中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：軸對(duì)稱之將軍飲馬模型重難點(diǎn)題型歸納（五大類型）（解析版）

軸對(duì)稱之將軍飲馬模型重難點(diǎn)題型歸納（五大類型）

_至其起駕_但3________________________

【題型01：“2定點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)"作圖問題】

【題型02：“2定點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)"求周長(zhǎng)最小值問題】

【題型03：“2定點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)"求線段最小值問題】

【題型04：“1定點(diǎn)2動(dòng)點(diǎn)”-線段/周長(zhǎng)最小問題】

【題型05：“1定點(diǎn)2動(dòng)點(diǎn)”-角度問題】

國(guó)滿臺(tái)處珠

【題型01:“2定點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)"作圖問題】

【典例1】如圖，A,B兩個(gè)村莊獨(dú)自從河流/上安裝了兩條灌溉管道力D,BE,于點(diǎn)D,BE_LZ于點(diǎn)

E.某水務(wù)局準(zhǔn)備為兩村莊在河流1上重新安裝一臺(tái)大型的抽水設(shè)備灌溉農(nóng)田.通過測(cè)量，確定在河流，的

點(diǎn)P處安裝抽水設(shè)備，則到兩個(gè)村莊鋪設(shè)的管道2P+BP的長(zhǎng)度最短，此時(shí)測(cè)得NPBE=30°,

DE=150m,貝。4P+BP的最小值為（）

DPE

A.180mB.210mC.240mD.300m

【答案】D

【分析】延長(zhǎng)4。到點(diǎn)K使=連接FP,可求得FP=4P,4P+BP最短即為FP+BP最短.

【詳解】解：延長(zhǎng)4。到點(diǎn)凡使FD=4D,連接FP.

1

B

\,AD11,

.??點(diǎn)F與點(diǎn)4關(guān)于直線，對(duì)稱.

：.FP=AP,Z.A=zF.

：.AP+BP=FP+BP.

■MP+BP最短，

■-FP+BP最短.

；尸、P、B三點(diǎn)在同一直線上.

■BE11,

：.AD\\BE,^ADP=4BEP=90°.

.■./.A—Z-F=Z.PBE—30°.

：.AP=2PD,BP=2PE.

：.AP+BP=2(PD+PE)=2DE=2x150=300(m).

.■.AP+BP的最小值為300m.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱圖形、平行線的判定及性質(zhì)，牢記軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1】已知點(diǎn)A,點(diǎn)B都在直線/的上方，試用尺規(guī)作圖在直線I上求作一點(diǎn)P,使得PA+PB的值

最小，則下列作法正確的是()

2

A4T

【答案】D

【詳解】如圖，由作圖可知，B,B'關(guān)于直線對(duì)稱，所以BP=B，P,

此時(shí)AP+PB'=AP+PB值最小，

符合題意的圖形如下：

故選D.

【變式1-2］如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)4B,。在小正方形的頂點(diǎn)上.

⑴在圖中畫出與a/lBC關(guān)于直線/成軸對(duì)稱的△AB'C'；

⑵連接CC',直線/與線段CC'的關(guān)系是—；

⑶在直線2上確定一點(diǎn)P,使得PB+PC最短(不寫作法，保留作圖痕跡).

【答案】⑴見解析

(2)垂直平分

⑶見解析

3

【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)4B、C關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)4、B'、C'的位置，然后順次連接即可;

(2)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)稱軸垂直平分對(duì)稱點(diǎn)的連線；

(3)根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線，連接BC',與對(duì)稱軸I的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P.

【詳解】(1)如圖所示，△ABC'即為所求；

(2)(2)線段CC'被直線/垂直平分.

故答案為：垂直平分.

(3)連接BC'交直線/于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，比較簡(jiǎn)單，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解

題的關(guān)鍵，還考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及利用軸對(duì)稱確定最短路線.

