江蘇省丹陽中學2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

江蘇省丹陽中學2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.橢圓是日常生活中常見的圖形,在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水,將杯體傾斜一個角度,水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米,底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯,且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半(玻璃厚度忽略不計),在玻璃杯傾斜的過程中(杯中的水不能溢出),杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.2.設(shè)復數(shù)滿足,則()A.1 B.-1 C. D.3.若函數(shù)的定義域為M={x|-2≤x≤2},值域為N={y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是()A. B. C. D.4.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶主進行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,185.已知,函數(shù),若函數(shù)恰有三個零點,則()A. B.C. D.6.某中學2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍,為了更好地對比該??忌纳龑W情況,統(tǒng)計了該校2016年和2019年的高考情況,得到如圖柱狀圖:則下列結(jié)論正確的是().A.與2016年相比,2019年不上線的人數(shù)有所增加B.與2016年相比,2019年一本達線人數(shù)減少C.與2016年相比,2019年二本達線人數(shù)增加了0.3倍D.2016年與2019年藝體達線人數(shù)相同7.已知橢圓的中心為原點,為的左焦點,為上一點,滿足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.8.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入,,則計算機輸出的數(shù)是()A. B. C. D.9.已知為虛數(shù)單位,復數(shù),則其共軛復數(shù)()A. B. C. D.10.已知函數(shù),若關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解,則實數(shù)的最大值為()A.2 B.3 C.5 D.811.設(shè),滿足約束條件,若的最大值為,則的展開式中項的系數(shù)為()A.60 B.80 C.90 D.12012.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面向量與的夾角為,,,則__________.14.已知是等比數(shù)列,且,,則__________,的最大值為__________.15.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體),觀察向上的點數(shù),則事件“點數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為____.16.已知若存在,使得成立的最大正整數(shù)為6,則的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:()的左、右焦點分別為和,右頂點為,且,短軸長為.(1)求橢圓的方程;(2)若過點作垂直軸的直線,點為直線上縱坐標不為零的任意一點,過作的垂線交橢圓于點和,當時,求此時四邊形的面積.18.(12分)如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均為正三角形,E為AB的中點.(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.19.(12分)已知函數(shù).(1)若,求的取值范圍;(2)若,對,不等式恒成立,求的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù)(1)當時,求不等式的解集;(2)的圖象與兩坐標軸的交點分別為,若三角形的面積大于,求參數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),記不等式的解集為.(1)求;(2)設(shè),證明:.22.(10分)已知函數(shù).(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)若在上恒成立,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)題意可知當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時,水面邊界所形成橢圓的離心率最大,由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時橢圓的離心率,進而確定離心率的取值范圍.【詳解】當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時,水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時橢圓長軸長為,短軸長為6,所以橢圓離心率,所以.故選:C【點睛】本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)的簡單應用,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

利用復數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】由.故選:B【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算,需掌握復數(shù)的運算法則,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】因為對A不符合定義域當中的每一個元素都有象,即可排除;對B滿足函數(shù)定義,故符合;對C出現(xiàn)了定義域當中的一個元素對應值域當中的兩個元素的情況,不符合函數(shù)的定義,從而可以否定;對D因為值域當中有的元素沒有原象,故可否定.故選B.4、A【解析】

利用統(tǒng)計圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為:故選A.【點睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認真審題,注意統(tǒng)計圖的性質(zhì)的合理運用.5、C【解析】

當時,最多一個零點;當時,,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖,根據(jù)草圖可得.【詳解】當時,,得;最多一個零點;當時,,,當,即時,,在,上遞增,最多一個零點.不合題意;當,即時,令得,,函數(shù)遞增,令得,,函數(shù)遞減;函數(shù)最多有2個零點;根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點,在,上有2個零點,如圖:且,解得,,.故選.【點睛】遇到此類問題,不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù),故按“一元化”想法,逐步分類討論,這一過程中有可能分類不全面、不徹底.6、A【解析】

設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,通過簡單的計算逐一驗證選項A、B、C、D.【詳解】設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,2016年高考不上線人數(shù)為,2019年不上線人數(shù)為,故A正確;2016年高考一本人數(shù),2019年高考一本人數(shù),故B錯誤;2019年二本達線人數(shù),2016年二本達線人數(shù),增加了倍,故C錯誤;2016年藝體達線人數(shù),2019年藝體達線人數(shù),故D錯誤.故選:A.【點睛】本題考查柱狀圖的應用,考查學生識圖的能力,是一道較為簡單的統(tǒng)計類的題目.7、B【解析】由題意可得c=,設(shè)右焦點為F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以橢圓的方程為.故選B.點睛:橢圓的定義:到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡,當和大于兩定點間的距離時,軌跡是橢圓,當和等于兩定點間的距離時,軌跡是線段(兩定點間的連線段),當和小于兩定點間的距離時,軌跡不存在.8、B【解析】

先明確該程序框圖的功能是計算兩個數(shù)的最大公約數(shù),再利用輾轉(zhuǎn)相除法計算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計算,中的最大公約數(shù),所以,,,故當輸入,,則計算機輸出的數(shù)是57.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖的功能,做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么,本題是一道基礎(chǔ)題.9、B【解析】

