元函數(shù)的導數(shù)及其應用綜合測試卷（新高考專用）-2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

第三章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用綜合測試卷

(新高考專用)

(考試時間：120分鐘；滿分：150分)

注意事項：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷(選擇題)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.(5分)(2024?湖北襄陽?二模)已知函數(shù)/(%)=/+士貝()

1

A-1B.5C.2D.4

【解題思路】由題意，根據(jù)求導公式和運算法則可得尸(1)=1,結合導數(shù)的定義即可求解.

【解答過程】由題意知，八x)=2x-3則=

所以fO+常毋1)=1limfC⑴=i八1)=i

故選：B.

2.(5分)(2024?全國?模擬預測)函數(shù)(0)=修(>2一2%+2)的圖象在點(-1/(一1))處的切線方程為()

A.x+ey—4=0B.%—ey+6=0C.ex—y+6=0D.ex—y+e+|=0

【解題思路】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答過程】由f(x)=ex(%2-2%+2),可得/'(%)=x2ex,

WZ(-1)=7又汽―1)=e-x[(-l)2-2x(-1)+2]=：,

則所求切線方程為y-|=；(x+l),即*—ey+6=0.

故選：B.

3.(5分)(2023?上海閔行?二模)某環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改、

設企業(yè)的污水排放量W與時間/的關系為w=/(t),用-，竺的大小評價在阿句這段時間內(nèi)企業(yè)污水治

b-a

理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如下圖所示.則下列正確的命題是

()

污

水

達

標

排

放

量

A.在上工2］這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；

B.在±2時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；

C.在與時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達標；

D.甲企業(yè)在［辦加這三段時間中，在上工21的污水治理能力最強

【解題思路】根據(jù)題目中的數(shù)學模型建立關系，比較甲乙企業(yè)的污水治理能力.

【解答過程】設甲企業(yè)的污水排放量勿與時間t的關系為W=乙企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系

為W=g(t).

對于A選項，在比,均這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力九?)=—“切一”口),

12Tl

乙企業(yè)的污水治理能力g(t)=_g⑸)-g(ti).由圖可知,八。1)一八Q2)>g(h)—g(t2)，

七2Tl

所以h(t)>g(t),即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故A選項錯誤；

對于B選項，由圖可知，八(￡)在灰時刻的切線斜率小于g(t)在以時刻的切線斜率，

但兩切線斜率均為負值，故在12時刻甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故B選項錯誤；

對于C選項，在13時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達標排放量，

故甲、乙兩企業(yè)的污水排放都達標，故C選項錯誤；

對于D選項，由圖可知,甲企業(yè)在［0,切，國1，均，［辦句這三段時間中，

在時八(ti)一出它)的差值最大，所以在時的污水治理能力最強，故D選項正確，

故選：D.

4.(5分)(2024?江西宜春?三模)已知。=上，6=黑，c=苧，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù),

2ye2V24

則()

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【解題思路】首先將a,6,c化成統(tǒng)一形式，構造函數(shù)f(x)=?(%>0),研究單調(diào)性進而比較大小即可.

【解答過程】由題意得。=三=竿，6=整=噂，。=苧=竿=?；

2Ve2V2V2442

設/(%)=￥,則八%)=手，

當0V%Ve時，/(x)>0,所以/(%)單調(diào)遞增，又。<四<代<2<?,

所以/(魚)</(Ve)</(2),即V所以b<a<c.

故選：A.

5.(5分)(2024?廣東深圳?模擬預測)已知函數(shù)f(x)=駟箸竺+x在(0,TT)上恰有兩個極值點，則實數(shù)a

的取值范圍是()

A.卜A)B.(0,日叫C.仔,+8)D.仁武+8)

【解題思路】根據(jù)函數(shù)有兩個極值點的個數(shù)，轉化為導數(shù)在(0,元)上有兩個變號零點，再進行參數(shù)a的討論即

可.

【解答過程】由題意得/(X)=二詈+1.

因為函數(shù)f(x)在(0,n)上恰有兩個極值點，貝好'(比)在(0m)上有兩個變號零點.

當aW。時，/(%)>0在(OJT)上恒成立，不符合題意.

當a>0時，令八(切=二詈+1,則/(久)=染尸包=理號吱，

當％E時，h'(x)>0,所以h(%)在上單調(diào)遞增，

當％C(0()時，h%x)<0,所以以%)在(05)上單調(diào)遞減，

又h(0)=ft(TU)=1fh(B)=1——

所以九G)=l—與VO,則a>苧自，即實數(shù)a的取值范圍是母￡,+8).

