中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：整式乘法 重難點(diǎn)題型（原卷版）

專題02整式乘法重難點(diǎn)題型

題型1同底數(shù)塞的乘法及其逆用

1.（2021?江蘇鼓樓?）計(jì)算的結(jié)果是（）

A.a3B.a5C.a6D.a8

2.（2021?山東大學(xué)附屬中學(xué)其他）若2x=4,2y=5,則2*+y=.

3.（2021?漳州市普通教育教學(xué)研究室）若加=3",3加=3",貝16=—.（用含。的式子表示）

4.（2020?浙江杭州市?七年級(jí)其他模擬）計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)設(shè)備中常用8等作為儲(chǔ)存容量的單位，例

如，老師常用的U盤(pán)的容量是64G,一張比較清晰的照片的大小是4M等.已知lT=2i°G，

1G=21OM,1M=21OK-1K=21OB-目前存儲(chǔ)量最大的移動(dòng)硬盤(pán)存儲(chǔ)量可以達(dá)到16T,那么它的容量

是（）個(gè)B.

A.232B.244C.256D.236

5.（2021?山東青島?七年級(jí)期中）觀察下列等式:3=3,3=9,33=27,34=81,3^=243,3s=729,

37=2187.解答下列問(wèn)題：3沏7-27乂32°21的末位數(shù)字是.

6.（2021?蘇州市工業(yè)園區(qū)第一中學(xué)七年級(jí)月考）已知10x102=1000=103,102x102=10000=104,

102x103=100000=105.（1）猜想106x104=,10"儀10"=.（加，〃均為正整數(shù)）

（2）運(yùn)用上述猜想計(jì)算下列式子：①（1.5x104）x（1.2x105）；②（-6.4x103）x（2xl0?）.

題型2幕的乘方及其逆用

1.（2021?貴州銅仁,七年級(jí)期末）巳知2叫=。，16"=6,則239+8"=（用含°、6的式子表示）.

2.（2021?全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）⑴若=則*=.（2）若/=5,貝U

a6x=.

3.（2021?武漢一初慧泉中學(xué)）計(jì)算：[（-6z）4]3x[（-6z）3]2=；

4.（2021?天津育賢中學(xué)八年級(jí)期中）已知N"=3,求（的，）2-3（N）2"的結(jié)果（）

A.1B.-1C.0D.2

5.（2021?江蘇姑蘇?蘇州草橋中學(xué)七年級(jí)月考）（1）已知：2x+3y-4=0,求4*8的值.

（2）已知〃為正整數(shù)，且x?"=4,求（鐘）2_2儼廣的值.

6.（2021?江蘇江都?）已知2M=3,T=5（1）求232"的值;⑵求的值.

題型3積的乘方及其逆運(yùn)算

1.（2021?蘭州市第五十五中學(xué)七年級(jí)月考）計(jì)算：（一2盯）2=（）

A.4xyB.—2》2儼C.4爐儼D.—4x2y2

2.（2021?通道侗族自治縣教育科學(xué)研究室七年級(jí)期中）計(jì)算-（-3a3丫的結(jié)果是（）

A.-6a6B.-9a6C.6a6D.-9a9

3.Q021?江蘇南京?初一期中）計(jì)算（a-a3）2=q2.（a3）2=q2.a6=a8,其中，第一步運(yùn)算的依據(jù)是（）

A.同底數(shù)塞的乘法法則B.哥的乘方法則C.乘法分配律D.積的乘方法則

4.（2021?河北灤南。y2a2可以改寫(xiě)成（）

A.ym+y2B.（y%）2C.ym*y2D.2ym

5.（2021?隆昌市知行中學(xué)八年級(jí)月考）計(jì)算（-0.125產(chǎn)。x8的的結(jié)果是（）

A.8B.0.125C.-8D.-0.125

6.（2021?全國(guó)）已知a=2020,。是。的倒數(shù)，則（優(yōu)/）“〃々=.

7.（2021?江蘇江寧?七年級(jí)月考）（1）積的乘方公式：Cab）"=（"是正整數(shù)），請(qǐng)寫(xiě)出這一

公式的推理過(guò)程.⑵計(jì)算42。隈（-；產(chǎn)。.

