北師版九年級數學上冊期末復習考題猜想 專題06 銳角三角函數（考題猜想易錯必刷30題7種題型專項訓練）

專題06銳角三角函數（易錯必刷30題7種題型專項訓練）銳角三角函數的定義特殊角的三角函數值解直角三角形解直角三角形的應用解直角三角形的應用-坡度坡角問題解直角三角形的應用-仰角俯角問題解直角三角形的應用-方向角問題一．銳角三角函數的定義（共5小題）1．正方形網格中，∠AOB如圖放置，則cos∠AOB的值為（）A． B． C． D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AB＝2，則AC長是（）A． B． C． D．23．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點A的坐標為（0，3），tan∠ABO＝，則菱形ABCD的周長為（）A．6 B．6 C．12 D．84．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，則cosA的值等于（）A． B． C．或 D．或5．如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則圖中∠ABC的正弦值是．二．特殊角的三角函數值（共1小題）6．△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且（tanB﹣）（2sinA﹣）＝0，則△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．有一個角是60°的三角形三．解直角三角形（共9小題）7．將一副三角板如圖擺放在一起，組成四邊形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，連接BD，則tan∠CBD的值等于（）A． B． C． D．8．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，下列結論正確的是（）A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，垂足為D，若AC＝，BC＝2．則sin∠ACD的值為（）A． B． C． D．10．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，sinB＝，則△ABC的面積等于（）A．15 B． C．6 D．11．在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，則BC＝．12．我們給出定義：如果兩個銳角的和為45°，那么稱這兩個角互為半余角．如圖，在△ABC中，∠A，∠B互為半余角，且，則tanA＝．13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D為直線AB上的一點，若AD＝2，則tan∠BDC的值為．14．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝4，則AC＝．15．如圖，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，點P從點B出發(fā)，沿線段BC以2cm/s的速度向終點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿著C→A→B的方向以3cm/s的速度向終點B運動，P，Q同時出發(fā)，設點P運動的時間為t（s），△CPQ的面積為S（cm2）．（1）求sinB；（2）求S關于t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．四．解直角三角形的應用（共5小題）16．如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，則高AD約為（）（參考數據：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm17．勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結果保留整數，參考數據：≈1.41，≈1.73）．18．學科綜合我們在物理學科中學過：光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現象（如圖1），我們把n＝稱為折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．觀察實驗為了觀察光線的折射現象，設計了圖2所示的實驗，即通過細管MN可以看見水底的物塊C，但不在細管MN所在直線上，圖3是實驗的示意圖，四邊形ABFE為矩形，點A，C，B在同一直線上，測得BF＝12cm，DF＝16cm．（1）求入射角α的度數．（2）若BC＝7cm，求光線從空氣射入水中的折射率n．（參考數據：，，）19．如圖1，圖2分別是網上某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據商品介紹，獲得了如下信息：滑桿DE、箱長BC、拉桿AB的長度都相等，即DE＝BC＝AB，點B、F在線段AC上，點C在DE上，支桿DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°．請根據以上信息，解決下列問題：（1）求滑竿DE的長度；（2）求拉桿端點A到水平滑桿ED的距離（結果精確到0.1）．參考數據：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.414．20．如圖①是某市地鐵站的一組智能通道閘機，當行人通過智能閘機時會自動識別行人身份，識別成功后，兩側的圓弧翼閘會自動收回到機箱內，行人即可通行．圖②是一個智能通道閘機的截面圖，已知∠ABC＝∠DEF＝28°，AB＝DE＝60cm，點A、D在同一水平線上，且A、D之間的距離是10cm．（1）試求閘機通道的寬度（參考數據：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（2）實驗數據表明，一個智能閘機通道平均每分鐘檢票通過的人數是一個人工檢票口通過的人數的2倍．