北師版九年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點 清單07 二次函數(shù)（13個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

清單07二次函數(shù)（13個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)【清單02】二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標是（h，k）．（3）交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，a≠0．【清單03】二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時，y最小值=當(dāng)x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當(dāng)x<–時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而減小【清單04】拋物線的平移二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式．【清單05】二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標．3）（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點．【清單06】用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是：（1）列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時，要根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍（2）在自變量取值范圍內(nèi)，運用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值或最小值【清單07】用二次函數(shù)圖象解決幾何問題二次函數(shù)與幾何知識聯(lián)系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關(guān)系為紐帶，把二次函數(shù)常與全相似、最大(小)面積、周長等結(jié)合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、坐標和線段長度的聯(lián)系，從圖形中建立二次函數(shù)的模型，從而使問題得到解決.解這類問題的關(guān)鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題目的【考點題型一】二次函數(shù)的概念

【典例1-1】下列函數(shù)中屬于二次函數(shù)的是（

）A．y=3x?1 B．y=ax2+bx+c C．y=2【典例1-2】關(guān)于x的函數(shù)y=(m?1)xm2+1+5【變式1-1】下列屬于二次函數(shù)的是（

）A．y=?2x2+3 B．y=2x C．y=【變式1-2】若y=(m?4)x2?5x+3表示y是x的二次函數(shù)，則m【變式1-3】若y=m?2xm2?2+3x是關(guān)于

【考點題型二】特殊二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

【典例2】對于拋物線y=?2x?12+3A．函數(shù)最小值是3 B．當(dāng)x>1時，y隨x的增大而增大C．拋物線的頂點坐標是?1,3 D．對稱軸為直線x=1【變式2-1】若二次函數(shù)y=x2+3的圖象經(jīng)過點?1,y1，3,y2A．y1=y2 B．y1【變式2-2】拋物線y=x?12?2A．?1,?2 B．1,?2 C．?1,2 D．1,2【變式2-3】設(shè)A(?5,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是拋物線y=?A．y2>y3>y1 B．【變式2-4】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=?x?52+1，當(dāng)2<x<6時，【考點題型三】與特殊二次函數(shù)有關(guān)的幾何知識

【典例3】如圖，拋物線C1:y=x2?4x的對稱軸為直線x=a，將拋物線C1向上平移5個單位長度得到拋物線C2【變式3-1】如圖，已知拋物線y1=?12x2+4，?2≤x≤2，將【變式3-2】如圖，拋物線y=13x2?3與x軸交于A，B兩點，F(xiàn)是以點C0,4為圓心，1為半徑的圓上的動點，D是線段AF的中點，連接OD，【變式3-3】將拋物線y=?x2向右平移后，所得新拋物線的頂點是B，新拋物線與原拋物線交于點A（如圖所示），聯(lián)接OA、AB如果△AOB是等邊三角形，那么點B的坐標是【變式3-4】如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A、B、C的坐標分別為1,1、1,4、4,4．若拋物線y=ax2的圖象與正方形ABCD有公共點，則a的取值范圍是

【考點題型四】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)

【典例4】已知二次函數(shù)y=2x2?x+1A．頂點坐標為12,7C．當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而減小 D．若1<x1【變式4-1】下列關(guān)于二次函數(shù)y=?3x+1x?2的圖象和性質(zhì)的敘述中，正確的是（A．點0,2在函數(shù)圖象上 B．開口方向向上C．對稱軸是直線x=1 D．與直線y=3x有兩個交點【變式4-2】已知二次函數(shù)y=?mx2+2mx+4m>0經(jīng)過點A?2,y1A．y1<y2<y3 B．【變式4-3】二次函數(shù)y=ax2+x?6的圖象與x軸交于A?3,0、A．它的對稱軸為直線x=1 B．頂點坐標為?C．點B的坐標為2,0 D．當(dāng)x<?1時，y隨x的增大而增大【變式4-4】拋物線y=ax2+bx+ca≠0，y與x?2012my?5343?5A．開口向下 B．頂點坐標為1,4 C．當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小 D．m=4

【考點題型五】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值與求參數(shù)范圍問題

【典例5】已知二次函數(shù)y=x2?2ax+a2?1，當(dāng)A．1或0 B．1或2?3 C．2?3或3?1【變式5-1】已知二次函數(shù)y=x2?bx+1，當(dāng)?32≤x≤12時，函數(shù)A．?2或32 B．?116或32 C．±【變式5-1】已知二次函數(shù)y=mx2?4mx+1，其中m>0．若當(dāng)0≤x≤4時，對應(yīng)的y的整數(shù)值有6個，則mA．12<m<34 B．1<m≤54【變式5-2】已知拋物線y=x2+2a?1x?3，若當(dāng)?1≤x≤3時，函數(shù)的最大值為1，則a的值為【考點題型六】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像判斷有關(guān)的信息

【典例6】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc<0；②2a+b=0；③m為任意實數(shù)，則a+b≤m(am+b)；④a?b+c>0；⑤若ax12+bA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式6-1】在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖所示，現(xiàn)給以下結(jié)論：①abc<0；②c+2a<0；③9a?3b+c=0；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式6-2】如圖，已知頂點為?3,?6的拋物線y=ax2+bx+c過?1,?4，則下列結(jié)論：①abc<0；②對于任意的x，均有am2+bm+c+6>0；③?5a+c=?4；④若A．2 B．3 C．4 D．5【變式6-3】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點A?1,0，與y軸的交點在0,?2和0,?1之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1，下列結(jié)論：①4a+2b+c>0；②4ac?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式6-4】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為12,1，下列結(jié)論：①abc<0；②b2?4ac>0A．1 B．2 C．3 D．4【考點題型七】二次函數(shù)的平移變換

【典例7】將拋物線y=x2向上平移2個單位長度，再向左平移5個單位長度后，得到的拋物線的解析式為（A．y=x+52+2C．y=x+52?2【變式7-1】將拋物線y=3xA．y=3(x+1)2+2C．y=3(x?2)2+1【變式7-2】要得到二次函數(shù)y=?x?22+1A．向左平移2個單位，再向下平移1個單位B．向右平移2個單位，再向上平移1個單位C．向左平移1個單位，再向上平移2個單位D．向右平移1個單位，再向下平移2個單位【變式7-3】在平面直角坐標系中，將拋物線y=x2+1A．y=x?32?1C．y=x+32?1【考點題型八】二次函數(shù)的交點問題

【典例8】拋物線y1=?x2+4x和直線yA．x<0 B．0<x<4 C．0<x<2 D．2<x<4【變式8-1】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，當(dāng)函數(shù)值y<0時，自變量x【變式8-2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bxa>0和直線y=kxk>0交于點O和點A，則關(guān)于x【變式8-3】如圖，已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與一次函數(shù)y2=kx+m的圖象相交于點A(?5,?3)，B(3,4)【考點題型九】二次函數(shù)應(yīng)用-類拋物線問題

