》+%3),2/=-(彳-/).2岡=-/(%),
所以了(無)是奇函數(shù),函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,選項(xiàng)C錯誤;
因?yàn)?⑵=(2-23卜2同<0,所以選項(xiàng)D錯誤;
當(dāng)0<x<l時,/(X)=X(1-X2)-2H>0,選項(xiàng)B錯誤.
故選:A.
6.(2024上?福建寧德?高一統(tǒng)考期末)函數(shù)y=a"2+l(。>0且awl)的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.
【答案】(2,2)
【分析】由指數(shù)型函數(shù)的定點(diǎn)問題,令x-2=0,即可得定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】由函數(shù)>=優(yōu)-2+1(q>0且awl),
令x-2=0,得x=2,
所以y=a°+l=2,
所以函數(shù)y=/T+l(a>0且awl)的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2).
故答案為:(2,2).
7.(2024上?黑龍江齊齊哈爾?高一統(tǒng)考期末)函數(shù)〃x)=4a'T+5(a>0),且awl)的圖象恒過定點(diǎn)尸,點(diǎn)
尸又在嘉函數(shù)g(x)的圖象上,則g(-2)=.
【答案】4
【分析】由已知求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法求出g(x),從而可得結(jié)果.
【詳解】由尤一3=0,得x=3,所以定點(diǎn)以3,9),
設(shè)g(x)=x-又g(3)=3"=9,得a=2,所以g(x)=d,
所以g(-2)=(_2y=4,
故答案為:4.
高頻考點(diǎn)四:指數(shù)(型)函數(shù)定義域
典型例題
例題L(2024上?山東威海,高一統(tǒng)考期末)函數(shù)〃x)=?l-的定義域?yàn)椋ǎ?/p>
A.[0,+oo)B.(0,+co)C.(-8,0]D.(-oo,0)
【答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次根式的意義可求得原函數(shù)的定義域.
【詳解】對于函數(shù)〃同=,一&1,有1一可得=g:,解得尤20,
因此,函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)閇0,+").
故選:A.
例題2.(2024上?北京?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)函數(shù)/(對=乒?的定義域?yàn)椋ǎ?/p>
A.[-3,+a?)B.[-2,+oo)C.[2,+00)D.[4,+oo)
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)/'(X)的解析式有意義,列出不等式,即可求解.
【詳解】由函數(shù)=萬有意義,則滿足3,-920,即3入9=3,解得xN2,
所以函數(shù)的定義域?yàn)閇2,+8).
故選:C.
練透核心考點(diǎn)
1.(2024?江蘇?高一假期作業(yè))函數(shù)-4的定義域?yàn)椋ǎ?/p>
A.(-oo,2]B.(^O,5)U(5,-HX>)
C.[2,叫D.[2,5不(5收)
【答案】D
【分析】函數(shù)〃x)=衛(wèi)二士的定義域滿足u",解得答案.
Lx-5[x-5w0
后7f2%-4>0
【詳解】函數(shù)〃耳=上二士的定義域滿足,~,解得xN2且xw5.
''尤一5[x-5/O
故答案為:D
-4
2.(2024上?安徽阜陽?高一統(tǒng)考期末)函數(shù)-----R的定義域?yàn)開___.
(%-3x—4J
【答案】[2,4)“4,4w)
【分析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)大于等于0、x°中XN0求解出X的范圍,則定義域可知.
f2-420
【詳解】由題意可知2c二八,解得了22且xw4,
[x-3x-4^0
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?,4)“4,+4.
故答案為:[2,4)u(4,4w).
高頻考點(diǎn)五:指數(shù)(型)函數(shù)的值域
角度1:指數(shù)函數(shù)在區(qū)間[私加上的值域
典型例題
例題1.(2023上?廣西南寧?高一??计谥校┖瘮?shù)/(x)=2,,xe[-1』的值域是()
A.(0,2)B.C.1,2D.[0,2]
【答案】C
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】因?yàn)?(£)=2,是定義域在R上的增函數(shù).