先根據(jù)復數(shù)的乘法計算出,然后再根據(jù)共軛復數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由,所以其共軛復數(shù).故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算以及共軛復數(shù)的概念,難度較易.10、D【解析】

畫出函數(shù)的圖象,利用一元二次不等式解法可得解集,再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解:函數(shù),如圖所示當時,,由于關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解因此其整數(shù)解為3,又∴,,則當時,,則不滿足題意;當時,當時,,沒有整數(shù)解當時,,至少有兩個整數(shù)解綜上,實數(shù)的最大值為故選:D【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍,屬于較難題.11、B【解析】

畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)平移得到,再利用二項式定理計算得到答案.【詳解】如圖所示:畫出可行域和目標函數(shù),,即,故表示直線與截距的倍,根據(jù)圖像知:當時,的最大值為,故.展開式的通項為:,取得到項的系數(shù)為:.故選:.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值,二項式定理,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.12、D【解析】

先求出集合N的補集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補集的運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由平面向量模的計算公式,直接計算即可.【詳解】因為平面向量與的夾角為,所以,所以;故答案為【點睛】本題主要考查平面向量模的計算,只需先求出向量的數(shù)量積,進而即可求出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題型.14、5【解析】,即的最大值為15、【解析】總事件數(shù)為,目標事件:當?shù)谝活w骰子為1,2,4,6,具體事件有,共8種;當?shù)谝活w骰子為3,6,則第二顆骰子隨便都可以,則有種;所以目標事件共20中,所以。16、【解析】

由題意得,分類討論作出函數(shù)圖象,求得最值解不等式組即可.【詳解】原問題等價于,當時,函數(shù)圖象如圖此時,則,解得:;當時,函數(shù)圖象如圖此時,則,解得:;當時,函數(shù)圖象如圖此時,則,解得:;當時,函數(shù)圖象如圖此時,則,解得:;綜上,滿足條件的取值范圍為.故答案為:【點睛】本題主要考查了對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì),函數(shù)的最值求解,存在性問題的求解等,考查了分類討論,轉(zhuǎn)化與化歸的思想.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)依題意可得,解方程組即可求出橢圓的方程;(2)設(shè),則,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消去,設(shè),,列出韋達定理,即可表示,再根據(jù)求出參數(shù),從而得出,最后由點到直線的距離得到,由即可得解;【詳解】解:(1)∵,∴解得,∴橢圓的方程為.(2)∵,∴可設(shè),∴.∵,∴,∴設(shè)直線的方程為,∴,∴,顯然恒成立.設(shè),,則,,∴.∴,∴,∴解得,解得,∴,,∴.∵此時直線的方程為,,∴點到直線的距離為,∴,即此時四邊形的面積為.【點睛】本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的綜合應用,考查計算能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)要證明線面平行,需先證明線線平行,所以連接,交于點M,連接ME,證明;(Ⅱ)由題意可知點到平面ABC的距離等于點到平面ABC的距離,根據(jù)體積公式剩余部分的體積是.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接,交于點M,連接ME,則.因為平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因為平面ABC,所以點到平面ABC的距離等于點到平面ABC的距離.如圖,設(shè)O是AC的中點,連接,OB.因為為正三角形,所以,又平面平面,平面平面,所以平面ABC.所以點到平面ABC的距離,故三棱錐的體積為.而斜三棱柱的體積為.所以剩余部分的體積為.【點睛】本題考查證明線面平行,計算體積,意在考查推理證明,空間想象能力,計算能力,屬于中檔題型,一般證明線面平行的方法1.證明線線平行,則線面平行,2.證明面面平行,則線面平行,關(guān)鍵是證明線線平行,一般構(gòu)造平行四邊形,則對邊平行,或是構(gòu)造三角形中位線.19、(1);(2).【解析】

(1)分類討論,,,即可得出結(jié)果;(2)先由題意,將問題轉(zhuǎn)化為即可,再求出,的最小值,解不等式即可得出結(jié)果.【詳解】(1)由得,若,則,顯然不成立;若,則,,即;若,則,即,顯然成立,綜上所述,的取值范圍是.(2)由題意知,要使得不等式恒成立,只需,當時,,所以;因為,所以,解得,結(jié)合,所以的取值范圍是.【點睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法,以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題,熟記分類討論的思想、以及絕對值不等式的性質(zhì)即可,屬于??碱}型.20、(1)(2)【解析】

(1)當時,不等式可化為:,再利用絕對值的意義,分,,討論求解.(2)根據(jù)可得,得到函數(shù)的圖象與兩坐標軸的交點坐標分別為,再利用三角形面積公式由求解.【詳解】(1)當時,不等式可化為:①當時,不等式化為,解得:②當時,不等式化為,解得:,③當時,不等式化為解集為,綜上,不等式的解集為.(2)由題得,所以函數(shù)的圖象與兩坐標軸的交點坐標分別為,的面積為,由,得(舍),或,所以,參數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法和絕對值函數(shù)的應用,還考查分類討論的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.21、(1);(2)證明見解析【解析】

(1)利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此解不等式求得不等式的解集.(2)將不等式坐標因式分解,結(jié)合(1)的結(jié)論證得不等式成立.【詳解】(1)解:,由,解得,故.(2)證明:因為,所以,,所以,所以.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法,考查不等式的證

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