【典例9】【綜合與實踐】為響應(yīng)國家“雙減”政策號召，落實“五育并舉”舉措，我縣各校開展了豐富多彩的社團活動．球類運動課上，甲乙兩人打乒乓球，讓乒乓球沿著球臺的中軸線運動，從側(cè)面看乒乓球臺如圖所示，MN為球臺，EF為球網(wǎng)，點E為MN中點，MN=28dm，EF=1.5dm，甲從M正上方的A處擊中球完成發(fā)球，球沿直線撞擊球臺上的B處再彈起到另一側(cè)的C處，從C處再次彈起到P，乙再接球．以MN所在直線為x軸，M為原點作平面直角坐標系，xdm表示球與M的水平距離，ydm表示球到球臺的高度，將乒乓球看成點，兩次彈起的路徑均為拋物線，BC段拋物線的表達式為y1(1)①點F的坐標為______；②用含t的式子表示：點B的坐標為______；點C的坐標為______；(2)當(dāng)球在球網(wǎng)EF正上方時到達最高點，求此時球與F的距離；(3)若球第二次的落點C在球網(wǎng)右側(cè)5dm處，球再次彈起最高為1.25dm，乙的球拍在N處正上方如線段GH，GH=1.5dm，【變式9-1】如圖，小明在某次投籃中，球的運動路線是拋物線y=?0.2x2+3.5A．3m B．3.5m C．4m 【變式9-2】“一河詩畫，滿城煙花”，每逢過年過節(jié)，人們會在美麗的瀏陽河邊上手持網(wǎng)紅煙花加特林進行燃放，當(dāng)發(fā)射角度與水平面成45度角時，煙花在空中的高度y（米）與水平距離x（米）接近于拋物線y=?0.5x2+10x?38【變式9-3】圖①是古代的一種遠程投石機，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分．據(jù)《范蠡兵法》記載：“飛石重十二斤，為機發(fā)，行二百步”，其原理蘊含了物理中的“杠桿原理”．在如圖②所示的平面直角坐標系中，將投石機置于斜坡OA的底部點O處，石塊從投石機豎直方向上的點C處被投出，已知石塊運動軌跡所在拋物線的頂點坐標是50,25，OC=5．(1)求拋物線的表達式；(2)在斜坡上的點A建有垂直于水平線OD的城墻AB，且OD=75，AD=12，AB=9，點D，A，B在一條直線上．通過計算說明石塊能否飛越城墻AB．【變式9-4】某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度與拱高之積為48m方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，點N在x軸上，PE⊥ON，方案二，拋物線型拱門的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計），方案一中，矩形框架ABCD的面積記為S1，點A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面積記為S2，點A′

(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達式；(2)在方案一中，當(dāng)AB=3m時，求矩形框架ABCD的面積S1并比較S1【考點題型十】二次函數(shù)應(yīng)用-面積問題

【典例10】以農(nóng)業(yè)和農(nóng)村為載體的生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園，不僅具有生產(chǎn)性功能，還具有改善生態(tài)環(huán)境質(zhì)量，為人們提供觀光、休閑、度假的生活性功能．?dāng)?shù)學(xué)探究小組以“設(shè)計矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園”為主題開展數(shù)學(xué)實踐活動．如圖，△ABC是一塊用籬笆圍出的直角三角形田地，其中∠C=90°，AB=500m，BC=300m，數(shù)學(xué)探究小組準備繼續(xù)用籬笆在該田地中圍出“矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園”．該觀光園為矩形DEFG，E、F落在BA邊上，D在BC邊上，G在AC邊上，（其中(1)若DE=204m，請求出矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園DG(2)因材料限制，新添加的籬笆總長最多只能為485m【變式10-1】如圖1，用一段長為33米的籬笆圍成一個一邊靠墻并且中間有一道籬笆隔墻的矩形ABCD菜園，墻長為12米．設(shè)AB的長為x米，矩形ABCD菜園的面積為S平方米，(1)分別用含x的代數(shù)式表示BC與S；(2)若S=54，求x的值；(3)如圖2，若在分成的兩個小矩形的正前方各開一個1.5米寬的門（無需籬笆），當(dāng)x為何值時，S取最大值，最大值為多少？【變式10-2】綜合與實踐在綜合實踐課上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料：(1)如圖1，已知三角形小木塊△ABC，邊BC=120cm，高AD=80cm，小明要利用它做一個正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．求加工成的正方形零件(2)如圖2，已知三角形小木塊△ABC，邊BC=a，高AD=?，小明要利用它做一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．求加工成的矩形零件PQMN面積的最大值是多少？（用含a，?的代數(shù)式表示）(3)如圖3，已知四邊形的小木塊ABCD，測得AB=60cm，BC=100cm，CD=70cm，∠B=∠C=60°，小明要利用它做一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，CD【變式10-3】如圖，四邊形ABCD中，AD=CD,AB=BC，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．(1)如果箏形的兩條對角線長分別為6cm、8(2)已知箏形ABCD的對角線AC,BD的長度為整數(shù)值，且滿足AC+BD=6．試求當(dāng)AC,BD的長度為多少時，箏形ABCD的面積有最大值，最大值是多少？

【考點題型十一】二次函數(shù)應(yīng)用-利潤問題

【典例11】某款網(wǎng)紅產(chǎn)品很受消費者喜愛，每個產(chǎn)品的進價為40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天的銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元．(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍．(2)將產(chǎn)品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售產(chǎn)品獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少元？(3)該商戶從每天的利潤中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤等于2200元，求銷售單價x的值．【變式11-1】某商店銷售一種進價60元/件的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的每天銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數(shù)，其售價、銷售量的二組對應(yīng)值如下表：售價x/（元/件）80100銷售量y/件10060(1)求銷售量y關(guān)于售價x的函數(shù)關(guān)系式．(2)①設(shè)商店銷售該商品每天獲得的利潤為W（元），求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式．②若規(guī)定售價高于進價且不超過進價的1.5倍，問當(dāng)售價定為多少時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【變式11-2】某超市購進一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經(jīng)驗知，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元）x≥30存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)該超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當(dāng)銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？(3)根據(jù)市場調(diào)查，該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于4320元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍（直接寫出）．【變式11-3】著名作家史鐵生用他積極樂觀的人生態(tài)度影響著無數(shù)的讀者，他是當(dāng)之無愧的“時代巨人”．近日華南書苑直播平臺直播帶貨史鐵生散文集《病隙碎筆》，贏得了眾多粉絲的青睞．已知這本書的成本價為每本10元，規(guī)定銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的3倍．通過前幾天的銷售發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售定價為15元時，每天可售出700本，銷售單價每上漲10元，每天銷售量就減少200本．設(shè)每天的銷售量為y（本），銷售單價為x（元/本）(1)直接寫出y關(guān)于x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)若銷售該書每天的利潤為7500元，求該書的銷售單價；(3)甘肅地震牽動著全國人民的心，該主播決定，每銷售一本書就捐贈a元a>0給災(zāi)區(qū)，當(dāng)每天銷售最大利潤為6000元時，求a的值．【考點題型十二】二次函數(shù)與幾何綜合應(yīng)用