所以當(dāng)時,/(%)^=/(-1)=1,/?_=/(1)=2,
所以〃x)的值域?yàn)?,2.
故選:C.
例題2.(2023上?上海浦東新?高三上海南匯中學(xué)??茧A段練習(xí))函數(shù)y=2*+2尤-1,xe[2,+e)的值域
為.
【答案】[7,+8)
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.
【詳解】函數(shù)y=2'+2x-1在區(qū)間[2,+8)上單調(diào)遞增,
所以”22+2x2-1=7,
所以值域?yàn)椋?,y).
故答案為:[7,y)
角度2:指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域
典型例題
例題1.(2023上?福建三明?高一校聯(lián)考期中)函數(shù)"X)=4'-+2在xW1時的值域是.
【答案】[L2]
【分析】利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì),結(jié)合二次函數(shù)求出值域即得.
【詳解】當(dāng)一1WX<1時,1<21<2,函數(shù)/(x)=(2,>一22+2=(2-1了+1,
顯然當(dāng)2'=1,即x=0時,當(dāng)2工=2,即x=l時,/(4皿=2,
所以所求值域是口,2].
故答案為:[1,2]
例題2.(2023上?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)=的圖象經(jīng)過點(diǎn)
(1)求實(shí)數(shù)。的值;
⑵求函數(shù)的定義域和值域.
【答案】(1)-1
(2)R;(-1,1)
【分析】(1)把已知點(diǎn)代入函數(shù)解析式計算即得;
(2)根據(jù)函數(shù)解析式只需使分母不等于零,解不等式即得函數(shù)定義域,將函數(shù)式分離常數(shù)成/("=1-彳石,
再從y=3,的值域開始,從內(nèi)到外利用不等式性質(zhì)推導(dǎo)出解析式的取值范圍即得值域.
【詳解】⑴將點(diǎn)代入〃尤)=?可得:乎=!,解得:a=-L
72)3+142
(2)由(1)可得:=要使函數(shù)有意義,須使3"+1。0,而此式恒成立,故函數(shù)的定義域?yàn)镽.
v73"+1
299
因〃耳=1—丁二,當(dāng)xeR時,3">0,3X+1>1,則0<k7<2,故—1<1—=^<1,即函數(shù)的值域?yàn)?/p>
3+13+13+1
(-1,1).
(1、-2x2—8x+l
例題3.(2023上?河南省直轄縣級單位?高一??茧A段練習(xí))求函數(shù)y=(-3VxVl)的單調(diào)區(qū)間與值
域.
【答案】單調(diào)減區(qū)間是[-3,-2],單調(diào)增區(qū)間是(-2』;值域是[3工31
【分析】單調(diào)性根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性同增異減得出,值域根據(jù)換元法得出.
z[x-2X2-8X+1
【詳解】?.,函數(shù)(-3<%<1),
設(shè)f=-2x2-8x+l,-3Wx41.
.1.t=—2(x+2)~+9,
當(dāng)—34x41時,-9VY9,
?,心/J"叫".
:?函數(shù)y=/J在xe[1,3]上的值域是[3-9,39].
又原函數(shù)是由y=[£|和/=-2尤2一8尤+1兩個函數(shù)復(fù)合而成,
第一個函數(shù)是單調(diào)減函數(shù),第二個函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)
,函數(shù);的單調(diào)減區(qū)間是[T-2],單調(diào)增區(qū)間是(-25.
角度3:根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域(最值)求參數(shù)
典型例題
例題L(2023下?廣東廣州?高一??计谥?函數(shù)y="-2(a>0Ma1,-1<x<1)的值域是-*1,則
實(shí)數(shù)”()
112-3
A.3B.-C.3或]D.§或,
【答案】C
【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別對0<。<1和的情況討論單調(diào)性并求值域,從而列方程組即可得到答案.
