2024高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：專題32 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、極值中的應(yīng)用（解析版）

3.2導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、極值中的應(yīng)用

思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題

本考點(diǎn)以考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及導(dǎo)函數(shù)值與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系為主，其中

含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題是高考的熱點(diǎn).

1.函數(shù)./U）的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)/（工）的正負(fù)之間的關(guān)系

（1）在某個(gè)區(qū)間3,份上，如果f（x?o,那么函數(shù)），=/U）在區(qū)間3,加上單調(diào)

遞增；

（2）在某個(gè)區(qū)間3,份上，如果絲KQ,那么函數(shù)y=/U）在區(qū)間（。，與上單調(diào)

遞減.

2.用充分必要條件詮釋導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

⑴在區(qū)間m,切內(nèi)，/（幻＞03（幻＜0）是危）在區(qū)間（。，份上單調(diào)遞增（減）的充

分不必要條件.

（2/x）20（nx）W0）在區(qū)間（%。）內(nèi)恒成立是7W在區(qū)間（%。）上單調(diào)遞增（減）

的必要不充分條件.

◎）若火幻在區(qū)間（樂坊的任意子區(qū)間上都不恒等于零，貝ij/a）》o（fa）wo）

是yu）在區(qū)間m,份上單調(diào)遞增（減）的充要條件.

利用導(dǎo)數(shù)解決極值與最值問題

1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

/5）=0

條件劭附近的左側(cè)/（］）*附近的左側(cè)/a）

＞0,右側(cè)/（J-X0V0,右側(cè)/（x）＞0

極值/Co）為回極大值/口0）為國(guó)極小值

極值點(diǎn)「＜）為題極大值點(diǎn).門為畫極小值點(diǎn)

2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)

（1）函數(shù)./U）在區(qū)間m,以上有最值的條件

如果在區(qū)間m,一上函數(shù)y=/U）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有

最大值和最小值.

（2）求y=/U）在區(qū)間團(tuán)，加上的最大（?。┲档牟襟E

①求函數(shù)y=/W在區(qū)間（。，加上的極值;

②將函數(shù)y=/U）的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值數(shù)。），負(fù)切比較,其中最大的一

個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.

典型例題分析

考向一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參數(shù)）

例1函數(shù)火X）=。-3H.的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（一8,2）B.（0,3）

C.（1,4）D.（2,+8）

答案D

解析=U-3)V+(x-3)(cr)r=(x-2)eA,令/(x)>0,解得x>2.所以單調(diào)

遞增區(qū)間為(2,+-).

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

⑴確定函數(shù).")的定義域.

(2)求/(%).

(3)解不等式了。)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間.

(4)解不等式解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

考向二討論含參函數(shù)的單調(diào)性

例2已知函數(shù)人工)=or+lnx(aeR),求函數(shù)人工)的單調(diào)區(qū)間.

1+1

解由已知得/(力=。；=——U>0),

①當(dāng)。20時(shí)，由于.》(),故(?>(),函數(shù)/5)的單調(diào)遞增區(qū)間為

(0,+OO).

②當(dāng)。<0時(shí)，令，(幻=0,得戶-5?在區(qū)間(0,-3±,fW>0；在區(qū)間

(-幺+8)上，,㈤<o.函數(shù)府)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,-力，單調(diào)遞減區(qū)旬為

C'+8).

1.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類

討論.

(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為。的

點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).

2.個(gè)別導(dǎo)數(shù)為()的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如=/W=3^>

0(/'(x)=0在/=0時(shí)取到)，段)在R上是增函數(shù).

考向三函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例3（多選）定義在（0,號(hào)上的函數(shù)於），已知/⑴是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有cos

xf（x）+sin歡x）V0成立，則（）

A?附＞啦府）B.也府）＞艱

C.4）〉小局D.&尋小周

答案CD

f（x）（兀、f（x）cosx+f（x）sinx

解析構(gòu)造函數(shù)g（?=彳懸可?則g'a）=-------訴h-------＜（）,

即函數(shù)且⑴在（o,習(xí)上單調(diào)遞減，所以惡＞ge），所以冏＞4竭，同理，g《l

＞g胤即7竭＞仍局.故選CD.