故選：D.

6.(5分)(2024?四川?模擬預測)已知函數(shù)"x)為定義在R上的函數(shù)/(久)的導函數(shù)，/(久-1)為奇函數(shù)，

f(x+l)為偶函數(shù)，且/'(0)=2,則下列說法不正確的是()

A./(0)=/(2)B.八-1)+/'⑶=0

C.八4)=2D.if(2i)=-22

【解題思路】由奇函數(shù)、偶函數(shù)性質(zhì)可得/(—x—1)=—f(x—1)與/(一%+1)=/(%+1),分別對兩式兩

邊求導可得/'(-久-1)=f\x-1)與/'(-x+1)+y'(x+1)=0,進而可得/'(久)的一個周期，結合賦值法

及周期性判斷各項即可.

【解答過程】因為人久一1)為奇函數(shù)，所以f(一％-1)=一/。-1),①

因為f(x+l)為偶函數(shù)，所以f(—x+1)=f(x+l),②

對①兩邊求導可得一f'(一X-1)=一/''(X-1),即/—X-1)=/'(X-1),③

對②兩邊求導可得-/'(一x+1)=/'(x+1),即/'(一x+1)+f'(x+1)=0,④

對于A項，將X=1代入②可得-0)=/(2),故A項正確；

對于B項，將x=2代入④可得尸(一1)+/'(3)=0,故B項正確；

對于C項,將x=3代入④可得/'(—2)+/'(4)=0,將x=1代入③可得;—2)=汽0)=2,所以/'(4)=—

2,故C項錯誤；

對于D項，由③可得—-2)—1)=/'((%—2)—1),即f'(—x+l)=f'(x-3),⑤

所以由④⑤可得/'(X—3)=—/'(x+1),⑥

所以由⑥可得/'((x+3)-3)=-f'((久+3)+1),即八x)=-/'"+4),⑦

由⑦可得/''(久+4)=-/(比+8),⑧

所以由⑦⑧可得八x)="x+8),故8是尸(x)的一個周期.

所以八8)=八0)=2,

將x=1代入④可得/(0)+/'(2)=0,即/'(2)=-2,

由C項知，f'(4)=-2,

將x=2代入⑦可得/'(2)=一f'(6),即f'(6)=2,

所以2魯i/z(2i)=f'(2)+2/'(4)+3八6)+4f/(8)+…+9/'(18)+10/'(20)=(-1-2+34-4-5-

6+7+8-9-10)X2=-22,故D項正確.

故選：C.

7.(5分)(2024?江蘇南通?模擬預測)設定義域為R的偶函數(shù)y=f(>)的導函數(shù)為y=f0),若f'(x)+(比+l)2

也為偶函數(shù)，且f(2a+4)>/(。2+1),則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,-1)u(3,+8)B.(-CO,-3)U(1,+co)

C.(-3,1)D.(-1,3)

【解題思路】先令g(x)=f(x)+(x+l)2,判斷g。)的單調(diào)性及奇偶性，由已知結合函數(shù)的單調(diào)性及奇偶

性即可求解不等式.

【解答過程】因為y=/(x)為偶函數(shù)，

所以/(-%)=/(%),所以一/'(一％)=/'(%),

令9(%)=/W+(%+1)2,

因為/'(%)+(%+1)2為偶函數(shù)，

則。(一X)=g(%)，即/'(-%)+(-%+I)2=/(%)+(%+1)2,

即一/(%)+(—％+1)2=/(%)+(%+I)2,

所以/'(汽)=-2x,

當％>0時，/(%)=-2%<0,即f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，則/(%)在(一8,0)上單調(diào)遞增，

由/(2。+4)>/(a2+1),即f(|2a+4|)>f(a2+1),

所以|2a+4|V4+1,即—(次+1)<2a+4</+1,解得a<—1或a>3,

即實數(shù)Q的取值范圍是(一8,-1)u(3,+8).

故選：A.

8.(5分)(2024?四川?三模)已知關于％的方程e2%—a%e%+9e2%2=o有4個不同的實數(shù)根，分別記為

則—e)(：—。)(，—e)(,—e)的取值范圍為()

4444

A.(0,16e)B.(0,12e)C.(0,4e)D.(0,8e)

【解題思路】變形給定方程，構造函數(shù)f(無)=g利用導數(shù)探討方程t=m取得兩個不等根的t的范圍，再借

助一元二次方程求解即得.

