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文檔簡介
專題13向量線性運算及三大定理與四心歸類
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目錄
題型一:線性運算:等分點型......................................................................1
題型二:線性運算:四邊形等分點型................................................................3
題型三:線性運算:基底非同一起點................................................................4
題型四:三大定理:奔馳定理......................................................................6
題型五:三大定理:極化恒等式....................................................................7
題型六:三大定理:等和線基礎(chǔ)....................................................................9
題型七:等和線三角換元型........................................................................9
題型八:等和線系數(shù)不是1構(gòu)造型.................................................................10
題型九:等和線均值型...........................................................................11
題型十:等和線二次型...........................................................................12
題型十一:等和線系數(shù)差型.......................................................................13
題型十二:四心向量:外心.......................................................................14
題型十三:四心向量:內(nèi)心.......................................................................14
題型十四:四心向量:垂心.......................................................................15
題型十五:四心向量:重心.......................................................................16
^突圍?檐誰蝗分
題型一:線性運算:等分點型
指I點I迷I津
線段定比分點坐標(biāo)公式的向量形式:若直線/上三點<、巴、P,且滿足國=2哥(TLH-1),在直線/外
任取一點0,設(shè)函O^=b,^OP=^^-=—a+—b.
1+41+zl1+4
重要結(jié)論:若直線/上三點4、p4P,。為直線/外任一點,
貝!J赤=九函+o4+〃=l.
證明:麗=砒+扉=砒-2好=強+蝦,貝!|樂一麗=2呼+即=(1+田野,
貝(I麗=漉圾+OP\—OP?+AOg@+4b=-U+上5.
1+21+A1+41+41+4
1.(23-24?河北唐山?階段練習(xí))如圖,VABC中,。為5C邊的中點,石為AD的中點,則而=()
B.-AB--AC
44
3?i,i,§k
C.-AB+-ACD.-AB+-AC
4444
2.(23-24四川樂山?階段練習(xí))如圖,已知點G是VA5c的重心,過點G作直線分別與48,AC兩邊交于”,
uuuiuuuuumuuu
N兩點,設(shè)AM=xA8,AN=yAC則%+9》的最小值為()
23
__?1__?__?__?4__?
3.(23-24?陜西渭南?階段練習(xí))如圖,在7ABe中,已知8。=5DC,尸為而上一點,且滿足CP=mCA+-CB,
則實數(shù)m的值為()
IT--------?1---------.--------?
4.(23-24天津?階段練習(xí))如圖,在VABC中,ZBAC=-,ADDB,P^jCD±.-^,S.AP=-AC+AAB,
3=24
若J回=3,J冏=4,則Q.配的值為()
5.(23-24甘肅臨夏?階段練習(xí))如圖,在VABC中,點。是BC的中點,AC=3MC=4NC,分別連接M。、
NO并延長,與邊的延長線分別交于P,。兩點,若濕=-2.貝,則。=()
A.2B.1C.-2D.-1
題型二:線性運算:四邊形等分點型
"旨I點I迷I津
四邊形基底線性運算,可以用基底推導(dǎo),也可以通過特殊化構(gòu)造坐標(biāo)系設(shè)點計算
1?(容五五添加匯流直冢為5云下行^弦"ABCD¥'E~,~F芬麗孟揚AD'CD±~DF^FC,
AF與BE相交于點G,記配=0,BA=b,貝IJZS=()
2.(23-24山西?階段練習(xí))如圖,在正方形ABCD中,CE=2DE,EB和AC相交于點G,且歹為AG上一點
(不包括端點),若麗=2而+"麗,則力+[的最小值為()
DEC
AB
A.5+3A/3B.6+2石C.8+75D.15
3.(23-24寧夏銀川?)如圖所示的矩形ABC。中,E,歹滿足詼=反,CF^IFD,G為EF的中點,若
AGAAB+juAI),則物的值為()
DFC
--------------
123
A.—B.-C.一D.2
234
4.(23-24陜西咸陽)如圖所示,在正方形ABCO中,E為的中點,尸為CE的中點,^AF=AAB-juAD,
貝?。?+4=()
O:
5115
"IB.--C.-D.-
5.(23-24新疆烏魯木齊?模擬)如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=^AD,BF=^BC,CE與DF交于點
。.設(shè)AB=a,AD-b,右AO=Au+/nb,則〃一%二()
171717
題型三:線性運算:基底非同一起點
指I點I迷I津
向量共線定理和向量基本定理
①向量共線定理(兩個向量之間的關(guān)系):向量日與非零向量£共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)2,使得
b=Aa-
變形形式:已再直線/上三點A、B、I,0為直線/外任一點,有且只有一個實數(shù)2,使得:
OP=(l-/l)-Q4+Z-OB.
