中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：勾股定理與構(gòu)造圖形解題（解析版）

專題02勾股定理與構(gòu)造圖形解題

1.如圖，點(diǎn)E是正方形488內(nèi)的一點(diǎn)，連接/￡、BE、CE,將△相￡繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到

的位置.若N￡=l,BE=2,CE=3,則N3￡C=_度.

E'

【答案】135

【解析】

【詳解】

試題分析：如圖，連接EE',

?.?將△/8E繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到△。3￡的位置，AE=\,BE=2,CE=3,

：.ZEBE'=90°,BE=BE'=2,AE=E'C=\.

：.EE'=2^>,ZBE'E=45°.

,.,￡,,E2+￡,C2=8+1=9,EC=9.J.E'E^E'^EC1.

.?.△EEC是直角三角形，AZEE'C=9Q°.：.ZBE'C=135°.

2.如圖，在A45c中，ZACB=90°,/C=8C,點(diǎn)P是ZUBC內(nèi)的一點(diǎn)，且EB=1,PC=2,PA=

3,則N8PC=°.

【答案】135

【解析】

【詳解】

解：如圖，將A4PC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使C4與C8重合，即A4PC與aBEC全等,

APCE為等腰直角三角形，；.NCPE=45°,PE1=PC2+CE2=8,

又；PB?=1,BE2=9,：.PE2+PB2=BE2,則/2PE=9O°,

/BPC=135。

故答案為：135.

3.已知：如圖，四邊形/BCD中，ZADC=60°,ZABC=30°,AD=CD.求證：BD^AB^+BC1.

【解析】

【分析】

將入4。2以。為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，使/與。點(diǎn)重合，2與E點(diǎn)重合，連接3E,根據(jù)旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/A=NECD,AB=CE,DB=DE,易得△D8E為等邊三角形，則

DB=BE,根據(jù)周角的定義和四邊形內(nèi)角和定理得NEC2=360O-/3CD-NDCE=360O-N2CD-N

N=360。-S60o-Z^￡>C-Z^5C)=60°+30o=90°,則△ECB為直角三角形，根據(jù)勾股定理得

利用等線段代換即可得到結(jié)論.

【詳解】

如圖,

將A4D5以。為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，使/與C點(diǎn)重合，8與E點(diǎn)重合，連接8E,

ZABD=ZCED,ZA=ZECD,AB=CE,DB=DE,

又,:ZADC=60°,

：.NBDE=60°,

：.ADBE為等邊三角形,

：.DB=BE,

XVZECB=360°-ZBCD-ZDCE

=360°-ZBCD-ZA

=360°-G60o-ZADC-ZABC)

=60°+30°

=90°,

△EC8為直角三角形，

:.EO+B0=B中,

:.BD2=AB2+BO.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心

的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾

股定理.

4.如圖，點(diǎn)P是等邊三角形N8C內(nèi)一點(diǎn)，且E4=3,PB=4,PC=5,若將A4P8繞著點(diǎn)8逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)后得到aCQB.

B

(1)ABPQ是三角形；

(2)求P0的長(zhǎng)度；

(3)求/APB的度數(shù).

【答案】(1)等邊；(2)尸0=4；(3)NAPB=150。

【解析】

【分析】

(1)連接尸0,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△84P之△8C0,可推出AP=2。，ZPBQ=6Q°,進(jìn)而得到等邊

△BPQ；

(2)八8尸0為等邊三角形，所以尸。=尸8=4；

(3)由P0=4,CQ=3,PC=5,可得出△PC。為直角三角形，ZPQC=90°,由/4P2=NC03可得

結(jié)果.

【詳解】

(1)連接尸0,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得XBCQ,

:.NABP=/CBQ,BP=BQ,

又：ZABC=60°,

：.ZABP+ZPBC=60°

：.ZCBQ+ZPBC=60°,即/依0=60°,

△AP。為等邊三角形，

(2)：△BP。為等邊三角形，

：.PQ=PB=4

(3):△B/P0△8C0,

：.CQ=PA=3,

在△尸C0中，PQ=4,C0=3,PC=5,

：32+42=52,即C02+P02=p0,

/\PCQ為直角三角形，ZPQC=90°,

又?：MBPQ為等邊三角形，

ZBQP=60°,

：.ZCQB=ZBQP+ZPQC=150°

,?4BAP咨ABCQ,

：.ZAPB=ZCQB=150°.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的旋轉(zhuǎn)模型、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的判定，利用旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

5.為了探索代數(shù)式行公+"(8-川+25的最小值,

小張巧妙的運(yùn)用了數(shù)學(xué)思想.具體方法是這樣的：如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)8、D

作,連結(jié)/C、EC.已知48=1,DE=5,BD=8,設(shè)8C=x.則/C=&+1，

CE=gx)、25則問題即轉(zhuǎn)化成求AC+CE的最小值.

