2021-2022學(xué)年浙江八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章《特殊的三角形》競(jìng)賽題(附答案解析)

2021-2022學(xué)年浙江八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章《特殊的三角形》競(jìng)賽題一．填空題（共6小題）1．（2018?武昌區(qū)校級(jí)自主招生）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為a、b，且a、b滿足+（2a+3b﹣13）2＝0，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為．2．（2013?天心區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，D是BC上一點(diǎn)，且AD＝DB，DC＝CA，則∠BAC＝°．3．（2020?西安自主招生）如圖：已知∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，且AB+AC＝BE．則∠B＝．4．（2020?浙江自主招生）在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝，PC＝5，則PB＝．5．（2017春?武昌區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，已知AB＝，BC＝5﹣，CD＝6，∠ABC＝135°和∠BCD＝120°，那么AD的長(zhǎng)為．5．（2001?安徽自主招生）已知：如圖，在直角△ABC中，AD＝DE＝EB，且CD2+CE2＝1，則斜邊AB的長(zhǎng)為．二．選擇題（共8小題）1．（2012?郫縣校級(jí)自主招生）如圖，在等腰直角△ABC中，CA＝CB＝3，D是BC上一點(diǎn)，且＝，點(diǎn)M是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，則△CMD的周長(zhǎng)的最小值是（）A．1+ B．1+ C．1+2 D．1+2．（2011?甌海區(qū)校級(jí)自主招生）代數(shù)式最小值為（）A．4 B．5 C． D．3．（2017?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是36°，則此等腰三角形的兩個(gè)相等底角的度數(shù)大小是（）A．54° B．63° C．27° D．27°或63°4．（2020?浙江自主招生）已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(huà)（）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條5．（2012?桃源縣校級(jí)自主招生）如圖，是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用X、Y表示直角三角形的兩直角邊（X＞Y），請(qǐng)觀察圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是（）A．X2+Y2＝49 B．X﹣Y＝2 C．2XY+4＝49 D．X+Y＝136．（2019?順慶區(qū)校級(jí)自主招生）在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，直線將△ABC分成兩個(gè)三角形，如果其中一個(gè)三角形是等腰三角形，這樣的直線有（）條．A．5 B．7 C．9 D．107．（2014?涪城區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝m，P為BC上任意一點(diǎn)，則PA2+PB?PC的值為（）A．m2 B．m2+1 C．2m2 D．（m+1）28．（2007?溫州校級(jí)自主招生）已知直角三角形有一條直角邊的長(zhǎng)是質(zhì)數(shù)n，另外兩條邊長(zhǎng)是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，那么它的周長(zhǎng)是（）A．n2+1 B．n2﹣1 C．n2+n D．n2﹣n三．解答題（共4小題）1．如果，已知：D為△ABC邊AB上一點(diǎn)，且AC＝，AD＝2，DB＝1，∠ADC＝60°，求∠BCD的度數(shù)．2.（2020?浙江自主招生）若直角三角形三邊長(zhǎng)為正整數(shù)，且周長(zhǎng)與面積數(shù)值相等，則稱(chēng)此三角形為“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三邊長(zhǎng)．3．（2014?市南區(qū)校級(jí)自主招生）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖（1），在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．