遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，在第四象限.故選：D．2.若且，則的最小值為（）A.2 B. C. D.4【答案】B【解析】因?yàn)?，則，當(dāng)，即，聯(lián)立，得，時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：B3.圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1和4，軸截面的兩條對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是（）A. B.24π C. D.【答案】C【解析】如圖，圓臺(tái)的軸截面為，上下底面圓的圓心分別為，設(shè)與相交于點(diǎn)，因?yàn)闉榈妊菪?，且，，，則圓臺(tái)的高，所以這個(gè)圓臺(tái)的體積為.故選：C.4.下列選項(xiàng)中，p是q充要條件的是（）A.p：或，q：兩條直線與平行B.p：直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，C.在圓外部，D.p：直線與圓相離，【答案】B【解析】對(duì)于A，若兩條直線與平行，所以，解得或，但是當(dāng)時(shí)，兩直線重合，所以，則p是q的必要不充分條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，可得，，所以，表示圓心為0,1，半徑的圓的上半部分，如圖所示：直線恒過點(diǎn)，一般式為，因?yàn)橹本€與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，當(dāng)時(shí)，左邊圓上的端點(diǎn)為，此時(shí)斜率為，所以，所以p是q的充要條件，故B正確；對(duì)于C，圓半徑，即，所以，因?yàn)樵趫A外部，所以，解得，綜上，所以p是q的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為：，圓心為0,1，半徑為，若直線與圓相離，則圓心到直線的距離為，兩邊平方化簡得，綜上，所以p是q的充分不必要條件，故D錯(cuò)誤；故選：B.5.，，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，解得，，所以，所以，故選：C.6.函數(shù)，若在上有且只有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，得.由于，所以.又因?yàn)樵谏嫌星抑挥兴膫€(gè)零點(diǎn)，所以，解得.故選：A.7.已知圓，圓．若圓上存在點(diǎn)，過點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)為，，使得，則的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，圓的半徑為，圓上存在點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，使得，則，在中，，又圓的半徑等于，圓心坐標(biāo)，，，，由，解得：，則的取值范圍為.故選：D.8.直線是曲線和的公切線，則（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】對(duì)于，設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)得，則在該點(diǎn)處的斜率為，則切線方程為：，即，對(duì)于，設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)得，則在該點(diǎn)處的斜率為，則切線方程為：，即，因?yàn)槭枪芯€，所以，即，所以，即，所以即或，解得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，所以，所以或，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列命題中，正確的命題是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則C.若，，則面積最大值為3D.，角B的平分線BD交AC邊于D，且，則的最小值為12【答案】BCD【解析】對(duì)于A：若，根據(jù)正弦定理則，即，因?yàn)椋曰蚣椿?，所以為等腰三角形或直角三角形，A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，則，，則根據(jù)正弦定理有，故B正確；對(duì)C，設(shè)，.則，，所以，當(dāng)時(shí)，三角形的面積取得最大值，故C正確；對(duì)D，由題意可知，，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，則D正確.故選：BCD.10.已知橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、，P點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)（與不重合），，則下列命題中，正確的命題是（）A. B.的最大面積為C.存在點(diǎn)P，使得 D.的周長最大值是【答案】ABD【解析】對(duì)A，由題知，，則，設(shè)Px0,則，A正確；對(duì)B，易知當(dāng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大值為，B正確；對(duì)C，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)D，由橢圓定義可知，，所以，又，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線，且在線段上時(shí)，等號(hào)成立，D正確.故選：ABD11.如圖，在棱長為2的正方體中，分別為棱BD，，的中點(diǎn)，N點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是（）A.平面B.三棱錐的體積不是定值C.三棱錐的外接球的表面積是D.當(dāng)直線和所成角最小時(shí)，線段長為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，取中點(diǎn)，連接，由于分別為棱BD的中點(diǎn)，所以有，且，又因?yàn)?，且，所以，且，則四邊形是平行四邊行，即，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，由于，平面，平面，所以平面，而N點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，、則點(diǎn)N到平面的距離不變，而為的中點(diǎn)，所以三角形的面積是定值，即三棱錐的體積是定值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由直角三角形的外接圓心是點(diǎn)，再取的中點(diǎn)為，則平面，即三棱錐的外接球的球心在上，所以設(shè)，由棱長為2的正方體可知，，，又因?yàn)?，所以，解得：，即三棱錐的外接球的表面積為，故C正確；對(duì)于D，建立如圖以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，可知：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以有令，則，因，所以，即則上式二次函數(shù)在遞減，在遞增，所以在有最小值，即，故上式有最大值，即，此時(shí)線和所成角最小，所以此時(shí)，則，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓和橢圓的離心率分別為和，若，則________．