【典例12】如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于點A(?1,0)，B(3,0)，與y軸交于點C(0,3)，點P是坐標平面內(nèi)一點，點P(1)求拋物線的解析式；(2)連接OP，若點D在拋物線上且∠DBO+∠POB=90°，求點D的坐標；(3)如圖2，將拋物線y=ax2+bx+c當(dāng)?1≤x≤4時的函數(shù)圖象記為l1，將圖象l1在x軸上方的部分沿x軸翻折，圖象l1的其余部分保持不變，得到一個新圖象l2．若經(jīng)過點P【變式12-1】如圖，拋物線y=?x2+bx+c與軸交于點A，與x軸交于點B、C，已知A(1)求拋物線的表達式，并求出點C的坐標．(2)點M是拋物線（第一象限內(nèi)）上的一個動點，連接MA，MB，當(dāng)△MAB面積最大時，求M點的坐標．(3)若點M坐標固定為1,6，Q是拋物線上除M點之外的一個動點，當(dāng)△ABM與△ABQ的面積相等求出點Q的坐標．【變式12-2】如圖，拋物線y=?x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A(1)求拋物線的表達式；(2)點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標；(3)在坐標平面內(nèi)是否存在點P，使得以A，C，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．【變式12-3】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca<0的圖象與x軸交于A(?1,0)，B兩點，與y軸交于點C，已知(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)連接AC，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，連接PA，若△PDA與△COA相似，請求出滿足條件的P點坐標；若沒有滿足條件的P點，說明理由．【變式12-4】如圖，點C為二次函數(shù)y=x2+2x+1的頂點，直線y=?x+m與該二次函數(shù)圖象交于A(?3,4),B兩點（點B在y(1)求m的值及點C坐標；(2)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；(3)連接AC、BC，求△ABC的面積；(4)在該二次函數(shù)的對稱軸上是否存在點Q，使得以A,C,Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的Q點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式12-5】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+3分別交x軸，y軸于A，B兩點，經(jīng)過A，B兩點的拋物線y=?x2+bx+c與x(1)求拋物線的解析式；(2)點D在第二象限的拋物線上，且△AOD與△ABC面積相等，求D點坐標；(3)若P為線段AB上一點，∠APO=∠ACB，求AP的長；(4)在（3）的條件下，設(shè)M是y軸上一點，試問：拋物線上是否存在點N，使得以A，P，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【考點題型十三】二次函數(shù)與其他實際應(yīng)用綜合【典例13】【綜合探究】運用二次函數(shù)來研究植物幼苗葉片的生長狀況在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘.圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．【探究一】確定心形葉片的形狀（1）如圖3建立平面直角坐標系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)y=?ax2+4ax+4a+1【探究二】研究心形葉片的寬度：（2）如圖3，心形葉片的對稱軸直線y=x+2與坐標軸交于A，B兩點，拋物線與x軸交于另一點C，點C，C1是葉片上的一對對稱點，CC1交直線AB于點G【探究三】探究幼苗葉片的長度（3）小李同學(xué)在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)y=?ax2+4ax+4a+1圖象的一部分；如圖4，幼苗葉片下方輪廓線正好對應(yīng)任務(wù)1中的二次函數(shù)．已知直線PD（點P為葉尖）與水平線的夾角為45°【變式13-1】綜合與實踐：設(shè)計公交車?？空镜臄U建方案．【素材1】圖1為某公交車?？空荆斉锝孛嬗扇舾啥涡螤钕嗤膾佄锞€拼接而成．圖2為某段結(jié)構(gòu)示意圖，C1，C2皆為軸對稱圖形，且關(guān)于點

【素材2】圖3為停靠站部分截面示意圖，兩根長為2.5米的立柱M1N1，M2N2豎直立于地面并支撐在對稱中心M1，M【素材3】將頂棚擴建，要求截面為軸對稱圖形，且水平寬度為27米．計劃在頂棚兩個末端到地面之間加裝垂直于地面的擋風(fēng)板．【任務(wù)】(1)確定中心：求圖2中點M到該結(jié)構(gòu)最低點的水平距離l．(2)確定形狀：在圖3中建立合適的直角坐標系，求C1(3)確定高度：求擋風(fēng)板的高度．【變式13-2】圖1為某公園的拋物線型拱橋，圖2是橋拱的橫截面示意圖，測得水面寬度AB=24米，拱頂離水面的距離為CD=4米．

(1)在圖2中建立合適的直角坐標系后，求這條拋物線的函數(shù)表達式．(2)擬在公園里投放游船供游客乘坐，載重最少時，游船的橫截面如圖3所示，露出水面的船身為矩形GHIJ，船頂為等腰三角形EFK．測得相關(guān)數(shù)據(jù)如下：EF=EK=1.7米，F(xiàn)K=3米，F(xiàn)G=JK=0.4米，GH=JI=1.26米．為確保安全，擬在石拱橋下面的P，Q兩處設(shè)安置航行警戒線，要求如下：①游船底部HI在P，Q之間通行；②當(dāng)載重最少通過時，游船頂部E與拱橋的豎直距離至少為0.5米．求PQ的最大值．

清單07二次函數(shù)（13個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)【清單02】二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標是（h，k）．（3）交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，a≠0．【清單03】二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時，y最小值=當(dāng)x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當(dāng)x<–時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而減小【清單04】拋物線的平移二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式．【清單05】二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標．3）（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點．【清單06】用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是：（1）列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時，要根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍（2）在自變量取值范圍內(nèi)，運用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值或最小值【清單07】用二次函數(shù)圖象解決幾何問題二次函數(shù)與幾何知識聯(lián)系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關(guān)系為紐帶，把二次函數(shù)常與全相似、最大(小)面積、周長等結(jié)合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、坐標和線段長度的聯(lián)系，從圖形中建立二次函數(shù)的模型，從而使問題得到解決.解這類問題的關(guān)鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題目的【考點題型一】二次函數(shù)的概念

【典例1-1】下列函數(shù)中屬于二次函數(shù)的是（

）A．y=3x?1 B．y=ax2+bx+c C．y=2【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義．根據(jù)形如y=ax【詳解】解：A、y=3x?1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；B、y=ax2+bx+cC、y=2xD、y=x故選：C．【典例1-2】關(guān)于x的函數(shù)y=(m?1)xm2+1+5【答案】?1【分析】本題考查了二次函數(shù)的概念：關(guān)于自變量的二次三項式，一般形式為y=ax2+bx+c(a≠0)，a、b、c是常數(shù)；根據(jù)概念得m?1≠0【詳解】解：由題意得：m?1≠0，m2解得：m=?1；故答案為：?1．【變式1-1】下列屬于二次函數(shù)的是（

）A．y=?2x2+3 B．y=2x C．y=【答案】A【分析】本題主要考查二次函數(shù)的定義，一般地，把形如y=ax2+bx+ca≠0其中a，【詳解】解：A、y=?2xB、y=2x，是一次函數(shù)，故本選項不符合題意；C、y=1D、y=?x+1，是一次函數(shù)，故本選項不符合題意；故選：A．【變式1-2】若y=(m?4)x2?5x+3表示y是x的二次函數(shù)，則m【答案】m≠4【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，利用二次函數(shù)的定義得出關(guān)于m的不等式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)形如y=ax【詳解】解：由題意得，m?4≠0，解得m≠4，故答案為：m≠4．【變式1-3】若y=m?2xm2?2+3x是關(guān)于【答案】?2【分析】本題主要考查了二次函數(shù)定義，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c利用二次函數(shù)定義可得m2?2=2，且m?2≠0，計算出【詳解】解：∵y=m?2xm∴m2?2=2，且m?2≠0，解得：故答案為：?2．

