山東省煙臺市2024屆高三上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)水平診斷考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省煙臺市2024屆高三上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)水平診斷考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.設(shè)集合，集合，則（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】由，得，即，所以，所以，所以.故選：A.2.“直線與平行”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若直線與平行，易得:，故：，則得不到，故不是充分條件；反之，當(dāng)時成立，故直線與平行，是必要條件；故“直線與平行”是“”的必要不充分條件，故選：B．3.已知且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于選項A：因為，所以，由，故，選項A錯誤；對于選項B：因為，所以，由，故，選項B錯誤；對于選項C：由指數(shù)函數(shù)可知，在定義域上單調(diào)性不確定，故無法確定的大小，比如當(dāng)時，則，選項C錯誤；對于選項D：由冪函數(shù)可知，在定義域上單調(diào)遞增，且，所以，選項D正確.故選：D.4.已知，則向量與夾角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】結(jié)合題意：設(shè)向量與夾角為，，因為，所以，解得.因為，所以.故選：B.5.我國古代十進(jìn)制數(shù)的算籌記數(shù)法是世界數(shù)學(xué)史上一個偉大的創(chuàng)造.算籌一般為小圓棍算籌計數(shù)法的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式，千位再用橫式，以此類推；遇零則置空.縱式和橫式對應(yīng)數(shù)字的算籌表示如下表所示，例如：10記為“”，62記為“”.現(xiàn)從由4根算籌表示的兩位數(shù)中任取一個數(shù)，則取到的數(shù)字為質(zhì)數(shù)的概率為（）數(shù)字123456789縱式橫式A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，共有4根算籌，當(dāng)十位1根，個位3根，共有2個兩位數(shù)13、17；當(dāng)十位2根，個位2根，共有4個兩位數(shù)22，26，62，66；當(dāng)十位3根，個位1根，共有2個兩位數(shù)31，71；當(dāng)十位4根，個位0根，共有2個兩位數(shù)40，80；其中質(zhì)數(shù)有13、17、31、71，所以取到的數(shù)字為質(zhì)數(shù)的概率為，故選：A6.已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則方程實數(shù)根的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，綜上，當(dāng)時，令無解；當(dāng)時，令解得；當(dāng)時，令無解；當(dāng)時，令解得；當(dāng)時，令，解得，綜上實數(shù)根的個數(shù)為個，故選：C7.已知為雙曲線的一個焦點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與的另外一條漸近線交于點.若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】因為雙曲線的漸近線為，不妨設(shè)過右焦點垂直于漸近線的直線為，聯(lián)立，解得，設(shè)，由，可得，即，解得，即，因為在另外一條漸近線上，所以整理得：，即，所以.故選：C.8.已知函數(shù)，若，使得，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，使得，所以，即，令，，所以在上單調(diào)遞增.所以，即，所以，令，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減;當(dāng)時，，在單調(diào)遞減;所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，即..故選：C.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)（）A.與原數(shù)據(jù)的極差相同 B.與原數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同C.與原數(shù)據(jù)的方差相同 D.與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同【答案】AD【解析】由樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，可得，其方差為，對于數(shù)據(jù)，其平均數(shù)，其方差；即兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，方差不同，可得C錯誤，D正確；由極差定義，兩組數(shù)據(jù)的最大值和最小值不變，則兩組數(shù)據(jù)的極差相同，即A正確；對于中位數(shù)，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定相同，即B錯誤.故選：AD10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.在上單調(diào)遞增D.當(dāng)時，的最小值為【答案】ACD【解析】結(jié)合題意：要得到函數(shù)的解析式，只需將向左平移個單位長度.所以,對于選項A:由可得，所以,故選項A正確；對于選項B:將代入得：，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，故選項B錯誤；對于選項C:對于，令，則，因為，所以，而在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故選項C正確；對于選項D:對于，令，則，因為，所以，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即時，，故選項D正確.故選：ACD.11.如圖，在正四棱臺中，為棱上一點，則（）A.不存在點，使得直線平面B.當(dāng)點與重合時，直線平面C.當(dāng)為中點時，直線與所成角的余弦值為D.當(dāng)為中點時，三棱錐與三棱錐的體積之比為【答案】BCD【解析】連接交于，因為正四棱臺，所以以為軸，為軸，垂直于平面為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)點在底面投影為，則，，即正四棱臺的高為，則，，，，，，所以，，，，因為為棱上一點，所以，所以，設(shè)平面的法向量，則，令可得平面的一個法向量為，令解得，故存在點，使得直線平面，A說法錯誤；當(dāng)點與重合時即，，，，設(shè)平面的法向量，則，令可得平面的一個法向量為，因為，所以當(dāng)點與重合時，直線平面，B說法正確；當(dāng)為中點時，即，，所以，所以直線與所成角的余弦值為，C說法正確；設(shè)正四棱臺的高為，當(dāng)為中點時，三棱錐的體積，三棱錐的體積，所以三棱錐與三棱錐的體積之比為，D說法正確；故選：BCD12.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說：“就數(shù)學(xué)本身而言，是壯麗多彩?千姿百態(tài)?