以抽象函數(shù)為背景、題設(shè)條件或所求結(jié)論中具有“兀0土g。），yu）ga）,

f（x）

九了”等特征式，旨在考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的逆向、變形應(yīng)用能力的客觀題，是

近幾年高考試卷中的一位“?？汀保Ｒ詨狠S題小題的形式出現(xiàn)，解答這類問題

的有效策略是將前述式子的外形結(jié)構(gòu)特征與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合起來(lái),合理構(gòu)造出

相關(guān)的可導(dǎo)函數(shù)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

考向四利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題

例4如圖所示是函數(shù)），二次工）的導(dǎo)數(shù)的圖象，給出下列四個(gè)結(jié)論:

①/U）在區(qū)間（-3,1）上是增函數(shù)；

②A?在區(qū)間（2,4）上是減函數(shù)，在區(qū)間（-1,2）上是增函數(shù)；

③1是40的極大值點(diǎn)；

④-1是人工）的極小值點(diǎn).

其中正確的結(jié)論是（）

A.①③B.②③

C.②③④D.②④

答案D

解析由題意，得-3vxv-l或2vxv4時(shí)，/(x)vO；-lvxv2或x

>4時(shí)，/?>(),故函數(shù)尸兀E)在(-3,-1)和(2,4)上單調(diào)遞減，在(-1,2)

和(4,+8)上單調(diào)遞增，-1是/氏)的極小值點(diǎn)，2是4E)的極大值點(diǎn)，故②④正

確.

函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略

(1)已知導(dǎo)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)

為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào).

(2)已知函數(shù)求極值.求/Q)f求方程/1)=0的根一列表檢驗(yàn)/'⑴在/Q)=0

的根的兩側(cè)的符號(hào)一得出結(jié)論.

(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)府)在點(diǎn)(皿聞處取得極值，貝1J/5))=0,且

在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反.

考向五利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

例5已知函數(shù)負(fù)x)=evcosx-x.

(1)求曲線)，=/U)在點(diǎn)(()，八()))處的切線方程；

(2)求函數(shù)兒丫)在區(qū)間［。，3上的最大值和最小值.

v

解(l)Vy(x)=ecosx-xI

/.y(0)=I,/(x)=cv(cosx-sinx)-1,

(0)=0,?,.曲線y=yw在(0,m))處的切線方程為"1.

=ex(cosx-sin.￥)-1,

令g(x)二/⑴，則g'(x)=-2cAs巾1&0在在，］上恒成立，且僅在x=0處等

號(hào)成立,

???g(x)在［o,目上單調(diào)遞減，

.?.g(x)<g(O)=O,.?/(x)WO且僅在x=O處等號(hào)成立，」.危)在［(),耳上單

調(diào)遞減，

?\/(X)max=./(O)=1.7(X)min=，］)=~2'

求函數(shù)/U)在［凡〃上的最值的方法

(1)若函數(shù)在區(qū)間［%句上單調(diào)遞增或遞減，則犬。)與八與一個(gè)為最大值，一

個(gè)為最小值；

(2)若函數(shù)在區(qū)間［〃，例內(nèi)有極值，則要先求出函數(shù)在［。，加上的極值，再與

、/(4),./(〃)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；

(3)函數(shù)、”)在區(qū)間3,6上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)

值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.

提醒：求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還

要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖

象觀察得到函數(shù)的最值.

考向六利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值和最值的綜合問題

例6甲、乙兩地相距400千米，一汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得

超過(guò)100千米/時(shí).已知該汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本/(元)關(guān)于速度M千米/時(shí))的函

數(shù)關(guān)系式是=]920(/一須~+15x

(1)當(dāng)汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，全程運(yùn)輸成本為多少元？

(2)為使全程運(yùn)輸成本最少，汽車應(yīng)以多大速度行駛？并求出此時(shí)運(yùn)輸成本

的最小值.