【考點題型二】特殊二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

【典例2】對于拋物線y=?2x?12+3A．函數(shù)最小值是3 B．當(dāng)x>1時，y隨x的增大而增大C．拋物線的頂點坐標是?1,3 D．對稱軸為直線x=1【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)y=ax??2+k的圖像和性質(zhì)，由拋物線y=?2x?12+3可得出拋物線開口向下，對稱軸直線為x=1，頂點坐標為：1,3，進而可得出函數(shù)的最大值為3，且當(dāng)【詳解】解：∵拋物線y=?2x?12+3∴拋物線開口向下，對稱軸直線為x=1，頂點坐標為：1,3，∴函數(shù)的最大值為3，且當(dāng)x>1時，y隨x的增大而減小，故選：D．【變式2-1】若二次函數(shù)y=x2+3的圖象經(jīng)過點?1,y1，3,y2A．y1=y2 B．y1【答案】C【分析】本題主要考查了比較函數(shù)值的大小，根據(jù)二次函數(shù)y=x2+3【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為：y=x∴對稱軸為y軸，∴點?1,y1到對稱軸的距離小于點∵a=1>0，∴y1故選：C．【變式2-2】拋物線y=x?12?2A．?1,?2 B．1,?2 C．?1,2 D．1,2【答案】B【分析】本題考查了拋物線的頂點式及頂點坐標；根據(jù)二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=ax??2+k【詳解】解：拋物線y=x?12?2故選：B．【變式2-3】設(shè)A(?5,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是拋物線y=?A．y2>y3>y1 B．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=?(x+1)2+3【詳解】解：∵拋物線y=?(x+1)2+3∵?5??1=6,∴A(?5,y1)離直線x=?1的距離最遠，B(1,∴y故選：A．【變式2-4】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=?x?52+1，當(dāng)2<x<6時，【答案】?8<y≤1【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)．求得拋物線的對稱軸，根據(jù)圖象即可得出當(dāng)x=5，函數(shù)有最大值1；當(dāng)x=2時函數(shù)有最小值?8，進而求得它們的范圍．【詳解】解：∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=5，拋物線頂點坐標為5,1，∴在2<x<6范圍內(nèi)，當(dāng)x=5，函數(shù)有最大值為1；當(dāng)x=2時函數(shù)有最小值：y=?9+1=?8，故答案為：?8<y≤1．

【考點題型三】與特殊二次函數(shù)有關(guān)的幾何知識

【典例3】如圖，拋物線C1:y=x2?4x的對稱軸為直線x=a，將拋物線C1向上平移5個單位長度得到拋物線C2【答案】10【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移，平移的性質(zhì)，理解圖中陰影部分為平行四邊形OEFG是解題的關(guān)鍵．先求出l1的頂點坐標，再根據(jù)平移的性質(zhì)求出C1的頂點坐標，G的坐標，求出平行四邊形OEFG【詳解】解：∵拋物線C1∴對稱軸為x=2，頂點為(2,?4)∵拋物線C1向上平移5個單位長度得到拋物線C∴E點坐標為(5,0)，F(xiàn)點坐標為(2,1)．故兩條拋物線、直線x=a與y軸所圍成的圖形（陰影部分）的面積為5×2=10．故答案為：10.【變式3-1】如圖，已知拋物線y1=?12x2+4，?2≤x≤2，將【答案】8【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．根據(jù)已知得出陰影部分即為平行四邊形的面積．【詳解】解：根據(jù)題意知，圖中陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積，故陰影部分面積為：2×4=8．故答案為：8．【變式3-2】如圖，拋物線y=13x2?3與x軸交于A，B兩點，F(xiàn)是以點C0,4為圓心，1為半徑的圓上的動點，D是線段AF的中點，連接OD，【答案】3【分析】本題考查了拋物線與坐標軸的交點，三角形中位線定理，勾股定理，圓的基本性質(zhì)等知識；運用三角形中位線定理是本題的關(guān)鍵和難點．連接PB，根據(jù)函數(shù)解析式，求B坐標，然后求出BC=5，D是線段AF的中點，O是線段AB的中點，故BF是△ABF的中位線，當(dāng)B、C、F三點共線，且點C在BF之間時，BF最大，即可求解．【詳解】解：連接BC，CF，∵拋物線y=13x2?3與x令y=0即0=1解得x1=?3或∴A?3,0∴OA=OB=3，∵C0,4∴OC=4，∴BC=4D是線段AF的中點，O是線段AB的中點，故OD是△ABP的中位線，OD=1OD最大，即BF最大，即B、C、F三點共線，且點C在BF之間時，BF最大，∴BFOD故答案為：3．【變式3-3】將拋物線y=?x2向右平移后，所得新拋物線的頂點是B，新拋物線與原拋物線交于點A（如圖所示），聯(lián)接OA、AB如果△AOB是等邊三角形，那么點B的坐標是【答案】B(2【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖像與幾何變換，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，根據(jù)題意得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．由題意設(shè)A點坐標為(m,?m2)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到B(2m,0)【詳解】解：∵點A在拋物線y=?x∴設(shè)A點坐標為(m,?m∵△AOB是等邊三角形，∴B(2m,0)，m=3∴m=3或m=0∴B(23故答案為：B(23【變式3-4】如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A、B、C的坐標分別為1,1、1,4、4,4．若拋物線y=ax2的圖象與正方形ABCD有公共點，則a的取值范圍是

【答案】1【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征等知識，求出拋物線經(jīng)過兩個特殊點時的a的值即可解決問題．【詳解】解：∵正方形ABCD的頂點A、B、C的坐標分別為1,1、1,4、4,4．∴D4當(dāng)拋物線經(jīng)過點B1,4時，則a=4當(dāng)拋物線經(jīng)過D4,1時，a=觀察圖象可知，拋物線y=ax2的圖象與正方形ABCD有公共點，則a的取值范圍是故答案為：116

【考點題型四】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)

【典例4】已知二次函數(shù)y=2x2?x+1A．頂點坐標為12,7C．當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而減小 D．若1<x1【答案】D【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．先利用配方法得到y(tǒng)=2x?【詳解】解：∵y=2x∴拋物線頂點坐標為14∴拋物線的開口向上，頂點坐標為14,78，函數(shù)的最小值為∴當(dāng)x≤14時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x≥14時，∴若1<x1<∴選項A，B，C錯誤，不符合題意，選項D正確，符合題意，故選：D【變式4-1】下列關(guān)于二次函數(shù)y=?3x+1x?2的圖象和性質(zhì)的敘述中，正確的是（A．點0,2在函數(shù)圖象上 B．開口方向向上C．對稱軸是直線x=1 D．與直線y=3x有兩個交點【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．求出x=0時，y的值即可判斷選項A；根據(jù)?3<0即可判斷選項B；將二次函數(shù)的解析式化成頂點式即可判斷選項C；聯(lián)立二次函數(shù)與直線y=3x可得一個關(guān)于x的一元二次方程，由此即可判斷選項D．【詳解】解：當(dāng)x=0時，y=?3×1×?2則點0,2不在函數(shù)圖象上，選項A錯誤；∵?3<0，∴拋物線的開口方向向下，選項B錯誤；y=?3x+1則對稱軸是直線x=1聯(lián)立y=?3x+1x?2y=3x解得x=±2則與直線y=3x有兩個交點，選項D正確；故選：D．【變式4-2】已知二次函數(shù)y=?mx2+2mx+4m>0經(jīng)過點A?2,y1A．y1<y2<y3 B．【答案】B【分析】本題考查利用二次函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值大小，涉及二次函數(shù)圖像與性質(zhì)、比較二次函數(shù)值大小等知識，根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，利用圖像上點到對稱軸距離比較函數(shù)值大小即可得到答案，熟練掌握利用距離比較二次函數(shù)值大小的方法是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：由二次函數(shù)y=?mx2+2mx+4∴拋物線上點到對稱軸距離越近，函數(shù)值y越大，∵二次函數(shù)y=?mx2+2mx+4m>0經(jīng)過點A?2,∴三個點A、B、C到對稱軸的距離為3、0、2，∴y1故選：B．【變式4-3】二次函數(shù)y=ax2+x?6的圖象與x軸交于A?3,0、A．它的對稱軸為直線x=1 B．頂點坐標為?C．點B的坐標為2,0 D．當(dāng)x<?1時，y隨x的增大而增大【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標軸的交點．待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，進而逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2+x?6的圖象與x∴9a?3?6=0，解得：a=1，∴二次函數(shù)解析式為y=x∵y=x∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=?12，頂點坐標為故A，B選項不正確，不符合題意；∵a=1>0，∴拋物線開口向上，∴當(dāng)x<?1時，y隨x的增大而減小，故D選項不正確，不符合題意；當(dāng)y=0時，x2解得：x1∴點B的坐標為2,0，故C選項正確，符合題意；故選：C．【變式4-4】拋物線y=ax2+bx+ca≠0，y與x?2012my?5343?5A．開口向下 B．頂點坐標為1,4 C．當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小 D．m=4【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對稱性、增減性以及二次函數(shù)的頂點坐標．根據(jù)圖表信息判斷出拋物線的開口向下對稱軸為直線x=1，頂點坐標為(1,4)，再根據(jù)拋物線的對稱性解答．【詳解】解：由圖可知，拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點坐標為(1,4)，∵x=1時，y=4最大，∴拋物線開口向下，當(dāng)x<1時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x=3與x=?1時，y值相等，∵x=?2時，y=?5，∴x=m=4時，y=?5．故選項A、B、D正確，選項C錯誤，故選：C．

