遼寧省沈陽市五校聯(lián)考2024屆高三上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市五校聯(lián)考2024屆高三上學期期末數(shù)學試題一.選擇題1.已知，均為集合的子集，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，均為集合的子集，，則，，，則.故選：B.2.，則的共軛復數(shù)等于（）A B. C. D.【答案】D【解析】，故選：D.3.若，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，，得，，相加得，，解得，故選：B.4.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】可知項可由與相加可得，即，故選：A.5.設(shè)，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，.當且僅當即，時等號成立，所以的最小值為.故選：D.6.函數(shù)的部分圖象如圖，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】由圖象可得，故，因為，故或，將代入解析式得，即，由圖象可知2為函數(shù)在原點右邊的第一個最大值點，故，當時，，解得，滿足要求，當時，，解得，不合要求，舍去，故選：A.7.已知函數(shù)，設(shè)甲：；乙：是奇函數(shù).則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】若是奇函數(shù)，則，故，進而可得對定義域內(nèi)的任意恒成立，故，當時，定義域為，關(guān)于原點對稱，易得,因此是奇函數(shù),故甲是乙的充要條件，故選：C.8.圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究起源于古希臘，阿波羅尼奧斯（前262-前190）的《圓錐曲線論》全書8篇，共487個命題.16世紀天文學和物理學揭示了圓錐曲線是自然界物體運動的普遍性形式.17、18世紀隨著射影幾何學和解析幾何學的創(chuàng)立發(fā)展，18世紀40年代瑞士數(shù)學家歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述.現(xiàn)有圓錐頂點為，底面圓心為，母線與底面直徑的長度相同.點在側(cè)面上，點在底面圓周上，為底面直徑，二面角為.已知平面與圓錐側(cè)面的交線是某橢圓的一部分，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖：（圖一）為空間幾何體的直觀圖，（圖二）為平面截空間幾何體的剖面圖，（圖三）為以橢圓長軸所在直線為軸，長軸中垂線為軸的平面圖形.易得(圖二)中線段的長為橢圓長軸長，不妨設(shè)圓錐底面半徑為2，則由題意可知為正三角形，，，所以，所以，所以，所以所以在（圖三）中，將代入中解得，所以，所以.故選：B.二.選擇題9.是隨機變量（）A.若，則，B.若，則C.若，則，D.若，則【答案】ABC【解析】因為，則,故A正確;因為,則,故B正確；因為,則,故C正確；因為,則,故D錯誤.故選：ABC10.已知正方體的棱長為1，則（）A.直線與所成角的正弦值為B.直線與平面所成角的正弦值為C.點到直線的距離為D.點到平面的距離為【答案】BC【解析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì)易得，且，故，顯然直線與所成角的正弦值不為，A錯；由正方體的結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì)易得，即為等邊三角形，所以點到直線的距離為，C對；同上易得為正四面體，且棱長為，所以點到平面的距離為，D錯；直線與平面所成角的正弦值為，B對.故選：BC.11.已知點，在雙曲線：上，點是線段的中點，則（）A.當時，點，在雙曲線的同一支上B.當時，點，分別在雙曲線的兩支上C.存在點，，使得成立D.存在點，，使得成立【答案】ABC【解析】若直線不存在斜率，設(shè)直線方程為：，代入得：，當或時，是弦的中線，此時，關(guān)于軸對稱，且在雙曲線的同一支上，；若直線存在斜率，設(shè)直線方程：代入得：，整理得：.因為直線與雙曲線有兩個不同的交點，所以：且所以：設(shè)，，則，由，所以：或.故D不成立；又當時，，，兩點分別在雙曲線兩支上；當時，，，兩點在雙曲線的同一支上.故AB成立；當時，，可使命題成立，故C正確.故選：ABC12.已知函數(shù)，則（）A.當時，是的極小值B.當時，是的極大值C.當時，D.