解(1)當(dāng)汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，全程運(yùn)輸成本為常

乂(而某X604—擊X6。、15X60)=1500元。所以當(dāng)汽車以60千米/時(shí)的速度

勻速行駛時(shí)，全程運(yùn)輸成本為1500元.

(2)設(shè)全程運(yùn)輸成本為/(幻元，則於)二竿(代|而/-加+15,=宗-|必

1°x(x-80)

+6000(0<v<100),f(X)=—X2-5X=---正一，令八x)=0,解得x=80,

當(dāng)04<80時(shí)，/(x)<0,當(dāng)804W100時(shí)，/(x)>0,所以函數(shù)於)在(0,80)

上單調(diào)遞減，在(80,100］上單調(diào)遞增，所以人幻的最小值為18())=竽.所以為

使全程運(yùn)輸成本最少，汽車應(yīng)以80千米/時(shí)的速度行駛，此時(shí)運(yùn)輸成本取得最小

值丁兀.

1.解決函數(shù)極值、最值綜合問題的策略

(1)求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小.

(2)求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)比較才能

下結(jié)論.

(3)函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確

定最值.

2.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟

(1)設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式)，=.危)，并確定其定義域.

(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/(x),解方程/(#=0.

(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.

(4)回歸實(shí)際問題作答.

基礎(chǔ)題型訓(xùn)練

一、單選題

1.定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)/("，當(dāng)XH0時(shí)，滿足r(x)+組立>0,則函數(shù)

g(x)=f(M+(的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】構(gòu)造〃(力=f/(力,求導(dǎo)，根據(jù)題意可得人(力的單調(diào)性,g(x)=〃x)+)的零點(diǎn)

X

個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為y=〃a)與0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出簡(jiǎn)圖即可求解.

【詳解】解：由/'(力+組U>0可得『/F)：2"⑻>0,即Wr(x)+2獷(力>0,

XX

所以[//(%)]'>0.

令〃("=x2f(x),則〃(x)在(7),0卜(0,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增.

令g(x)=/(x)+’=0,則XV(X)=T.

所以g(x)=/(x)+!的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為方程〃(x)=T的根的個(gè)數(shù)，即)，=力(工)與y=T(，-0)

X

的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

作出簡(jiǎn)圖(如圖所示)，

由圖可知y=/?(%)與y=-x(x力0)的圖象沒有交點(diǎn).

所以函數(shù)g(x)=/(x)+，的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0.

X

故選:A.

2.若函數(shù)/(x)=hu?-辦在區(qū)間(3,4)上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.陷B.件+8)C.[11]D./

【答案】D

【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的概念，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍問題

【詳解】由已知得/'(1)=上竺，若函數(shù)/("=欣-如在(3,4)上有極值點(diǎn)，貝打―仆=0在

.1

xc(3,4)上有解，即％=56(3,4),解.得;<〃<；.

故選：D

3.若函數(shù)凡丫)=3+江+.1既有極大值又有極小值，則。的取值范圍是()

A.(―8,—75)B.(―8,—75)U(x/3?+°°)

C.(―G，y/3)D.(百，十8)

【答案】B

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)用勾，根據(jù)函數(shù)小)=3+d+工既有極大值乂有極小值，則函數(shù)/")

有兩不同的零點(diǎn)，即A〉。，從而可得答案.

【詳解】解：/'(刈=3/+*+1,

因?yàn)楹瘮?shù)危)=3+aF+x既有極大值又有極小值，

所以函數(shù)/'(X)=3/??1有兩不同的零點(diǎn)，

即△=44-12>0，解得〃>6或〃<-石,

所以4的取值范圍是(-8,—x/3)U(x/3,+°°).

故選：B.

4.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難人微，數(shù)形結(jié)合百般好,

隔裂分家萬(wàn)事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研窕中，常用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的

【分析】利用排除法求解，先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)的單調(diào)性即可

【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸\x￥0),

因?yàn)椤╛幻=冷=誓=八幻，

|-x||x|

所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以排除BC,

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=@三，則=―少，

XX

當(dāng)Ovxve時(shí)，/(.r)>0,當(dāng)時(shí)，/(.r)<0,

所以f(x)在(0,c)遞增，在(e,+8)上遞減，

所以排除D,

故選：A

5.己知函數(shù)f(%)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的xeR,有/(x)+r(x)>0,則()

A.^(1)>/(0)B.^(1)</(0)

C.//(])</(_])D./川)=/㈠)

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(?=/(x)e，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可比較大小.