【考點題型五】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值與求參數(shù)范圍問題

【典例5】已知二次函數(shù)y=x2?2ax+a2?1，當(dāng)A．1或0 B．1或2?3 C．2?3或3?1【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．根據(jù)二次函數(shù)y=x2?2ax+【詳解】解：二次函數(shù)y=x∴該函數(shù)的對稱軸為直線x=a，函數(shù)的最小值為?1，∵函數(shù)的最大值與最小值的差為3，∴函數(shù)的最大值為2，∵當(dāng)?1≤x≤2時，函數(shù)的最大值與最小值的差為3，∴當(dāng)a??1>2?a，即a>12時，∴?1解得a1=3當(dāng)a??1<2?a，即a<12時，∴2解得a1=2+3故選：C．【變式5-1】已知二次函數(shù)y=x2?bx+1，當(dāng)?32≤x≤12時，函數(shù)A．?2或32 B．?116或32 C．±【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握根據(jù)二次函數(shù)的最值求系數(shù)值是解題的關(guān)鍵．分三種情況：當(dāng)?32<b2<12時，即?3<b<1時，當(dāng)x=?b2時，函數(shù)有最小值12；當(dāng)b2≥12【詳解】解：∵y=x又∵當(dāng)?32≤x≤12∴當(dāng)?32<b2<1∴1?b解得：b=±2∴b=?2當(dāng)b2≥12時，即b>1時，當(dāng)∴12解得：b=3當(dāng)b2≤?32時，即b≤?3時，當(dāng)∴?3解得：b=?11綜上，當(dāng)?32≤x≤12時，函數(shù)y有最小值12，故選：A．【變式5-1】已知二次函數(shù)y=mx2?4mx+1，其中m>0．若當(dāng)0≤x≤4時，對應(yīng)的y的整數(shù)值有6個，則mA．12<m<34 B．1<m≤54【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由y=mx2?4x+4?4m+1=mx?22?4m+1，可知函數(shù)的最小值為1?4m【詳解】∵y=m∴y=mxy=mx?2∴拋物線的頂點坐標為2,1?4m，∴當(dāng)x=0或x=4時，y=1，∴當(dāng)x=2時，y有最小值為1?4m，∵m>0，∴當(dāng)0≤x≤4時，y的最大值為1，∵m>0，當(dāng)0≤x≤4時，對應(yīng)的y的整數(shù)值有6個，∴這6個整數(shù)值為：1、0、?1、?2、?3、?4，∴?5<1?4m≤?4解得：5故選：D【變式5-2】已知拋物線y=x2+2a?1x?3，若當(dāng)?1≤x≤3時，函數(shù)的最大值為1，則a的值為【答案】?1或?13/?【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論．先求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=?2a?12，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性并結(jié)合【詳解】解：∵二次函數(shù)y=x2+2a?1∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x=?2a?1①當(dāng)?2a?12>3，即a<?52時，此時二次函數(shù)在?1≤x≤3上y隨x的增大而減小，在x=?1取最大值，即1?②當(dāng)?1+32≤?2a?12≤3∴二次函數(shù)在x=?1取最大值，即1?2a?1?3=1，解得③當(dāng)?1≤?2a?12<?1+32∴二次函數(shù)在x=3取最大值，即9+32a?1?3=1，解得④當(dāng)?2a?12<?1即a≥32時，此時二次函數(shù)在?1≤x≤3上y隨x的增大而增大，在x=3取最大值，9+3綜上，a的值為?1或?1故答案：?1或?1【考點題型六】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像判斷有關(guān)的信息

【典例6】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc<0；②2a+b=0；③m為任意實數(shù)，則a+b≤m(am+b)；④a?b+c>0；⑤若ax12+bA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系．根據(jù)圖象正確的獲取信息，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷，是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)開口方向，對稱軸，與y軸的交點位置，進行判斷；②利用對稱軸進行判斷；③利用最值進行判斷；④根據(jù)對稱性和圖象上的點，進行判斷；⑤利用對稱性進行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向上，則a>0，∵對稱軸為直線x=?b2a=1∴2a+b=0，故②正確拋物線與y軸交于負半軸，則c<0，∴abc>0，故①錯誤；∵當(dāng)x=1時，取得小值，∴a+b+c≤am當(dāng)m為任意實數(shù)，則a+b≤mam+b④∵拋物線關(guān)于x=1對稱，∴x=?1即：a?b+c=9a由圖象知，當(dāng)x=3時，函數(shù)值大于0，∴a?b+c>0，故④正確；⑤當(dāng)x1,x2關(guān)于x1即：ax∴a∴若ax12+bx綜上所述，正確的是②③④⑤，共4個，故選：C．【變式6-1】在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖所示，現(xiàn)給以下結(jié)論：①abc<0；②c+2a<0；③9a?3b+c=0；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別進行判斷得到答案即可．由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．【詳解】解：①由拋物線可知：a>0，c<0對稱軸x=?b∴b>0，∴abc<0，故①正確；②由對稱軸可知：?b∴b=2a，∴y=ax2∵拋物線過點1,0，∴a+2a+c=0，∴c+2a=?a<0，故②正確；③1,0關(guān)于x=?1的對稱點為?3,0，∴x=?3時，y=9a?3b+c=0，故③正確；④拋物線與x軸有兩個交點，∴Δ即b2∴4ac?b⑤當(dāng)x=?1時，y的最小值為a?b+c，∴x=m時，y=am∴am即a?b≤mam+b故錯誤的有：④⑤．故選：B．【變式6-2】如圖，已知頂點為?3,?6的拋物線y=ax2+bx+c過?1,?4，則下列結(jié)論：①abc<0；②對于任意的x，均有am2+bm+c+6>0；③?5a+c=?4；④若A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)開口方向，對稱軸，與y軸的交點，即可判斷a,b,c的符號，即可判斷①，根據(jù)頂點坐標求得最值，即可判斷②，把?1,?4代入y=ax2+bx+c，得a?b+c=a?6a+c=?5a+c=?4，故③正確，由?1,?4關(guān)于直線x=?3對稱的點為(?5,?4)，進而得若ax2+bx+c≥?4，則x≥?1或x≤?5，故④錯誤；由拋物線y=ax2+bx+c的頂點為?3,?6【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a>0，∵對稱軸為直線x=?3=?b∴b>0，b=6a，∵拋物線與y軸交于負半軸，∴c<0，∴abc<∵拋物線的頂點坐標為(?3,?6)，即x=?3時，函數(shù)有最小值，∴ax∴對于任意的x，均有am∵拋物線y=ax2+bx+c∴a?b+c=a?6a+c=?5a+c=?4，故③正確；∵拋物線y=ax2+bx+c過?1,?4，?1,?4關(guān)于直線x=?3∴若ax2+bx+c≥?4，則x≥?1∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點為?3,?6∴4ac?b∴c=9a?6，∵?5a+c=?4，∴?5a+9a?6=?4，解得a=1∴正確的個數(shù)為3.故選：B．【變式6-3】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點A?1,0，與y軸的交點在0,?2和0,?1之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1，下列結(jié)論：①4a+2b+c>0；②4ac?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與【詳解】解：①∵圖象與x軸交于點A?1,0，對稱軸為直線x=1∴圖象與x軸的另一個交點為3,0，∴當(dāng)x=2時，y<0，∴4a+2b+c<0，故①錯誤；②∵函數(shù)開口方向向上，∴a>0，∵拋物線與y軸交點在0,?2和0,?1之間，對稱軸為直線x=1，∴頂點縱坐標要小于?1，∴4ac?b24a∴4ac?b③∵圖象與y軸的交點在0,?2和0,?1之間，∴?2<c<?1，∵圖象與x軸交于點A?1,0和3,0∴ax2+bx+c=0由韋達定理可知：ca∴c=?3a，∴?2<?3a<?1，∴13④∵對稱軸為直線為x=?b∴b=?2a，∵a>0，c=?3a，∴b>c，故④正確．綜上所述，正確的有②③④，故選：C．【變式6-4】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為12,1，下列結(jié)論：①abc<0；②b2?4ac>0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖象反映出的數(shù)量關(guān)系，逐一判斷正確性．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a<0，∵拋物線的對稱軸為直線x=?b∴b=?a>0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c>0，∴abc<0，所以①正確；∵拋物線與x軸有2個交點，∴Δ=∵拋物線的對稱軸為x=1∴x=0和x=1對應(yīng)的函數(shù)值相等，∴x=1時，y>0，即a+b+c>0，所以③錯誤；∵b=?a，∴a+b=0，所以④正確；∵頂點坐標縱坐標為1，∴4ac?b∴4ac?b故選：D．