若有240人的團隊通過同一個人工檢票口比通過同一個智能閘機檢票口多用4分鐘，求一個人工檢票口和一個智能閘機通道平均每分鐘檢票各通過多少人？五．解直角三角形的應用-坡度坡角問題（共1小題）21．如圖，先鋒村準備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosα B． C．5sinα D．六．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共7小題）22．數學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為．（精確到1m．參考數據：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）23．在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進行測量．如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，請你幫助該小組計算建筑物的高度AB．（結果精確到0.1m，參考數據：≈1.732）24．圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個頭部需在攝像頭視角范圍內才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160cm，識別的最遠水平距離OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點C處，請問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識別？（2）身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無法被識別，社區(qū)及時將攝像頭的仰角、俯角都調整為20°（如圖3），此時小若能被識別嗎？請計算說明．（精確到0.1cm，參考數據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）25．如圖，某校無人機興趣小組為測量教學樓的高度，在操場上展開活動．此時無人機在離地面30m的D處，操控者從A處觀測無人機D的仰角為30°，無人機D測得教學樓BC頂端點C處的俯角為37°，又經過人工測量測得操控者A和教學樓BC之間的距離AB為60m，點A，B，C，D都在同一平面上．（1）求此時無人機D與教學樓BC之間的水平距離BE的長度（結果保留根號）；（2）求教學樓BC的高度（結果取整數）（參考數據：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．26．《海島算經》是中國古代測量術的代表作，原名《重差》．這本著作建立起了從直接測量向間接測量的橋梁．直至近代，重差測量法仍有借鑒意義．如圖2，為測量海島上一座山峰AH的高度，直立兩根高2米的標桿BC和DE，兩桿間距BD相距6米，D、B、H三點共線．從點B處退行到點F，觀察山頂A，發(fā)現A、C、F三點共線，且仰角為45°；從點D處退行到點G，觀察山頂A，發(fā)現A、E、G三點共線，且仰角為30°．（點F、G都在直線HB上）（1）求FG的長（結果保留根號）；（2）山峰高度AH的長（結果精確到0.1米）．（參考數據：≈1.41，≈1.73）27．如圖，小山的頂部是一塊平地，在這塊平地上有一座古塔CD．小山斜坡AB的坡度為i＝1：2.4，坡長AB為39米，在小山的坡底A處測得該塔的塔頂C的仰角為45°，在坡頂B處測得該塔的塔頂C的仰角為74°．（1）求坡頂B到地面AH的距離BH的長；（2）求古塔CD的高度（結果精確到1米）．（參考數據：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）28．某市在地鐵施工期間，相關部門在施工路段設立了矩形安全警示牌ABCD（如圖所示），小東同學在距離安全警示牌8米（EF的長）遠的建筑物上的窗口P處，測得安全警示牌頂端A點和底端B點的俯角分別是30°和45°，求安全警示牌寬AB的值．（結果保留根號）七．解直角三角形的應用-方向角問題（共2小題）29．如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點P處，從A處測得漁船在北偏西60°的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得B，P兩點之間的距離為20海里．（1）求觀測站A，B之間的距離（結果保留根號）；（2）漁船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處等待補給，此時，從B測得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達C處的同時，一艘補給船從點B出發(fā)，以每小時20海里的速度前往C處，請問補給船能否在83分鐘之內到達C處？（參考數據：≈1.73）30．為了增強學生體質、錘煉學生意志，某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，A點為出發(fā)點，途中設置兩個檢查點，分別為B點和C點，行進路線為A→B→C→A．B點在A點的南偏東25°方向3km處，C點在A點的北偏東80°方向，行進路線AB和BC所在直線的夾角∠ABC為45°．（1）求行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數；（2）求檢查點B和C之間的距離（結果保留根號）．