⑴我們知道當(dāng)/、C、E在同一直線上時(shí)，/C+CE的值最小，于是可求得4rz+J(8-匹+25的

最小值等于,止匕時(shí)工=；

(2)題中“小張巧妙的運(yùn)用了數(shù)學(xué)思想”是指哪種主要的數(shù)學(xué)思想；

(選填：函數(shù)思想，分類討論思想、類比思想、數(shù)形結(jié)合思想)

(3)請(qǐng)你根據(jù)上述的方法和結(jié)論，試構(gòu)圖求出代數(shù)式GTZ+J(12-X)2+9的最小值.

4

【答案】（1）10,j：（2）數(shù)形結(jié)合思想；（3）13

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知NC+CE的最小值就是線段/￡的長(zhǎng)度.過點(diǎn)E作E尸〃8。，交4B

的延長(zhǎng)線于P點(diǎn).在必△/斯中運(yùn)用勾股定理計(jì)算求解；

（2）小張巧妙的運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想；

（3）由（1）的結(jié)果可作2。=12,過點(diǎn)/作/尸〃AD,交。E的延長(zhǎng)線于/點(diǎn)，使/8=2,ED=3,

連接4E交8。于點(diǎn)C,然后構(gòu)造矩形/尸。5,RtAAFE,利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得/￡

的值就是代數(shù)式莊荷+，（12-司+9的最小值.

【詳解】

解：（1）過點(diǎn)E作EF〃B。,交N8的延長(zhǎng)線于尸點(diǎn)

根據(jù)題意，四邊形5DEF為矩形

AF=AB+BF=5+1=6,EF=BD=8

?*-AE=V62+82=10

即4C+CE的最小值是10

7X2+1+7（8-X）2+25=10

,:EF〃BD

.AB_BC

??AF-EF

.X.1

??A.—

3

4

解得：x=-

4

故答案為：10；—；

（2）小張巧妙的運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想；

（3）過點(diǎn)4作4/〃5。，交?！甑难娱L(zhǎng)線于廠點(diǎn)

根據(jù)題意，四邊形尸為矩形

EF=AB+DE=2+3=5,AF=DB=\2

二AE=^52+U2=13

即/C+CE的最小值是13.

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對(duì)稱-最短路線問題.

6.如圖1,點(diǎn)C為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)2,。作4BLAD,EDLBD,連接NC,

EC.己知N8=5,DE=1,BD=8,設(shè)CD-X.

A

1D

B1

圖2E

⑴用含X的代數(shù)式表示NC+CE的長(zhǎng)；

(2)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出C點(diǎn)位置，使/C+CE的值最小，并求出這個(gè)最小值；

(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式忑不+J(12-xy+9的最小值.

【答案】(1)J(8-xJ+5?+Vx2+I2

(2)圖見解析，/C+CE的值最小值是10

(3)VX2+4+7(12-x)2+9的值最小值是13,圖見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意表示出用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)即可；

(2)當(dāng)/,C,￡三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，/C+CE的值最小，在根據(jù)勾股定理即可求出/C+CE的

長(zhǎng)；

(3)根據(jù)(1)的思路，通過代數(shù)式構(gòu)造幾何圖形，再由(2)的思路求解即可；

(1)

解：AC+CE=yjBC2+AB2+yJCD2+DE2=,J（8-x）2+52+yjx2+l2

⑵

如圖，

當(dāng)4C,￡三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，/C+CE的值最小.

過點(diǎn)E做BD的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則BF=DE=\,EF=BD=8,

AF=AB+BF=5+l=6

I艮據(jù)勾股定理得尸2+EF。=用+8?=10

所以/C+CE的值最小值是10.

(3)

如圖，如點(diǎn)C為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)2,D做4BLBD,EDLBD,連接/C,EC.已

當(dāng)48=3,DE=2,BD=\2,CD=x時(shí)，用含x的代數(shù)式表示“C+CE的長(zhǎng)為Jx?+4+J(12-x)2+9

E

由(2)可知當(dāng)/,C,￡三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，JX2+4+J(12_X>+9的最小值就是線段/￡的

長(zhǎng).