【詳解】令g(x)=/(x)e',有<3=[外力+"”上>0,

可得困數(shù)g(x)在K上單調(diào)遞增，有g(shù)(l)>g(。)，

得力(1)>八0),又有g(shù)(l)>g(一1),

有￥⑴有e2f

故選：A

6.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，/(x)是“力的導(dǎo)函數(shù)，滿足:<f(x)+(l+l)r(x)>0,

且/⑴=9則不等式/(I)>K下的解集為()

Z41c十11

A.(-1,1)B.(^O,-1)U(1,-KO)C.(-oo,-l)D.(1，鈣)

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g*)=(e'+l)/(x)，利用導(dǎo)數(shù)求得g(”的單調(diào)性，由此求得不等式

〃幻>或t的解集?

2(/+1)

【詳解】令g(x)=(，+i)/a),則g'*)=，/(x)+e+i)r(x)>o,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，不等式/(X)>2(7+1)可化為("+1)fM>寸，

而/⑴=g,貝ljg(l)=(e+l)〃l)=^l,即g(x)>g(l),

所以x>l,即不等式解集為(1,+00).

故選：D

二、多選題

7.已知定義在R上的函數(shù).f(x),其導(dǎo)函數(shù)尸("的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確

的是()

A.仆)>/'(e)>/'(")

B.函數(shù)f(x)在句上遞增,在也詞上遞減

C.函數(shù)/(力的極值點(diǎn)為Je

D.函數(shù)“X)的極大值為了傳)

【答案】ABD

【解析】對(duì)A,B由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可判斷〃口，/(力，/(c)的大小以及/(.r)

的單調(diào)性，對(duì)C,D由極值的定義即可判斷.

【詳解】解：由題圖知可，當(dāng)X?YO,C)時(shí)，制勾>0,

當(dāng)xw(c,e)時(shí)，r(x)<0,當(dāng)x?e,+oo)時(shí),>0,

所以“X)在(f?上遞增，

在(c,e)上遞減，在伍”)上遞增，

對(duì)A,/(J)>/(e),故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,函數(shù)〃力)在可上遞增,在He］上遞增,在［c,d］上遞減,故B錯(cuò)誤;

對(duì)C,函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)為c,0故c正確；

對(duì)D,函數(shù)/(力的極大值為/(c),故D錯(cuò)誤.

故選：ABD.

8.已知奇函數(shù)/(x),xeR,且/(1)=/(兀一x),當(dāng)kw仇?時(shí)，/'(x)cosx+/(x)sinx>0,

當(dāng)x-時(shí)，△2-2,下列說(shuō)法正確的是()

2cosx

A./(x)是周期為2兀的函數(shù)

B.犯是最小正周期為2兀的函數(shù)

COSX

C.以立關(guān)于但,()］中心對(duì)稱

cosx>

D.直線尸米與叢。若有3個(gè)交點(diǎn)，則

cosxI3乃5萬(wàn)」［_5乃3;zJ

【答案】AC

【分析】根據(jù)奇函數(shù)xeR,且/")=/(兀-力，可確定函數(shù)f(x)的周期,即可判

斷A；設(shè)*(x)=綏確定函數(shù)g(?的奇偶性與對(duì)稱性即可判斷函數(shù)B,C；根據(jù)

「Q

r(x)cosx+/(x)sinx>0可判斷函數(shù)g(x)在xc0,-上的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)稱性與周募性即

可得函數(shù)g(x)的大致圖象，根據(jù)直線，=心與左。若有3個(gè)交點(diǎn)，列不等式即可求女的取

COSX

值范圍，即可判斷D.