專題06銳角三角函數（易錯必刷30題7種題型專項訓練）銳角三角函數的定義特殊角的三角函數值解直角三角形解直角三角形的應用解直角三角形的應用-坡度坡角問題解直角三角形的應用-仰角俯角問題解直角三角形的應用-方向角問題一．銳角三角函數的定義（共5小題）1．正方形網格中，∠AOB如圖放置，則cos∠AOB的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，C為OB邊上的格點，連接AC，根據勾股定理，AO＝＝2，AC＝＝，OC＝＝，所以，AO2＝AC2+OC2＝20，所以，△AOC是直角三角形，cos∠AOB＝＝＝．故選：B．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AB＝2，則AC長是（）A． B． C． D．2【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝，AB＝2，∴BC＝AB×sinA＝2×＝，由勾股定理得：AC＝＝．故選：A．3．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點A的坐標為（0，3），tan∠ABO＝，則菱形ABCD的周長為（）A．6 B．6 C．12 D．8【答案】D【解答】解：∵點A的坐標為（0，3），∴AO＝3，∵tan∠ABO＝，∴＝，∴＝，∴BO＝，∵△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝2，∵菱形的四條邊相等，∴菱形ABCD的周長為2×4＝8．故選：D．4．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，則cosA的值等于（）A． B． C．或 D．或【答案】C【解答】解：當△ABC為直角三角形時，存在兩種情況：①當AB為斜邊，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．∴cosA＝＝＝；②當AC為斜邊，∠B＝90°，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∴cosA＝＝；綜上所述，cosA的值等于或．故選：C．5．如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則圖中∠ABC的正弦值是．【答案】見試題解答內容【解答】解：由圖可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝．故答案為：．二．特殊角的三角函數值（共1小題）6．△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且（tanB﹣）（2sinA﹣）＝0，則△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．有一個角是60°的三角形【答案】D【解答】解：∵△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且（tanB﹣）（2sinA﹣）＝0，∴tanB﹣＝0或2sinA﹣＝0，即tanB＝或sinA＝．∴∠B＝60°或∠A＝60°．∴△ABC有一個角是60°．故選：D．三．解直角三角形（共9小題）7．將一副三角板如圖擺放在一起，組成四邊形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，連接BD，則tan∠CBD的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如圖所示，連接BD，過點D作DE垂直于BC的延長線于點E∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°∴∠DCE＝45°，∵DE⊥CE∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°∴設DE＝CE＝1，則CD＝在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴tan∠CAD＝，則AC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°∴BC＝，∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝故選：D．8．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，下列結論正確的是（）A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝【答案】C【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，cosC＝，tanC＝，故A、B不符合題意；在Rt△BAC中，sinC＝，故C符合題意；∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠C＝∠BAD，在Rt△BAD中，cos∠BAD＝，∴cosC＝cos∠BAD＝，故D不符合題意；故選：C．9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，垂足為D，若AC＝，BC＝2．則sin∠ACD的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝＝3，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝．故選：C．10．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，sinB＝，則△ABC的面積等于（）A．15 B． C．6 D．【答案】D【解答】解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，在△ABD中，AB＝4，sinB＝，∴AD＝ABsinB＝4×＝3，∴△ABC的面積＝BC?AD＝×5×3＝，故選：D．11．在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，則BC＝3+3或3﹣3．【答案】3+3或3﹣3．【解答】解：①當△ABC為銳角三角形時，過點A作AD⊥BC于點D，如圖，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB?sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3；②當△ABC為鈍角三角形時，過點A作AD⊥BC交BC延長線于點D，如圖，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB?sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；綜上，BC的長為3+3或3﹣3．