題型3同底數(shù)第的除法及其逆用

1.（2021?重慶八中初一期中）已知a—2b=2,c=2。+4》，則的值是.

2.（2021?上海?初一期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（a2）3=a5B.1—g/]C'd+a=/D.a2-a3=a5

3.（2020?河北開(kāi)平?初三一模）計(jì)算3-（）=-9什1，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填入的式子為（）

A.3n+1B.3n+2C.-3n+2D.-3n+1

4.(2021?沈陽(yáng)市第一二七中學(xué)期中)若存0,化簡(jiǎn)下列各式，正確的個(gè)數(shù)有()

(1)a°-a-a5=a5；(2)(a2)3=a6；(3)(-2a4)3=-6a12；(4)a^a(5)a6+a6=2an；

(6)2-2+25X28=32；(7)a2-(-a)7?a11=-a20

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.(2021?浙江金華市?七年級(jí)期中)若"=3，a，'=2，則2/x-y等于()

A.9B.18C.11D.14

6.(2021?余姚市蘭江中學(xué)七年級(jí)期中)若3、+32y=27，則x-2y=.

題型4塞的混合運(yùn)算

解題技巧：根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，先將不同底數(shù)轉(zhuǎn)化為相同底數(shù)，然后再根據(jù)題意進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算；利用累的相關(guān)

法則，轉(zhuǎn)化為指數(shù)之間的關(guān)系。

1.（2021?長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）下列計(jì)算正確的是（）

A.03./=32B.（2。＞=2/C.（/『=/D.（-2X102）3=-8X106

2.（2021?湖南荷塘?七年級(jí)期末）下列各式運(yùn)算正確的是（）

A.a2+a3=a5B.（-3。）"=6/C.（叫"=/D.（a/?2）=ab6

3.（2021?山東濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（a3）4=〃2B.a3-a4=a12C.a2+a2=a4D.（ab）2=ab2

4.（2021?貴州印江?）下列計(jì)算：以4?x4=x%②（—2a）2=4a2；③（姍）3=出；④（爐）2=涼.其中

正確的有（）

A.①②B.②C.①③D.④

5.（2021?揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）下列計(jì)算正確的是（）

A.a3*a2=a6B.（a2）3=a6C.（2x2）3=6x6D.（-ab）2=-a2b2

6.（2021?浙江省衢州市衢江區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）下列算式①22x33；②（2x62）x（3x63）；③63+63；④（22）3x

（33）2中，結(jié)果等于66的有（）

A.①②B.①④C.②③D.②④

題型5塞的運(yùn)算法則與方程思想

1.（2020?江蘇姑蘇?蘇州草橋中學(xué)初一期中）已知3X+2.5X+2=153x7,求@一1）2-3無(wú)（六2）-4的值.

2.（2。2。?江蘇蘇州?七年級(jí)期中）⑴已知口”求x的值，⑵"=3,求

（一。獷.

3.（2021?奈曼旗第二中學(xué)期中）如果（2a"%"""）3=8/引5,求m和n的值.

4.（2021?德惠市第三中學(xué)八年級(jí)月考）如果（2優(yōu)%"丫=8，皆，貝

5.（2021?河南八年級(jí)月考）規(guī)定a*6=3"x3J求：

（1）求1*2；（2）若2*（x+l）=81,求x的值.

6.（2021?全國(guó)初一■課時(shí)練習(xí)）若a"44且加-2〃=1,求加"的值.

7.（2021?浙江杭州?七年級(jí)期中）若8*=32"用，則盧+42m的值是（）

1

A.—B.16C.20D.24

16

題型6利用塞運(yùn)算比較大小.

1.（2020?蘇州新草橋中學(xué)七年級(jí)月考）已知a=255/=344,。=433,把°,從c從小到大排列

__________________.（用“<”連接）

2.（2020?山東中區(qū)?初一期末）己知a=8P,b=27&',0=96、則a、b、c的大小關(guān)系是（）

A.d>b>cB.d>c>bC.a<b<cD.b>c>a

3.（2021?全國(guó)）比較大?。孩疟容^2必和375的大小;（2）已知a、6為正數(shù),且/=2,b3=3,試比

較。、b的大小.

