數(shù)值分析（基于MATLAB）-教學(xué)大綱

《數(shù)值分析》教學(xué)大綱課程基本情況英文名稱：NumericalAnalysis總學(xué)時：36理論學(xué)時：36實踐學(xué)時：0總學(xué)分：2課程性質(zhì)：必修考核方式：考試適用對象：理工科研究生及高年級本科生先修課程：《高等數(shù)學(xué)》《線性代數(shù)》《Matlab程序設(shè)計》參考教材：1.數(shù)值分析(第二版)，朱曉臨主編中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，20142.數(shù)值分析(第四版)，顏慶津編著，北京航空航天大學(xué)出版社，2012.二、課程目標(biāo)通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生達(dá)到如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．掌握數(shù)值計算的基本原理和方法，以及一些常用的計算技巧。2.培養(yǎng)應(yīng)用計算機使用數(shù)學(xué)方法解決問題的能力。三、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和手段、學(xué)時分配知識單元一：基本概念及誤差分析（建議3學(xué)時）教與學(xué)要求：理解截斷誤差、舍入誤差、絕對（相對）誤差和誤差限、有效數(shù)字、算法的數(shù)值穩(wěn)定性等基本概念。掌握數(shù)值計算中應(yīng)遵循的幾個原則：簡化計算步驟以節(jié)省計算量（秦九韶算法），減少有效數(shù)字的損失（避免相近數(shù)相減），選擇數(shù)值穩(wěn)定的算法。教與學(xué)方法：講授知識單元二：線性方程組的直接解法（建議3學(xué)時）教與學(xué)要求：熟練掌握順序Gauss消去法和列主元Gauss消去法的原理，并會應(yīng)用之求解具體的方程組，理解選主元的優(yōu)點。掌握三角分解法的原理，并會用直接三角分解法求解具體的方程組。掌握追趕法與平方根法的原理，并會應(yīng)用之求解具體的方程組。知道向量和矩陣范數(shù)的概念與基本性質(zhì)，掌握常用的向量和矩陣范數(shù)的計算，掌握矩陣譜半徑的定義與計算，掌握矩陣范數(shù)和譜半徑的大小關(guān)系，會計算條件數(shù)，掌握條件數(shù)大小與方程組病態(tài)程度的關(guān)系，知道條件數(shù)不小于1。教與學(xué)方法：講授知識單元三：線性方程組的迭代法（建議3學(xué)時）教與學(xué)要求：理解迭代法的基本概念，掌握基本型迭代的公式。熟悉Jacobi迭代與G-S迭代的公式及迭代矩陣。熟練掌握迭代法收斂性充要條件與收斂性充分條件、Jacobi迭代與G-S迭代的收斂性判定，知道收斂速度與迭代矩陣譜半徑（范數(shù)）大小的關(guān)系了解SOR法及其收斂性結(jié)論。教與學(xué)方法：講授知識單元四：非線性方程的數(shù)值解法（建議3學(xué)時）教與學(xué)要求：掌握二分法及其誤差估計。理解不動點迭代法，掌握迭代法的局部收斂條件與收斂階的判定。熟悉Newton迭代法及其收斂性結(jié)論，掌握Newton法的應(yīng)用（如應(yīng)用于代數(shù)方程等特殊方程）。教與學(xué)方法：講授知識單元五：插值方法（建議6學(xué)時）教與學(xué)要求：理解插值問題的基本概念、插值多項式的存在唯一性。熟悉Lagrange插值公式（線性插值、拋物插值、n次Lagrange插值），掌握其余項表達(dá)式（及各種插值余項表達(dá)式形式上的規(guī)律性）。熟悉Newton插值公式，了解其余項公式，會利用均差表和均差的性質(zhì)計算均差。掌握兩點三次Hermite插值及其余項表達(dá)式，會利用承襲性方法構(gòu)造非標(biāo)準(zhǔn)Hermite插值。知道Runge現(xiàn)象，了解分段插值的概念，掌握分段線性插值（分段表達(dá)式）。了解三次樣條函數(shù)與三次樣條插值的定義。教與學(xué)方法：講授知識單元六：曲線擬合與函數(shù)逼近（建議3學(xué)時）教與學(xué)要求：掌握函數(shù)正交和正交多項式的概念（函數(shù)內(nèi)積、2-范數(shù)、權(quán)函數(shù)，正交函數(shù)序列，正交多項式），了解Legendre多項式。熟練掌握曲線擬合最小二乘法的原理和解法（只要求線性最小二乘擬合），會求超定方程組的最小二乘解。了解最佳平方逼近函數(shù)的概念，掌握最佳平方逼近多項式的求法（從法方程出發(fā)）。教與學(xué)方法：講授知識單元七：數(shù)值微積分（建議6學(xué)時）教與學(xué)要求：掌握插值型求積公式（系數(shù)表達(dá)式），理解代數(shù)精度概念，會利用代數(shù)精度構(gòu)造求積公式。掌握梯形公式和Simpson公式，了解其余項公式與代數(shù)精度的聯(lián)系，了解系數(shù)之和的性質(zhì)，掌握穩(wěn)定性條件；理解復(fù)化求積方法的思想。理解Gauss型求積公式的概念（最高代數(shù)精度、插值型），掌握構(gòu)造Gauss型求積公式的方法（Gauss點和系數(shù)的求法），掌握其數(shù)值穩(wěn)定性結(jié)論。掌握常用的幾個一階差商公式。教與學(xué)方法：講授知識單元八：特征值近似計算（建議3學(xué)時）教與學(xué)要求：掌握特征近似計算的基本原理，理解冪法與反冪法，及其QR方法的實現(xiàn)途徑，了解Jacobi方法。教與學(xué)方法：講授知識單元九：微分方程數(shù)值解法（建議6學(xué)時）教與學(xué)要求：理解數(shù)值解的概念，掌握初值問題數(shù)值解法的特點（步進式）。掌握Euler公式、隱式Euler公式和梯形公式，會推導(dǎo)其局部截斷誤差，并判斷方法的階；了解改進的Euler公式。知道Runge-Kutta方法的原理，掌握經(jīng)典4階Runge-Kutta公式的特點（性質(zhì)）。知道線性多步法的一般形式與構(gòu)造途徑。掌握單步法的收斂性與穩(wěn)定性的概念，會論證收斂性和推導(dǎo)絕對穩(wěn)定的條件（限于模型方程形式，其中λ為負(fù)實數(shù)）。教與學(xué)方法：講授四、成績構(gòu)成和評價方法總分100分，其中平時成績20分、期