12．我們給出定義：如果兩個銳角的和為45°，那么稱這兩個角互為半余角．如圖，在△ABC中，∠A，∠B互為半余角，且，則tanA＝．【答案】．【解答】解：過點B作BD⊥AC，交AC的延長線于點D，∵，∴設BC＝2a，AC＝3a，∵∠A，∠B互為半余角，∴∠A+∠B＝45°，∴∠DCB＝∠A+∠B＝45°，在Rt△CDB中，BD＝BCsin45°＝2a?＝2a，CD＝BCcos45°＝2a?＝2a，∵AC＝3a，∴AD＝AC+CD＝3a+2a＝5a，在Rt△ABD中，tanA＝＝＝，故答案為：．13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D為直線AB上的一點，若AD＝2，則tan∠BDC的值為或．【答案】見試題解答內容【解答】解：作CE⊥AB于點E，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∠B＝60°，∴BE＝BC＝2，CE＝2，①如圖1，點D在AB邊上時，∵AD＝2，BE＝2，AB＝8，∴DE＝AB﹣BE﹣AD＝4，∴在Rt△DCE中，tan∠BDC＝＝＝；②如圖2，點D在BA延長線上時，DE＝AE+AD＝AB﹣BE+AD＝8﹣2+2＝8，在Rt△DCE中，tan∠BDC＝＝＝．綜上所述：tan∠BDC的值為或．故答案為：或．14．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝4，則AC＝4．【答案】4．【解答】解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝AB?sin45°＝4×＝2，在Rt△ADC中，∠ACB＝30°，∴AC＝2AD＝4，故答案為：4．15．如圖，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，點P從點B出發(fā)，沿線段BC以2cm/s的速度向終點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿著C→A→B的方向以3cm/s的速度向終點B運動，P，Q同時出發(fā)，設點P運動的時間為t（s），△CPQ的面積為S（cm2）．（1）求sinB；（2）求S關于t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．【答案】（1）；（2）S＝．【解答】解：（1）過點A作AD⊥BC，垂足為D，∵AB＝AC＝3cm，AD⊥BC，∴BD＝BC＝2cm，在Rt△ABD中，AB＝3cm，BD＝2cm，∴AD＝＝＝，∴sinB＝＝；（2）過點Q作QE⊥BC，垂足為E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴sinB＝sinC＝，分兩種情況：當0＜t≤1時，由題意得：CQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝4﹣2t，在Rt△CQE中，QE＝CQsinC＝3t?＝t，∴S＝CP?QE＝?（4﹣2t）?t＝2t﹣t2＝﹣t2+2t，當1＜t＜2時，由題意得：CA+AQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝4﹣2t，BQ＝AB+AC﹣（CA+AQ）＝6﹣3t，在Rt△BQE中，QE＝BQsinB＝（6﹣3t）?＝2﹣t，∴S＝CP?QE＝?（4﹣2t）?（2﹣t）＝t2﹣4t+4，∴S＝．四．解直角三角形的應用（共5小題）16．如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，則高AD約為（）（參考數據：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，∵∠ABC＝27°，∴tan∠ABC＝≈0.51，∴AD≈0.51×22＝11.22cm，故選：B．17．勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結果保留整數，參考數據：≈1.41，≈1.73）．【答案】78m．【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，∴BC＝＝AB，∵BC﹣BD＝CD＝33m，∴AB﹣＝33，∴AB＝≈78（m）．答：主塔AB的高約為78m．18．學科綜合我們在物理學科中學過：光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現象（如圖1），我們把n＝稱為折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．觀察實驗為了觀察光線的折射現象，設計了圖2所示的實驗，即通過細管MN可以看見水底的物塊C，但不在細管MN所在直線上，圖3是實驗的示意圖，四邊形ABFE為矩形，點A，C，B在同一直線上，測得BF＝12cm，DF＝16cm．（1）求入射角α的度數．（2）若BC＝7cm，求光線從空氣射入水中的折射率n．（參考數據：，，）【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖：過點D作DG⊥AB，垂足為G，由題意得：四邊形DGBF是矩形，∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，在Rt△DGB中，tan∠BDG＝＝＝，∴∠BDG＝53°，∴∠PDH＝∠BDG＝53°，∴入射角α的度數為53°；（2）∵BG＝16cm，BC＝7cm，∴CG＝BG﹣BC＝9（cm），在Rt△CDG中，DG＝12cm，∴DC＝＝＝15（cm），∴sinβ＝sin∠GDC＝＝＝，由（1）得：∠PDH＝53°，∴sin∠PDH＝sinα≈，∴折射率n＝＝＝，∴光線從空氣射入水中的折射率n約為．19．如圖1，圖2分別是網上某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據商品介紹，獲得了如下信息：滑桿DE、箱長BC、拉桿AB的長度都相等，即DE＝BC＝AB，點B、F在線段AC上，點C在DE上，支桿DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°．