指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第05講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí).................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)...........................................3

高頻考點(diǎn)一：指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算..................................3

高頻考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的概念......................................4

高頻考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象......................................5

角度1：判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象..................................5

角度2：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù)..............................6

角度3：指數(shù)型函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題..............................6

角度4：指數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用......................................6

高頻考點(diǎn)四：指數(shù)（型）函數(shù)定義域................................9

高頻考點(diǎn)五：指數(shù)（型）函數(shù)的值域...............................10

角度1：指數(shù)函數(shù)在區(qū)間［私網(wǎng)上的值域...........................10

角度2：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域....................................10

角度3：根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域（最值）求參數(shù).......................11

高頻考點(diǎn)六：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性......................................12

角度1：由指數(shù)（型）函數(shù)單調(diào)性求參數(shù).........................12

角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式...........................12

高頻考點(diǎn)七：指數(shù)函數(shù)的最值......................................13

角度1：求已知指數(shù)型函數(shù)的值域................................13

角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)最值求參數(shù)...............................13

第四部分：新定義題(解答題)........................................15

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

(1)概念：式子后叫做根式,其中〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

(2)性質(zhì):

①(而)"=a("cN*且〃>1);

②當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，后=|a|=

、[-a,a<0

2、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是a：="(a>O,〃z,〃eN*,且〃>1)；

m1

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是。下a>Q,m,neN*,且〃>1)；

③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)暴等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒(méi)有意義.

3、指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)

①0ros=ar+s(a>0,r,5eR)；

②(a，=ars(a>0,r,seR)；

③(ab)r=arb\a>0,b>0,reR).

4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)指數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)/(%)=優(yōu)(a>0,且awl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)》是自變量，函數(shù)的定義域是R.

(2)指數(shù)函數(shù)/(%)=優(yōu)的圖象和性質(zhì)

底數(shù)a>l0<tz<l

圖象L

°5

定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+s)

性質(zhì)

圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)

當(dāng)x>0時(shí)，恒有

當(dāng)x>0時(shí)，恒有/（x）>l；

0</（x）<l;

當(dāng)x<0時(shí)，恒有0</（x）<l

當(dāng)x<0時(shí)，恒有/（x）>l

在定義域尺上為增函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)

指數(shù)函數(shù)/（x）=優(yōu)（a>0,且aw1）的圖象和性質(zhì)與a的取值有關(guān),應(yīng)分a>1

注意

與0<。<1來(lái)研究

第二部分：高考真題回顧

1.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）設(shè)"=1.01。5,1=1.01。6,。=0.6。5,則。也c的大小關(guān)系為（

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

2.（2022,浙江,統(tǒng)考高考真題）已知2°二5/og83=b,則4內(nèi)=()

255

A.25B.5C.—D.—

93

3.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)〃無(wú))=丁\,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有()

1+2

A./(-x)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

C./(-%)+/(%)=1D./(-%)-/U)=1

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算

典型例題

例題L（2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末）計(jì)算：273+（；）+]g\_21g3=

例題2.（2024上?河南漂河?高一漠河高中期末）計(jì)算.

-1

(1)(0.0081尸-3xX

(2)^425+#(-36)2+0(1)6一料兀y-

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?安徽亳州?高一亳州二中校考期末）化簡(jiǎn)求值.

⑴(0.12)

1+lofe2

(2)3+Ig5+log32xlog23xlg2

2.（2024上?湖南長(zhǎng)沙?高一統(tǒng)考期末）計(jì)算下列各式的值:

g)+0.252x

(l)V(-4)3-

ln2

(2)lg|+21g2-log24+e

高頻考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的概念

典型例題

例題1.（2024上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高一?？计谀┮阎笖?shù)函數(shù)，（尤）=。一'（a>0且“W1），/⑴=g,則/（-I）=

（）

11

A.3B.2C.-D.-

32

例題2.（2024上?云南昆明?高一期末）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,9）,求“X）的解析式及〃-1）的

值.