【變式1-3］如圖，在小河河岸的同側(cè)，一牧民在N點(diǎn)處放馬，現(xiàn)在要到河邊去給馬飲水，然后再回到

點(diǎn)2處.問在何處飲水才能使牧民所走的路程最短？

A*

?B

【答案】見解析

【分析】點(diǎn)/關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)4,利用軸對(duì)稱確定最短路線.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)/關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)4,連接48與直線/交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求的點(diǎn),

即飲水的地方.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱確定最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及“兩點(diǎn)之間，線段最

4

短"

【題型02：“2定點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)"求周長(zhǎng)最小值問題】

【典例2】如圖，△力BC中，AB=AC,BC=6,△48C的面積為21,4。1BC于。，E尸是邊的中

垂線，點(diǎn)P是斯上一動(dòng)點(diǎn)，△PBD周長(zhǎng)的最小是等于（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】由于48C是等腰三角形，AD1BC,故點(diǎn)。是8C邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式求出

的長(zhǎng),再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)”,故4D的長(zhǎng)為BP+PD

的最小值，由此即可得出結(jié)論.

【詳解】解：,??A42c是等腰三角形，ADLBC

.?.點(diǎn)。是3C邊的中點(diǎn)

；.BD=CD^BC=3

??,△ABC的面積為21

11

???—?BC?AD=-X6xAD=21

???AD=7

??名廠是線段45的垂直平分線

???點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A

■■AD的長(zhǎng)為BP+PD的最小值

1

:ZBD的周長(zhǎng)最小=（8P+PZ））+8O=/D+^C=7+3=10

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【變式2-1］如圖，已知△2BC中，AB=4,AC=5,邊8c的垂直平分線分別交BC,AC于點(diǎn)￡,F,點(diǎn)、

。為直線EF上一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為（）

5

A.12B.11C.10D.9

【答案】D

【分析】本題此題考查了軸對(duì)稱的最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，利用數(shù)

形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

BC的垂直平分線分別交BC,4c于點(diǎn)E,F,

.?.△43￡）的周長(zhǎng)=48+4。+8。=48+4。+。。，

???當(dāng)N、D、C三點(diǎn)共線時(shí)，4。+CD最小，即此時(shí)△2BD的周長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合，最小值

即為4C的長(zhǎng)，

△2BD的周長(zhǎng)的最小值為4C+A8,

???AB=4,AC=5,

△2BD的周長(zhǎng)的最小值為：5+4=9,

故選：D.

【變式2-2］如圖，在△A8C中，AB^AC,BC=4,面積是12,2C的垂直平分線EF分別交AB,AC

邊于點(diǎn)E,F.若點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△PCD周長(zhǎng)的最小值為（）

6

A

A.8B.3C.6D.4

【答案】A

【分析】本題考查了軸對(duì)稱一最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，連接力D,AP,由AB=HC,點(diǎn)。是BC

邊的中點(diǎn)，貝必D1BC,再根據(jù)三角形的面積公式求出4。的長(zhǎng)，再再根據(jù)EF是線段4C的垂直平分線可

知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)4當(dāng)4P、D三點(diǎn)共線時(shí)，即力。的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，由此即

可得出結(jié)論，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】連接ZD,AP,

?MB=AC,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn),

：.AD1BC,

',-^AABC=,AD=Ix4xAD=12,

..AD—6,

???EF是線段ac的垂直平分線，

???點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)4

??.當(dāng)力、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，即4D的長(zhǎng)為CP+PD的最小值,

7

△CDP的周長(zhǎng)最短=(CP+PD)+CD=XD+|BC=6+1x4=6+2=8,

故選：A.

【變式2-3］如圖，等腰三角形力BC底邊BC的長(zhǎng)為4cm,面積是12cm2,腰4B的垂直平分線EF交4C于點(diǎn)

F,若。為BC邊上的中點(diǎn)，"為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△BDM的周長(zhǎng)最短為()

A

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

【答案】D

【分析】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，垂直平分線性質(zhì)，軸對(duì)稱一最短路徑問題，連接4。，由于△ABC

是等腰三角形，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，故4D1BC,再根據(jù)三角形的面積公式求出4。的長(zhǎng)，再根據(jù)EF是

線段的垂直平分線可知，點(diǎn)8關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)4故4。的長(zhǎng)為BM+MD的最小值，由此即

可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接4D.

BD('???△28C是等腰三角形，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，

■■■ADLBC,

???SAABC=^BC-AD=|X4XT1D=12,解得4D=6cm,

EF是線段4B的垂直平分線，

???點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,

4。的長(zhǎng)為的最小值，

的周長(zhǎng)最短=(BM+MD)+BD=AD+^BC=6+|x4=8cm.

故選：D.