請根據以上信息，解決下列問題：（1）求滑竿DE的長度；（2）求拉桿端點A到水平滑桿ED的距離（結果精確到0.1）．參考數據：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.414．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）過點F作FG⊥CD，垂足為G，在Rt△DFG中，∠CDF＝37°．DF＝40cm，∴FG＝DF?sin37°≈40×＝24（cm），DG＝DF?cos37°≈40×＝32（cm），在Rt△CFG中，∠DCF＝45°，∴CG＝＝24（cm），∴DC＝CG+DG＝24+32＝56（cm），∵CE：CD＝1：4，∴CE＝CD＝14（cm），∴DE＝CE+CD＝70（cm），∴滑竿DE的長度約為70cm；（2）過點A作AH⊥CD，交CD的延長線于點H，∵DE＝BC＝AB＝70cm，∴AC＝AB+BC＝140（cm），在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴AH＝AC?sin45°＝140×＝70≈99.0（cm），∴拉桿端點A到水平滑桿ED的距離約為99.0cm．20．如圖①是某市地鐵站的一組智能通道閘機，當行人通過智能閘機時會自動識別行人身份，識別成功后，兩側的圓弧翼閘會自動收回到機箱內，行人即可通行．圖②是一個智能通道閘機的截面圖，已知∠ABC＝∠DEF＝28°，AB＝DE＝60cm，點A、D在同一水平線上，且A、D之間的距離是10cm．（1）試求閘機通道的寬度（參考數據：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（2）實驗數據表明，一個智能閘機通道平均每分鐘檢票通過的人數是一個人工檢票口通過的人數的2倍．若有240人的團隊通過同一個人工檢票口比通過同一個智能閘機檢票口多用4分鐘，求一個人工檢票口和一個智能閘機通道平均每分鐘檢票各通過多少人？【答案】（1）閘機通道的寬度是66.4cm；（2）一個人工檢票口每分鐘檢票通過30人，一個智能閘機檢票口每分鐘通過60人．【解答】解：（1）過點A作AM⊥BC于點M，過點D作DN⊥EF于點N，如圖：在Rt△AMB中，AB＝60cm，∠ABM＝28°，∴sin28°＝，∴AM＝AB×sin28°＝0.47×60＝28.2（cm），同理DN＝28.2cm，∴閘機通道的寬度BE＝AM+AD+DN＝28.2×2+10＝66.4（cm）；答：閘機通道的寬度是66.4cm；（2）解：設一個人工檢票口每分鐘檢票通過的人數為x人，則一個智能閘機檢票口每分鐘通過的人數為2x人，由題意得：﹣＝4，解得：x＝30，經檢驗：x＝30是原方程的解，∴2x＝2×30＝60（人），答：一個人工檢票口每分鐘檢票通過30人，一個智能閘機檢票口每分鐘通過60人．五．解直角三角形的應用-坡度坡角問題（共1小題）21．如圖，先鋒村準備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosα B． C．5sinα D．【答案】B【解答】解：如圖，過點B作BC⊥AF于點C．∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．∴AB＝＝．故選：B．六．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共7小題）22．數學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為37m．（精確到1m．參考數據：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）【答案】37m【解答】解：由題意得：AB⊥BC，CD＝70m，設BD＝xm，則BC＝CD+BD＝（x+70）m，在Rt△ABD中，∠ADB＝58°，∴AB＝BD?tan58°≈1.6x（m），在Rt△ABC中，∠ACB＝22°，∴AB＝BC?tan22°≈0.4（x+70）m，∴1.6x＝0.4（x+70），解得：x＝，∴AB＝1.6x≈37（m），故答案為：37m．23．在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進行測量．如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，請你幫助該小組計算建筑物的高度AB．（結果精確到0.1m，參考數據：≈1.732）【答案】建筑物的高度AB約為31.9米．【解答】解：過點D作DE⊥AC，垂足為E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，設DE＝3x米，則CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，設BF＝y(tǒng)米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y(tǒng)（米），∴AE＝DF＝y(tǒng)米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，經檢驗：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB約為31.9米．24．圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統(tǒng)（整個頭部需在攝像頭視角范圍內才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭A的仰角、俯角均為15°，攝像頭高度OA＝160cm，識別的最遠水平距離OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，頭部高度為26cm，他站在離攝像頭水平距離130cm的點C處，請問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識別？