2024北京順義初三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

第1頁/共1頁2024北京順義初三（上）期末數(shù)學(xué)考生須知：1.本試卷共8頁，共三道大題，28道小題.滿分100分.考試時(shí)間120分鐘.2.在答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校、班級、姓名和準(zhǔn)考證號.3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.5.考試結(jié)束，將答題卡交回.一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1.實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）A. B. C. D.2.在中，，則等于（）A. B. C. D.3.將二次函數(shù)化為的形式，則所得表達(dá)式為（）A. B. C. D.4.如圖，在中，弦相交于點(diǎn)P，，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.5.如圖，D是的邊AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），若添加一個(gè)條件使，則這個(gè)條件不可以是（）A. B. C. D.6.對于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（）A.它的圖象分布在第二、第四象限 B.點(diǎn)在它的圖象上C.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小 D.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大7.已知.如圖，（1）連接；（2）作弦的垂直平分線，分別交，弦于C，D兩點(diǎn)；（3）作線段的垂直平分線，，分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，交弦于G，H兩點(diǎn)；（4）連接根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.8.學(xué)習(xí)解直角三角形時(shí)，小明編了這樣一道題：已知：在中，，，，解這個(gè)直角三角形.從同學(xué)們的解答思路中節(jié)選出以下四個(gè)步驟：①由的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到的度數(shù)；②由，的值，根據(jù)的正切值得到的度數(shù)；③由，的值，根據(jù)勾股定理得到的值；④由，的值，根據(jù)的余弦值得到的度數(shù).請你從中選擇三個(gè)步驟并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，則下列排序錯(cuò)誤的是（）A.③④① B.④①③ C.②①③ D.③②①二、填空題（共16分，每題2分）9.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是___________．10.若將拋物線向右平移2個(gè)單位長度，則所得拋物線的表達(dá)式為______.11.如圖，直線交于點(diǎn)O，．若，，．則的值為______．12.物理課上我們學(xué)習(xí)過凸透鏡成像規(guī)律．如圖，蠟燭AB的高為，蠟燭與凸透鏡的距離為，蠟燭的像與凸透鏡的距離為，則像的高為______．13.如圖，分別與相切于A，B兩點(diǎn)，C是優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則______．14.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，寫出一個(gè)滿足不等式的x的值，這個(gè)值可以是______.15.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，則的值為______．16.已知，是拋物線上兩點(diǎn)，下面有四個(gè)推斷：①該拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；②若該拋物線開口向下，則它與y軸的交點(diǎn)一定在y軸的負(fù)半軸上；③若該拋物線開口向下，則它的對稱軸在直線右側(cè)；④若該拋物線開口向上，則在A，B兩點(diǎn)中，點(diǎn)B到它的對稱軸距離較小.所有正確推斷的序號是______.三、解答題（共68分，第17-18題，每題5分，第19題6分，第20-21題，每題5分，第22題6分，第23-24題，每題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）17.解不等式組：.18.計(jì)算：.19.已知，求代數(shù)式的值.20.如圖，平分，.（1）求證：；（2）若，，求的長.21.如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）直接寫出時(shí)，自變量x的取值范圍．22.在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們一起測量一座小山的高度．如圖，在點(diǎn)A處測得山頂E的仰角為，向山的方向前進(jìn)，在點(diǎn)C處測得山頂E的仰角為，已知觀測點(diǎn)A，C到地面的距離，．求小山的高度（精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）23.如圖，是的直徑，于點(diǎn)E，.（1）求證：；（2）若的半徑為2，求，的長.24.正面雙手前擲實(shí)心球是發(fā)展學(xué)生力量和協(xié)調(diào)性的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一.實(shí)心球出手后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從出手到著地的過程中，實(shí)心球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系.小明進(jìn)行了三次訓(xùn)練.