【答案】或.【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，則，，，所以橢圓的離心率，又，所以，設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，則，所以，所以，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，所以，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，所以，所以或.故答案為：或.13.如圖，在五棱錐中，底面ABCDE，，，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為________．【答案】【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所?則，假設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，假設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，假設(shè)平面與平面的夾角為，則，故答案為：14.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為________．【答案】【解析】設(shè)，則其定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù).而，且僅在時(shí)，所以為增函數(shù).同時(shí)，不等式可化為，即.而是奇函數(shù)，故原不等式又等價(jià)于，再根據(jù)是增函數(shù)，知這等價(jià)于.當(dāng)x>0時(shí)，這可化為，故條件即為對(duì)任意x∈0,+∞成立.①一方面，在條件中取x=1，即可得到，從而一定有；②另一方面，當(dāng)時(shí)，我們證明對(duì)任意的，都有.首先，代入，然后兩邊同乘正數(shù)，可知該不等式等價(jià)于.設(shè)，則，故對(duì)有，對(duì)有.從而在上遞減，在上遞增，所以對(duì)均有.這就意味著，所以從而由即可得到.這就證明了不等式對(duì)恒成立，從而原條件一定滿足.綜合①②兩方面，可知的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，中的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊長分別為，，，．（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，，求周長的取值范圍．解:（1），由，則，則，即，又B∈0,π，故；（2）由正弦定理可得，，則，由為銳角三角形，，則有，解得，則，由在上單調(diào)遞增，故，，，故，故，即周長的取值范圍為.16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，，E，F(xiàn)分別是SC，BD的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面SAB；（2）求三棱錐的體積；（3）求直線AD與平面BED所成角的正弦值．解:（1）連接，因?yàn)锳BCD是菱形，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，可知是的中點(diǎn)，且E是SC的中點(diǎn)，則∥，又因?yàn)槠矫鍿AB，平面SAB，所以∥平面SAB.（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，，平面，所以平面，且平面，可知，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，結(jié)合題意可知：，又因?yàn)?，在中，可得，且，可知，由平面，平面，可知平面平面，且平面平面，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，由面面垂直的性質(zhì)可知，則，，所以三棱錐的體積.（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面BED的法向量為，則，令，則，可得，則，所以直線AD與平面BED所成角的正弦值為.17.已知函數(shù)，恒有．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：對(duì)任意的，有．解:（1）由可得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，不滿足恒成立，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，，因?yàn)楹愠闪?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以在處取得最大值，所以得解為.（2）由（1）可知，則，，，要證，即證，化簡右邊可得，則只需證，進(jìn)一步化簡得，化簡可得，因?yàn)椋?，則成立.18.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，，過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不平行的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，的周長等于16.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)直線，的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）求面積的最大值.解:（1）由題意可得橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且，所以橢圓的方程為.（2）（i）證明：由題意可知直線斜率存在，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，顯然，所以；當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，則，設(shè)Ax1,所以，因?yàn)椋?綜上，為定值0.（ii）由（i）可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為.19.新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是一個(gè)函數(shù)圖象，即對(duì)于，直線與函數(shù)的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)是否為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”并說明理由；（2）判斷函數(shù)是否為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”并說明理由；（3）已知函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的最大值．解:（1）函數(shù)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，理由如下：如果是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，即和最多一個(gè)交點(diǎn)，顯然，當(dāng)時(shí)，兩條直線重合，有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，