引人入勝的……認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥乏味的人，只是看到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，而沒有體會出數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.”圖形美是數(shù)學(xué)美的重要方面.如圖，由拋物線分別逆時針旋轉(zhuǎn)可圍成“四角花瓣”圖案（陰影區(qū)域），則（）A.開口向下的拋物線的方程為B.若，則C.設(shè)，則時，直線截第一象限花瓣的弦長最大D.無論為何值，過點且與第二象限花瓣相切的兩條直線的夾角為定值【答案】ABD【解析】對于A，因為拋物線的焦點為，若拋物線逆時針旋轉(zhuǎn)，則開口向下，焦點為，故開口向下的拋物線方程為：，故A正確；對于B，由題意可知，關(guān)于軸對稱，因為，設(shè)，所以，，因為點在拋物線上，所以，所以，即，所以，由在拋物線上，所以，解得，故B正確；對于C，當(dāng)，由得，所以，由題意直線截第一象限花瓣弦長為，，所以，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取到最大值，故C錯誤；對于D，由得，過第二象限的兩拋物線分別為：①，②，對于①，，則，設(shè)切點坐標(biāo)為，所以過點的切線方程為：，將點代入得，解得，因為，故，所以切線的斜率為，故無論為何值，切線斜率均為，其與直線的夾角為定值，由題意可知，與關(guān)于直線對稱，故過點的兩切線也關(guān)于直線對稱，故的切線與直線的夾角為定值，即無論為何值，過點且與第二象限花瓣相切的兩條直線的夾角為定值，故D正確.故選：ABD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的系數(shù)為__________.【答案】【解析】由二項式展開式的通項為，則的展開式中，含的項為，所以項的系數(shù)為.故答案為：.14.已知等差數(shù)列的前項和為且，則的值為__________.【答案】【解析】結(jié)合題意：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為,，所以，解得.故答案為：15.若存在兩個不相等正實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】.【解析】由，可得，令，要存在兩個不相等正實數(shù)，使得，即不是正實數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)，則，當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增,不滿足；當(dāng)時，令，則，令，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，要使不是正實數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)，則，即，解得.故答案為：.16.如圖，在直三棱柱中，，，則該三棱柱外接球的表面積為__________；若點為線段的中點，點為線段上一動點，則平面截三棱柱所得截面面積的最大值為__________.【答案】；【解析】由題意，直三棱柱中，，，該直三棱柱可補(bǔ)充一個長方體，其中直三棱柱的外接球和補(bǔ)成的長方體的外接球是同一個球，又由長方體過同一頂點的三條棱長分別為，可得對角線長為，所以外接球的半徑為，則該三棱柱外接球的表面積為；如圖所示，連接，并延長交于點，取的中點，連接，則且，在過點作，可得，連接，則四邊形即為過點的截面，在中，因為，且為的中點，所以，又因為平面，平面，所以，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以，所以四邊形為直角梯形，在中，由且，可得，所以，設(shè)，在直角中，可得，又由，可得，所以直角梯形的面積為，其中，設(shè)，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，又由，可得，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，此時梯形的面積取得最大值.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.若的內(nèi)角的對邊分別為.（1）求；（2）若，求的面積.解：（1），，即，．（2）在中，由余弦定理，或，所以面積：或．18.已知數(shù)列的前項和，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求證：數(shù)列的前項和.解：（1）根據(jù)題意，可得，即，解得，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，也符合，故.證明：（2）由（1）的結(jié)論，可得，所以，兩邊都乘以，得，以上兩式相減，可得：所以，結(jié)合，可知不等式成立.19.如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面底面.（1）求證：；（2）若，且四棱錐的體積為2，求直線與平面所成角的正弦值.證明：（1）平面底面，平面底面，底面是邊長為2的菱形，，底面，則有平面，又平面，所以.解：（2）底面是邊長為2的菱形，，等邊三角形，，，平面底面，平面底面，過點作的垂線，垂足為，則底面，四棱錐的體積為2，則，解得，則，所以為中點，即為和交點，，以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，則有，令，則，，即，，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.某學(xué)校計劃舉辦趣味投籃比賽，比賽分若干局進(jìn)行.每一局比賽規(guī)則如下：兩人組成一個小組，每人各投籃3次；若某選手投中次數(shù)多于未投中次數(shù)，則稱該選手為“好投手”；若兩人均為“好投手”，則稱該小組為本局比賽的“神投手組合”.假定每位參賽選手均參加每一局的比賽，每人每次投籃結(jié)果互不影響.若甲?乙兩位同學(xué)組成一個小組參賽，且甲?乙同學(xué)的投籃命中率分別為.（1）求在一局比賽中甲被稱為“好投手”的概率；（2）若以“甲?乙同學(xué)組成的小組獲得“神投手組合”的局?jǐn)?shù)為3的概率最大”作為決策依據(jù)，試推斷本次投籃比賽設(shè)置的總局?jǐn)?shù)為多少時，對該小組更有利？解：（1）解：設(shè)一局比賽中甲被稱為好投手的事件為A，則；（2）設(shè)一局比賽中乙被稱為好投手的事件為B，則，甲、乙同學(xué)都獲得好投手的概率為：，比賽設(shè)置n局，甲?乙同學(xué)組成的小組獲得“神投手組合”的局?jǐn)?shù)為X，則，且，設(shè)，則，則，即，即，又，則，所以本次投籃比賽設(shè)置的總局?jǐn)?shù)8時，對該小組更有利.21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：.解：（1）易知函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，易知時，，此時單調(diào)遞減，時，，此時單調(diào)遞增；即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，易知當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；綜上可知，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；證明：（2）由（1）可知當(dāng)時，在單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），令可得，即；，，累加可得.22.已知為曲線上任意一點，直線與圓相切，且分別與交于兩點，為