（1）第一次訓(xùn)練時(shí)，實(shí)心球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m0123456789豎直高度y/m22.73.23.53.63.53.22.721.1根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出滿足的函數(shù)關(guān)系，并求出實(shí)心球著地點(diǎn)的水平距離；（2）第二次、第三次訓(xùn)練時(shí)，實(shí)心球的豎直高度y與水平距離x的函數(shù)圖象的一部分如圖所示，其中A，B分別為第二次、第三次訓(xùn)練拋物線的頂點(diǎn).記小明第二、三次訓(xùn)練時(shí)實(shí)心球著地點(diǎn)的水平距離分別為，，則，，的大小關(guān)系為______.25.如圖，為的弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)D，連接，過點(diǎn)D作的切線交的延長線于點(diǎn)E.（1）求證：；（2）若的半徑為3，，求的長.26.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）．（1）若，求拋物線的對稱軸及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)，，在該拋物線上，若，，中有且僅有一個(gè)大于0，求a的取值范圍．27.在菱形中，，點(diǎn)P是對角線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，射線分別與的延長線交于點(diǎn)M，N．（1）如圖1，若點(diǎn)P與C重合，且平分，求證：；（2）連接，若，，且不平分．①依題意補(bǔ)全圖2；②用等式表示線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．28.在平面直角坐標(biāo)系中，有如下定義：對于圖形、，若存在常數(shù)d，使得圖形上的任意一點(diǎn)P，在圖形上至少能找到一個(gè)點(diǎn)Q，滿足，則稱圖形是圖形的“映圖”，d是關(guān)于的“映距”．（1）如圖，點(diǎn)，，，，，，，．在線段，，中，線段的映圖是______．（2）的半徑為1．①求關(guān)于直線的“映距”的最小值；②若直線被坐標(biāo)軸所截的線段是的映圖，直接寫出m的取值范圍．

參考答案一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1.【答案】D【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，掌握數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大是解題的關(guān)鍵．根據(jù)實(shí)數(shù)a對應(yīng)的點(diǎn)在左側(cè)，右側(cè)判斷A、B選項(xiàng)；根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大判斷C、D選項(xiàng)．【詳解】解：A選項(xiàng)，，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，在和之間，，故該選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)符合題意；故選：D．2.【答案】A【分析】本題主要考查了余弦的定義，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形中，余弦等于鄰邊與斜邊的比．【詳解】解：∵，∴，故選：A．3.【答案】B【分析】本題主要考查了將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式的方法和步驟，以及完全平方公式．【詳解】解：，故選：B．4.【答案】D【分析】本題考查圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理，屬于中考?？碱}型．利用圓周角定理以及三角形的外角的性質(zhì)解決問題．【詳解】解：，，，，故選：D．5.【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解．【詳解】解：若，且，則，故選項(xiàng)A不符合題意；若，且，則，故選項(xiàng)B不符合題意；若，且，則無法證明，故選項(xiàng)C符合題意；若，且，則，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．6.【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對各選項(xiàng)逐一分析即可．【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以圖象在第一、第三象限，不符合題意；選項(xiàng)B，對于反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)不在它的圖象上，不符合題意；選項(xiàng)C，對于反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，圖象在第一象限內(nèi)，所以y隨x的增大而減小，符合題意；選項(xiàng)D，對于反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，圖象在第三象限內(nèi)，所以y隨x的增大而減小，不符合題意．故選C．7.【答案】B【分析】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息．本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息．【詳解】解：由作圖可知，，，∵垂直平分弦，∴，且直線過圓心，∵，分別垂直平分線段，∴，∴，∴，∴，，且，∴四邊形是矩形，，故選項(xiàng)A，C，D正確，故選：B．8.【答案】B【分析】本題考查了三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.由，的值，根據(jù)勾股定理得到的值，再由的余弦值得到的度數(shù)，進(jìn)而求出的度數(shù)，選項(xiàng)排序正確，不符合題意；B.條件④需要知道的值，才能得到的余弦值，而的值并沒有計(jì)算出來，由此可知選項(xiàng)排序錯(cuò)誤，符合題意；C.