【解答過程】顯然第=0不是方程e2%-axex+9e2x2=0的根，

則方程e?%-axex+9e2x2=0的根即為方程彳)？一。~+9e2=0的根，

令力=亍，得/一成+9e2=0,設/(%)=亍，求導得/'(%)=，

由/'(%)<。，得％V?；騉VxVl，由/(%)>0,得x>1,

即函數(shù)/(%)在(一8,0)和(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增,/(I)=e,

作出/(%)的大致圖象，如圖，

依題意，方程產(chǎn)-at+9e2=0有兩個不相等的實數(shù)根，設為打，以，

觀察圖象知，方程t2-at+9e2=0的每一個根，由t=H得兩個不同的x值，

X

(△=次—36e2>0

于是ti+上=。"也=9e2,且ti>e,《2>e,由｛e，解得6eVa<10e,

Ie2—ae4-9e2>0

222222

貝!J(_—e)(——e)(——e)(——e)=—e)(t2—e)=?住2-et]—et2+e)=(10e—ae),

X\%2X3%4

由6eVaVlOe,得0<(10e2—ae)2<16e4,

所以(?一e)(——e)(——e)(——e)的取值范圍為(0,16e4).

%2%3%4

故選：A.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.(6分)(2023?河南?模擬預測)已知定義在R上的函數(shù)/O),g(x),g'(x)是貝久)的導函數(shù)且定義域也是R,

若g(久)為偶函數(shù)，/(%)+g'Q)=3,/(久)—g'(2—X)=3,貝I]()

A./(8)=3B.g'(-6)=lC./(一1)+f(3)=6D.g'(—3)—/(3)=6

【解題思路】先根據(jù)已知條件判斷g'O)的奇偶性和周期性，再結合已知條件求相應的函數(shù)值，進行判斷.

【解答過程】由gO)為偶函數(shù)，得g(-x)=g(x),兩邊求導，得一g'(-x)=/(久)，所以g'(x)為奇函數(shù)，所

以g'(0)=0，由f(x)+g'o)=3及/'(%)-g'(2-x)=3,得g'(x)+g'(2-x)=0,所以。'(久)=g'(x-2),

故g6)的周期為2.

所以g'(8)=g'(—6)=g'(0)=0,又/(8)+g'(8)=3,所以/(8)=3,故A正確，B錯誤；

由/'(%)+g'(x)=3,得/■(一1)+/(-1)=3,/(3)+g'(3)=3,又g'(x)+/(2-%)=0,所以+g'(3)=

0,所以f(—1)+/(3)=6,故C正確；

由f(x)+9‘(x)=3,得f(3)+g'(3)=3,所以g'(—3)—f(3)=g'(—3)-3+g'(3)=-3,故D錯誤.

故選：AC.

10.(6分)(2024?山東泰安?模擬預測)已知函數(shù)(0)=3欠-2。則()

A.f(x)是R上的增函數(shù)B.函數(shù)h(x)=/(久)+久有且僅有一個零點

C.函數(shù)f(x)的最小值為-1D./(久)存在唯一個極值點

【解題思路】對于A：求導，代特值檢驗即可；對于B：分x=0、工>0和％<0三種情況，結合函數(shù)值的

符號分析判斷零點；對于C：分x=0、x>0和x<0三種情況，可得/'(x)>-1,即可判斷；對于D：根

據(jù)f(x)的單調(diào)性，結合零點存在性定理分析可知mxoCR,使/(&)=0,進而判斷f(x)的單調(diào)性和極值.