【詳解】函數(shù)>=虐-2(a>0且"L-1W1)的值域?yàn)橐弧唬?/p>
又由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,
當(dāng)Ovavl時,函數(shù)y=優(yōu)-2在[-1[]上單調(diào)遞減,值域是-2]
0<a<l0<a<l
a1-2=-|,即?1,解得a=5
所以有■a二一
3
611—2=1a1=3
當(dāng)q>l時,函數(shù)>=優(yōu)-2在[-M]上單調(diào)遞增,值域是[--2,。-2]
a>la>l
所以有卜-2=-1即yT=g,
解得a=3.
tz1—2=1〃=3
綜上所述,a=g或。=3.
故選:C.
例題2.(2023上?全國?高一期末)如果函數(shù)尸d+Za'T,g>0且awi)在區(qū)間[fl]上的最大值是14,
則。的值為()
?1「?1
A.3B.—C.—5D.3或一
33
【答案】D
【分析】利用換元法,令t=a,,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=(什1)2—2,根據(jù)單調(diào)性及在區(qū)間[T』上的最大值是14,
求出。的值即可.
【詳解】令t=a*,則y=a"+2a*T=〃+2r—~2.
當(dāng)時,因?yàn)樗詅e-,a,
a
「1-
又因?yàn)楹瘮?shù)y=(r+l)9—-2在-,a上單調(diào)遞增,
所以Ymax=(°+1)~—2=14,解得a=3(a=-5舍去).
當(dāng)0<a<l時,因?yàn)閤w[—1,1],所以fea,;,
「1一
又函數(shù)y=(r+l)9—-2在a,-上單調(diào)遞增,
則ymax=t+l)-2=14,
11
解得(a=_y舍去).
綜上知a=3或〃=g.
故選:D.
練透核心考點(diǎn)
1.(2023上?新疆喀什?高一統(tǒng)考期末)y=,xe[0,3]的值域是()
A.[0,3]B.[1,3]C.1,0D.1,1
_8_8
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求解函數(shù)的值域.
【詳解】函數(shù)y=gJ,xe[0,3]單調(diào)遞減,所以函數(shù)的最大值為[j=1,
最小值為仕]3=L所以函數(shù)的值域?yàn)樾?
⑶818」
故選:D
2.(2023上?廣東東莞?高一東莞市東莞中學(xué)??计谥校┖瘮?shù)/(x)=2-?+1的值域?yàn)?
【答案】(0,2]
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】令仁-Y+1W1,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=2,在R上單調(diào)遞增,
所以有2'42】=2,而2,>0,
因此函數(shù)/(X)=24M的值域?yàn)椋?,2].
故答案為:(0,2]
3.(2023上?黑龍江綏化?高三校考階段練習(xí))當(dāng)x<l時,函數(shù)/(力=平-2向+2的值域?yàn)?
【答案】口,2]
【分析】利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
(詳解】因?yàn)?4'-2加+2=(2')一2*2*+2,
令y23由于尤41,則fe(O,2],
則原函數(shù)可化為y=產(chǎn)-2/+2,re(0,2],
當(dāng)f=l時,>取最小值1,當(dāng)/=2時,y取最大值2,
故ye[l,2],gp/(x)e[l,2].
故答案為:[1,2]
4.(2023?江蘇?高一專題練習(xí))已知函數(shù)/。)=2曰_1在區(qū)間[0,汨上的值域?yàn)閇0,3],則實(shí)數(shù)加的取值范
圍為-
【答案】[2,4]
【分析】利用函數(shù)的最值求出X,通過函數(shù)的值域,求出口的取值范圍
2”—2—1r>9
【詳解】/(》)=2M」=
2'一,則"X)在(-8,2)上遞減,在[2,+⑹上遞增,
所以當(dāng)x=2時,函數(shù)取得最小值0,
由2k盟-1=3,得x=0或x=4,
所以函數(shù)/(x)=2M-1在區(qū)間。m]上的值域?yàn)椋?,3]時,me[2,4],
故答案為:[2,4]
z[xax2-4x+3
5.(2023,全國,局二專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=j,若/(X)的值域是(0,+8),求“的值.