練透核心考點(diǎn)

1.（多選）（2024?江蘇,高一假期作業(yè)）若函數(shù)〃》）=（蘇+2加-2）/是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.-3B.1C.-1D.-2

2.（2024上?山東棗莊?高一校考期末）若指數(shù)函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)、2,巳］,則ff-|V

高頻考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象

角度1：判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象

典型例題

例題1.（2024下?浙江溫州?高一浙江省樂(lè)清中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)＞="與

y=l+甘的圖像可能是（）

角度2：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù)

典型例題

例題1.（2024?上海?高一專題練習(xí)）若函數(shù)y=+根的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則加的取值范圍是（）

A.m<—1B.—1<m<0C.m>lD.0<m<l

例題2.（多選）（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)='的圖象如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.a>lB.b>0C.OvavlD.b<0

角度3:指數(shù)型函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

典型例題

例題1.（2024上?重慶?高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)/?（彳）=?！?+1（°>0且。工1）的定點(diǎn)

為.

例題2.（2024上?廣東江門?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（X）=。1+1（。>0,且"1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P,

則尸的坐標(biāo)為.

角度4：指數(shù)函數(shù)圖象應(yīng)用

典型例題

例題1.（2024下?四川遂寧?高三射洪中學(xué)校考開學(xué)考試）函數(shù)的圖象大致為（）

例題2.（2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末）函數(shù)/"）=4兇-/在卜3,3］上的大致圖象為（）

例題3.（2024上?上海?高一上海南匯中學(xué)校考期末）已知函數(shù)＞的定義域?yàn)轫?句，值域?yàn)?,；

則6-。的最大值為（）

,4,2

B.log2

A.log3-3C-log3-D.2

練透核心考點(diǎn)

x2

L（2。24上?陜西西安?高一西安市鐵一中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)，⑴=可的圖象大致為（）

2.（多選）（2024上,湖南婁底?高一統(tǒng)考期末）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)>=/+依+〃-3與丁=優(yōu)的圖

象可能是（）

3.（多選）（2024上?江蘇常州?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)/（x）=a'+6（其中。>0且。中1）的圖象過(guò)第一、

三、四象限，則（）

A.0<a<lB.a>l

C.—1<Z?<0D.b<—1

4.（多選）（2024下?全國(guó)?高一開學(xué)考試）已知函數(shù)/（尤）=葭（0>0且。工1）的圖象如圖所示,則函數(shù)y=x“+a

的大致圖象不可能為（）

6.（2024上?福建寧德?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)、=優(yōu)"+1（。＞0且。中1）的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為.

7.（2024上?黑龍江齊齊哈爾■高一統(tǒng)考期末）函數(shù)〃x）=4a'T+5（a＞。），且a"）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)尸，點(diǎn)

P又在幕函數(shù)g（x）的圖象上，則g（-2）=.

高頻考點(diǎn)四：指數(shù)（型）函數(shù)定義域

典型例題

例題1.（2024上?山東威海?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)—尤）=的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,+oo)B.(0,+aO)C.D.(-oo,0)

例題2.（2024上?北京?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)/（尤）=后二？的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-3,+oo）B.[-2,+oo）C.[2,+oo）D.[4,W）

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?江蘇?高一假期作業(yè)）函數(shù)/（幻=立三的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（-00,2]B.（-co,5）U（5,y）

C.[2,+a）]D.[2,5）U（5,+W）

_4

2.（2024上?安徽阜陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)“司=1------------口的定義域?yàn)開___.

（V-3x-4j

高頻考點(diǎn)五：指數(shù)（型）函數(shù)的值域

角度1:指數(shù)函數(shù)在區(qū)間[利網(wǎng)上的值域

典型例題

例題L（2023上廣西南寧?高一?？计谥校┖瘮?shù)/（%）=2二彳4-1』的值域是（）

A.（0,2）B.g,21C.1,2D.[0,2]

例題2.（2023上?上海浦東新?高三上海南匯中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)y=2'+2x-l,%目2,+力）的值域

為.