【解答過程】對于選項A：因為f(x)=3—2X,則八x)=3xln3-2/2=2X[(|)%ln3-ln2),

1G

當

貝d

X-a-Ht,u可得0ln3—ln2=lnV3—ln2<0,

10r2

即/(%)=3%ln3—2%ln2<0,所以/(%)=3%一2%不是R上的增函數(shù)，故A錯誤；

對于選項B：因為h(%)=f(x)+x,

當％=0時，/i(0)=/(0)+0=0,可知％=0是九(%)的零點；

當％>0時，/i(x)=/(x)+%=3X—2x+%>0,可知九(%)在(0,+8)內(nèi)無零點；

當x<0時，0<<1,則/O)=2X[(17-1]<0,

可得無(無)=f(x)+x<0,可知h(無)在(一8,0)內(nèi)無零點；

綜上所述：函數(shù)/i(x)=f(x)+%有且僅有一個零點，故B正確；

對于選項C：當x>0時，/(%)=3X-2X>0；

當x=0時，/(0)=3°-2°=0；

當x<0時，則0<3欠<1,0<2Z<1,可得/'(x)=3X-2方>-2X>-1,

綜上所述：所以一1不是函數(shù)f(x)的最小值，故C錯誤；

對于選項D：因為=3Bn3-252=2》[(|)1n3-ln212X>0,

所以f'0)的符號決定于(|fln3—M2,

顯然y=(|)Xln3-ln2是R上的增函數(shù)，

又因為當x=0時，G)“l(fā)n3-ln2=ln3-ln2>0；

當x=logg(時，停)ln3—In2=lnV3—ln2<0,

所以m&eR,使/'3)=0,

所以/'(X)在(一8,%0)上為減函數(shù)，在(右,+8)上為增函數(shù).

所以/(%)有唯一極小值點.故D正確.

故選：BD.

11.(6分)(2024?福建福州?模擬預測)已知函數(shù)/■(久)=a久(e"+『X)一e》+1工恰有三個零點Xi，x2,x3,

且0<k3，貝?()

A.%1+%2+%3=0B.實數(shù)a的取值范圍為(0,1]

C.+1>0D.ax3+a>1

【解題思路】利用f(x)的奇偶性可判斷A選項；將函數(shù)的零點問題轉化為函數(shù)圖像的交點問題，再利用導

數(shù)和基本不等式確定切線斜率的取值范圍，進而得實數(shù)a的取值范圍，即可判斷B選項；由。勺+1=導7

ezxi+l

來可判斷C選項；由a%3=1-苫I三得。=e(1一巖石)，進而a%3+Q>1等價于e2%3-2右一1>0，令

/i(x)=e2x—2x—l(x>0),用導數(shù)證明h(%)>0,即可判斷D選項.

【解答過程】函數(shù)/(%)=ax(ex+e-x)-ex+已-"定義域為R,

/(—%)=a(—x)(e-x+ex)—e-x+ex=—[ax(ex+e-x)—ex+e-x]=—/(%),

所以/(%)是奇函數(shù)，則f(0)=0,

又因為/(%)有三個零點且第1V%2〈汽3，f(xD=/(%2)=/(%3)=。，

所以％i=—的，X2=0,即％I+%2+%3=°，故A選項正確；

“PX—P-XP2X—17

f(x)=ax(ex+e-x)-ex+e-x=0,侍ax==1一；5777，

令g(x)=l-J*,則g'(x)=>0,所以/'(x)在R上增函數(shù)，

e+1(e2x+l)

當且僅當汽=0時取等號，即0Vg(x)<1,

所以0Va<l,故B錯誤；

ax1+1=(1—苫g)+1=^71>°，故C選項正確；

由倏=1一磊得口=11——又與〉0，

-2x

要使a久3+a=1—e2x：+l+|(1e3+l)>1成立,則e?”-2%3-1>0成立,

令/i(%)=e2%-2x—l(x>0),/1(x)=2(e2x—1)>0(%>0),

所以h(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，則h(%)>/i(0)=0,

于是e2%3—2久3-1>0,則a%3+a>1，故D正確.

故選：ACD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2024?四川成都?模擬預測)已知函數(shù)y=G的圖象與函數(shù)y=alnx的圖象在公共點處有相同

的切線，則公共點坐標為.

【解題思路】設公共點為(打，%)，由心=巴，可得x°=4a2(a>0),進而利用導數(shù)可得［,求

24工0%olain%。一7x0

解即可.

【解答過程】函數(shù)y=alnx的定義域為(0,+8),可得f'(久)=由g'(x)=擊，

設曲線f(%)=aln%與曲線g(%)=C的公共點為(&,yo),

由于在公共點處有共同的切線，所以右=巴，所以與=4。2(。>0),

“XoXQ

由f(%o)=9(%o)，可得Qln%0=國,聯(lián)立可得［;°~^a.—，

(Qin%。=A/%Q

解得xo=e2,所以y°=e,所以公共點坐標為(e2,e).

故答案為：(e2,e).

13.(5分)(2024?四川成都?三模)若不等式emxgx-ln2)-xln/20,對任意％e卜，+8)恒成立，則

正實數(shù)小的取值范圍是_1上旦)

【解題思路】將已知變形為通過不等式3In?>xlnx恒成立，進一步利用g(t)=tint/>:的單調(diào)性得到

m>?對任意XG［i,+8)恒成立，進一步即可求解.