我們可以進(jìn)行以下計(jì)算：由題意可知：∠B＝30°，∠C＝90°，可得到：c＝2b，a＝b，所以a2﹣b2＝（b）2﹣b2＝2b2＝b?c．即a2﹣b2＝bc．提出猜想：對(duì)于任意的△ABC，當(dāng)∠A＝2∠B時(shí)，關(guān)系式a2﹣b2＝bc都成立．驗(yàn)證猜想：（1）（驗(yàn)證特殊三角形）如圖（2），請(qǐng)你參照上述研究方法，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行驗(yàn)證，判斷猜想是否正確，并寫(xiě)出驗(yàn)證過(guò)程；已知：△ABC中，∠A＝2∠B，∠A＝90°求證：a2﹣b2＝bc．（2）（驗(yàn)證一般三角形）如圖（3），已知：△ABC中，∠A＝2∠B，求證：a2﹣b2＝bc．結(jié)論應(yīng)用：若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)恰為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，且∠A＝2∠B，請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，不必說(shuō)明理由．4．（2004?鼓樓區(qū)校級(jí)自主招生）記三角形三邊長(zhǎng)為a、b、c，對(duì)應(yīng)邊上的高為ha、hb、hc，請(qǐng)解答：（1）已知ha：hb：hc＝2：3：4，且這三角形周長(zhǎng)為26cm，求a、b、c．（2）若三角形的三條高分別為2、x、6，求x的取值范圍．（3）若三條高分別為2、x、6的三角形是直角三角形，求x．（4）若三條高分別為2、x、6的三角形是等腰三角形，求x．參考答案與試題解析一．填空題（共6小題）1．【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，∴，解得：，當(dāng)a為底時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為2，3，3，則周長(zhǎng)為8；當(dāng)b為底時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為2，2，3，則周長(zhǎng)為7．故答案為7或8．2．【解答】解：設(shè)∠B＝x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x，∵AD＝DB，∴∠B＝∠DAB＝x，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，∵DC＝CA，∴∠ADC＝∠CAD＝2x，在△ABC中，x+x+2x+x＝180°，解得x＝36°．∴∠BAC＝108°．故答案為：108．3．【解答】解：延長(zhǎng)BA到F，使AF＝AC，連接EF，如圖所示：∵AB+AC＝BE，∴AB+AF＝BE，即BF＝BE，∴∠F＝∠BEF＝，∵∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，即∠DAE＝90°，∴∠FAE＝180°﹣（∠BAD+∠DAE）＝180°﹣（9°+90°）＝81°，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣9°＝81°，∴∠FAE＝∠CAE，在△AFE和△ACE中，∵，∴△AFE≌△ACE（SAS），∴∠F＝∠ACE，又∵∠ACE為△ABC的外角，∴∠ACE＝∠B+∠BAC＝∠B+18°，∴∠F＝∠B+18°，∴∠B+18°＝，則∠B＝48°．故答案為：48°4．【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，過(guò)點(diǎn)P作PD，PF分別垂直AC，BE在△APD中，PA2＝PD2+AD2＝5，在△PCD中，PC2＝PD2+CD2，且AD+CD＝5，解得AD＝，CD＝，PD＝，在Rt△ABC中，BE＝AE＝，所以在Rt△BPF中，PB2＝PF2+BF2＝＝10，所以PB＝．5．【解答】解：作AE⊥BC，DF⊥BC，AG⊥DF，則四邊形AEFG四個(gè)內(nèi)角均為直角，∴四邊形AEFG為矩形，AE＝FG．EF＝AG∠ABE＝180°﹣135°＝45°，∠DCF＝180°﹣120°＝60°，∴AE＝EB＝×＝，CF＝×CD＝3，F(xiàn)D＝CF＝3，∴AG＝EF＝8，DG＝DF﹣AE＝2，∴AD＝＝．故答案為．6．【解答】解：作EM⊥BC，DN⊥BC．∵∠C＝90°，∴∠BME＝∠BND＝90°，設(shè)AB＝3x，則BE＝DE＝AD＝x設(shè)BC＝3y，則BM＝MN＝NC＝y(tǒng)，2ME＝ND，在Rt△CME中，ME2+MC2＝EC2．（1）在Rt△CND中，ND2+NC2＝CD2．（2）（1）+（2）得：5ME2+5y2＝1，ME2+y2＝，在Rt△BME中：BE2＝BM2+ME2，即：x2＝y(tǒng)2+ME2＝，∴AB＝3BE＝．故答案為：．二．