角度2：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域

典型例題

例題1.（2023上?福建三明?高一校聯(lián)考期中）函數(shù)"力=4'-29+2在T4xW1時(shí)的值域是

例題2.（2023上?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（同=1^的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,）.

（1）求實(shí)數(shù)。的值；

⑵求函數(shù)的定義域和值域.

例題3.（2023上?河南省直轄縣級(jí)單位?高一?？茧A段練習(xí)）求函數(shù)y=?（-3<x<1）的單調(diào)區(qū)間與值

域.

角度3：根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域（最值）求參數(shù)

典型例題

例題1.（2023下?廣東廣州?高一校考期中）函數(shù)>=優(yōu)-2（a>0且“ITWxWl）的值域是-*1,則

實(shí)數(shù)。=（）

1?12f3

A.3B.—C.3或—D.二或一

3332

例題2.（2023上，全國(guó),高一期末）如果函數(shù)產(chǎn)0+2/—1,（。>0且awl）在區(qū)間上的最大值是14,

則。的值為（）

,1U?1

A.3B.—C.—5D.3或一

33

練透核心考點(diǎn)

1.（2023上?新疆喀什?高一統(tǒng)考期末）yj],xe[0,3]的值域是（）

A.[0,3]B.[1,3]C.1,0D.

|_oJ|_o

2.（2023上?廣東東莞?高一東莞市東莞中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)〃x）=2*+i的值域?yàn)?

3.（2023上?黑龍江綏化?高三校考階段練習(xí)）當(dāng)X。時(shí)，函數(shù)/（司=4,-2m+2的值域?yàn)?

4.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/。）=2M-1在區(qū)間。間上的值域?yàn)閇03,則實(shí)數(shù)小的取值范

圍為.

zxax-4x+3

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=：1,若/（x）的值域是（。,+◎,求。的值.

高頻考點(diǎn)六：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性

角度1:由指數(shù)（型）函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

典型例題

x2-2ax+2,x＜1

例題1.（2024下?內(nèi)蒙古赤峰?高三?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)（1Y是R上的減函數(shù)，貝匹的

取值范圍是（）

A?舊B.[1,|]C.[IM

例題2.（2024上,湖南湘西?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)/（X）=2*+G在區(qū)間IT」]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是（）

(-co,2][2,+00)

(一8,—2][-2,+8)

角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式

典型例題

例題1.（2024上?廣東潮州?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/'（同=5忖+/,則滿足〃2尸1）＜（￡|的了的取值

范圍是（）

例題2.（2024上?河北邯鄲?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/⑺=2國(guó),則f（2-x）＞〃2x+3）的解集為

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)＞=（/_『2+3在區(qū)間[],+向上是增函數(shù)，則。的取值范圍是（）

C.(1,+(?)

2.(2024上?陜西渭南?高一?？计谀?已知函數(shù)/(司=卜[46+2,“<1,對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)4,

a,x>l

巧，都有'■)一"尤2)<0成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

%~X2

3.(2024上?新疆烏魯木齊?高一校聯(lián)考期末)不等式GJ"?WB'-的解集為.

4.(2024上?山西長(zhǎng)治?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/⑺=/-b，則不等式的解集

為.

高頻考點(diǎn)七：指數(shù)函數(shù)的最值

角度1：求已知指數(shù)型函數(shù)的值域

典型例題

例題L(2024?全國(guó)■高三專題練習(xí))函數(shù)/(X)=3A2《+2X-4?-1的最小值為.

例題2.(2024上?廣東深圳?高一?？计谀?已知定義在R上的函數(shù)=-2旬+l-〃?(〃zwR)

⑴若m=1,求函數(shù)〃尤)在[0,2]上的最大值；

(2)若存在xeR,使得/(l+x)+/(l-x)=0,求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

角度2：根據(jù)指數(shù)函數(shù)最值求參數(shù)

典型例題

例題L(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=2「工-2f+a.若函數(shù)/(x)的最大值為1,則實(shí)數(shù)。=()

7799

A.----B.-C.—D.—

8888

例題2.(2024上,河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=22-a.2'+4,若/(x)20恒成立，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為()

A.(-?,4]