中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：最值模型之將軍飲馬（遛馬、過(guò)橋）模型（原卷版）

專題02最值模型之將軍飲馬（遛馬、過(guò)橋）模型

將軍遛馬模型和將軍過(guò)橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎(chǔ)上加入了平移的

思想，主要還是考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型

和將軍過(guò)橋（造橋）模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

在解決將軍遛馬和將軍過(guò)橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長(zhǎng)度（定長(zhǎng)），只要將線段按照長(zhǎng)

度方向平移即可，即可以跨越長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的將軍飲馬模型，再依據(jù)同側(cè)做對(duì)稱點(diǎn)變異側(cè)，異側(cè)直接連

線即可。利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型就簡(jiǎn)單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過(guò)橋（造

橋）再也不是問(wèn)題！

模型1.將軍遛馬模型

【核心思路】去除定量，組合變量（通過(guò)幾何變換將若干段原本彼此分類(lèi)的線段組合到一起）。

【模型解讀】已知/、3是兩個(gè)定點(diǎn)，P、0是直線加上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在。的左側(cè)，且尸0間長(zhǎng)度恒定，在

直線加上要求尸、0兩點(diǎn)，使得P/+PQ+Q5的值最小。（原理用平移知識(shí)解）

(1)點(diǎn)/、8在直線加兩側(cè)：（2）點(diǎn)/、8在直線同側(cè)：

AC

-*~~~NteT

??

BB

如圖1如圖2

（1）如圖1,過(guò)/點(diǎn)作/CII%,且NC長(zhǎng)等于尸。長(zhǎng)，連接3c，交直線機(jī)于0,。向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn),

此時(shí)P、。即為所求的點(diǎn)。（2）如圖2,過(guò)N點(diǎn)作/￡||私且NE長(zhǎng)等于長(zhǎng)，作8關(guān)于加的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接

8'￡,交直線加于。，。向左平移長(zhǎng)，即為尸點(diǎn)，此時(shí)P、。即為所求的點(diǎn)。

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。

例1.（2023?黑龍江?九年級(jí)?？计谥校﹩?wèn)題背景（1）如圖（1）,在公路/的一側(cè)有A,3兩個(gè)工廠，A,B

到公路的垂直距離分別為1km和3km,A,3之間的水平距離為3km.現(xiàn)需把A廠的產(chǎn)品先運(yùn)送到公路上然

后再轉(zhuǎn)送到8廠，則最短路線的長(zhǎng)是km.

問(wèn)題探究（2）如圖（2）,和“郎是腰長(zhǎng)為2的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，

ZACB=ZDEF=90°,點(diǎn)A,。重合，點(diǎn)、B,尸重合，將△/C8沿直線48平移，得到△HCZ',連接

A'E,CE.試探究在平移過(guò)程中，/'E+GE是否存在最小值.若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

問(wèn)題解決（3）如圖（3）,A,B分別是河岸心一側(cè)的兩個(gè)旅游景點(diǎn)，它們到河岸的垂直距離分別是2km和

4km,A,B的水平距離是13km.游客在景點(diǎn)A游覽完后，乘坐大巴先到河岸上的碼頭甲處，改乘游輪沿

河航行5km到達(dá)碼頭乙，再乘坐大巴到達(dá)景點(diǎn)請(qǐng)問(wèn)碼頭甲，乙建在何處才能使從A到3的旅游路線最短,

并求出最短路線的長(zhǎng).

例2.（2023?陜西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形/BCD的邊長(zhǎng)為3,乙8/。=60。，點(diǎn)￡、/在對(duì)角線NC上（點(diǎn)E

在點(diǎn)尸的左側(cè)），且斯=1,則。E+AF最小值為

例3.Q022?四川自貢?中考真題）如圖，矩形48CD中，48=4,BC=2,G是4D的中點(diǎn)，線段E尸在邊

上左右滑動(dòng)；若EF=\,則GE+CF的最小值為

例4.（2023?黑龍江牡丹江??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在等腰直角三角形/8C中，NABC=9Q°,AB=6,線段

尸。在斜邊/C上運(yùn)動(dòng)，且尸0=2.連接AP,BQ.貝陽(yáng)5尸0周長(zhǎng)的最小值是.

例5.（2023秋?河南南陽(yáng)?九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形/3C。中將A48A沿射線8。平移,

得到MG尸，連接EC、GC.求EC+GC的最小值為.