A

過點(diǎn)E做AB的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則BF=DE=2,EF=BD=U,

AF=AB+BF=3+2=5

根據(jù)勾股定理得尸2+EF。=6+12?=13

所以J/+4+J（12-X）2+9的值最小值是13.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意判斷出最值時(shí)的情況并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在ZU2C中，BC=a,AC=b,AB=c,若/C為直角，如圖1,則有結(jié)論：a2+b2=c2;

當(dāng)4為銳角（如圖2）或鈍角（如圖3）時(shí)，請(qǐng)你完成下列探究：

（1）分別猜想/C為銳角或鈍角這兩種情況下/+/與c2的大小關(guān)系；

（2）任選（1）中的一個(gè)猜想進(jìn)行證明.

【答案】【解析】猜想：（1）當(dāng)ZC為銳角時(shí)，a2+b2>c\當(dāng)NC為鈍角時(shí)，a2+b2<c\（2）當(dāng)

4為銳角時(shí)，a2+b2>c\證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）猜想：若NC為銳角時(shí)，a2+b2>c\若/C為鈍角時(shí)，a2+b2<c2.

（2）當(dāng)/C為銳角時(shí)，過點(diǎn)/作于點(diǎn)D,設(shè)CD=x,貝無(wú)，利用/加=〃-，，

/Z）2=c2-（a-x）2即可證明；過點(diǎn)/作5c的垂線交2c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)設(shè)。〃=了，則

BM=a+y,利用,/M?=<?-（a+〉）?，即可證明.

【詳解】

(1)猜想：若NC為銳角時(shí)，a2+b2>c2

若/C為鈍角時(shí)，a-+b2<c2.

(2)當(dāng)/C為銳角時(shí)，a2+b2>c2;證明如下：

如圖，過點(diǎn)/作于點(diǎn)。，設(shè)CD=x,則

在直角三角形/CD中，AD2=b2-x2,

22

在直角三角形4BD中，AD=c-(a-Xy,

221111

'.b—X—c—{a—x),BPa+1)-=C+2ax-

Va>Q,x>0,

a2+b2>c2

當(dāng)NC為鈍角(如圖)時(shí)，a2+b2<c2,證明如下：

如圖，過點(diǎn)/作2c的垂線交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)設(shè)CM=y,^\\BM=a+y,

在直角三角形/CM中，AM1=b2-y2,

222

在直角三角形中，AM=c-(a+y),

'.b~~y1—c2—{a+y)~,Bpa1+b2=c2—lay.

Va>Q,y>0,

a2+b2<c2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠構(gòu)造出直角三角形.

8.已知：如圖1,Rt"BC中,ZACB=90°,。為/B中點(diǎn)，DE、DF分別交4c于E,交BC于

F,>DELDF.

(1)如果C4=C3,求證：AE2+BF2=EF2；

(2)如圖2,如果C/<C8,(1)中結(jié)論還能成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

c

【解析】

【分析】

(1)過點(diǎn)/作/河〃2C,交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)連接通過證明即可得出答

案(2)延長(zhǎng)尸。至使DM=DF,連接/“、EM,根據(jù)(1)通過證明/，￡尸=￡加即可得

出答案.

【詳解】

解答：

(1)證明：過點(diǎn)/作/河〃BC,交FD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,(或?qū)ⅰ魇?。旋轉(zhuǎn)180。)

連接及口

'JAM//BC,

：.ZMAE=ZACB=90°,ZMAD=ZB.

\'AD=BD,ZADM=ZBDF,

：.AADM烏ABDF.

：.AM=BF,MD=DF.

XDE±DF,：.EF=EM.

：.AE^BF^AE^AM^E^EF2.

(2)成立.

證明：延長(zhǎng)FD至M,使DM=DF,連接/"、EM.

?：AD=BD,ZADM=ZBDF,

AADM二ABDF.

：.AM=BF,ZMAD=ZB.

：.AM//BC.：.NMAE=NACB=90°.

又DELDF,MD=FD,：.EF=EM.

：.A^+B^AE^+A^E^EF1

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理與全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在AA8C中，ZC=90°,AB=5cm,BC=3cm,若點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1c%的速度沿折

線A.-N運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒a>0).

K

(1)用尺規(guī)作線段的垂直平分線(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)若點(diǎn)尸恰好運(yùn)動(dòng)到的垂直平分線上時(shí)，求t的值.

【答案】(1)見解析；(2)，的值為2弓5s或19

o2

【解析】

【分析】

(1)分別以為圓心，大于gAB為半徑作弧，連接兩戶的交點(diǎn)即為線段的垂直平分線，

(2)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，當(dāng)尸在AC上時(shí)，利用勾股定理解題，當(dāng)P在4B上時(shí)，利用P2A=P2B解題.