4.（2021?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）比較2⑼與375的大小：因?yàn)?仙=（24「=1625,

375=（33『=2725,而16<27,所以1625<2725,BP2lD0<373.據(jù)此可知35,444>5”的大小關(guān)系是（）

A.355<444<533B.533<444<355C.444<533<355D.533<355<444

5.（2021?杭州綠城育華學(xué)校七年級(jí)月考）已知a=8pi,6=273c=961,則下列關(guān)系中正確的是（）

A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.

6.（2021?河北衡水市?八年級(jí)期末）已知a=8P，b=2741，c=961）則義“c的大小關(guān)系是（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

題型7利用塞運(yùn)算進(jìn)行代數(shù)式表示

1.（2020?漢中市楊河學(xué)校初一月考）按題目要求計(jì)算：

（1）已知2"'—1=2，求3+4"'的值；（2）已知7'=。、87=6，用含有。、b的式子表示56'6.

2.（2021?山東寒亭?七年級(jí)期中）若*3,4=5,8。=15,則（）

A.a+2b=3cB.a+b=cC.a+2b=cD.2a+b=c

3.（2021?江蘇南京鐘英中學(xué)）若a"=a"（a>0且awl,"八〃是正整數(shù)），貝1」加=".利用上面結(jié)論解決

下面的問(wèn)題：（1）如果2+8*-16*=25,求x的值；（2）如果2"+2，+i=24，求x的值；

（3）若x=5"-3,y=4-25"\用含x的代數(shù)式表示y.

4.（2020?江蘇高港實(shí)驗(yàn)學(xué)校初一期中）若3a=27,2工=4>",則x-尸.

5.（2021?浙江八年級(jí)期末）我們知道下面的結(jié)論：若優(yōu);二優(yōu)（。>0,且awl）,則加=〃.利用這個(gè)結(jié)

論解決下列問(wèn)題：設(shè)3M=2,3"=6,3"=18.現(xiàn)給出加三者之間的三個(gè)關(guān)系式：@m+p=2n,②

3m+n=4p-6,③p2-/-2加=3.其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①

題型7與嘉運(yùn)算有關(guān)的新定義

1.（2021?儀征市第三中學(xué)）如果廢=6,那么我們規(guī)定（a,b）=c.例如：因?yàn)?3=8,所以（2,8）=

3.（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（3,27）=,（4,16）=,（2,16）=.

（2）記（3,5）=a,（3,6）=b,（3,30）=c.求證：a+b=c.

2.（2021?鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)學(xué)校）規(guī)定兩數(shù)a,6之間的一種運(yùn)算，記作（。力），如果"=6,貝U（",b）=c.我們叫

（。,6）為“雅對(duì)”.例如因?yàn)?=8,所以（2,8）=3.我們還可以利用“雅對(duì)”定義說(shuō)明等式（3,3）+（3,5）=（3,15）

成立.證明如下:

設(shè)（3,3）=加,（3,5）=",貝l]3"'=3,3"=5,

故3m,3"=3"+"=3x5=15,

則（3,15）=加+〃，即（3,3）+（3,5）=（3,15）.

（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（2,0.25）=；（5,1）=；（,16）=4.

（2）計(jì)算（5,2）+（5,7）=,并說(shuō)明理由.

（3）利用“雅對(duì)”定義證明：（2",3"）=（2,3）,對(duì)于任意自然數(shù)〃都成立.

3.（2021?河南金水?）如果如="那么我們規(guī)定（a,6）=c.例如;因?yàn)??=8,所以（2,8）=3.

（1）根據(jù)上述規(guī)定填空：（4,16），（31）=，（2,0.25）=

（2）若（3,4）=a,（3,6）=6,（3,96）=c.判斷。也c之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

4.（2021?安徽安慶?七年級(jí)期末）規(guī)定兩數(shù)“力之間的一種運(yùn)算，記作（。力）；如果優(yōu)=人那么（q,6）=c,

例如：因?yàn)?,=8,所以（2,8）=3

⑴根據(jù)上述規(guī)定，填空：（5,125）=；（5,1）=,.