8

【題型03：“2定點(diǎn)1動(dòng)點(diǎn)"求線段最小值問題】

【典例3】如圖，在△ABC中，AB=AC,分別以點(diǎn)力、B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于

E、尸，畫直線EF,。為BC的中點(diǎn)，M為直線E尸上任意一點(diǎn)，若BC=5,△4BC的面積為15,貝+MD

的最小長(zhǎng)度為（）

【答案】B

【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的面積，三線合一定理，兩點(diǎn)之

間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì).如圖，連接力M,AD.利用三角形的面積公

式求出4。，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，線段的垂直平分線的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：如圖，連接AM,AD.

■■-AB=AC,。為的中點(diǎn)，

■.AD1BC,

^AABC—|'BC-AD=15,BC=5,

“c15x2,

???AD=---=6,

由作圖可知：EF垂直平分線段

??.MA=MB,

??.MB+MD=AMMD>AD=6,

9

.?.BM+DM的最小值為6,

故選：B.

【變式3-1］如圖，在△ABC中，AB=AC,AD=12,。是BC的中點(diǎn)，EF垂直平分4B,交4B于點(diǎn)E,交

力。于點(diǎn)尸，在EF上確定一點(diǎn)P,使PB+PD最小，則這個(gè)最小值為（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

【分析】由EF垂直平分4B,得到點(diǎn)4,8關(guān)于直線EF對(duì)稱，于是得到4。的長(zhǎng)度=PB+PD的最小值,

即可得到結(jié)論.

【詳解】解：?MB=4C,。是BC的中點(diǎn)，

：.AD1BC,

垂直平分力B,

：.PA=PB,PB+PD=PA+PD,

如圖，當(dāng)尸為EF與ZD的交點(diǎn)時(shí)，PA+PD取最小值，

此時(shí)，PA+PD=AD=12,

.?.PB+PD的最小值為12,

故本題選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱一一最短路線問題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題

意得到力。的長(zhǎng)度=PB+PD的最小值是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］如圖，A42C是等邊三角形，AD是3c邊上的高，且/。=6,E是NC的中點(diǎn)，P是4D上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則尸C與PE的和最小是（）

10

A

A.3B.4

【答案】C

【分析】連接BE,與/。交于點(diǎn)尸，連接CP,則班的長(zhǎng)度即為PE與尸C和的最小值，根據(jù)三角形的

面積公式即可證出BE=AD=6,從而得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接3E,與40交于點(diǎn)P,連接CP,

?.?A48C是等邊三角形，ADS.BC,

.?.40垂直平分BC,BC=4C,

■■.PC=PB,

；.PE+PC=PB+PE=BE,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，2E的長(zhǎng)就是PE+PC的最小值,

???E是NC的中點(diǎn)，

■■BELAC,

11

■.■SAABC^BC-AD^AC-BE,

■■BE=AD=6,

即PC與PE的和最小值是6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)

鍵.

【題型04：“1定點(diǎn)2動(dòng)點(diǎn)”-線段/周長(zhǎng)最小問題】

【典例4】如圖，BD平分NABC,SAABC=8,AB=4,E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，在BD上找一點(diǎn)F,使EF+FC的值

11

最小，則這個(gè)最小值為（）

A.4B.3

【答案】A

【分析】過C點(diǎn)作CGU8,根據(jù)三角形面積公式解答即可.

【詳解】過C點(diǎn)作CG_LAB,交BD與F,過F作F'E'IBC,

???BD平分NABC,CG1AB,F'E'IBC,

.,.GF'=F'E',

??.EF+FC的值最小=GF'+F'C=CG,

','SAABC=8,AB=4,

2s△ABC2x8.

???CG=^^=.=4,

故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形內(nèi)線段最小值的求解，解題的關(guān)鍵是熟知根據(jù)題意作出輔助線及利用三角

形的面積公式求解.

【變式4-1］如圖，在△4BC中，AB=AC,邊AC的垂直平分線MN分別交力B、47于點(diǎn)M、N,卓、D是

邊BC的點(diǎn)，點(diǎn)P是MN上任意一點(diǎn)，連接PD、PC,若乙4=40°,則當(dāng)△PC。周長(zhǎng)最小時(shí)，乙CPD=（)

A.25°B.30°D.40°

【答案】D

12

【分析】本題考查軸對(duì)稱的最短路線問題，線段垂直垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).熟練運(yùn)用

垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

連接AP，根據(jù)線段垂直垂直平分線的性質(zhì)可知PA=PC,APAC=APCA.所以PC+PD=PA+PD,由

此可知當(dāng)/、P、D在同一直線上時(shí)，P2+PD最小.再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知力。為NB2C的平分線,

即NB4C=2ACAD.最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)即得出答案.

