山東省濰坊市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)調(diào)研監(jiān)測考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濰坊市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)調(diào)研監(jiān)測考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則其虛部為.故選：B.2.設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，代入，可得，所以方程變?yōu)?，可解得?，所以，故選：C.3.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為2，則（）A.0 B.3 C.6 D.12【答案】D【解析】以兩向量公共點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，，，則.故選：D.4.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，還有兩個(gè)面是全等的等腰三角形，若，且等腰梯形所在平面?等腰三角形所在平面與平面的夾角均為，則該五面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，作于，，連接；同理作于，，連接，取中點(diǎn)，連接，再作于，因?yàn)榈妊菪嗡谄矫?等腰三角形所在平面與平面的夾角均為，因?yàn)?，房頂?shù)牡酌鏋榫匦危?，所以，又中點(diǎn)，，且，所以，所以，，所以由二面角的定義可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，且底面，所以底面，所以該五面體的體積為2倍的四棱錐的體積加上三棱柱的體積，即，故選：B.5.已知圓，則過點(diǎn)的圓的切線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】將代入圓方程得，則該點(diǎn)在圓外，，即，則其圓心為，半徑為1，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為，顯然不合題意，故舍去，則設(shè)切線方程為：，即，則有，解得，此時(shí)切線方程為.故選：C.6.數(shù)列an中，，若，則（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】因?yàn)?，所?,所以.故選：C.7.設(shè)，隨機(jī)變量取值的概率均為，隨機(jī)變量取值的概率也均為，若記，分別是的方差，則（）A. B.C. D.與大小不確定【答案】A【解析】，，，，所以只需比較與的大小，因?yàn)椋?，①因?yàn)椋?，，，，，，所以①，所以，故選：A.8.已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【解析】因?yàn)?，令，則，則，再令，代入上式可得，所以，故選：D.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)（其中均為常數(shù)，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的最小正周期為C.圖象的一個(gè)對稱中心為D.的單調(diào)增區(qū)間為【答案】ABD【解析】A：由圖象可得，所以，代入可得，則且，所以，故A正確；B：由選項(xiàng)A的解析可得最小正周期為，故B正確；C：因?yàn)?，代入，可得，故C錯(cuò)誤；D：由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，可得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故D正確；故選：ABD.10.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，則（）A. B.為等比數(shù)列C.為遞減數(shù)列 D.中存在小于的項(xiàng)【答案】ACD【解析】A：由題意可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得，所以，整理可得，解得，故A正確；B：假設(shè)an為等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，即，整理可得，所以，解得，不符合題意，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)時(shí)，，所以an為遞減數(shù)列，故C正確；D：假設(shè)對任意的，，則，則，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，故D正確；故選：ACD.11.已知正方體棱長為為棱上一動(dòng)點(diǎn)，平面，則（）A.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面B.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四面體的外接球的體積為C.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是D.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面截正方體所得截面可為六邊形，且其周長為定值【答案】ACD【解析】A：如圖：因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，故A正確；B：如圖：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四面體的外接球的體積即為正方體外接球的體積，因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以外接球半徑為，所以外接球體積為，故B錯(cuò)誤；C：直線與平面所成角的正弦值等于直線與平面的垂線所成角的余弦值，如圖：連，則，因，所以，即，所以，故C正確；D：如圖當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，因?yàn)槠矫?，由正方體的性質(zhì)可得平面可為平面，當(dāng)取分別為各邊中點(diǎn)，截面為，此時(shí)周長為，故D正確；故選：ACD.三?填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.邊長為2的正三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為__________.【答案】【解析】如圖，將該三角形繞其邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是兩個(gè)以為底面圓半徑，以1為高的兩個(gè)圓錐組合體，表面積為.13.已知四個(gè)函數(shù)：①，②，③，④，從中任選2個(gè)，則事件“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為__________.【答案】【解析】作出函數(shù)圖象，由圖可得③與①有一個(gè)公共點(diǎn)，②和④有一個(gè)公共點(diǎn)，②和③有一個(gè)公共點(diǎn)，其余不符合題意，所以事件“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為.14.已知橢圓，過軸正半軸上一定點(diǎn)作直線，交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，有（為常數(shù)），則定點(diǎn)的坐標(biāo)為__________，__________.【答案】6【解析】設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)其方程為，代入橢圓方程并整理可得，，所以，因?yàn)楫?dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，有（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以，代入，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)也成立，經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長.解：（1）在中，由及正弦定理，得，而，則，即，化簡得，又，所以.（2）由（1）及三角形面積公式，得，解得，由余弦定理得，所以的周長為.16.如圖，中，，過點(diǎn)作，垂足為，將沿翻折至，使得.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：由題意可知，在中，，在中，，所以，所以所以，所以，因?yàn)?，所以，又，且平面，平面，所以平面，?）解：由（1）知，以為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，令，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù).（1）若，求單調(diào)區(qū)間；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，令，所以?dāng)時(shí)，f'x<0，為減函數(shù)；當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，f所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞；（2）因?yàn)椋?，設(shè)，則，x∈0,+∞，①若，則，則f'x在0,+∞單調(diào)遞增，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，則滿足題意；②若，，，令，所以，又，所以，故，，所以f'x在上單調(diào)遞減，則,所以在上單調(diào)遞減，則，不符合題意，舍去；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知雙曲線的焦距為4，離心率為分別為的左、右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)都在上.（1）求的方程；（2）若，求直線的方程；（3）若且，求四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍.解：（1）由題意可得，解得，故曲線的方程為，（2）根據(jù)題意知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，得，都在右支上，由，消去可得，易知，其中恒成立，，代入，消元得，所以，解得，滿足，所以直線的方程為，（3）Ax1,y1,Bx2,y2，，則分別在兩支上，且都在的上方或的下方，不妨設(shè)都在的上方，又，則在第二象限，在第一象限，如圖所示，延長交雙曲線與點(diǎn)，延遲交雙曲線于點(diǎn)，由對稱性可知四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2被，由題設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由第（2）問易得，因?yàn)椋?，兩條直線與間的距離，所以，令，，所以，設(shè)，則，在上恒為減函數(shù)，所以在上恒為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)即，取得最小值為12，所以當(dāng)且，求四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍為.19.錯(cuò)位重排是一種數(shù)學(xué)模型.通常表述為：編號為的封信，裝入編號為的個(gè)信封，若每封信和所裝入的信封的編號不同，問有多少種裝法？這種問題就是錯(cuò)位重排問題.上述問題中，設(shè)封信均被裝錯(cuò)有種裝法，其中.（1）求；（2）推導(dǎo)之間的遞推關(guān)系，并證明：是等比數(shù)列；（3）請問封信均被裝錯(cuò)的概率是否大于？并說明理由.（參考公式：）解：（1）由題意可得，（2）若有封信時(shí)，其裝法可分為兩個(gè)步驟：第一步：編號為的信，有種裝法；第二步：重裝其余的封信，根據(jù)第一步裝法可分為兩類，第一類，若編號為的信，裝入編號為的信封，，但編號