（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)特例：對(duì)任意的正整數(shù)“，（3",4"）=（3,4）.小明給了如下的證明：設(shè)

（3",4"）=x,（3"）"=4",（3'）"=4",所以3，=4,（3,4）=x,所以（3〃,4"）=（3,4）,請(qǐng)根據(jù)以上規(guī)律：計(jì)算：

（16,10000）-（64,1000000）.（3）證明下面這個(gè)等式:（3,20）-（3,4）=（3,5）.

m+n

5.（2020?浙江杭州市?七年級(jí)其他模擬）我們知道，同底數(shù)幕的乘法法則為.優(yōu)=a（其中。工0,

m、〃為正整數(shù)），類(lèi)似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)加、〃的一種新運(yùn)算：+=比如

%(2)=3,則力(4)=〃(2+2)=3x3=9,若h(2)=k(k不0),那么/z(8)=,A(2M)?/z(2020)=

6.(2021?鎮(zhèn)江市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)月考)一般地，"個(gè)相同的因數(shù)a相乘。"；記為??；如

2x2x2=2=8,止匕時(shí)；3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為log?8(gplogz8=3).一般地，若a"=b(。>0且

"1,b>Q),則〃叫做以。為底b的對(duì)數(shù)，記為log/(即10gt,6=〃).如3"=81,則4叫做以3為底

81的對(duì)數(shù)，記為1%81(gpiog381=4).(1)計(jì)算下列各對(duì)數(shù)的值：log24=；log216=；

log264=；

(2)你能得到log?4、log?16、log?64之間滿足怎樣的關(guān)系式：；

(3)由(2)的結(jié)果，請(qǐng)你歸納出log〃M、bg“N、log.MN之間滿足的關(guān)系式：,

(4)根據(jù)哥的運(yùn)算以及對(duì)數(shù)的含義驗(yàn)證(3)的結(jié)論.

題型8整式乘法基本運(yùn)算

解題技巧：p(a+b+c)=pa+pb+pc；(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

1.(2021?廣東揭陽(yáng)市,七年級(jí)期末)計(jì)算：(-2a/).(一3a2)=

2.(2021?江蘇七年級(jí)期中)化簡(jiǎn)：(-3N)?(4x-3)=_.

3.(2021?東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)若(x+2)(x-5)=f+px+4，則？=,q=.

4.(2021?江蘇常州市?常州實(shí)驗(yàn)初中七年級(jí)期中)若(x+2)(2x-n)^2x2+mx-2,則加+〃=()

A.4B.6C.2D.-4

5.(2021?太原市?山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試)先化簡(jiǎn)，再求值：(x+l)(x-l)+x(x-2)-(x-l)2,其中

X=-1.

6.（2021?浙江嘉興?七年級(jí)期末）（圖1）,把邊長(zhǎng)為b的正方形放在長(zhǎng)方形/BCD中，其中正方形的兩

條邊分別在CD上，已知N8=a（。＜26）,BC=4a.

（1）請(qǐng)用含。、6的代數(shù)式表示陰影部分的面積；

7

（2）將另一長(zhǎng)方形8EFG放入（圖1）中得到（圖2）,已知8￡=］訪BG=b；

①長(zhǎng)方形AGPH的面積是長(zhǎng)方形EOW面積的6.5倍，求f的值；

②若長(zhǎng)方形尸的面積為2,求陰影部分的面積（用含6的代數(shù)式表示）.