【考點題型七】二次函數(shù)的平移變換

【典例7】將拋物線y=x2向上平移2個單位長度，再向左平移5個單位長度后，得到的拋物線的解析式為（A．y=x+52+2C．y=x+52?2【答案】A【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象平移規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次函數(shù)平移規(guī)律．根據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律：上加下減，左加右減，進行求解即可；【詳解】解：將拋物線y=x2向上平移2個單位長度，再向左平移5個單位長度后可得：故選：A．【變式7-1】將拋物線y=3xA．y=3(x+1)2+2C．y=3(x?2)2+1【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)得圖像與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖像平移得法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進行解答即可．【詳解】將拋物線y=3x2先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋物線的解析式是故選C．【變式7-2】要得到二次函數(shù)y=?x?22+1A．向左平移2個單位，再向下平移1個單位B．向右平移2個單位，再向上平移1個單位C．向左平移1個單位，再向上平移2個單位D．向右平移1個單位，再向下平移2個單位【答案】B【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則解答即可．【詳解】解：根據(jù)“左加右減，上加下減”規(guī)律：二次函數(shù)y=?x2的圖象向右平移2個單位，再向上平移1個單位即可得到二次函數(shù)故選：B．【變式7-3】在平面直角坐標系中，將拋物線y=x2+1A．y=x?32?1C．y=x+32?1【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．根據(jù)圖象的平移規(guī)律，可得答案．【詳解】解：將拋物線y=x2+1先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的新的拋物線的函數(shù)解析式為y=故選：A．

【考點題型八】二次函數(shù)的交點問題

【典例8】拋物線y1=?x2+4x和直線yA．x<0 B．0<x<4 C．0<x<2 D．2<x<4【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖像，寫出拋物線在直線上方部分的x的范圍，即可求解，本題考查了二次函數(shù)交點確定不等式解集，解題的關(guān)鍵是：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，將函數(shù)圖像與不等式解集聯(lián)系起來．【詳解】解：由圖像可知，拋物線y1=?x2+4x另一交點橫坐標為2，代入y2=2x，解得∴另一交點坐標為2,4，∴不等式y(tǒng)1>y故選：C．【變式8-1】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，當(dāng)函數(shù)值y<0時，自變量x【答案】?1<x<3【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．根據(jù)題意，當(dāng)函數(shù)值y<0時，自變量x的取值范圍，就是求當(dāng)函數(shù)圖象在x軸下方時，對應(yīng)的x的取值范圍，由此得到答案．【詳解】解：觀察圖象知，當(dāng)函數(shù)值y<0時，自變量x的取值范圍是?1<x<3，故答案為：?1<x<3．

【變式8-2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bxa>0和直線y=kxk>0交于點O和點A，則關(guān)于x【答案】x<0或x>3【分析】本題考查二次函數(shù)和不等式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合求解；通過拋物線與直線的交點即可求解．【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx(a>0)和直線y=kx(k>0)交于點O∴x<0或x>3時，拋物線在直線的上方，∴不等式ax2+bx>kx的解集為：x<0故答案為：x<0或x>3．【變式8-3】如圖，已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與一次函數(shù)y2=kx+m的圖象相交于點A(?5,?3)，B(3,4)【答案】x<?5或x>3【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式．熟練掌握數(shù)形結(jié)合法求不等式的解集是解題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式ax2+bx+c>kx+m【詳解】解：由題意知，不等式ax2+bx+c>kx+m由圖象可知，x<?5或x>3，故答案為：x<?5或x>3．

【考點題型九】二次函數(shù)應(yīng)用-類拋物線問題

【典例9】【綜合與實踐】為響應(yīng)國家“雙減”政策號召，落實“五育并舉”舉措，我縣各校開展了豐富多彩的社團活動．球類運動課上，甲乙兩人打乒乓球，讓乒乓球沿著球臺的中軸線運動，從側(cè)面看乒乓球臺如圖所示，MN為球臺，EF為球網(wǎng)，點E為MN中點，MN=28dm，EF=1.5dm，甲從M正上方的A處擊中球完成發(fā)球，球沿直線撞擊球臺上的B處再彈起到另一側(cè)的C處，從C處再次彈起到P，乙再接球．以MN所在直線為x軸，M為原點作平面直角坐標系，xdm表示球與M的水平距離，ydm表示球到球臺的高度，將乒乓球看成點，兩次彈起的路徑均為拋物線，BC段拋物線的表達式為y1(1)①點F的坐標為______；②用含t的式子表示：點B的坐標為______；點C的坐標為______；(2)當(dāng)球在球網(wǎng)EF正上方時到達最高點，求此時球與F的距離；(3)若球第二次的落點C在球網(wǎng)右側(cè)5dm處，球再次彈起最高為1.25dm，乙的球拍在N處正上方如線段GH，GH=1.5dm，【答案】(1)①14，1.5；(2)此時球與F的距離為0.3dm(3)1≤n≤7【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，需認真審題，完成由實際問題到理論知識的轉(zhuǎn)化，采用順利解題．（1）①依題意求得F坐標即可；②求拋物線與x軸的交點即可；（2）先求出解析式，再求得球與F的距離；（3）將實際問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點問題即可．【詳解】（1）解：①∵點E為MN中點，EF=1.5，MN=28，∴ME=1∴F14故答案為：14，②∵B，C是x軸與拋物線的交點，∴令yt=0，則解得：x1=t，∴Bt故答案為：t，（2）解：∵BC段拋物線與x軸交于t，∴BC段拋物線的對稱軸為直線：x=t+t+12當(dāng)球在EF上方到達最高點時，即t+6=14，∴t=8，即：BC段拋物線為y1當(dāng)x=14時，y1∵1.8?1.5=0.3．∴此時球與F的距離為0.3dm；（3）解：∵球第二次的落點在球網(wǎng)右側(cè)5dm處，球再次彈起最高為1.25dm∴球過19，∴?1解得?=24或14（舍去），當(dāng)?1解得：x=27或21，又∵1.25<0.8+1.5，28?27=1，28?21=7，∴1≤n≤7．