【詳解】

解：(1)分別以為圓心，大于為半徑作弧，連接兩戶的交點(diǎn)即為線段N8的垂直平分線，有作

圖痕跡；

XcB

(2)如圖，在MA4cB中，由勾股定理得

AC=yjAB2-BC2=內(nèi)與=4，

①當(dāng)P在/。上時(shí)AP{=t,

/.PXC=4—/,PXA=PXB,PXB—t,

在及MCB中，由勾股定理得：

112

PXC+BC=PXB

即：(4-Z)2+32=(Z)2

解得：，==25s；

o

②當(dāng)P在4B上時(shí),=,

即："7=g,

19

,,t=—s

2

的值為U25s或：19S.

02

【點(diǎn)睛】

本題考查了尺規(guī)作圖-垂直平分線，勾股定理的實(shí)際應(yīng)用,會(huì)根據(jù)尸的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分類討論，建立等量關(guān)

系是解題關(guān)鍵.

10.如圖，在A48C中，ZACB=90°,AC=6cm,8c=8cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，按C—8—/的路

徑，以2cm每秒的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)?=1時(shí)，求的面積.

(2)/為何值時(shí)，線段/P是NC48的平分線？

(3)請(qǐng)利用備用圖2繼續(xù)探索：當(dāng)f為何值時(shí)，是以NC為腰的等腰三角形？(直接寫出結(jié)論)

(4)當(dāng)p點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CP值為整數(shù)的點(diǎn)有個(gè).

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)速度為每秒2cm,求出出發(fā)2秒后CP的長(zhǎng)，然后根據(jù)面積公式即可得到結(jié)果;

⑵如圖1,由勾股定理得到AB=JAC2+BC?=10,根據(jù)已知條件得到A4CP咨△/￡）「，于是得到

AD=AC=6cm,BD=AB-AD=4cm,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；

⑶①如圖2,若尸在邊8c上時(shí)，AC=CP=6cm,此時(shí)用的時(shí)間為3s,41c尸為等腰三角形；②若

外在邊上時(shí)，有兩種情況：⑺若CP=/C=6cm,過C作作CD,AB于點(diǎn)。,，根據(jù)面積法求得

高為4.8cm,在放△PCD中，PD=3.6,所以NP=2P￡?=7.2cm,所以PP運(yùn)動(dòng)的路程為

18-7.2=10.8cm,則用的時(shí)間為5.4s,△/4CP為等腰三角形（而）若使NP=G4=6cm,此時(shí)8P=4cm,P

運(yùn)動(dòng)的路程為8+4=12cm,所以用的時(shí)間為6s,'CP為等腰三角形；

（4）當(dāng)p點(diǎn)在N3上運(yùn)動(dòng)時(shí),先求出/C的取值范圍，然后分點(diǎn)尸在點(diǎn)。兩側(cè)討論即可.

【詳解】

解：（1）當(dāng)尸1時(shí)，PC=1x2=2,

'：AC=6,

：.S^c^AC-PC=^*6x2=6；

22

?,?^=7^C+JBC=IO,

根據(jù)題意得：4ACP會(huì)AADP,

：.AD=AC=6,BD=AB-AD=4,PD=PC=2t,

：.PB=S-2t,

在出中，PD2+BD2=PB2,

，(2。2+42=(8-2。2,

解得：E.5；

(3)因?yàn)椤鱊C尸是以/C為腰的等腰三角形,

此時(shí)用的時(shí)間為Z=6+2=3,A4CP為等腰三角形;

②若尸在邊上時(shí)，有兩種情況：

若CP=AC=6,過C作作CDLAB于點(diǎn)D,根據(jù)面積法求得高為4.8cm,

在RtAPCD中，PD=[CP?-CD。=3.6,

所以4P=2尸。=7.2,

所以P運(yùn)動(dòng)的路程為18-7.2=10.8,

則用的時(shí)間為E0.8+2=5.4,A4CP為等腰三角形;

(訪如圖4,

若使/P=NC=6,此時(shí)8P=4,P運(yùn)動(dòng)的路程為8+4=12,

所以用的時(shí)間為尸12+2=6,ASCP為等腰三角形；

綜上所述，當(dāng)，為3s、5.4s、6s時(shí)，A4C尸為等腰三角形.

(4)因?yàn)楫?dāng)。點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由圖3知，4.8<CP<8,

當(dāng)0點(diǎn)在。2上運(yùn)動(dòng)時(shí),CP的整數(shù)值可為8,7,6,5；

當(dāng)0點(diǎn)在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí),"的整數(shù)值可為6,5,

綜上所述，當(dāng)。點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CP值為整數(shù)的點(diǎn)有6個(gè).