圖1圖2

題型9平方差與完全平方公式的基本運(yùn)用

解題技巧：套用公式公式的前提是式子滿足公式形式。當(dāng)題目中的形式比較復(fù)雜，不能直接套用公式時(shí),

我們可以將式子拆分，或者部分套用公式，或者對(duì)式子進(jìn)行一定的變形。

完全平方公式：用m±6）2=/±2。6+/

平方差公式為：串―摩0艇？蜀蠹=■途，常見(jiàn)變化如下：

位置變化：（a+b）（—b+a）=a2—b2;符號(hào)變化：（一。一b）（a—6）=—（a2—b，）

艇威

系數(shù)變化：（3a+2b）（3a—2b）=嬲K翻包I

指數(shù)變化：（a3-b3）U3-b3）-a3?2-田）二

項(xiàng)數(shù)變化：（a+b—。）（6z—Z?+c）=a?—'b—c-

連用變化：（a+b）（a—b）（a2?b'）=（a、b'）（a、+b'）=a4b’

1.（2020?福建省石獅市自然門(mén)學(xué)校月考）下列計(jì)算正確的是（）

A.（Q-Z?）2=Q?-b?B.（Q+b）2=Q?+b?C.（-a-b）?=a?—261b+b?D.（a—b）?=/—2ab+b?

2.（2021?蘭州市第五十五中學(xué)七年級(jí)月考）下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是（）

A.（2。+6）（a—2b）B.（。-2b）（a—2b）C.（a+2b）（—2b-\~a）D.（2。-6）（—2a+

b）

2i

3.（2021?汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）若〃2—a+b=-f則〃—b的值為（）

143

A.—B.—C.—D.2

232

4.（2021?杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）七年級(jí)期中）若2b-a=-2,a+2b=5.則矯一4左=.

5.（2021?成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）若a+b=2,◎-N=6,則a-b=.

6.（2021?沐陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x+y）2+5（x+y）（x-y）,其中x=2,y=1

7.（2021?杭州市十三中教育集團(tuán)七年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：（冽-4〃）2-4〃（3幾-2加）-3（-

2〃+3加）（3m+2n）,其中13m2-8/-6=0.

題型10構(gòu)造平方差公式及公式逆用

1.（2021?湖南岳陽(yáng)?七年級(jí)期末）已知,則代數(shù)式V-/的值為（）

[X_y=_3

A.1B.-1C.-6D.6

2.（2021?貴州威寧?七年級(jí)期末）若加2-1=24,且“-〃=4,則加+幾等于（）.

A.7B.6C.5D.8

3.（2021?南陽(yáng)市第三中學(xué)八年級(jí)期中）若一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為

“好數(shù)”.下列正整數(shù)中能稱為“好數(shù)”的是（）

A.205B.250C.502D.520

4.（2021?上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）已知如爪c是三角形的邊長(zhǎng)，那么代數(shù)式的值

是（）

A.小于零B.等于零C.大于零D.大小不確定

5.（2021?廣西象州?七年級(jí)期中）利用平方差公式計(jì)算

的結(jié)果是（）

99

100100

6.（2021?湖南漣源?七年級(jí)月考）已知"6=2,貝心2-/一46=

7.（2021?福建梅列?）利用乘法公式計(jì)算：（1）1012-1（2）20212-2020x2022

題型11完全平方式的應(yīng)用（含參問(wèn)題）

解題技巧：完全平方式的定義:對(duì)于一個(gè)具有若干個(gè)簡(jiǎn)單變?cè)恼紿如果存在另一個(gè)實(shí)系數(shù)整式以使

A=B2,則稱/是完全平方式°2±2.6+抉=（0土6）2。注意:⑴對(duì)于°2=x（x彳0）,a有正負(fù)兩種結(jié)果。（2）區(qū)分

缺首尾項(xiàng)和缺中間項(xiàng).

1.（2021?全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）16〃+4與下列哪個(gè)代數(shù)式的和是完全平方式（）

A.±646B.±326C.±166D.±86

2.（2021?安徽馬鞍山?七年級(jí)期末）如果d+18x+上2是一個(gè)完全平方式，那么上的值是（）

A.3B.+3C.9D.±9

3.（2021?廣東河源?）已知多項(xiàng)式N-2fcc+16是完全平方式則左的值為（）

A.4B.-4C.±4D.±8

4.（2021?嫌州市初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如果9--辰+25是一個(gè)完全平方式，那么上的值是（）.

A.±15B.15C.±30D.3

5.（2021?重慶一中八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）若多項(xiàng)式N+fcc+25是完全平方式，則左=—.