例6.（2023?貴州黔東南?統(tǒng)考一模）如圖，在菱形/BCD中，對(duì)角線NC,AD的長(zhǎng)分別為6,4,將“8C

沿射線C4的方向平移得到AGEE,分別連接DE,FD,AF,則以'+OE的最小值為.

E

D

模型2.將軍過(guò)橋（造橋）模型

【核心思路】去除定量，組合變量（通過(guò)幾何變換將若干段原本彼此分類(lèi)的線段組合到一起）。

【模型解讀】

【單橋模型】已知，如圖1將軍在圖中點(diǎn)N處，現(xiàn)要過(guò)河去往8點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：

橋建在何處能使路程最短？

考慮九W長(zhǎng)度恒定，只要求最小值即可.問(wèn)題在于NN、N8彼此分離,所以首先通過(guò)平移，使

與NB連在一起，將/〃向下平移使得〃、N重合，此時(shí)/點(diǎn)落在/'位置（圖2）.

問(wèn)題化為求最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）.

將軍A將軍A將軍A

_____________________

11

河A加J河

\

\

------------------------------

、B軍營(yíng)'B軍營(yíng)'B軍營(yíng)

圖1圖2圖3

【雙橋模型】已知，如圖4,將軍在圖中點(diǎn)4處,現(xiàn)要過(guò)兩條河去往5點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造,

問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？

「，，

?、P

工--------------p/?A-

M

-------------------------------X----

1，,----------Q\

JM/

*XW/w/.//

二?ZA-

圖4圖5圖6

考慮P。、MV均為定值，所以路程最短等價(jià)于NP+QM+NB最小，對(duì)于這彼此分離的三段，可以通過(guò)平移

使其連接到一起.4P平移至NB平移至MB',化4P+QARNS為NQ+QM+M51（如圖5）

當(dāng)/、0、M、V共線時(shí)，/Q+0M+M5取到最小值，再依次確定尸、N位置.（如圖6）

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。

例：1.（2023?西湖區(qū)八年級(jí)月考）如圖直線4，b表示一條河的兩岸，且"〃/2,現(xiàn)要在這條河上建一座

橋.橋建在何處才能使從村莊4經(jīng)過(guò)河到村莊B的路線最短？畫(huà)出示意圖，并說(shuō)明理由.

B.

---------------------4

---------------------4X

A

例2.（2022上,湖北襄陽(yáng)?九年級(jí)聯(lián)考自主招生）如圖有一條直角彎道河流，河寬為2,A、8兩地到河岸邊

的距離均為1,AH=BF=\,AD=7,BE=9,現(xiàn)欲在河道上架兩座橋兒W、PQ,使

AM+MN+NP+PQ+QB最小,則最小值為（）

FB

A.V130B.V145+2C.14D.12

例3.（2023?江蘇?八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知直線°||6,a,b之間的距離為4,點(diǎn)P到直線。的距離為

4,點(diǎn)。到直線b的距離為2,PQ=2屈.在直線a上有一動(dòng)點(diǎn)力,直線6上有一動(dòng)點(diǎn)3,滿足N216,且

PA+AB+BQ最小,此時(shí)PA+BQ=

例4.（2023?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，Y48CD中，AB=3,AD=2,ADAB=60°,DF工AB,

8ELCD；垂足分別為點(diǎn)尸和E.點(diǎn)G和X分別是。下和BE上的動(dòng)點(diǎn)，GH//AB,那么/G+GH+C”的

最小值為.

例6.（2022?山東濱州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形/BCD中，AB=5,AD=10.若點(diǎn)￡是邊ND上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作跖1/C且分別交對(duì)角線NC,直線5c于點(diǎn)。、尸，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，AF+FE+EC

的最小值為

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023.山東九年級(jí)一模）如圖，已知A（3,1）與B（1,0）,PQ是直線y=x上的一條動(dòng)線段且PQ=J2

（Q在P的下方），當(dāng)AP+PQ+Q8最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）

C.(0,0)D.(1,1)

2.（2023?重慶?一模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形4BCD中，乙42。=60。，將八42。沿射線2。方向平移，得

至lAEFG,連接EC、GC.則EC+GC的最小值為（）

A.273B.473C.276D.476

3.（2023?陜西西安?八年級(jí)校考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形48。中，乙42c=60。，將△BCD沿直線

AD平移得到VB'C'D',連接/C',/。，則NC+4D，的最小值為.