當時，【答案】ABD【解析】先證明出以下結(jié)論，在上有，，，令，，則，其中令，則，其中，令，則，其中，令，則在上恒成立，故在單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，故在單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，故，所以在上單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，且，故，同理可證，證畢.A選項，，，，當，時，恒成立，故在上單調(diào)遞減，當時，，對任意的，總存在，使得，故當時，是極小值，A正確；B選項，時，，則，其中，令，則，其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，，，由零點存在性定理可知，存在，，使得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又，且，故當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以是的極大值，B正確；D選項，當時，，令，則，令，則，顯然在上單調(diào)遞減，其中，，則由零點存在性定理可得，存在，使得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又，，下面證明，由可知，，由可得，所以，由零點存在性定理可得，存在，使得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又，故當時，，D正確；C選項，令，即，解得，下面證明，即證，由得，，由得，，故，故當時，存在，使得，C錯誤.故選：ABD.三、填空題13.已知向量，，且，則________________.【答案】【解析】，.故答案為：.14.已知數(shù)列是首項為25，公差為的等差數(shù)列，則數(shù)列的前30項的和為________________.【答案】458【解析】數(shù)列是首項為25，公差為的等差數(shù)列，則有，數(shù)列的前項和，若，則且，數(shù)列的前30項的和.故答案為：45815.在正三棱臺中，，，，則該棱臺的體積為________________.【答案】【解析】如圖，分別取和的重心，，連接，，，因為正三棱臺中，，，所以，，，，又因為四邊形為直角梯形，，且，所以，正三棱臺的體積.故答案為：.16.點在圓上，點在拋物線上，則線段長度的最小值為_____.【答案】【解析】圓的圓心，，設(shè)，則，故答案為：四.解答題17.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知.（1）求；（2）若，求.解：（1）由題設(shè)及正弦邊角關(guān)系可得：，則，而，且，則.（2）由題設(shè)，且，，所以，則，所以，則，即.18.為了解某藥物在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：隨機抽取100只小鼠，給服該種藥物，每只小鼠給服的藥物濃度相同、體積相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)藥物的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)得到如下直方圖：（1）求殘留百分比直方圖中的值；（2）估計該藥物在小鼠體內(nèi)殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）在體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間的小鼠中任取3只，設(shè)其中體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間的小鼠為只，求的分布列和期望.解：（1）由題知，，解得.（2）由圖知，.（3）體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間內(nèi)的頻率為，位于內(nèi)的頻率為.則百分比位于區(qū)間內(nèi)的小鼠有10只，位于內(nèi)的小鼠有5只，X的所有取值為0,1,2,3，所以，，，，所以，的分布列如下：0123由期望公式得.19.如圖，在平行六面體中，，，，，點為中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：因為，所以，因為，所以，以為原點建立如圖所示的坐標系，所以，，，，，所以，，，設(shè)面的法向量為，所以，令，所以，因為，不在面內(nèi)，所以平面；（2）解：，所以，設(shè)面的法向量，因為，所以，令，則，設(shè)面的法向量，因為，所以，令，所以，所以，所以二面角的正弦值為.20.記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.已知，.（1）求的通項公式；（2）求證：.（1）解：當時，，當時，，經(jīng)驗證：當時也成立.所以的通項公式為：.（2）證明：由（1）得，又，當時，，當時，，所以當時，，令，則，兩式相減得：，所以，所以，即.21.在平面直角坐標系中，已知點，，點滿足.記的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知點，設(shè)點，在上，且直線不與軸垂直，記，分別為直線，的斜率.（?。τ诮o定的數(shù)值（且），若，證明：直線經(jīng)過定點；（ⅱ）記（ⅰ）中的定點為，求點的軌跡方程.解：（1）因為，所以P的軌跡是以，為焦點的橢圓，設(shè)方程為，則，，，所以，，C的方程為.（2）設(shè)直線MN的方程為：，其中，點M，N滿足，即，滿足，則，且，.（?。┳C明：因為，所以，得，直線MN的方程為：，所以直線過定點.（ⅱ）由，得（其中），所以點Q的軌跡方程為直線（除去點）.22.（1）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，設(shè)是曲線在點處的切線的方程.