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雅安市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)、,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,三角形AOB的面積為,則p=().A.1 B. C.2 D.32.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)且,則()A. B. C. D.3.已知集合,,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是()A.8 B.7 C.4 D.34.在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽(yáng)的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.15.設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn),則的面積為()A. B. C.5 D.66.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.7.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,,.則這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)和等于()A.12 B.21 C.24 D.368.新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革,深入推動(dòng)優(yōu)化升級(jí)和融合發(fā)展,持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給,實(shí)現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收增長(zhǎng)情況,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.2012年至2016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收均逐年增加B.2016年我國(guó)數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收超過(guò)2012年我國(guó)數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收的2倍C.2016年我國(guó)新聞出版業(yè)營(yíng)收超過(guò)2012年我國(guó)新聞出版業(yè)營(yíng)收的1.5倍D.2016年我國(guó)數(shù)字出版營(yíng)收占新聞出版營(yíng)收的比例未超過(guò)三分之一9.給定下列四個(gè)命題:①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,則這兩個(gè)平面相互平行;②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面相互垂直;③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;④若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中,為真命題的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④10.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)11.三棱柱中,底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.12.已知甲盒子中有個(gè)紅球,個(gè)藍(lán)球,乙盒子中有個(gè)紅球,個(gè)藍(lán)球,同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換,(a)交換后,從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為.(b)交換后,乙盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為.則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,求____________.14.已知為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn),現(xiàn)從這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn),則這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為_(kāi)_______.15.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____.16.如圖,已知圓內(nèi)接四邊形ABCD,其中,,,,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函數(shù)h(x)圖像上任意兩點(diǎn),且滿足>1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若?x∈(0,1],使f(x)≥成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.18.(12分)已知函數(shù)(1)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若方程有兩個(gè)不同實(shí)根,,證明:.19.(12分)已知?jiǎng)訄AE與圓外切,并與直線相切,記動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn),若曲線C上存在點(diǎn)P使得,求直線l的斜率k的取值范圍.20.(12分)設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)在和之間插入個(gè)實(shí)數(shù),使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.21.(12分)已知(1)若,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的范圍;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且存在滿足,令函數(shù),試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明.22.(10分)已知函數(shù),(1)證明:在區(qū)間單調(diào)遞減;(2)證明:對(duì)任意的有.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析:拋物線的準(zhǔn)線為,雙曲線的離心率為2,則,,漸近線方程為,求出交點(diǎn),,,則;選C考點(diǎn):1.雙曲線的漸近線和離心率;2.拋物線的準(zhǔn)線方程;2、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計(jì)算能力.3、D【解析】
轉(zhuǎn)化條件得,利用元素個(gè)數(shù)為n的集合真子集個(gè)數(shù)為個(gè)即可得解.【詳解】由題意得,,集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算,考查了集合真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
由題意得到關(guān)于的等式,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問(wèn)題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.5、A【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)的坐標(biāo),再求出過(guò)點(diǎn)與的一條漸近線的平行的直線方程,通過(guò)解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo),最后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中:,因此右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,雙曲線的漸近線方程為:,根據(jù)雙曲線和漸近線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn),所以直線的斜率為,因此直線方程為:,因此點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組:的解,解得方程組的解為:,即,所以的面積為:.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用,考查了兩直線平行的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、D【解析】
由圖象可以求出周期,得到,根據(jù)圖象過(guò)點(diǎn)可求,根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知,所以,,又圖象過(guò)點(diǎn),所以,故可取,所以令,解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),利用“五點(diǎn)法”求函數(shù)解析式,屬于中檔題.7、B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得,由等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列,,所以,即,又,所以,,故故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,性質(zhì),等差數(shù)列的和,屬于中檔題.8、C【解析】
通過(guò)圖表所給數(shù)據(jù),逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:,正確;對(duì)于選項(xiàng)C:,故C不正確;對(duì)于選項(xiàng)D:,正確.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查柱狀圖是識(shí)別和數(shù)據(jù)分析,題目較為簡(jiǎn)單.9、D【解析】
利用線面平行和垂直,面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對(duì)四個(gè)命題分別分析進(jìn)行選擇.【詳解】當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個(gè)平面,故①錯(cuò)誤;由平面與平面垂直的判定可知②正確;空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面,故③錯(cuò)誤;若兩個(gè)平面垂直,只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直,故④正確.綜上,真命題是②④.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力,是中檔題.10、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故選B.11、B【解析】