4.（2023?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形/BCD中，BC=4,ZABC=60。,在8C邊上有一線段E尸

由3向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)，E在尸的左側(cè)，E尸=1,連接AF,則△力斯周長(zhǎng)的最小

值為.

5.（2023?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形48。中，AB=5,/C=8,點(diǎn)N在4C上，且兒W=l,

連接卸/,DN,則即/+￡W的最小值為.

6.（2023?山東?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形N8CD是平行四邊形，AB=4,BC=12,ZABC=60°,點(diǎn)

E、尸是ND邊上的動(dòng)點(diǎn)，且斯=2,則四邊形BMC周長(zhǎng)的最小值為.

7.（2023上?浙江?八年級(jí)周測(cè)）如圖，08c為等腰直角三角形，/4BC=90。，點(diǎn)尸在NC的延長(zhǎng)線上，且

/c=CP=4,將。8C沿48方向平移得到A/2'C',連接PH,PC'，則"的周長(zhǎng)的最小值

8.（2023?陜西西安?校考二模）如圖，矩形4BCZ）中，AB=3,BC=5,點(diǎn)E是4B的中點(diǎn)，線段血W在邊8c

上左右滑動(dòng)，若兒W=l,則EM+DV的最小值為

9.(2023?聊城)如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形CM8C的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)C分別在x軸，y軸

上，B,。兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為8(-4,6),D(0,4),線段所在邊。4上移動(dòng)，保持EF=3,當(dāng)四邊形3OE尸的

周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

10.(2023上?廣東深圳?九年級(jí)?？计谥?如圖，在菱形/BCD中，對(duì)角線NC,AD的長(zhǎng)分別為6,4,將

沿射線C4的方向平移得到AGEE,分別連接。E,FD,AF,則。尸+DE的最小值為.

11.(2023.廣東深圳九年級(jí)期中)如圖1,已知平行四邊形ABCO,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，OC所在的直線為x軸,

建立直角坐標(biāo)系，AB交y軸于點(diǎn)D,AD=2,OC=6,ZA=60°,線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，點(diǎn)P

為線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，PM1X軸于點(diǎn)M點(diǎn)，點(diǎn)E與F關(guān)于X軸對(duì)稱，連接BP、EZM.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的

坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；(2)當(dāng)BP+PM+ME，的長(zhǎng)度最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

12.（成都市2022-2023學(xué)年八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有4（0,3）,。（5,0）兩點(diǎn).將直線生

y=x向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線4,點(diǎn)B在直線4上，過(guò)點(diǎn)8作直線4的垂線，垂足為點(diǎn)C,連接48,

BC,CD,則折線/BCD的長(zhǎng)/8+3C+C。的最小值為.

13.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模）如圖，在Y48CD中，AB=4,AD=9,M、N分別是40、3C邊上的動(dòng)

點(diǎn)，且N4BC=NMNB=60°,則+MN+ND的最小值是.

14.（2023,四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的3c邊在x軸上，頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（-4,0）,頂點(diǎn)。坐標(biāo)為

（0,3）,點(diǎn)￡在了軸上，線段E尸〃x軸，且點(diǎn)尸坐標(biāo)為（8,6）,若菱形48CD沿x軸左右運(yùn)動(dòng)，連接/E、

DF,則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形NOEE周長(zhǎng)的最小值是.

15.（2023.廣東八年級(jí)專項(xiàng)訓(xùn)練）如圖所示，某條護(hù)城河在CC'處角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到達(dá)3處，須

經(jīng)過(guò)兩座橋（橋?qū)挷挥?jì)，橋與河垂直），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當(dāng)?shù)卦鞓蚩墒笰到

B的路程最短，請(qǐng)確定兩座橋的位置.

