平面向量基本定理 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊(cè)

6.3平面向量基本定理

及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理第六章

平面向量及其應(yīng)用一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握平面向量基本定理理解向量基底的概念能利用平面向量基本定理解決相關(guān)的問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入

我們學(xué)習(xí)了向量的運(yùn)算，知道位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示.

類似地，平面內(nèi)任一向量是否可以由同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量表示呢？

我們知道，已知兩個(gè)力，可以求出它們的合力；反過(guò)來(lái)，一個(gè)力可以分解為兩個(gè)力.類似地，我們能否將向量分解為兩個(gè)向量，使向量是這兩個(gè)向量的和呢?新知探究問(wèn)題1如圖(1)所示，設(shè)是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，是這一平面內(nèi)與都不共線的向量.如圖(2)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作

.將按的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？圖(1)圖(2)根據(jù)向量的平行四邊形法則OM與OA共線OM=λ1OA=λ1e1同理

ON=λ2OB=λ2

e2∴a=λ1e1+

λ2e2向量的分解新知探究新知探究追問(wèn)1

若向量

與

或共線，還能用

表示嗎？追問(wèn)2

當(dāng)是零向量時(shí)，還可以表示成的形式嗎？新知探究追問(wèn)3

改變

的位置如下圖三種情況時(shí)，怎樣構(gòu)造平行四邊形？OC結(jié)論1：平面上任意一個(gè)向量

都可以表示為：新知探究

新知探究假設(shè)，則即所以所以所以唯一

結(jié)論3：有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使

成立.概念生成綜合以上3個(gè)結(jié)論，我們可以得到如下定理平面向量基本定理

有且只有

存在性唯一性若

不共線，我們把

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.新知探究

BAOMOMAB可以相同,也可以不同關(guān)于平面向量基本定理的幾點(diǎn)說(shuō)明：定理說(shuō)明(1)基底的選擇是不唯一的；(關(guān)鍵是不共線)

(4)零向量不可以作為基底(5)同一平面內(nèi)的任一向量都可以由同一個(gè)基底唯一表示(6)是基底,若則有(7)典例解析解：OBAPOBAP例1

如圖示，不共線，且，用表示.結(jié)論例2

如圖示，CD是△ABC的中線，，用向量方法證明是直角三角形.證明：

向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應(yīng)的兩條線段(或直線)是否垂直的重要方法之一.典例解析鞏固練習(xí)課本P27CBADEF鞏固練習(xí)課本P272.如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E,F分別是OA,OC的中點(diǎn)，G是CD的三等分點(diǎn)(1)用表示；(2)能由(1)得出DE,BF的關(guān)系嗎?CBADEFOG鞏固練習(xí)課本P27

3.如圖,在△ABC中，,點(diǎn)E,F分別是AC,BC的中點(diǎn).設(shè)(1)用

表示.(2)如果∠A=60°，AB=2AC，CD，EF有什么關(guān)系?用向量方法證明你的結(jié)論.CBADEF課堂小結(jié)本節(jié)課你學(xué)會(huì)了哪些主要內(nèi)容？1.知識(shí)點(diǎn)：(1)平面向量