特別提醒:共線向量定理應(yīng)用時的注意點:向量共線的充要條件中要注意5片6”,否則幾可能不存在,也可能
有無數(shù)個.證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量
共線且有公共點時,才能得出三點共線;另外,利用向量平行證明向量所在直線平行,必須說明這兩條直線不
重合.
②平面向量基本定理(平面內(nèi)三個向量之間關(guān)系):
若I、團是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,則對于這一平面內(nèi)的任一向量£,有且只有一對實數(shù)4、辦,使
〃=4G+4弓.
特別提醒:不共線的向量冢、區(qū)叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;
基底的不唯一性:只要兩個向量不主線,就可以作為平面的一組基底,對基底的選取不唯一,平面內(nèi)任意向量
%都可被這個平面的一組基底I、瑟線性表示,且在基底確定后,這樣的表示是唯一的.
2.(23-24浙江?階段練習(xí))已知六邊形A8CDEF為正六邊形,且衣=0,BD=b,以下不正確的是()
ED
B.BC=-a+-b
33
—■24-
D.BE=——a+—b
33
3.(23-24重慶巴南?階段練習(xí))如圖,矩形ABC。中,點E是線段A3上靠近A的三等分點,點尸是線段
的中點,則方后=()
8—?5—?10—>5—■
A.-DF——ACB.—DF一一AC
9999
8—.5—?10-5.
C.——DF+-ACD.--DF+-AC
9999
4.(23-24高三河南?階段練習(xí))已知VABC為等邊三角形,分別以CA,C3為邊作正六邊形,如圖所示,則
()
—?7—?—?
B.EF=-AD+3GH
2
—.9—?―.
C.EF=5AD+4GHD.EF=—AD+3GH
2
5.(22-23甘肅天水?階段練習(xí))如圖,四邊形A5CD是平行四邊形,點瓦方分別為CRAD的中點,若以向
量近,而為基底表示向量,則下列結(jié)論正確的是()
—?4—?2—?
A.AD=-AE一一BFB.AD=--AE--BF
5555
-.2—?4—?.2—?4—?
C.AB=-AE——BFD.AB=-AE+-BF
5555
題型四:三大定理:奔馳定理
指I點I迷J港
P為AABC內(nèi)一'點,axPA+Z?xPB+cxPC=0>則SAPBC:^\PAC*^\PAB=b:c,
w=在、人S"BC_A5公尸4。bS"AB_c
重要結(jié)論:,三——,?
7---aT+b—+c,7--a-+Tb—+ca+—b+c
dZAA/4IZR5VrdZA/I4ZJRVrdZAA4/1Lw>Vr
結(jié)論1:對于AABC內(nèi)的任意一點尸,若APBC、APCA.AZMB的面積分別為》、〉、Sc,貝!]:
SAPA+SBPB+SCPC^O.
即三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零,權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積.
結(jié)論2:對于AABC平面內(nèi)的任意一點P,若點尸在AASC的外部,并且在血C的內(nèi)部或其對頂角的內(nèi)部所
在區(qū)域時,則有-5"比?西+5M公,而+S.?定=1
結(jié)論3:對于AABC內(nèi)的任意一點P,若4百+4方+4定=0,則A/ZC、APC4、AR4B的面積之比為
4:4:A.
即若三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零,則各向量所對的三色形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.
結(jié)論4:對于AABC所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點尸,4麗+4萬+4定=0,則"BC、APCA、NPAB
的面積分別為圖:也:聞.
即若三角形平面內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零,則各向量所對應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕對值之比.
各向量所對應(yīng)的三角形是指另外兩個向量所在的三角形.