6.（2020?浙江瑞安.初一期中）已知2"+2*+1是一個(gè)有理數(shù)的平方，則"不能為（）

A.-20B.10C.34D.36

題型12完全平方式的應(yīng)用（知二求二）

解題技巧：用僅±6）2=/±2而+〃可推導(dǎo)除一些變式

①/+6?_（a+6）2_2ab=（a-/?）?+2ab=+6）。+（a-/?）]

②lab=（a+bp一（/+/）==（儲(chǔ)+/）_（°_32=g[①+4m4]

注：變式無(wú)需記憶。在完全平方公式中，主要有（。+爐、（a-4、a2+b\成等模塊，都可以通過(guò)（“+4

與（a—b）1相結(jié)合推導(dǎo)出來(lái)。

1.（2021?湖南寧鄉(xiāng)?）已知（4-6）2=6,（4+6）2=4,貝UY+b?的值（）

A.10B.6C.5D.3

2.（2021?河北唐山?七年級(jí)期末）對(duì)于等式（a+b）2=/+/,甲、乙、丙三人有不同看法，則下列說(shuō)法正

確是（）

甲：無(wú)論。和6取何值，等式均不能成立.乙：只有當(dāng)〃=0時(shí)，等式才能成立.

丙：當(dāng)。=0或b=0時(shí)，等式成立.

A.只有甲正確B.只有乙正確C.只有丙正確D.三人說(shuō)法均不正確

3.（2021?鄭州楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)月考）已知（冽-53）（m-47）=25,則（m-53）2+（m-47）2

的值為（）

A.136B.86C.36D.50

4.（2021?河南八年級(jí)期末）^a2b2-6ab+a2+b2+4=0,則/+/=.

5.（2021?安徽泗縣?七年級(jí)期末）己知實(shí)數(shù)。滿足（。-2020）（。-2021）=3,則（"2020）2+.-2021『的值

是.

6.（2021?山東東平東原實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）已知a-2b=10,ab=5,則層+我2的值是（）

A.100B.110C.120D.125

題型13完全平方公式應(yīng)用（2）

1.（2021?金堂縣初一月考）已知+1=2,那么/+/2的值是.

1,1

2.（2021?重慶北暗?初三其他）已知x--=l,則x+丁等于（）

XX

A.3B.2C.1D.0

3.（2021?江門(mén)市第二中學(xué)初二月考）若工±四=4,則V+4+1=.

XX

4.（2020?四川南充?一模）若［x+工］=9,則［x—工］的值為（）

A.4B.5C.6D.7

5.（2020?上海市久隆模范中學(xué)初一期中）已知V—3x+l=0,求一+二=

X

6.（2021?湖南雙峰?七年級(jí)期中）（1）已知（。-6）2=9,彷=18,求/+〃的值；

（2）已知QH--=3,求Q2H--^和/+下的值.

aaa

題型14配方法的應(yīng)用

解題技巧：運(yùn)用僅±6）2=/土+〃一個(gè)式子求解多個(gè)未知數(shù)，考慮平方的非負(fù)性，初中階段目前所學(xué)

具有非負(fù)性的有同萬(wàn)"（〃為正整數(shù)）.

1.（2021?四川青羊?樹(shù)德中學(xué)八年級(jí)）（1）已知：a=10000,6=9999,求房+廿-2仍-6a+66+9的值.

（2）若a、b、c為A43C的三邊，且滿足a2+〃+c2-仍-6c-ca=0.探索AIBC的形狀，并說(shuō)明理由.

2.（2021?湖北武漢?八年級(jí)期末）若a=x+20,b=x+19,c=x+21,則a2+62+02—仍一A一成=

3.（2021?湖南雙峰?七年級(jí)期中）無(wú)論。，6為何值，代數(shù)式+46+6-2°的值總是（）

A.非負(fù)數(shù)B.0C.正數(shù)D.負(fù)數(shù)

4.(2020?廣西興業(yè)?月考)代數(shù)式4%+3的最小值為().