【點(diǎn)睛】

本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，靈活運(yùn)用分情況討論思想、掌握勾股定理和等

腰三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

11.閱讀下面的材料，并解決問題：

(1)如圖①，等邊)3。內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)/、B、C的距離分別是3、4、5,求/4PB

的度數(shù).由于尸/、PB、PC不在一個(gè)三角形中，為了解決本題我們可以將聲夕尸繞頂點(diǎn)”旋轉(zhuǎn)到

△/CP處，此時(shí).這樣，就可以利用全等三角形知識(shí)，將三條線段的長(zhǎng)

度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中從而求出N/P8的度數(shù)；(求//尸8的度數(shù))

(2)請(qǐng)你利用第(1)題解答的思想方法，解答下面的問題：

如圖②，在A48C中，ZCAB=90°,AB=AC,E、尸為8c上的點(diǎn)且NE/245。，求證：

EF2=BE2+FC2.

【答案】(1)AABP,NAPB=150°；(2)見詳解

【解析】

【分析】

(1)連接PP,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解，然后可得NPPC=90。，A4PP’是等邊三角形，則

有ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C,進(jìn)而問題可求解；

(2)把△N5E繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)8與點(diǎn)C重合，連接ED,進(jìn)而證明八4￡尸名

/\ADF,可得DF=EF,ZB=ZACB=AA0)=45°,然后可得/Z)CF=90。，最后根據(jù)勾股定理可求

證.

【詳解】

(1)解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AACP三AABP；連接PP,如圖所示:

A

：.AP=AP=3,PC=5,BP=CP'=4,ZBAP=ZCAP',ZAP'C=ZAPB,

?.?△4BC是等邊三角形，

/.ZBAC=60°,即N3/P+NP/C=60°,

APAC+ZCAP'=60°,即ZPAP'=60°,

A尸/P是等邊三角形，

ZAP'P=60°,AP=PP'=3,

：.PH+P'C2=32+42=25=PC2,

APPC是直角三角形,即ZPPC=90。，

NAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=150°；

故答案為△48P;

(2)證明：把△/IBE繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到A4CD點(diǎn)8與點(diǎn)C重合，連接ED,如圖所示:

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CD=BE,AEAD=90°,AE=AD,AB=AACD,

；/C2=90。，AB=AC,

/.△4BC是等腰直角三角形，

NB=ZACD=ZACB=45°,

：.ZDCF=9G°,

,?ZEAF=45°,

：.ZEAF=ZDAF=45°,

:.LAEF咨AADF(SAS),

：.DF=EF,

在用△OCF中，DF2=DC2+CF2=BE2+CF2,

：.EF2=BE1+CF2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理逆定理，熟練掌握等腰直角三角形、

等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵.

12.綜合與實(shí)踐

材料一：“轉(zhuǎn)化思想”是幾何變換中常用的思想，例如將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，實(shí)現(xiàn)圖形位置的“轉(zhuǎn)化”,

把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，使問題化難為易.它是一種以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)處理孤立的、離

散問題的思想.

材料二皮埃爾?德?費(fèi)馬(如圖)，17世紀(jì)法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為，業(yè)余數(shù)學(xué)家之王1638

年勒?笛卡兒邀請(qǐng)費(fèi)馬思考關(guān)于三個(gè)頂點(diǎn)距離為定值的問題，費(fèi)馬經(jīng)過思考并由此推出費(fèi)馬點(diǎn)的相

關(guān)結(jié)論.

定義：若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120。,則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為120。,此時(shí)

該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖1,當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在內(nèi)部，

此時(shí)NAPB=NBPC=ZCPA=120°,PA+PB+PC的值最小.

圖4

(1)如圖2,等邊三角形/8C內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)4瓦C的距離分別為3,4,5,求N/P3的度

數(shù).為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△4AP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A/CP處，連接PP,此時(shí)

△NCPMANBP,這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段尸4尸3,PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求

出NAPB=°；

(2)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AP,在射線8尸上取點(diǎn)2石，連接使尸,NDAE=

/P4C,求證：BE=PA+PB+PC；

(3)如圖4,在R/A/BC中，42。=90。,//。2=30。,/8=1,點(diǎn)2為尺以/8。的費(fèi)馬點(diǎn)，連接

AP,BP,CP,請(qǐng)直接寫出尸/+尸8+尸。的值.

【答案】(1)150；(2)見解析；(3)近.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及

等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

(2)根據(jù)題意，先證明是等邊三角形，再證明=得到尸C=DE,然后即可得

到結(jié)論成立.

(3)將繞點(diǎn)3順時(shí)