1.(23-24甘肅)"奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來,是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.它的具
體內(nèi)容是:己知Af是VABC內(nèi)一點,ABMC,AAMC,AAWB的面積分別為梟,SB,Sc,且
S4?庇+SB-痂+Sc?后忑=0.若M為VABC的垂心,3MA+4MB+5MC=0>貝!|cosNWB=()
3663
2.(23-24河北)平面向量中有一個非常優(yōu)美的結(jié)論:己知。為VABC內(nèi)的一點,&BOC,△AOC,NAOB
的面積分別為〃,SB,SC,則邑?函+SB?礪+S0?元=6.因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志,所以稱為"奔
馳定理已知。為VABC的內(nèi)心,三個角對應(yīng)的邊分別為a,6,c,已知a=3,b=2y/3,c=5,則前.就=
A.2月-8B.-2C.76-7D.30-9
3.(2024上海?專題練習(xí))"奔馳定理"因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來,是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)
論.奔馳定理與三角形四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是:己知M是VABC
內(nèi)一點,的面積分別為梟,邑,加,且冬?涼+SR?礪+S。?詼=0.以下命題錯誤
的是()
A.若梟:與:&■=1:1:1,則M為AAMC的重心
B.若M為VA2C的內(nèi)心,貝U8C?磁+AC?旃+AB?說=0
C.若NBAC=45。,NA3C=60。,M為VABC的外心,則見::S0=6:2:1
D.若M為VABC的垂心,3MA+4MB+5MC=0^則cos/AM8=—"
6
4.(2023高三河南南陽?階段練習(xí))奔馳定理:已知。是A4BC內(nèi)的一點,ABOC,MOC,AAN的面積分
別為梟,SB,S「則梟?西+S5?歷+/?元=6.〃奔馳定理〃是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論,因為
這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳〃轎車(Mercedesbenz)的log。很相似,故形象地稱其為''奔馳定理〃若。是銳
角ZL4BC內(nèi)的一點,A,B,。是2MBe的三個內(nèi)角,且點。滿足改.加=礪.宓=玩.西,則必有()
A.sinAOA+sinBOB+sinCOC=0
B.cosAOA+cosBOB+cosCOC=0
C.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=6
D.sin2AOA+sinIBOB+sin2COC=0
5.(2022?安徽?三模)平面上有VABC及其內(nèi)一點0,構(gòu)成如圖所示圖形,若將△043,AOBC,的
LILIULUUUIU1
面積分別記作Sc,sa,Sb,則有關(guān)系式S/OA+S/C出+邑。。=0.因圖形和奔馳車的/og。很相似,常把
上述結(jié)論稱為"奔馳定理".已知VABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,若滿足公市+6.礪+c.詼="
則。為VABC的()
C.重心D.垂心
題型五:三大定理:極化恒等式
;指I點I迷I津
,設(shè)a,方是平面內(nèi)的兩個向量,則有落石=;[(1+5)2-(a-5)[
①幾何解釋1(平行四邊形模型)以4)為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABCD,AB=a,AD=b,則
AC=a+b,BD=b-a,由無B=:[(汗+5)2_(比一5)[,AB-AD=^(AC2-BD2).
即“從平行四邊形一個頂點出發(fā)的兩個邊向量的數(shù)量積是和對角線長與差對角線長平方差的
②幾何解釋2(三角形模型)在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上,若設(shè)M為對角線的交點,則由
;AB-AD=^(AC2-BD2)^^)AB-AD=^AC2-BD2)=^4AM2-4BM2),^AB.AD=AM2-BM2,
\該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn),也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型.
1.(2023荃曲涯■高洛黃題:定三位ABCDM五已是2,E是AB欣市晟麗反?麗=()
A.y/5B.3C.2A/5D.5
2_.(江蘇?高考真題)如圖,在AABC中,。是BC的中點,及尸是A,。上的兩個三等分點,麗.^=4,
.__.LILUUUL
BFCF=-1,貝!1BECK的值是.