由，的值，根據(jù)的正切值得到的度數(shù)，進(jìn)而求出的度數(shù)，再由，的值，根據(jù)勾股定理得到的值，選項(xiàng)排序正確，不符合題意；D.由，的值，根據(jù)勾股定理得到的值，再由，的值，根據(jù)的正切值得到的度數(shù)，進(jìn)而求出的度數(shù)；故選：B．二、填空題（共16分，每題2分）9.【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，列出不等式進(jìn)行求解即可，掌握二次根式被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，，，故答案為：．10.【答案】或【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)“左加右減，上加下減”即可得，掌握二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得，故答案為：或．11.【答案】【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例．根據(jù)平行線分線段成比例，可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴．故答案為：．12.【答案】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：，，，,的高為,為,為,，故答案為：13.【答案】52【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，四邊形內(nèi)角和定理，，連接，由切線的性質(zhì)得到，由四邊形內(nèi)角和定理得到，則由圓周角定理可得．【詳解】解；如圖所示，連接，∵分別與相切于A，B兩點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，故答案為：．14.【答案】1（答案不唯一）【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式組，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．先求出時(shí)的的值，然后結(jié)合圖象求解即可．【詳解】解：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．不等式的解為滿足不等式的的值可以是1．故答案為：1（答案不唯一）．15.【答案】0【分析】本題考查了反比例函數(shù)解析式，代數(shù)式求值．熟練掌握反比例函數(shù)解析式，代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．由題意知，，，然后代值求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在雙曲線上，∴，，∴，故答案為：0．16.【答案】①③④【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，設(shè)拋物線的解析式，將點(diǎn)，代入得計(jì)算得，，則，根據(jù)得，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故①正確；根據(jù)得，若該拋物線開口向下，則它與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上或y軸的正半軸上，故②錯(cuò)誤；故居得，故居得，則若該拋物線開口向下，則它的對稱軸在直線右側(cè)，故③正確；故居得，則當(dāng)，在對稱軸兩側(cè)，y隨x的增大而增大，點(diǎn)B關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，故點(diǎn)B到它的對稱軸距離較小，故④正確；綜上，即可得．【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)，代入得，，，∴∵，∴，∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故①正確；∵，∴，∴，∴若該拋物線開口向下，則它與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上或y軸的正半軸上，故②錯(cuò)誤；∵，∴，∵，∴，∴若該拋物線開口向下，則它的對稱軸在直線右側(cè)，故③正確；∵，∴，∴當(dāng)，在對稱軸兩側(cè)，y隨x的增大而增大，點(diǎn)B關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，故點(diǎn)B到它的對稱軸距離較小，故④正確；綜上，①③④正確，故答案為：①③④．三、解答題（共68分，第17-18題，每題5分，第19題6分，第20-21題，每題5分，第22題6分，第23-24題，每題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）17.【答案】【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組．分別求出兩個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”即可求解．【詳解】解：解不等式，得，解不等式，得，∴不等式組的解集為．18.【答案】3【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪的計(jì)算法則、特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)運(yùn)算法則分別計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：19.【答案】【分析】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．先根據(jù)完全平方公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，合并同類項(xiàng)，求出，最后代入求出答案即可．【詳解】原式∵，∴，原式20.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求解．（1）利用兩角法證得結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出比例式，代入相關(guān)數(shù)值計(jì)算．