【變式9-1】如圖，小明在某次投籃中，球的運動路線是拋物線y=?0.2x2+3.5A．3m B．3.5m C．4m 【答案】C【分析】本題考查了投球問題，實際問題與二次函數(shù)，如圖，實際是求AB的長，而OA已知，所以只需求出OB即可，OB就是C點的橫坐標．【詳解】解：如圖，把C點縱坐標y=3.05代入y=?0.2xx=±1.5(舍去負值)，即OB=1.5m所以l=AB=2.5+1.5=4m故選：C．【變式9-2】“一河詩畫，滿城煙花”，每逢過年過節(jié)，人們會在美麗的瀏陽河邊上手持網(wǎng)紅煙花加特林進行燃放，當(dāng)發(fā)射角度與水平面成45度角時，煙花在空中的高度y（米）與水平距離x（米）接近于拋物線y=?0.5x2+10x?38【答案】12【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．將原拋物線解析式化為頂點式，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可獲得答案．【詳解】解：∵y=?0.5x又∵a=?0.5<0，∴當(dāng)x=10（米）時，煙花可以達到的最大高度，最大高度為12米．故答案為：12．【變式9-3】圖①是古代的一種遠程投石機，其投出去的石塊運動軌跡是拋物線的一部分．據(jù)《范蠡兵法》記載：“飛石重十二斤，為機發(fā)，行二百步”，其原理蘊含了物理中的“杠桿原理”．在如圖②所示的平面直角坐標系中，將投石機置于斜坡OA的底部點O處，石塊從投石機豎直方向上的點C處被投出，已知石塊運動軌跡所在拋物線的頂點坐標是50,25，OC=5．(1)求拋物線的表達式；(2)在斜坡上的點A建有垂直于水平線OD的城墻AB，且OD=75，AD=12，AB=9，點D，A，B在一條直線上．通過計算說明石塊能否飛越城墻AB．【答案】(1)拋物線的表達式為y＝?(2)石塊不能飛越城墻AB【分析】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）由拋物線的頂點坐標是50,25可設(shè)石塊運行的函數(shù)關(guān)系式為y=ax?502+25（2）由OD=75得到點D的橫坐標為75，將x=75代入函數(shù)y=?1125x?502+25，可求得石塊飛到點D的豎直方向上時距OD【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標是50,25，∴設(shè)石塊運行的函數(shù)關(guān)系式為y=ax?50∵OC=5∴點C的坐標為0,5，∵拋物線過點C0,5∴a0?502+25=5解得：a=?∴拋物線的表達式為y=?1即y=?1（2）∵OD=75，∴點D的橫坐標為75，將x=75代入函數(shù)y=?1125x?50即石塊飛到點D的豎直方向上時距OD的高度為20，∵AD=12，AB=9，∴BD=AD+AB=12+9=21>20，∴石塊不能飛越城墻AB．【變式9-4】某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度與拱高之積為48m方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，點N在x軸上，PE⊥ON，方案二，拋物線型拱門的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計），方案一中，矩形框架ABCD的面積記為S1，點A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面積記為S2，點A′

(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達式；(2)在方案一中，當(dāng)AB=3m時，求矩形框架ABCD的面積S1并比較S1【答案】(1)y=?(2)S1=18【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出函數(shù)關(guān)系式．（1）由題意知拋物線的頂點P6,4（2）令y=3可得x=3或x=9，故BC=6m，S1=AB·BC=18m2【詳解】（1）解：由題意知，方案一中拋物線的頂點P6,4設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=ax?6把O0,0代入得0=a解得：a=?1∴y=?1∴方案一中拋物線的函數(shù)表達式為y=?1（2）在y=?19x2+解得x=3或x=9，∴BC=9?3=6m∴S1∵18>122∴S1