16.（2023?陜西咸陽(yáng)?校考一模）【問(wèn)題提出】（1）如圖1,點(diǎn)/、8在直線/的同側(cè)，點(diǎn)/到直線/的距離

/C=2,點(diǎn)2到直線/的距離BD=4,A、B兩點(diǎn)的水平距離CD=8,點(diǎn)P是直線I上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+BP

的最小值是;

【問(wèn)題探究】（2）如圖2,在矩形48CD中，AB=4,BC=2,G是4D的中點(diǎn)，線段E尸在邊48上左右

滑動(dòng)，若EF=1,求GE+CF的最小值；

【問(wèn)題解決】（3）如圖3,某公園有一塊形狀為四邊形/BCD的空地，管理人員規(guī)劃修兩條小路NC和AD

（小路的寬度忽略不計(jì)，兩條小路交于點(diǎn)P）,并在/。和8c上分別選取點(diǎn)M、N,沿PM、/W和九W修

建地下水管，為了節(jié)約成本，要使得線段尸〃、PN與九W之和最小.

已測(cè)出//C8=45。，NADB=60°,ZCPD=75°,PD=40m,PC=50拒m，管理人員的想法能否實(shí)現(xiàn)，若

能，請(qǐng)求出PM+PN+AW的最小值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.（2023上,陜西西安?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）問(wèn)題提出如圖①，在。3C中,

AB^AC^6,ZBAC=120°,點(diǎn)。，￡分別是4瓦/。的中點(diǎn).若點(diǎn)跖N分別是和8C上的動(dòng)點(diǎn)，貝U

AM+MN的最小值是.

（2）問(wèn)題探究：如圖②，/和8兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋（與河床垂直），橋造在何處,

才能使從/到8的路徑N-8最短.博琳小組針對(duì)該問(wèn)題展開(kāi)討論，小旭同學(xué)認(rèn)為：過(guò)/作河

岸的垂線，使44'=MV,血W為河寬，連接48與河的一岸交于點(diǎn)N,此時(shí)在點(diǎn)N處建橋，可使從/

到8的路徑/fMfNf5最短.你認(rèn)為小旭的說(shuō)法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）問(wèn)題解決：如圖③，在

矩形N8CD中，AB=60,BC=80.E、尸分別在/瓦。上，且滿足Ek〃8C,BE=20.若邊長(zhǎng)為10的正

方形MVP。在線段EF上運(yùn)動(dòng)，連接員W、DP,當(dāng)BM+DP取值最小時(shí)，求EN的長(zhǎng).

18.（2023?廣東深圳?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，己知平行四邊形0/8C的頂點(diǎn)。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)/在x軸的正半軸上，B、。在第一象限內(nèi)，且CM=6,0c=3皿，Z^OC=45°.

（1）頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為;（2）設(shè)對(duì)角線/C、08交于點(diǎn)￡,在y軸上有一點(diǎn)。

（0,-1）,無(wú)軸上有一長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的可以左右平移的線段MV,點(diǎn)〃在點(diǎn)N的左側(cè)，連接DM、

EN,求。M+EN的最小值；（3）如圖2,若直線/：y=fcc+b過(guò)點(diǎn)尸（0,-2）,且把平行四邊形O42C的面

積分成1：2的兩部分，請(qǐng)直接寫(xiě)出直線/的函數(shù)解析式.

19.（2023?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）【模型介紹】

古希臘有一個(gè)著名的“將軍飲馬問(wèn)題"，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個(gè)軍營(yíng)

48.他總是先去A營(yíng)，再到河邊飲馬，之后，再巡查8營(yíng).如圖①，他時(shí)常想，怎么走才能使每天走的

路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題.如圖②，作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)

稱點(diǎn)？，連結(jié)與直線/交于點(diǎn)尸，連接尸8,貝UP+B尸的和最小.請(qǐng)你在下列的閱讀、理解、應(yīng)用的過(guò)

程中，完成解答.理由：如圖③，在直線/上另取任一點(diǎn)P,連結(jié)/尸'，BP',B'P',?.?直線/是點(diǎn)8,B'

的對(duì)稱軸，點(diǎn)尸，P在/上，

在A4P?中，：

AB'<AP'+P'B',：.AP+PB<AP'+P'B',即AP+8P最d、.

【歸納總結(jié)】在解決上述問(wèn)題的過(guò)程中，我們利用軸對(duì)稱變換，把點(diǎn)43在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線

的兩側(cè)，從而可利用"兩點(diǎn)之間線段最短"，即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中點(diǎn)

P為/夕與/的交點(diǎn)，即A,P,夕三點(diǎn)共線）.由此，可拓展為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線同側(cè)兩定點(diǎn)的距

離和的最小值”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.

【模型應(yīng)用】（2）如圖④，正方形N