3.如圖,在AABC中,已知AB=4,AC=6,ABAC=60°,點D,E分別在邊AB,AC上,
且通=2AD,AC=3亞,若F為DE的中點,則BF-DE的值為
4.(23-24高三?湖南長沙?階段練習(xí))向量的數(shù)量積可以表示為:以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角
即如圖所示,夕6=:(|而『-]明],我們稱為極化恒等式.已知在
線"與"差對角線"平方差的四分之一,
△ABC中,M是2C中點,A〃=3,3C=10,則荏.正=()
C.-8D.8
5.(21-22?重慶沙坪壩?階段練習(xí))向量的數(shù)量積可以表示為:以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”
與“差對角線"平方差的四分之一.即如圖所示:Z?石=:(|阿-西)我們稱為極化恒等式.在回A3C中,M
是BC中點,4W=3,BC=10,則荏.*=()
題型六:三大定理:等和線基礎(chǔ)
;指I點I迷I津
形如0尸=204+〃O3(尢〃eR),求4+〃值或者范圍,其中可以理解對應(yīng)系數(shù)如幾+〃=1,彳+1?〃,稱之
為“和”系數(shù)為1.這種類型,可以直接利用“基底線”平移,做比值即可求得
丁日拓:正而雪要:商三疏常麻瓦語5M:等荏%'正麗花AOB鬲面后鬲弓一竊這~C茬派蕊±/
且NCO3=30。,若況=彳&+〃&,則2+4=.
2.(2023春?浙江溫州???奸_學(xué)考試)兩個單位向量函,礪且403=120°,C點在弧A8上動,若
OC=xOA+yOB,(尤,yeR),貝l|x+1的取值范圍是
3.正六邊形ABCDE尸中,令血=2,AF=b,尸是回CDE內(nèi)含邊界的動點(如圖),AP=xa+yb,則x+y
的最大值是()
A.1B.3C.4D.5
4.已知。是AABC的外心,ZC=45°,則。。=加。4+〃。8(〃2,“€火),則〃z+a的取值范圍是
A.[-B.[―V2,1)C.[-1]D.
JT
5.已知在RtaABC中,A=~,AB=3,AC=4,尸為8C上任意一點(含8,C),以P為圓心,1為半徑
作圓,。為圓上任意一點,設(shè)旗=x35+y/,則%+y的最大值為
題型七:等和線三角換元型
指I點I迷I津
如果點在圓上運動,則可以借助圓的參數(shù)方程(或者三角換元),用向量的坐標(biāo)運算求
解
1.(2023唾國高一假期作業(yè))如圖,扇形的半徑為1,且函.礪=0,點C在弧AB上運動,若反=了函+>礪,
A.-A/5B.75C.1D.2
2.(2023春?湖北湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,扇形的半徑為1,且礪.礪=0,點C在
3.(2023春?重慶萬州?萬州外國語學(xué)校天子湖校區(qū)??茧A段練習(xí))如圖,在半徑為1的圓。中,點AI為
圓。上的定點,且4403=60。,點C為圓上的一個動點,若碇=為西+y礪,則2x+(W+l)y的取值范圍
4.在直角梯形.ABCD中,ABLAD,AD//BC,AB^BC=2AD=2,E,尸分別為8c,8的中點,以A為圓心,
為半徑的圓交AB于G,點尸在DG上運動(如圖).若麗=彳通+〃而,其中44£火,貝口4+〃的最
大值是.
5.己知正三角形A3C的邊長為2,。是邊BC的中點,動點尸滿足|南區(qū)1,且麗=x須+y撫,其中x+yNl,
則2x+y的最大值為.
題型八:等和線系數(shù)不是1構(gòu)造型
指I點I迷I津
形如。尸="。4+〃。8(4〃€碼,求ml+t〃值或者范圍,一般動點多在圓上,則可以通過三角換元,構(gòu)
造三角函數(shù)輔助角形式求最值
1而囪:五冠后2M藐三贏而多凄初漪6二%五直0工i二餐;瞽丸[而+2x+2y~^Oz
值為(
33
2.(23-24?安徽蕪湖?階段練習(xí))如圖,已知點G是AASC的重心,過點G作直線分別與AB,AC兩邊交于M,
UUULUUUUUUlUUU
N兩點,設(shè)AM=XAB,AN=yAC,則x+4y的最小值為()
3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知。是AABC內(nèi)一點,且函+而+反=0,點M在AOBC內(nèi)(不含邊界),
若說"=/1而+〃/,則2+2〃的取值范圍是
4.(20-21?福建?階段練習(xí))已知平行四邊形ABC。中,點E,P分別在邊AB,AD上,連接斷交AC于點
且滿足而=4麗,/=3麗麗=2而+〃而,貝⑸+?〃=()
A.gB.1C.----D.—3
22
題型九:等和線均值型
指I點I迷I津
利用向量基底理論,求出“和定”或者“積定”,再用均值不等式技巧求出最值和范圍
基本不等式:,命;
(1)基本不等式成立的條件:a>0,Z?o;
(2)(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b.