【考點題型十】二次函數(shù)應(yīng)用-面積問題

【典例10】以農(nóng)業(yè)和農(nóng)村為載體的生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園，不僅具有生產(chǎn)性功能，還具有改善生態(tài)環(huán)境質(zhì)量，為人們提供觀光、休閑、度假的生活性功能．?dāng)?shù)學(xué)探究小組以“設(shè)計矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園”為主題開展數(shù)學(xué)實踐活動．如圖，△ABC是一塊用籬笆圍出的直角三角形田地，其中∠C=90°，AB=500m，BC=300m，數(shù)學(xué)探究小組準備繼續(xù)用籬笆在該田地中圍出“矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園”．該觀光園為矩形DEFG，E、F落在BA邊上，D在BC邊上，G在AC邊上，（其中(1)若DE=204m，請求出矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園DG(2)因材料限制，新添加的籬笆總長最多只能為485m【答案】(1)75(2)該矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園的面積最大值為22500【分析】（1）過點C作CH⊥AB于點H，交DG于點K，根據(jù)勾股定理求出AC=AB2?BC2=400m，根據(jù)等積法求出CH=BC×AC（2）設(shè)DE=x，DG=y，則CK=240?x，證明△CDG∽△CBA，得出DGBA=CKCH，求出y=25240?x12，得出S矩形DEFG=DE?DG=?2512x?1202+30000【詳解】（1）解：過點C作CH⊥AB于點H，交DG于點K，如圖所示：∵∠C=90°，AB=500m，BC=300∴AC=A∵S△ABC∴CH=BC×AC∵四邊形DEFG為矩形，∴∠DEF=∠EFG=∠DGF=∠EDG=90°，DG∥∵∠KDE=∠DEH=∠EHK=90°，∴四邊形DEHK為矩形，∴DE=KH=204m∴CK=CH?KH=240?204=36m∵DG∥∴△CDG∽△CBA，∴DGAB即DG500解得：DG=75，即矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園DG邊的長為75m（2）解：設(shè)DE=x，DG=y，則CK=240?x，根據(jù)解析（1）可知：△CDG∽△CBA，∴DGBA即y500解得：y=25∴S=xy=x?=?=?25∵新添加的籬笆總長最多只能為485m∴DE+GF+DG≤485，即x+x+y≤485，把y=25240?x12解得：x≥180，∵y=25∴x<240，∴180≤x<240，∵?2512<0∴當(dāng)x=180時，S矩形?25即該矩形生態(tài)農(nóng)業(yè)觀光園的面積最大值為22500m【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，不等式組的應(yīng)用，求二次函數(shù)的最值，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式10-1】如圖1，用一段長為33米的籬笆圍成一個一邊靠墻并且中間有一道籬笆隔墻的矩形ABCD菜園，墻長為12米．設(shè)AB的長為x米，矩形ABCD菜園的面積為S平方米，(1)分別用含x的代數(shù)式表示BC與S；(2)若S=54，求x的值；(3)如圖2，若在分成的兩個小矩形的正前方各開一個1.5米寬的門（無需籬笆），當(dāng)x為何值時，S取最大值，最大值為多少？【答案】(1)BC=33?3x，S=?3(2)9(3)當(dāng)x=8時，S有最大值，最大值為?3×8?6【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，一元二次方程的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，正確理解題意列出對應(yīng)的代數(shù)式，方程和函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)列式求出BC，再根據(jù)矩形面積公式求出S即可；（2）根據(jù)（2）所求得到方程，進而解方程并檢驗即可得到答案；（3）先求出S=?3x2+36x【詳解】（1）解：由題意，BC=33?3x，則矩形ABCD菜園的面積為S=x33?3x（2）解：當(dāng)S=54時，由54=?3x2+33x解得x1=2，∵墻長為12米，∴0<33?3x≤12，則7≤x<11，∴x=9，答：x值為9；（3）解：由題意，BC=33+2×1.5?3x=36?3x，∴S=x36?3x∵墻長為12米，籬笆長為33米，∴0<36?3x≤12，∴8≤x<12，∵?3<0，∴當(dāng)x=8時，S有最大值，最大值為?3×8?6【變式10-2】綜合與實踐在綜合實踐課上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料：(1)如圖1，已知三角形小木塊△ABC，邊BC=120cm，高AD=80cm，小明要利用它做一個正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．求加工成的正方形零件(2)如圖2，已知三角形小木塊△ABC，邊BC=a，高AD=?，小明要利用它做一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．求加工成的矩形零件PQMN面積的最大值是多少？（用含a，?的代數(shù)式表示）(3)如圖3，已知四邊形的小木塊ABCD，測得AB=60cm，BC=100cm，CD=70cm，∠B=∠C=60°，小明要利用它做一個矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，CD【答案】(1)加工成的正方形零件PQMN的邊長是48cm(2)加工成的矩形零件PQMN面積的最大值是a?4(3)加工成的矩形零件PQMN面積的最大值為12503【分析】（1）設(shè)正方形零件PQMN的邊長xcm，由四邊形PQMN是正方形得PN∥BC，則△APN∽△ABC，故x（2）設(shè)PQ=x，由△APN∽△ABC可得PNa=??x（3）延長BA與CD交于點G，過點G作GH⊥BC于點H，交AD于點K，交PN于點E，由∠B=∠C=60°得△GBC是等邊三角形，有BH=CH=50cm，GH=503cm，設(shè)PQ=EH=xcm，則本題考查了相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列式表示出正方形的邊長、三角形的邊與該邊上的高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）設(shè)正方形零件PQMN的邊長xcm∵四邊形PQMN是正方形，∴PN∥∵AD是△ABC的高，∴AE是△APN的高，∵PN∥∴△APN∽∴PNBC∴x120解得x=48，∴加工成的正方形零件PQMN的邊長是48cm（2）設(shè)PQ=x，∵∠EPQ=∠EQD=∠QDE=90°，∴四邊形PQDE是矩形，∴DE=PQ=x，PN∥∴AE=??x，∵PN∥∴△APN∽∴PNBC∴PNa∴PN=a∴S矩形∵?1<0，∴當(dāng)x=?2時，S矩形∴加工成的矩形零件PQMN面積的最大值是a?4（3）延長BA與CD交于點G，過點G作GH⊥BC于點H，交AD于點K，交PN于點E，如圖，∵∠B=∠C=60°，∴△GBC是等邊三角形；∵BC=100cm∴BH=CH=50cm，GH=50∵四邊形PQMN是矩形，∴PN∥∴△GPN是等邊三角形，設(shè)PQ=EH=xcm，則GE=∴PE=EN=GE∴PN=100∴S四邊形∵?2∴當(dāng)x=253時，S四邊形PQMN∴加工成的矩形零件PQMN面積的最大值為12503【變式10-3】如圖，四邊形ABCD中，AD=CD,AB=BC，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．(1)如果箏形的兩條對角線長分別為6cm、8(2)已知箏形ABCD的對角線AC,BD的長度為整數(shù)值，且滿足AC+BD=6．試求當(dāng)AC,BD的長度為多少時，箏形ABCD的面積有最大值，最大值是多少？【答案】(1)24平方厘米(2)AC=3,BD=3時，面積有最大值，最大為9【分析】本題考查線段垂直平分線的判定，二次函數(shù)的性質(zhì)，能用AC長表示出箏形的面積是解題的關(guān)鍵．（1）由AD=CD,AB=BC可得出點B和點D都在AC的垂直平分線上，所以AC⊥BD，由S箏形=S△ADC+S△ABC（2）設(shè)AC的長為xcm，則BD=6?xcm【詳解】（1）解：∵AD=CD，∴點D在AC的垂直平分線上．同理點B在AC的垂直平分線上．∴BD垂直平分AC．所以AC⊥BD．∴S△ADC=則S===1又箏形的兩條對角線長分別為6cm，8所以S箏形（2）解：令A(yù)C=xcm，則BD=由（1）知，S箏形又AC,BD的長度為整數(shù)值，則當(dāng)AC=3時，S箏形ABCD有最大值，最大值為此時BD=6?3=3cm

【考點題型十一】二次函數(shù)應(yīng)用-利潤問題

【典例11】某款網(wǎng)紅產(chǎn)品很受消費者喜愛，每個產(chǎn)品的進價為40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天的銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元．(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍．(2)將產(chǎn)品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售產(chǎn)品獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少元？(3)該商戶從每天的利潤中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤等于2200元，求銷售單價x的值．【答案】(1)y=?10x+740(2)將產(chǎn)品的銷售單價定為52元時，商家每天銷售產(chǎn)品獲得的利潤w（元）最大，最大利潤是2640元．(3)為了保證捐款后每天剩余利潤等于2200元，銷售單價為50元【分析】本題主要了考查二次函數(shù)應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用的等知識點，（1）根據(jù)題意直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；（2）根據(jù)銷售利潤=銷售量×（售價?進價），列出平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤；（3）根據(jù)題意得剩余利潤為w?200，利用函數(shù)性質(zhì)求出w?200≥2200時的x的取值范圍即可；解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．【詳解】（1）根據(jù)題意，得y=300?10x?44∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=?10x+74044≤x≤52（2）根據(jù)題意，得w=?10x+740∵?10<0，又對稱軸直線x=57，且44≤x≤52，∴當(dāng)x=52時，w有最大值，最大值為2640，∴將產(chǎn)品的銷售單價定為52元時，商家每天銷售產(chǎn)品獲得的利潤w（元）最大，最大利潤是2640元；（3）依題意可得剩余利潤為w?200元．∵捐款后每天剩余利潤等于2200元，∴w?200=2200，即?10x?57解得x=50或x=64（舍去），∴為了保證捐款后每天剩余利潤等于2200元，銷售單價為50元．【變式11-1】某商店銷售一種進價60元/件的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的每天銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數(shù)，其售價、銷售量的二組對應(yīng)值如下表：售價x/（元/件）80100銷售量y/件10060(1)求銷售量y關(guān)于售價x的函數(shù)關(guān)系式．(2)①設(shè)商店銷售該商品每天獲得的利潤為W（元），求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式．②若規(guī)定售價高于進價且不超過進價的1.5倍，問當(dāng)售價定為多少時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)y=?2x+260(2)①W=?2x2+380x?15600【分析】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確的列出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)y=kx+b，待定系數(shù)法求函數(shù)解析