【詳解】解：如圖，連接4P.

?.?MN垂直平分AC,

.-.PA=PC,/L.PAC=/.PCA,

：.PC+PD=PA+PD,

當(dāng)/、P、。在同一直線上時(shí)，P2+PD最小，最小值為4D.

△PCD周長(zhǎng)最小值=PC+PD+CD=AD+CD.

"AB=AC,點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn),

.MD為NB4C的平分線，

■.Z-BAC=2./.CAD,

MCPD=^PAC+NPC4=2ACAD,

■■7.CPD=/.BAC=40°.

故選：D.

【變式4-2］如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE=4,射線CD，BC,垂足為點(diǎn)C,點(diǎn)尸是射線CD

上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時(shí)，BF=5,貝MB的長(zhǎng)為（）

A.6B.7C.2D.10

13

【答案】B

【分析】本題考查最短路徑問題、等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握利用

軸對(duì)稱性質(zhì)求最短距離的方法是解答的關(guān)鍵.作點(diǎn)E關(guān)于射線CD的對(duì)稱點(diǎn)廿，過廿作ENIAB于R交

射線CD于P,連接PE,此時(shí)EP+FP的值最小，利用等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得

=90。一NB=30。，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得BE，=2BF=10,進(jìn)而求得CE=3即

可求解.

【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于射線CD的對(duì)稱點(diǎn)色，過作EN14B于尸，交射線CD于P,連接PE,如圖，則

E'P=EP,

：.EP+FP=E:P+FP=E'F,此時(shí)EP+FP的值最小，則BF=5,

。是等邊三角形，

."=60°,AB=BC,

在RSBFE，中，NE'=90°—NB=30。，

-,BE'=2BF=10,

■,-BE=4,CE=CE',

：.2CE+4=10,

■.CE=3,

.-.AB=BC=3+4=7,

故選B.

【變式4-3］如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,ADIBC,點(diǎn)。為垂足，E、尸分別是力。、力B上的

動(dòng)點(diǎn).若48=6,△A8C的面積為12,貝UBE+Ef1的最小值是（）

14

A

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱一最短路線問題，垂線段最短.解此題的關(guān)鍵是正確作出

輔助線.作點(diǎn)尸關(guān)于4。的對(duì)稱點(diǎn)連接8M、EM,過點(diǎn)8作BN14C于點(diǎn)N,從而可確定

BE+EF>BM,即BM最小時(shí)，BE+EF最小.再根據(jù)垂線段最短可知BN的長(zhǎng)即為BM最小時(shí)，最后根

據(jù)三角形面積公式求出BN的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)尸關(guān)于an的對(duì)稱點(diǎn)“，連接BM、EM,過點(diǎn)2作BN14C于點(diǎn)N,

：.EF=EM,

：.BE+EF=BE+EM>BM,

最小時(shí),BE+EF最小.

當(dāng)BM14C時(shí)BM最小，即為BN的長(zhǎng)，

"''^AABC=累。，BN=12,AB—AC=6,

■,BN=2X12+6=4,

??.BE+EF的最小值是4.

故選B.

【變式4-4］如圖，在△ABC中，AB=AC=5,S^ABC=12,4D是△ABC的中線，F(xiàn)是力。上的動(dòng)點(diǎn)，E

是2C邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CF+EF的最小值為（）

15

A

【答案】D

【分析】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的"三線合一"、軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短、根

據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.在AB上截取

AG=AE,連接GE、GF、CG,由48=4。=5,4。是△4BC的中線，得/BAD=NC4D,由2G=AF,

4D平分NGAE,得4D垂直平分GE,貝I]EF=GF,所以CF+EF=CF+GF,因?yàn)镃F+GFNCG,所以當(dāng)

1

CF+GF=CG,且CG的值最小時(shí)，CF+GF的值最小，此時(shí)CF+EF的值最小，作CH14B于點(diǎn)H,由萬

7424

AB-CH=S^ABC=12,求得CH=w，所以CG的最小為于貝兀尸+前的最小值為于于是得到問題的

答案.