（2）身高120cm的小若，頭部高度為15cm，踮起腳尖可以增高3cm，但仍無法被識別，社區(qū)及時將攝像頭的仰角、俯角都調整為20°（如圖3），此時小若能被識別嗎？請計算說明．（精確到0.1cm，參考數據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】（1）小杜最少需要下蹲12.9厘米才能被識別；（2）踮起腳尖小若能被識別．【解答】解：（1）過C作OB的垂線分別交仰角、俯角線于點E，D，交水平線于點F，在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，∴EF＝AF?tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，∴△ADF≌△AEF（ASA），∴EF＝DF＝35.1cm，∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被識別；（2）如圖2，過B作OB的垂線分別交仰角、俯角線于M．N．交水平線于P，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，∴MP＝AP?tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，∴△AMP≌△ANP（ASA），∴PN＝MP＝54.0cm，∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm），∴小若踮起腳尖后頭頂的高度為120+3＝123（cm），∴小若頭頂超出點N的高度為：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm，∴踮起腳尖小若能被識別．25．如圖，某校無人機興趣小組為測量教學樓的高度，在操場上展開活動．此時無人機在離地面30m的D處，操控者從A處觀測無人機D的仰角為30°，無人機D測得教學樓BC頂端點C處的俯角為37°，又經過人工測量測得操控者A和教學樓BC之間的距離AB為60m，點A，B，C，D都在同一平面上．（1）求此時無人機D與教學樓BC之間的水平距離BE的長度（結果保留根號）；（2）求教學樓BC的高度（結果取整數）（參考數據：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【答案】（1）此時無人機D與教學樓BC之間的水平距離BE的長度為（60﹣30）m；（2）教學樓BC的高度約為24m．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠A＝30°，DE＝30m，∴AE＝DE＝30（m），∵AB＝60m，∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）m，∴此時無人機D與教學樓BC之間的水平距離BE的長度為（60﹣30）m；（2）過點C作CF⊥DE，垂足為F，由題意得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG，∴∠DCF＝∠CDG＝37°，在Rt△DCF中，DF＝CF?tan37°≈（60﹣30）×0.75＝（45﹣22.5）m，∴EF＝DE﹣DF＝30﹣（45﹣22.5）＝22.5﹣15≈24（m），∴BC＝EF＝24m，∴教學樓BC的高度約為24m．26．《海島算經》是中國古代測量術的代表作，原名《重差》．這本著作建立起了從直接測量向間接測量的橋梁．直至近代，重差測量法仍有借鑒意義．如圖2，為測量海島上一座山峰AH的高度，直立兩根高2米的標桿BC和DE，兩桿間距BD相距6米，D、B、H三點共線．從點B處退行到點F，觀察山頂A，發(fā)現A、C、F三點共線，且仰角為45°；從點D處退行到點G，觀察山頂A，發(fā)現A、E、G三點共線，且仰角為30°．（點F、G都在直線HB上）（1）求FG的長（結果保留根號）；（2）山峰高度AH的長（結果精確到0.1米）．（參考數據：≈1.41，≈1.73）【答案】（1）FG的長為（4+2）米；（2）山峰高度AH的長約為10.2米．【解答】解：（1）由題意得：CB⊥FH，ED⊥HG，在Rt△FBC中，∠BFC＝45°，BC＝2，∴BF＝＝2（米），在Rt△DEG中，∠G＝30°，DE＝2，∴DG＝＝＝2（米），∵BD＝6米，∴FG＝BD+DG﹣BF＝6+2﹣2＝（4+2）米，∴FG的長為（4+2）米；（2）設AH＝x米，在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，∴FH＝＝x（米），∵FG＝（4+2）米，∴HG＝HF+FG＝（x+4+2）米，在Rt△AHG中，∠G＝30°，∴HG＝＝＝AH，∴x+4+2＝x，解得：x＝5+3≈10.2，∴AH＝10.2米，∴山峰高度AH的長約為10.2米．27．如圖，小山的頂部是一塊平地，在這塊平地上有一座古塔CD．小山斜坡AB的坡度為i＝1：2.4，坡長AB為39米，在小山的坡底A處測得該塔的塔頂C的仰角為45°，在坡頂B處測得該塔的塔頂C的仰角為74°．（1）求坡頂B到地面AH的距離BH的長；（2）求古塔CD的高度（結果精確到1米）．（參考數據：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）【答案】（1）坡頂B到地面AH的距離BH的長15米；（2）古塔CD的高度約為29米．【解答】解：（1）由題意得：BH⊥AH，∵斜坡AB的坡度為i＝1：2.4，∴＝＝，∴設BH＝5x米，則AH＝12x米，在Rt△ABH中，AB＝＝＝13x（米），∵AB＝39米，∴13x＝39，解得：x＝3，∴BH＝15米．AH＝36米，∴坡頂B到地面AH的距離BH的長15米；（2）延長CD交AN于點E，由題意得：BD＝HE，BH＝DE＝15米，設BD＝HE＝x米，∵AH＝36米，∴AE＝AH+HE＝（36+x）米，在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴CE＝AE?tan45°＝（36+x）米，在Rt△CBD中，∠CBD＝74°，∴CD＝BD?tan74°≈3.49x（米），∵DE+CD＝CE，∴15+3.49x＝36+x，解得：x≈8.4，∴CD＝3.49x≈29（米），∴古塔CD的高度約為29米．