【小問1詳解】證明：平分，．，；【小問2詳解】解：，．，，．．21.【答案】（1）（2）或【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)與不等式；（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，∴，解得∴．【小問2詳解】∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，其開口向上，∴當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍為：或．22.【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的仰角俯角問題，要求借助仰角構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意可知，，，∴，∴，在中，，∴，∴．23.【答案】（1）見解析（2）；【分析】本題主要考查垂徑定理，弧長公式，含30度角的直角三角形的性質(zhì)：（1）根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)同弧所對的圓心角相等，可得；（2）先證，，相等且度數(shù)都是，再證，根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可求，根據(jù)弧長公式可求的長．【小問1詳解】證明：∵是的直徑，于點(diǎn)E，∴，∴.【小問2詳解】解：∵是的直徑，于點(diǎn)E，∴，又∵，∴，，相等且度數(shù)都是，∴，∴，∵，∴，在中，，，∴，的長．24.【答案】（1）（2）【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，實(shí)數(shù)大小比較，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能夠從表格中獲取有用信息列出函數(shù)關(guān)系式．（1）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出實(shí)心球豎直高度的最大值；選出表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；再令求出的值即可；（2）根據(jù)三次投擲實(shí)心球所得拋物線的對稱軸和拋物線都過點(diǎn)，由函數(shù)的對稱性得出結(jié)論．【小問1詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的解析式可表示為：，當(dāng)時(shí)，，，解得，函數(shù)解析式為；令，則，解得，（舍去），，實(shí)心球著地點(diǎn)的水平距離為10米；【小問2詳解】根據(jù)圖象知，第二次、第三次拋物線的對稱軸分別為直線和直線，三次拋物線都過點(diǎn)，，小明第一、第二、三次訓(xùn)練時(shí)實(shí)心球著地點(diǎn)的水平距離，故答案為：．25.【答案】（1）證明見解析（2）4【分析】本題考查切線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，垂徑定理的推論及平行線的判定，關(guān)鍵是由勾股定理得到，求出的長．（1）由垂徑定理的推論推出，由切線的性質(zhì)得到，即可證明；（2）由，令,得到，由勾股定理得到，求出，得到，由相似三角形的判定與性質(zhì)得到，代入有關(guān)數(shù)據(jù)即可求出長．【小問1詳解】證明：∵C為弦中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)D，∴.是的切線，∴.∴.【小問2詳解】解：在中，，故設(shè)，，∵的半徑為3，∴，在中，，解得.，∵，，∴.∴，解得.26.【答案】（1），，對稱軸：直線．（2），．【分析】本題考查拋物線與x軸交點(diǎn)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會分類討論，屬于中考?？碱}型．（1）將代入二次函數(shù)，求得二次函數(shù)解析式，再令，解方程即可得出拋物線的對稱軸及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式，再令，解方程即可得出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進(jìn)行分類討論即可．【小問1詳解】將代入二次函數(shù)，得：，令，得，解得：，，，對稱軸：直線．【小問2詳解】將拋物線解析式整理得．令，得，解得：，∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．∵拋物線開口向上，且，∴結(jié)合圖象可知．∵，，中有且只有一個(gè)大于零，．∴①當(dāng)時(shí)，．，解得．②當(dāng)時(shí)，．，解得．綜上所述，，．27.【答案】（1）證明見解析（2）①補(bǔ)全圖見解析；②，證明見解析．【分析】（1）由點(diǎn)P與C重合，且平分，得，由菱形的性質(zhì)得，，所以和都是等邊三角形，則，所以，而，即可根據(jù)“”證明，得；（2）①按題中所給條件補(bǔ)全圖形即可；②作于點(diǎn)H，由，得，，而，可證明，所以，則，所以，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，所以，即可證明．【小問1詳解】證明：平分，∴∵菱形，∴，又∵，∴，∵，∴，∴．【小問2詳解】①如圖補(bǔ)全圖．②數(shù)量關(guān)系：，證明：過P作與H，∵，，∴，∵菱形，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴∵菱形，，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴，∴，∴【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．28.【答案】（1）、．（2）①4；②或【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)得，且平行線之間的距離相等，結(jié)合“映圖”定義有線段的“映圖”大于或等于，即可求答案；（2）①根據(jù)直線得，有，過O作MN的垂線交與，，交于點(diǎn)Q，可得，進(jìn)一