【詳解】解：在上截取4G=4E,連接GE、GF、CG,

■：AB^AC=S,是△ABC的中線，

???/.BAD=Z.CAD,

???AG=AF,4D平分々ME,

4。垂直平分GE,

EF=GF,

CF+EF=CF+GF,

???CF+GF>CG,

.?.當(dāng)CF+GF=CG,且CG的值最小時(shí)，CF+GF的值最小，此時(shí)CF+EF的值最小,

16

作C//14B于點(diǎn)H,則%8-。”=54鉆。=12,

|x5CW=12,

解得CH=g,

?.?當(dāng)CG與CH重合時(shí)，CG=CH=y,此時(shí)CG的值最小，，

24

CF+EF的最小值為三，

故選：D.

【變式4-5]△A8C中，ZXCB=90°,乙4BC=30。，4B=8,是△ABC的角平分線，點(diǎn)E、尸分別是

線段BD、線段上的動(dòng)點(diǎn)，則4E+EF的最小值是（）

A.4B.3C.8D.16

【答案】A

【分析】如圖，作尸關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接E尸，貝怩尸=5廠，尸在8c上，AE+EF=AE+EF',當(dāng)

力、E、E三點(diǎn)共線，S.AF'1BC,即4尸、力C重合時(shí)，力E+EF的值最小，根據(jù)4尸=4C=，B,計(jì)算求

解即可.

【詳解】解：如圖，作尸關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)廣，連接EF,貝!=

???BD是△4BC的角平分線，

?W在BC上，

：.AE+EF=AE+EF',

.??當(dāng)4、E、廣三點(diǎn)共線，且2F1BC,即4廣、2C重合時(shí)，4E+E尸的值最小,

■:^ACB=90°,^ABC=30°,AB=8,

：.AF'=AC=4,

17

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線，軸對(duì)稱的性質(zhì)，含30。的直角三角形，垂線段最短等知識(shí).熟練掌握角

平分線，軸對(duì)稱的性質(zhì)，含30。的直角三角形，垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

【典例5】在某草原上，有兩條交叉且筆直的公路04OB,如圖，AAOB=30°,在兩條公路之間的點(diǎn)P

處有一個(gè)草場(chǎng)，0P=4.現(xiàn)在在兩條公路上各有一戶牧民在移動(dòng)放牧，分別記為M、N,存在M、N使得

△PMN的周長(zhǎng)最小.則△PMN周長(zhǎng)的最小值是（）.

A.4B.6C.8D.12

【答案】A

【分析】本題考查的是軸對(duì)稱一最短路線問題、等邊三角形的判定和性質(zhì).作點(diǎn)P關(guān)于直線。4的對(duì)稱點(diǎn)

F,作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)G,連接FG,分別交。力、OB于M、N,得到△PMN的周長(zhǎng)的最小值為

FG,再證得△FOG為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形即可得出答案.

【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于直線。4的對(duì)稱點(diǎn)F,作點(diǎn)P關(guān)于直線。B的對(duì)稱點(diǎn)G,連接FG,

分別交。人。8于M、N,如圖：

：.MP=MF,NP=NG,

△PMN的周長(zhǎng)的最小值為FG,

由軸對(duì)稱的1■生質(zhì)得：/-FOA=N40P,4POB=乙GOB,

OP=OF,OP=OG,

■：AAOP+乙POB=4AOB=30°,OP=4,

.-.乙FOG=ZFOX+AAOP+乙POB+乙GOB=60°,OF=OG=4,

18

FOG為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,

：.FG=4,

PMN的周長(zhǎng)的最小值為4.

故選：A.

【變式5-1】如圖，"。2=30。，乙內(nèi)有一定點(diǎn)尸，且。尸=12,在。/上有一動(dòng)點(diǎn)0,上有一

動(dòng)點(diǎn)R.若△P0R周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是()

【詳解】/

作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E,點(diǎn)尸關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F,連接EF分別交OA于點(diǎn)Q,交0B于點(diǎn)

R,連接。￡、OF,

?:P、￡?關(guān)于Q4對(duì)稱，：.OE=OP=\2,4EOA=UOP,QE=QP,

同理可證OP=O尸=12,乙BOP=ABOF,RP=RF,

：.OE=OF=12,4EOF=KEOP+^LFOP=2UOB=60°,

??.△o所是等邊三角形，

：.EF=12,

：?CAPQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12.