【答案】0
【分析】利用換元法,令1=加-公+3,則y,則由題意可知才=--4%+3的值域?yàn)镽,從而可求出。
的值
【詳解】令/=加-4工+3,貝!|y=
因?yàn)?⑴的值域是(0,+8),即了=I的值域是(0,y),
所以》=改2一以+3的值域?yàn)镽,
若。工0,則f=^-4x+3為二次函數(shù),其值域不可能為R,
若。=0,則仁Tx+3,其值域?yàn)镽,
所以a=0
高頻考點(diǎn)六:指數(shù)函數(shù)單調(diào)性
角度1:由指數(shù)(型)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)
典型例題
x2-lax+2,x<1
例題1.(2024下?內(nèi)蒙古赤峰?高三??奸_學(xué)考試)若函數(shù)〃尤)=<x是R上的減函數(shù),則,的
,x>l
取值范圍是()
j_7
A.B.cD.
1-°42,6
【答案】A
【分析】根據(jù)題意,利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性,以及分段函數(shù)的性質(zhì),列出不等式組,即可求解.
X2—2ax+2,x<1
【詳解】由函數(shù)=I'】在R上為單調(diào)遞減函數(shù),
a>\
7
則滿足<0<<7-^<1解<<
--6-
l2-2a+2>a--
2
7
即實(shí)數(shù)。的取值范圍為1,工,
0
故選:A.
例題2.(2024上?湖南湘西?高一統(tǒng)考期末)若函數(shù)/(》)=2*+儂在區(qū)間【-Ml上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)。的取值
范圍是()
A.(-℃,2]B.[2,+oo)
C.(-oo,-2]D.[-2,+oo)
【答案】B
【分析】由題意得:g(X)=T?+辦在[-U]上單調(diào)遞增,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式即可.
【詳解】由題意得:85)=-/+辦在[-1,1]上單調(diào)遞增,
所以對稱軸工=321,所以a22.
故選:B.
角度2:根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式
典型例題
例題1.(2024上?廣東潮州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃力=5忖+/,則滿足的x的取值
范圍是()
【答案】A
【分析】分析函數(shù)”X)的奇偶性及其在[0,+")上的單調(diào)性,將所求不等式變形為解之即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃%)=出+無2的定義域?yàn)镽,且〃_尤)=57+(_尤)2=出+爐=〃尤),
所以,函數(shù),(無)為偶函數(shù),
則不等式等價于川2X-[)</\],
因?yàn)楹瘮?shù)y=5*、y=/在[0,+。)上均為增函數(shù),
當(dāng)工20時,/(x)=5X+x2單調(diào)遞增,
所以,|2x-l|<—,可得一§<2%—1〈耳,解得§<兀<§,
故原不等式的解集為,1).
故選:A.
例題2.(2024上?河北邯鄲?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)=州,貝U/(2->/(2x+3)的解集為
【答案】
【分析】根據(jù)題意,求得函數(shù)〃尤)的單調(diào)性與奇偶性,把不等式轉(zhuǎn)化為|2-x|>|2x+3|,即可求解.
【詳解】由函數(shù)〃力=2國,可得其定義域?yàn)镽,M/(-X)=2H=2W=/(X),
所以〃%)=州為偶函數(shù),當(dāng)xe[0,4w)時,f(x)=2x,
可得〃%)=州在[0,+8)上單調(diào)遞增,
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),不等式“2-x)>〃2x+3),即為川2-x|)>〃|2x+3|),
可得|2—x|>|2x+3|,整理得3f+16x+5<0,解得-5<x<-g,
所以/(2-x)>“2x+3)的解集為15,T1
故答案為:(―5,-
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