【解答過程】若不等式emx(nu；-ln2)—xlnx2>0,對任意xe+8)恒成立，則與-In8->xlnx,

mxa。11

而m>0,所以o-^>彳=彳>-，

222e

設g(t)=tint,t>貝！Jg'(t)=Int+1>0,

所以g(t)在卜,+8)上單調(diào)遞增，從而-2%,

即m>”對任意％e卜，+8)恒成立，

設f(x)=",則-0)=書名，

當"x<?!時，/'⑴>0,/(%)在g0上單調(diào)遞增，

當%時，/'(%)<0,/(%)在6,+8)上單調(diào)遞減，

所以當汽=；時，/(x)min=/Q)=7

綜上，正實數(shù)血的取值范圍是E+8).

故答案為：[：,+8).

14.(5分)(2024?天津?一模)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(%)滿足/(%)=/(5x),當％G[1,5)時,/(%)=Inx.

若在區(qū)間[1,25)內(nèi)，函數(shù)g(%)=/(%)-我有三個不同零點，則實數(shù)。的取值范圍為目

Inx1Vxv5

lnx"二”一”畫出函數(shù)圖像，計算直線y=ax與函數(shù)相切和過點

(in5,J人乙J

(25/n5)時的斜率，根據(jù)圖像得到答案.

【解答過程】函數(shù)/(%)滿足/(%)=/(5x),當%6[1,5),f(x)=Inx,

所以當xe[5,25),聲[l,5),f(x)=/g)=ln|,

fInx,1<%<5

故f(久)=j]n工5Vx<25'9(久)=/(%)—ax-0)/(%)=ax,

畫出函數(shù)圖像，如圖所示，觀察圖像可知，要使函數(shù)g。)=/(久)-ax有三個不同零點，

則直線y=ax應在圖中的兩條虛線之間，

上方的虛線為直線與人式)=In^(5<x<25)相切時，

下方的虛線是直線y=ax經(jīng)過點(25,ln5)時，

當直線y=ax與/'(%)=Inf(5<%<25)相切時,

/&)=(設切點為p[o，l吟)，

則斜率a=工=上5°,ln^=1,/.x0=5e,此時。=｝，

XQ3一055e

當直線y=a%經(jīng)過點(25,ln5)時，a=fc=

故答案為：償,J.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.(13分)(23-24高二下?上海閔行?階段練習)遙控飛機上升后一段時間內(nèi)，第ts時的高度為/"(t)=5t2+

45t+4,其中上升高度/(t)的單位為m,f的單位為s；

(1)求飛機在[1,2]時間段內(nèi)的平均速度；

(2)求飛機在七=2s時的瞬時速度.

【解題思路】(1)根據(jù)平均變化率計算；

(2)根據(jù)瞬時變化率計算.

【解答過程】⑴"股@=5x22+45x2+4-(5x12+45x1+4)=6()⑺/。

2—11

(2)第2s末的瞬時速度為lim?=lim段竽酸

△10AtAt-OAt

5(2+At)2+45(2+At)+4-(5x22+45x2+4)

=lim------------------------------------------------------------------------

△t-oAt

=lim+65At_]jm[5(At)+65]=65(m/s).

△t—oAtAt-?0

因此，第2s末的瞬時速度為65m/s.

16.(15分)(2024?陜西渭南?二模)已知函數(shù)f(%)=%ln%,g(x)=—%+1.

(1)求函數(shù)g(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當久>0時，mx2—ex<7n/(%)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

【解題思路】(1)求出函數(shù)g(%),再利用導數(shù)求出或式)的單調(diào)區(qū)間.

(2)等價變形給定不等式得-In%)<ex-lnx,令t=%-In%并求出值域，再換元并分離參數(shù)構造函數(shù)，

求出函數(shù)的最小值即得.

【解答過程】(1)依題意，函數(shù)g(%)=21n%：的定義域為(0,+8),

求導得/(%)=|-1-I)2<0,當且僅當工=1時取等號，

即g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)9(%)的遞減區(qū)間為(0,+8),無遞增區(qū)間.