故選B.

【變式5-2］如圖，已知乙4。8=a，。是乙4。8內(nèi)部的一點(diǎn)，且。C=3,點(diǎn)。、E分別是。4。8上的動(dòng)

點(diǎn)，若△CDE周長(zhǎng)的最小值等于3,則a=()

19

A

D

//

--------B

〃E

A.45°B.40°C.35°D.30°

【答案】D

【分析】本題主要考查軸對(duì)稱最短路徑問題，涉及垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判

定和性質(zhì)等，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于。B的對(duì)稱點(diǎn)為N,當(dāng)點(diǎn)。、￡在MN上時(shí)，△CDE的周

長(zhǎng)為CD+CE+DE=MN,此時(shí)周長(zhǎng)最小，由MN=OM=OM=OC=3可得△OMN為等邊三角形，進(jìn)

而可得a.

【詳解】解：作點(diǎn)C關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于。B的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接MNQMQN,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CD=MD,CE=NE,

???CD+DE+CE=MD+DE+NE>MN,

當(dāng)點(diǎn)。、￡在MN上時(shí)，等號(hào)成立，如圖：

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得。4垂直平分線段MC,OB垂直平分線段NC,

OM=OC=3,ON=OC=3,/.MOA=/LAOC,乙NOB=LBOC,

OM=ON=MN=3,乙MON=^MOA+AAOB+乙NOB=2a,

△OMN為等邊三角形，

???4MON=60°=2a,

a—30°.

故選D.

【題型05：“1定點(diǎn)2動(dòng)點(diǎn)”-角度問題】

【典例6】如圖，四邊形4BCD中，^BAD=120°,NB=ND=90。，在BC,CD上分別找一點(diǎn)“，N,使

20

△4MN周長(zhǎng)最小，則乙4MN+乙4NM的度數(shù)為()

A.60°B.120°

【答案】B

【分析】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法,以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知

識(shí)的綜合應(yīng)用，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得出M,N的位置是解題的關(guān)鍵.根據(jù)要使△力MN的周長(zhǎng)最小，即

利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出4關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)4,A",連接44",交BC于

M,交CD于N,則44"即為aAMN周長(zhǎng)的最小值.作D4延長(zhǎng)線力”，如圖所示，結(jié)合圖形及已知條件，

不難得出N44M+乙4”=乙HAA'=60°；再結(jié)合三角形外角的性質(zhì)不難得到N4MN+4ANM=2(乙44

M+NT),由此分析即可得出答案.

【詳解】解：作4關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)4,A",連接44",交8c于M,交CD于N,則4T即為△4MN周

長(zhǎng)的最小值.作延長(zhǎng)線2"，如圖所示.

,:乙DAB=120°,

???/.HAA'=60°,

AAAA'M+=^HAA'=60°.

???^MA'A=^MAA',4NAD=NT,且NM44+Z-MAA'=乙AMN,ANAD+/.A"=乙ANM,

???N力MN+乙ANM=^MA'A+AMAA'+^NAD+NA'=2{AAA'M+zX"）=2x60°=120°.

故選：B

【變式6-1］如圖，在五邊形ZBCDE中，Z.BAE=120°,zB=zF=90°,AB=BC,AE=DE,在BC、

DE上分別找到一點(diǎn)M、N,使得△AMN的周長(zhǎng)最小，則乙4MN+N4W的度數(shù)為（）

21

A

E

N

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】C

【分析】根據(jù)要使△AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，4關(guān)于BC和ED

的對(duì)稱點(diǎn)4,4',即可得出乙4,+乙4〃=^HAA'=60°,進(jìn)而得出乙4MN+乙4NM=2（乙4+乙4〃）即可得

出答案.

【詳解】解：作力關(guān)于和ED的對(duì)稱點(diǎn)4,4〃,連接4,1〃,交BC于M,交ED于N,則4,4〃即為△4MN

的周長(zhǎng)最小值.作瓦4延長(zhǎng)線4”,

?：^BAE=120°,

：./.HAA'=60°,

?"4+乙4'=/.HAA'=60°,

???//'=NMAA',Z,A'=Z.NAEf

且乙4'+Z.MAA'=乙AMN,44〃+乙NAE=乙ANM,

?"4+NMZ4+/M4E+Z-A"=乙AMN+乙ANM=2（乙中+乙4〃）=