設(shè),,,根據(jù)向量線性運(yùn)算法則可表示出和;分別求解出和,,根據(jù)向量夾角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為1,,,由題意得:,,,又即異面直線與所成角的余弦值為:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解,關(guān)鍵是能夠通過(guò)向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角的求解問(wèn)題.12、A【解析】分析:首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù),對(duì)應(yīng)的事件有哪些結(jié)果,從而得到對(duì)應(yīng)的概率的大小,再者就是對(duì)隨機(jī)變量的值要分清,對(duì)應(yīng)的概率要算對(duì),利用公式求得其期望.詳解:根據(jù)題意有,如果交換一個(gè)球,有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球,紅球的個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)三種情況;如果交換的是兩個(gè)球,有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換兩紅、一藍(lán)一紅換亮藍(lán),對(duì)應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是五種情況,所以分析可以求得,故選A.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對(duì)應(yīng)的期望的問(wèn)題,在解題的過(guò)程中,需要對(duì)其對(duì)應(yīng)的事件弄明白,對(duì)應(yīng)的概率會(huì)算,以及變量的可取值會(huì)分析是多少,利用期望公式求得結(jié)果.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求出向量的坐標(biāo),然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】,,,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
基本事件總數(shù),這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種和,由此能求出這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率.【詳解】解:為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn),現(xiàn)從,,,,這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn),基本事件總數(shù),這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種和,這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
利用配方法化簡(jiǎn)式子,可得,然后根據(jù)觀察法,可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問(wèn)題,屬基礎(chǔ)題。16、【解析】
由題意可知,,在和中,利用余弦定理建立方程求,同理求,求,代入求值.【詳解】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得,.連接BD,在中,有.在中,.所以,則,所以.連接AC,同理可得,所以.所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形,同角三角函數(shù)基本關(guān)系,意在考查方程思想,計(jì)算能力,屬于中檔題型,本題的關(guān)鍵是熟悉圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),對(duì)角互補(bǔ).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)m(t)=(2)a≤2-2.(3)a≤2-2.【解析】
(1)是研究在動(dòng)區(qū)間上的最值問(wèn)題,這類問(wèn)題的研究方法就是通過(guò)討論函數(shù)的極值點(diǎn)與所研究的區(qū)間的大小關(guān)系來(lái)進(jìn)行求解.(2)注意到函數(shù)h(x)的圖像上任意不同兩點(diǎn)A,B連線的斜率總大于1,等價(jià)于h(x1)-h(huán)(x2)<x1-x2(x1<x2)恒成立,從而構(gòu)造函數(shù)F(x)=h(x)-x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,進(jìn)而等價(jià)于F′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立來(lái)加以研究.(3)用處理恒成立問(wèn)題來(lái)處理有解問(wèn)題,先分離變量轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值,得到a≤,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)M(x)=的最大值,這要用到二次求導(dǎo),才可確定函數(shù)單調(diào)性,進(jìn)而確定函數(shù)最值.【詳解】(1)f′(x)=1-,x>0,令f′(x)=0,則x=1.當(dāng)t≥1時(shí),f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,f(x)的最小值為f(t)=t-lnt;當(dāng)0<t<1時(shí),f(x)在區(qū)間(t,1)上為減函數(shù),在區(qū)間(1,t+1)上為增函數(shù),f(x)的最小值為f(1)=1.綜上,m(t)=(2)h(x)=x2-(a+1)x+lnx,不妨取0<x1<x2,則x1-x2<0,則由,可得h(x1)-h(huán)(x2)<x1-x2,變形得h(x1)-x1<h(x2)-x2恒成立.令F(x)=h(x)-x=x2-(a+2)x+lnx,x>0,則F(x)=x2-(a+2)x+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故F′(x)=2x-(a+2)+≥0在(0,+∞)上恒成立,所以2x+≥a+2在(0,+∞)上恒成立.因?yàn)?x+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取“=”,所以a≤2-2.(3)因?yàn)閒(x)≥,所以a(x+1)≤2x2-xlnx.因?yàn)閤∈(0,1],則x+1∈(1,2],所以?x∈(0,1],使得a≤成立.令M(x)=,則M′(x)=.令y=2x2+3x-lnx-1,則由y′==0可得x=或x=-1(舍).當(dāng)x∈時(shí),y′<0,則函數(shù)y=2x2+3x-lnx-1在上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈時(shí),y′>0,則函數(shù)y=2x2+3x-lnx-1在上單調(diào)遞增.所以y≥ln4->0,所以M′(x)>0在x∈(0,1]時(shí)恒成立,所以M(x)在(0,1]上單調(diào)遞增.所以只需a≤M(1),即a≤1.所以實(shí)數(shù)a的最大值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于難題.18、(1)(2)詳見(jiàn)解析【解析】
(1)將原不等式轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),求得的最大值即可;
(2)首先通過(guò)求導(dǎo)判斷的單調(diào)區(qū)間,考查兩根的取值范圍,再構(gòu)造函數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明,探究在區(qū)間內(nèi)的最大值即可得證.【詳解】解:(1)由,即,即,令,則只需,,令,得,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,的取值范圍是;(2)證明:不妨設(shè),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,,當(dāng)時(shí),,,要證,即證,由在上單調(diào)遞增,只需證明,由,只需證明,令,,只需證明,易知,由,故,,從而在上單調(diào)遞增,由,故當(dāng)時(shí),,故,證畢.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,最值等,關(guān)鍵是要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,比如把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,把根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明不等式的問(wèn)題,屬難題.19、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合已知條件,即可容易求得結(jié)果;(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立拋物線方程,根據(jù)直線與拋物線相交則,結(jié)合由得到的斜率關(guān)系,即可求得斜率的范圍.【詳解】(1)因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切,并與直線相切,所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離比點(diǎn)到直線的距離大.因?yàn)閳A的半徑為,所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離,所以圓心的軌跡為拋物線,且焦點(diǎn)坐標(biāo)為.所以曲線的方程.(2)設(shè),,由得,由得且.,,同理由,得,即,所以,由,得且,又且,所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線定義求拋物線方程,涉及直線與拋物線相交結(jié)合垂直關(guān)系求斜率的范圍,屬綜合中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見(jiàn)解析.【解析】
(Ⅰ),,兩式相減化簡(jiǎn)整理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.(Ⅱ)由題設(shè)可得,可得,利用錯(cuò)位相減法即可得出.【詳解】解:(Ⅰ)因?yàn)?/p>
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