【詳解】解：因?yàn)?。)=/(兀一"，所以“X)的圖象關(guān)于對(duì)稱，乂因?yàn)椤癤)為奇函

數(shù)，所以/(力=一/(一切，貝1」/(兀+司=/(一切=一/(力，

則“2兀+x)=—〃x+兀)=〃x),故/(x)是周期為2兀的函數(shù)，故A正確；

設(shè)g(x)="U,其定義域?yàn)?g+2E,g+2E，&wZ,則

COSA-I2L)

g(H+g(…)二旦駕八尸)止)+2^_=0,所以g(x)關(guān)于］5，。］中心對(duì)稱，即

COSXCOS(兀-x)COSX-COSX\2)

坦關(guān)于(￡，o］中心對(duì)稱，故C正確;

cosx12/

又g(―)=d(3)=-4?=七(X)，所以g(x)為上的奇函數(shù)，結(jié)合g(x)+g(兀一力二0可

得一g(-x)+g(兀-x)=0，艮Pg(_x)=g(兀_工)

故忠是周期為兀的函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

COSX

當(dāng)xjo,"所以短(X)二.(x)cosx：/(x)sinx>0,故g(x)在x上單調(diào)遞增，由

L2)cosxL2)

于g(x)關(guān)于與。)中心對(duì)稱，所以g(“在內(nèi)仁"上單調(diào)遞增，

且當(dāng)Kfg時(shí)，&-2,又函數(shù)g(x)的周期為兀，則可得g(x)大致圖象如下：

zcos.X

故選：AC.

三、填空題

9.若函數(shù)/(x)=lnx-q在U,e］上的最小值為：，則實(shí)數(shù)。的值為

【答案】-G.

【詳解】試題分析：貨，(1)當(dāng)2o時(shí)，函數(shù)戶E在［L。］上為增函數(shù)，

XXX

■

最小值為門M二=：，則q=■1，矛盾舍去；(2)當(dāng)q,：0時(shí)，/x)〉0,則xe(-〃,+co),

/■

此時(shí),(x)為增函數(shù)；力<0,則xc(o,—4),此時(shí)函數(shù),(X)為減函數(shù).當(dāng)04-0工1，

即一1三a＜0時(shí)，則函數(shù),I門在［l，e］為增函數(shù)，所以.八」的最小值為=3則

矛盾舍去；當(dāng)1＜一。冬,，即-，&。＜一1時(shí)，則函數(shù)fix）在為減函數(shù)，

在l-ae）為增函數(shù)，則/（xl的最小值為4-G=lnl-al7=j解得：a=$滿足

■

條件；當(dāng)一即時(shí)，則函數(shù)fW在［1.4為減函數(shù)，則戶田的最小值為

t=j——=—,解得：cz=—?矛盾舍去.綜上，。=.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用；2.分類討論的思想與方法.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，屬于中檔題.若求函數(shù)的最小值，必

然找函數(shù)的增減性，屬于需要求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因?yàn)閷?dǎo)數(shù)中含有參數(shù)。，則對(duì)。進(jìn)行分類討

論.另外在求解過(guò)程中，需要注意求出的。值是否滿足前提，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

10./（A）=-1V3+1X2+2^,若/（x）在住,+8）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則〃的取值范圍是

（1、

【答案】-丁+8

【分析】分析可知，3xe■|，+8），使得4＞3（/7）,求出函數(shù)y=-X）在停+00上

的值域，可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)?（幻=一:/+1/+2?，則/（6=一￡一不+幼，

有已知條件可得:3xeR,+x］,使得/料＞0,即空;（丁7）,

當(dāng)T（…＞巡）4=$所以a＞］.

（1）

故答案為：一汗，+8.

I97

11.己知函數(shù)“X）的定義域?yàn)椋?1.5］,其部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)情況如表：

X-10245

“X)312.513

“X）的導(dǎo)函數(shù)r（x）的圖象如圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論:

①f(X)在區(qū)間［-1,0］上單調(diào)遞增;

②/(“有2個(gè)極大值點(diǎn)；

③/("的值域?yàn)椋?,3］；

④如果代上,5］時(shí)，/(x)的最小值是1,那么，的最大值為4.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】③④

【分析】畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合作出判斷.