(3)基本不等式的變形:
①a+b,2點,常用于求和的最小值;②件要)2,常用于求積的最大值;
1.(2023春?四川眉山??茧A段練習(xí))己知點G是AASC的重心,過點G作直線分別與A8,AC兩邊相交于點
M,N兩點(點N與點瓦C不重合),設(shè)通=無兩,AC=yAN,則一1的最小值為.
2.(2023春?重慶?校聯(lián)考階段練習(xí))在AABC中,點。滿足彷=2022比,過點D的直線交線段AB于點M、
UUULuuuuumULIU2023
交線段AC的延長線于點N,記4M=xA3,AN^yAC,貝U2023無應(yīng)y的最小值為.
3.(2023春?山東荷澤統(tǒng)考模擬)在AMC中,點0是線段BC上的點,且滿足b4=3|西,過點。的直線
12
分別交直線AB,AC于點區(qū)尸,且荏=根衣,AC=nAF,其中加>0且若一+一的最小值為.
mn
4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知A、B、尸是直線/上三個相異的點,平面內(nèi)的點。拓/,若正實數(shù)x、y
滿足4標(biāo)=2)a+丁礪,則工+工的最小值為_____.
xy
5.(23-24高三?天津武清?階段練習(xí))在AASC中,BD=^BC,E是線段AD上的動點(與端點不重合),設(shè)
21
CE=xCA+yCBf則---------的最小值是()
孫
A.10B.4C.7D.13
題型十:等和線二次型
指I電I迷I津
形如。尸=“%+〃°8(4〃eR),求關(guān)于X與,二次型值或者范圍,有如下思維:
(1)圖形比較規(guī)則,建立直角坐標(biāo)系來解決向量問題;
(2)得到關(guān)于的不等式中沒有外〃,所以取/=%+〃,建立之間的關(guān)系;
(3)用判別式求得,的范圍,化簡所求式子至二次函數(shù)的形式;
(4)根據(jù)二次函數(shù)的最值及/的范圍求出最值.
1.(23-24?陜西西安?階段練習(xí))點。是AABC所在平面內(nèi)一點,若西+礪+芯=0,而=x詬病乙
MO=AON,則孫的最小值為()
2.(2019秋,江蘇蘇州,校考階段練習(xí))如圖,在正方形ABCD中,E為AB的中點,尸是以A為圓心,AB為
半徑的圓弧上的任意一點,^AC=ADE+^AP,則〃2尤的最小值為
3.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知AABC的邊BC的中點為。,點E在AABC所在平面內(nèi),且前=3CE-2CA,
若=礪,貝1]孫=()
A.5B.10C.20D.30
2
4.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知A,B,尸為雙曲線尤2一±=i上不同三點,且滿足可+而=2所(。為坐
4
標(biāo)原點),直線PAP3的斜率記為%,則/+芷的最小值為
4
A.8B.4C.2D.1
5.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖,在AABC中,M為邊5C上不同于3,C的任意一點,點N滿足麗=2而乙
UUUUUUUU1U
^AN=xAB+yAC>貝1J丁+9/的最小值為.
題型十一:等和線系數(shù)差型
指I點I迷I津
形如。P=X°A+〃°B(%〃eR),求"值或者范圍,有如下思維:
1.如果動點P在圓上運動,可以通過圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為輔助角求解。
2.可以借助等和線,找到'+〃=定值,然后代入消元求解單元變量范圍或最值
I_________________________________________________________________________________________________
1.(四川資陽,統(tǒng)考一模)如圖,在直角梯形ABCD中,ABLAD,ABSiDC,AB=2,AD=OC=1,圖中
圓弧所在圓的圓心為點C,半徑為3,且點P在圖中陰影部分(包括邊界)運動.若*=x通+'冠,其
中劉yeR,則4x-y的最大值為
JR
A.3--B.3+—
42
C.2D.3+—
2
2.(安徽合肥?統(tǒng)考一模)已知向量也、£、尹滿足閡=4,戊彳=2,(比-乃?伍-打=0,若對于每一個確定的閡舛
的最大值和最小值分別為機、“,則對于任意的,,切一”的最小值為()
3.在AABC中,點G滿足瓦+加+覺=0.若存在點。,使得DS=/l竟(X>0),且函=〃?礪+〃元(胸>0),
則的取值范圍是—.