(2)當久>0時，mx2—ex<m/(x)<=>mx2—ex<mx\nxQm(x—In%)<^-=e"Tn%恒成立，

令h(%)=x—\nx,x>0,求導得h(%)=1—

當0V久<1時，h/(x)<0,當％>1時，/i(x)>0,

即函數(shù)九(%)在(0,1)上遞減,在(1,+8)上遞增，則當l>0時，h(x)>h(l)=1,

令t=x—In%,依題意，Vte[1,4-oo),mt<ef?m<(恒成立，

令求導得w'(t)=e(；廣)K0,則函數(shù)？(t)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

當t=1時，9(t)min=9(1)=e,因此m<e,

所以實數(shù)m的取值范圍(一8,e].

17.(15分)(2024?北京?三模)已知f(%)=—aln%—a%—1.

(1)若a=-1,求曲線y=f(%)在點P(l,2)處的切線方程；

(2)若函數(shù)y=/(%)存在兩個不同的極值點％1，第2，求證：/(%i)+/(%2)>。?

【解題思路】(1)先對函數(shù)求導，結合導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而可求切線方程;

(2)由已知結合導數(shù)與單調(diào)性及極值關系先表示/(勺)+/(%2)，然后結合二次方程根的存在條件即可證明.

【解答過程】(1)當。=一1時，/(%)=2Vx+Inx+%-1,

爪)=?：+1/⑴=3，

所以曲線y=/(%)在點P(L2)處的切線方程為y-2=3(%-1),即y=3x-1；

(2)/'(%)=^=--~a,

yjxX

令f(%)=。，得〒----a=0r令￡=y/xf貝！Jt>0,

'y/Xx

原方程可化為a產(chǎn)-t+a=0①，則方=恒也=恒是方程①的兩個不同的根,

(△=1-4a2>01

所以1、八，解得0Va</

I；>02

由韋達定理得ti+t2=("也=1，貝際+g=(ti+b)2-21也=5一2,

-2

所以+/(%2)=2(61+7^2)一磯1皿+lnx2)-a(%i+x2)

=2(h+t2)-aln(t"分—+g)—2=2a+[—2,

令h(d)=2aH---2(0<aV萬)，則/i(a)=2—<0(0VaVJ,

所以函數(shù)h(a)在(0，)上單調(diào)遞減，

所以/i(a)=2ad---2>h(J=1>0,

所以/(%1)+/(%2)>。.

18.(17分)(2023,山東濰坊?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=In%-a+/(a>0).

(1)若曲線y=/(%)在點處與無軸相切，求a的值;

⑵求函數(shù)八久)在區(qū)間(l,e)上的零點個數(shù).

【解題思路】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求得答案；

(2)由/''(久)=0,求得％=a,分類討論％=。與(1了)的位置關系，結合函數(shù)的單調(diào)性，以及零點存在定理,

即可判斷出函數(shù)的零點個數(shù).

【解答過程】(1)由題意得f(x)=lnx—a+久a>0)定義域為(0,+8),

f7G_1a_x-a

因為y=fO)在點(Lf(D)處與x軸相切，且/'(1)=o.

所以f'(l)=l—a=0,解得a=l.經(jīng)檢驗a=1符合題意.

(2)由(1)知/''(%)=爰，令/''(X)=0,得％=a,

當久<a時，/(%)<0,當x>a時，/(%)>0,

(i)當0<aS1時，xG(l,e),f'(x)>0,函數(shù)/(x)在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞增.

所以f(x)>/(D=0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(l,e)上無零點；

(ii)當l<a<e時，若1cx<a,貝!|/'(x)<0,若a<x<e,貝行(%)>0.

函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(a,e)上單調(diào)遞增.

且/'(1)=0,則f(a)<f(1)<0,而f(e)=1—a+：.

當f(e)=1—a+9>。，即1<。<三時，函數(shù)/O)在區(qū)間(l,e)上有一個零點；

ee—1

當f(e)=l-a+：W0時，即當言Wa<e時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(l,e)上無零點；

(iii)當aNe時，x6(l,e),f\x)<0,函數(shù)/(x)在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞減.

所以f(x)</(l)=0,所以函數(shù)人支)在區(qū)間(l,e)上無零點.

綜上：當0<aWl或a2六時，函數(shù)/(x)在區(qū)間(l,e)上無零點；

當1<a<六時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(l,e)上有一個零點.

19.(17分)(2024?福建南平?模擬預測)已知函數(shù)/(無)=等，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)討論人支)的單調(diào)性；

(2)若方程/(%)=1有兩個不同的根%1，%2?

⑴求a的取值范圍；

(ii)證明:就+后>2.

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