A.-1B.0C.3D.5

5.(2021?浙江東陽(yáng)?七年級(jí)期末)閱讀理解：我們一起來(lái)探究代數(shù)式N+2x+5的值，

探究一：當(dāng)x=l時(shí)，x2+2x+5的值為；當(dāng)x=2時(shí)，N+2x+5的值為,可見(jiàn)，代數(shù)式的值因x的取

值不同而變化.

探究二：把代數(shù)式N+2x+5進(jìn)行變形，如：x?+2x+5=N+2x+/+4=(x+1)2+4,可以看出代數(shù)式x?+2x+的最

小值為,這時(shí)相應(yīng)的x=.

根據(jù)上述探究，請(qǐng)解答：(1)求代數(shù)式-N-8X+17的最大值，并寫(xiě)出相應(yīng)x的值.

(2)把(1)中代數(shù)式記為/,代數(shù)式力2+12/+37記為2,是否存在，x,y的值，使得/與3的值相等？

若能，請(qǐng)求出此時(shí)X?的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.(2020?吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初二期中)把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式

是非負(fù)性這一性質(zhì)增加問(wèn)題的條件，這種解題方法通常被稱為配方法.配方法在代數(shù)式求值、解方程、最

值問(wèn)題等都有著廣泛的應(yīng)用.

例如：若代數(shù)式M=a2-2ab+2b2-26+2,利用配方法求M的最小值：

a2-2ab+2b2-26+2=層-2ab$+N-26+1+1=(a-b)2+(6-1)2+l.

V(a-b)2>0,(6-1)2R,.?.當(dāng)a=6=l時(shí),代數(shù)式M有最小值1.

請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：

(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：。2+而+；

1

(2)若代數(shù)式〃=一/7+20+1,求M的最小值；

4

(3)已知02+2〃+公2-2a6-26-4c+2=0,求代數(shù)式a+6+c的值.

題型15乘法公式的幾何背景

解題技巧：兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，若直接觀察題目的結(jié)構(gòu)無(wú)法找到合適的公式套用，這時(shí)需要作合理的裂項(xiàng),

添加括號(hào)，再利用整體思想套用公式，這時(shí)應(yīng)用乘法公式解題的基本技巧。

1.（2021?上海市市北初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a>b）

（如圖甲），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖乙），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（）

A.a2+2ab+b2—(a+6)2B.a2-2ab+b2=(a-b)2

C.a2-b2=(a+b)(a-b)D.a1-ab-2b2=

圖乙

2.（2021?重慶市天星橋中學(xué)）如圖是用4個(gè)相同的小長(zhǎng)方形與1個(gè)小正方形密鋪而成的大正方形圖案，己

知其中大正方形的面積為64,小正方形的面積為9.若用x,?分別表示小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬（其中x>?）,

則下列關(guān)系式中錯(cuò)誤的是（）

A.4xy+9=64B.x+y=SC.x-y=3D.x2-y2=9

3.（2021?無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）（知識(shí)生成）通常情況下，用兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的

面積，可以得到一個(gè)恒等式.

（1）如圖1,根據(jù)圖中陰影部分（4個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形）的面積可以得到的等式

是:

（知識(shí)遷移）類(lèi)似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一幾何體的情況，也可以得到一個(gè)恒等式.如圖2是邊長(zhǎng)

為a+b的正方體，被如圖所示的分割成8塊.

（2）用不同的方法計(jì)算這個(gè)正方體的體積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式可以為:

(3)已知。+6=3,ab=\,利用上面的規(guī)律求/+分的值.

b

圖1圖2

4.（2021?山東商河?七年級(jí)期末）如圖，邊長(zhǎng)為。的大正方形內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形.