4.(22-23高三?河北唐山?階段練習(xí))如圖,在AABC中,D是線段BC上的一點,且配=4而,過點。的
UUULUUttl1
直線分別交直線AB,AC于點M,N,若畫7=4越,AN=〃AC(4>0,〃>0),則〃-彳的最小值是()
A
題型十二:四心向量:外心
指I點I迷I津_______
四心的向量統(tǒng)一形式:設(shè)X是AABC內(nèi)一點且根自+〃京+P前=6;
若X為外心,則帆:〃:p=sin2A:sin2B:sin2C;
1.(2023春?江蘇無錫?錫東高中校考階段練習(xí))在AABC中,AB=1,AC=3,SAABC=^~,角A是銳角,
。為AABC的外心,若加=底屈+”.武,其中則點尸的軌跡所對應(yīng)圖形的面積是.
2.(2023春?廣東佛山?南海中學(xué)??茧A段練習(xí))如圖,。為AABC的外心,AB=6,AC=2,/B4c為鈍角,
M是邊BC的中點,貝!]荀??加=.
3.(2023春?吉林長春?東北師大附中??茧A段練習(xí))已知點。是0ABe的外心,AB=4,AC=2,SBAC為鈍
角,M是邊8c的中點,則;0人正=.
4.(2023春?江西宜春?江西省清江中學(xué)??茧A段練習(xí))設(shè)。為AABC的外心a,b,c分別為角A,B,C的對
邊,若Z?=3,c=5,貝ij市?冠=.
5.(2023春?遼寧?葫蘆島第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知。為“LBC的外心,a,b,c分別為內(nèi)角A,
B,C的對邊,且。2=2可3-6),則亞.前的取值范圍是.
題型十三:四心向量:內(nèi)心
:指I點I迷I津_______
四心的向量統(tǒng)一形式:設(shè)X是AABC內(nèi)一點且機京+〃用+P薪=6;
若X為內(nèi)心,p=a:b:c■
丁石丘刀春可超前豆小而乃三市孽誕旗而壬看7^5芨向二百3情話親素五~
SWBC?次+&OAC?礪+5徵.?詼=。即稱為經(jīng)典的“奔馳定理",若AABC的三邊為。,b,c,現(xiàn)有
a-OA+b-OB+cOC=0<則。為AABC的—心.
2.(2023浙江?模擬預(yù)測)已知RMABC中,AB=3,AC=4,BC=5,/是AASC的內(nèi)心,P是A/BC內(nèi)部(不
含邊界)的動點,若而=2而+(尢〃eR),則2+〃的取值范圍是()
3.(2022?貴州安順?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知。是平面上的一個定點,A、8、C是平面上不共線的三點,動點P滿
足麗=函+2禺+黑(2eR),則點尸的軌跡一定經(jīng)過AABC的()
【網(wǎng)阿'
A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心
4.(2023?全國?專題練習(xí))已知AABC所在的平面上的動點尸滿足再5=|通|/+|前通,則直線AP一定經(jīng)
過“LBC的()
A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心
5.(2023春?全國?專題練習(xí))已知△A5C,/是其內(nèi)心,內(nèi)角A3,C所對的邊分別a也c,則()
A.AI=^(AB+AC)—cABbAC
nB.AI=------+--------
aa
c—;bABcACc-CABbAC
C.AI=------------+------------D.AI=-------+--------
a+b+ca+b+ca+ba+c
題型十四:四心向量:垂心
指I點I迷I津_______
四心的向量統(tǒng)一形式:設(shè)X是AASC內(nèi)一點且初豆+〃好+P高=0;
若X為垂心,貝|加:〃:,=tanA:tang:tanC.
1.(2023?全國?高三專題練習(xí))奔馳定理:已知。是融。內(nèi)的一點,若止OC、"IOC、△AO3的面積分別
記為&、邑、S3,則S]?函+S2?礪+S3?元=。."奔馳定理"是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論,這個定理
對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似,故形象地稱其為"奔馳定理".如圖,已知。是AASC的垂心,且
OA+2OB+4OC=6,貝I」COS3=()
D.B
3
2.(2023春?浙江紹興???茧A段練習(xí))奔馳定理:已知點。是AAFC內(nèi)的一點,若A3OC,AAOC,AAO3的面
積分別記為H,S2,S3,則&
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