選擇題（共8小題）1．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB＝3，D是BC上一點(diǎn)，且＝，∴AD＝2，CD＝1，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接CD′，∵點(diǎn)D于點(diǎn)D′關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)，∴AD＝AD′＝2，∠DAD′＝2∠BAC＝90°，在Rt△ACD′中，CD′＝＝＝，∴△CMD的周長(zhǎng)的最小值＝CD′+CD＝+1．故選：D．2．【解答】解：如圖：原式可化為+，則代數(shù)式的最小值是AC的長(zhǎng)，AC＝＝5，故選B．3．【解答】解：在三角形ABC中，設(shè)AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是銳角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是鈍角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此時(shí)底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度數(shù)是63°或27°．故選：D．4．【解答】解：如圖所示：當(dāng)BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7時(shí)都能得到符合題意的等腰三角形．故選：C．5．【解答】解：A中，根據(jù)勾股定理以及正方形的面積公式即可得到，正確；B中，根據(jù)小正方形的邊長(zhǎng)是2即可得到，正確；C中，根據(jù)四個(gè)直角三角形的面積和加上小正方形的面積即可得到，正確；D中，根據(jù)A，C聯(lián)立結(jié)合完全平方公式可以求得x+y＝，錯(cuò)誤．故選：D．6．【解答】解：如圖：∴最多畫(huà)9條，故選：C．7．【解答】解：作AD⊥BC交BC于D，AB2＝BD2+AD2①AP2＝PD2+AD2②①﹣②得：AB2﹣AP2＝BD2﹣PD2，∴AB2﹣AP2＝（BD+PD）（BD﹣PD），∵AB＝AC，∴D是BC中點(diǎn)，∴BD+PD＝PC，BD﹣PD＝PB，∴AB2﹣AP2＝PB?PC．∴PA2+PB?PC＝AB2＝m2．故選：A．8．【解答】解：設(shè)另外兩個(gè)數(shù)是x、y（x＞y）則x2﹣y2＝n2，即（x+y）（x﹣y）＝n2，∵x﹣y＝1，∴x+y＝n2，∴三角形的周長(zhǎng)是x+y+n＝n2+n．故選：C．三．解答題（共4小題）1．【解答】解：過(guò)C作CE⊥AB于E，設(shè)DE＝x，則AE＝2﹣x，在Rt△DCE中，∠ADC＝60°，∴CE＝x，在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理得：AE2+CE2＝AC2，∴（2﹣x）2+（x）2＝（）2，解得：，∴BE＝CE＝，又∵∠BEC＝90°，∴∠BCE＝45°，又∵∠DCE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣60°＝30°，∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝15°．2．【解答】解：設(shè)三邊長(zhǎng)為a，b，c，其中c是斜邊，則有（2）代入（1）得即因?yàn)閍b≠0所以ab﹣4a﹣4b+8＝0所以（a，b為正整數(shù)）所以b﹣4＝1，2，4，8，所以b＝5，6，8，12；a＝12，8，6，5；c＝13，10，10，13，所以，三邊長(zhǎng)為6，8，10或5，12，13．3．【解答】解：（1）由題意，得∠A＝90°，c＝b，a＝b，∴a2﹣b2＝（b）2﹣b2＝b2＝bc；（2）小明的猜想是正確的．理由如下：如圖，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，使AD＝AC＝b，連接CD，則△ACD為等腰三角形，∴∠BAC＝2∠ACD，又∠BAC＝2∠B，∴∠B＝∠ACD＝∠D，∴△CBD為等腰三角形，即CD＝CB＝a，又∠D＝∠D，∴△ACD∽△CBD，∴，即，∴a2＝b2+bc，∴a2﹣b2＝bc；結(jié)論應(yīng)用：由于三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)是2n﹣2，2n，2n+2，則（2n+2）2﹣（2n﹣2）2＝2n（2n﹣2），解得：n＝5，則三個(gè)數(shù)分別是：8，10，12．可知：a＝12，b＝8，c＝10．4．【解答】解：（1）設(shè)ha＝2k，hb＝3k，hc＝4k，則aha＝bhb＝chc，即a×2k＝b×3k＝c?4k，∴2a＝3b＝4c，∴a：b：c＝6：4：3，又∵a+b+c＝26cm，∴a＝12cm，b＝8cm，c＝6cm；（2）設(shè)三角形的面積為s，則s＝aha＝a，s＝bhb＝bx，s＝chc＝3c，∴a