（1）用含字母a、b的代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積為—（寫(xiě)成平方差的形式）；

（2）將圖1的陰影部分沿斜線剪開(kāi)后，拼成了一個(gè)如圖2所示的長(zhǎng)方形，用含字母a、b的代數(shù)式表示此

長(zhǎng)方形的面積為—；（寫(xiě)成多項(xiàng)式乘法的形式）

（3）比較（2）、（1）的結(jié)果，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)非常熟悉的乘法公式—；

（4）拓展運(yùn)用：①結(jié)合（3）的公式，計(jì)算下面這個(gè)算式：1202-118x122.（不用公式計(jì)算不得分）

②結(jié)合（3）的公式，先計(jì)算下面這個(gè)算式（用乘方的形式表示結(jié)果）并說(shuō)出這個(gè)結(jié)果的個(gè)位數(shù)字.（2+1）

（22+1）（24+1）...（216+1）（232+1）+i.個(gè)位數(shù)字是.

a

圖1圖2

5.（2021?蘇州市平江中學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，將甲圖中陰影部分無(wú)重疊、無(wú)縫隙地拼成乙圖，根據(jù)兩個(gè)

圖形中陰影部分的面積關(guān)系得到的等式是（）

12

A.Q2_b2=（Q+6）（Q_b）B.a+lab+b=^a+b^

C.a1-2ab+b2=D.+

6.（2021?四川省成都市七中育才學(xué)校）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖①的三種紙片，/種紙片

是邊長(zhǎng)為。的正方形，8種紙片是邊長(zhǎng)為6的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為6,寬為。的長(zhǎng)方形，并用/種紙片

一張，8種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖②的大正方形.

（1）觀察圖②，請(qǐng)你寫(xiě)出代數(shù)式（a+b）2,a2+b2,仍之間的等量關(guān)系是

（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系，解決下列問(wèn)題;

①已知a+b=4,aW=10,求仍的值；②已知(x-2020)2+(x-2018)2=52,求x-2019的值.

7.（2021?海口市第十四中學(xué)八年級(jí)月考）數(shù)學(xué)課上，我們知道可以用圖形的面積來(lái)解釋一些代數(shù)恒等式,

如圖1可以解釋完全平方公式：（。+6）2=/+2加+加.

（1）如圖2（圖中各小長(zhǎng)方形大小均相等），請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積（不化簡(jiǎn)）：

方法1：$陰影=;方法2:S陰影=

（2）由（1）中兩種不同的方法，你能得到怎樣的等式？

（3）①已知+=16,mn=3,請(qǐng)利用（2）中的等式，求他的值.

②已知（2加+疔=13,（2加-"）2=5,請(qǐng)利用（2）中的等式，求的值.

題型16整式乘法的歸納猜想問(wèn)題

1.(2021?湖南岳陽(yáng)?七年級(jí)期末)如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝最早發(fā)現(xiàn)的，稱為“楊輝三角”.它的發(fā)現(xiàn)比

西方要早五百年左右，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的！“楊輝三角”中有許多規(guī)

律，如它的每一行的數(shù)字正好對(duì)應(yīng)了(。+?"("為非負(fù)整數(shù))的展開(kāi)式中。按次數(shù)從大到小排列的項(xiàng)的系

數(shù).例如，(a+6)2=/+2湖+/展開(kāi)式中的系數(shù)1、2、1恰好對(duì)應(yīng)圖中第三行的數(shù)字；再如，

(°+6)3=/+3/6+33>2+63展開(kāi)式中的系數(shù)1、3、3、1恰好對(duì)應(yīng)圖中第四行的數(shù)字.觀察此圖，在橫線

上寫(xiě)出(a-?)"展開(kāi)式中的未知項(xiàng)，++()+b4.

111……(a+?

i\X/1……(嗎

1331……(。+6)

2.(2021?吉林乾安?八年級(jí)期末)(1)填空：

(a-6)(a+6)=,(a-6)Qa2+ab+b2>)=,(a-b)(a3+a2Z?+aZ?2+&3)=.

(2)猜想：(.a-b)(a"x+an-2Z>+...+abn-2+bn-1)=.(其中，〃為正整數(shù)，且稔2)

3.(2021?江蘇淮安?)你能化簡(jiǎn)(0-1)(，9+°98+.97+…+/+°+1)嗎？

我們不妨先從簡(jiǎn)單情況入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結(jié)論.

(1)先填空：(。-1)(。+1)=；

(a-])(/+a+1)=；

(a-l)(a3+a2+a+1)=；…

由止匕猜想：(a-1)(。*+a98+a97+...+a2+