【詳解】根據(jù)函數(shù)/("的導(dǎo)函數(shù)/'(X)的圖象與表格，整理出函數(shù)/(x)的大致圖象，如圖

所示.

_±n_Lu

-1\O245X

對(duì)于①，/(“在區(qū)間［-1，。］上單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，/(可有1個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，根據(jù)函數(shù)/(力的極值和端點(diǎn)值可知，/("的值域?yàn)椋?,3］,故③正確；

對(duì)F④，如果工目/,5］時(shí)，/("的最小值是1,那么/的最大值為4,故④正確.

綜上所述，所有正確結(jié)論的序號(hào)是③④.

故答案為：③④

14

12.已知曲線C：—+—=1,點(diǎn)尸是曲線。上的一點(diǎn)，則點(diǎn)。到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值

是.

【答案】3

【分析】設(shè)點(diǎn)P*o,%），得出>02=苧7，從而得出點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=

結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值即可.

14

【詳解】設(shè)點(diǎn)P（x。,%）,則有不+下=1,

X。）0

所以為2=答'E〉D

點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=&+%2=

設(shè)f=/2，=(r>l),

/-1

4(7-1)-4/(/+1)(/-3)

則/'?)=1+

(-1)2(一)2

在（1,3）上,f'QXO,在（3,+8）卜..尸⑺>0,

4/

所以削,口在”3時(shí)有最小值/⑶=9,

所以d=%的最小值為?=3.

故答案為：3

四、解答題

13.已知函數(shù)/"）=工111工一4[2一]）+4.

⑴若/（x）單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

（2）若/。）有兩個(gè)極值點(diǎn)看,看且%>3%,證明：c"）x；￡>3上

【答案】（1）].+8]

⑵證明見解析.

【分析】（1）由題知生乎42a在（0,y）恒成立，進(jìn)而雙幻=如—a>0）,求解最大值即

可得答案;

（2）由題知Ovav：且毛>3$>0,進(jìn)而將所證明問題轉(zhuǎn)化為證明

11―Inx=lax.-23Inx.-Inx,,

21nx1+31nx,>-^ln3-10,再根據(jù)〈'',2。=—!——=■,得

-2[lnx2=2ax2-2x1-x2

21n再+31n.t2=3-（2?五+3）-10,再令"五，則進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明不等式

A-1斗&I3J

4

—（2/+3）>-ln3,再構(gòu)造函數(shù)力（。=叱（2，+3）,求最值即可證明.

/-I2/-II3J

【詳解】（1）解：由題知函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8），r（A）=lnx-2oi-+2,

因?yàn)椤握{(diào)遞減,

所以/'(x)<0在(0,y)恒成立，即lnx-2ax+2Ko在(0,+。)恒成立，

所以，皿以K2〃在(0,+8)恒成立，

X

令g(x)=ln：+2(x>o),則g(x)=,

所以，當(dāng)0<xv，時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)％>,時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

ec

所以，當(dāng)X=g時(shí)，g(x)取得極大值gg)=e,也是最大值.

r\

所以2a?e,解得即。的取值范圍為1+8.

2L2，

(2)解：由(1)知/'(x)=lnx-2ot+2,

因?yàn)?(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)與，天，

所以，/'(])=111工-20￥+2有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)不電,

所以，結(jié)合(1)知，+

另一方面，當(dāng)時(shí)，y=lnx與y=2ax-2的圖象至多只有一個(gè)交點(diǎn),

e

所以，0<4<弓且犬2>3內(nèi)>(),

要證e%%:>3?，只需證21nxi+31n.r2>yln3-10,

Inx}-2時(shí)+2=0/In芭=2叫_2則2a如百一加勺

由，,j、:=

Inx=2ax—2'、玉一々

lnx2-2ax2+2=022

所以，21nxl+3Inx,=2。（2$+3x>）-10=~（2x1+3x2）-10

王一看

In

上_(2?五+3)-10,

令'=｝，貝

3

所以，要證21n$+31nx2>，ln3-10,只需證詈⑵+3)>￡ln3.

3

In/2r-51nr--+l

令h(t)=凈心,可周，則他）=

(1)2

353(2r-3)(r-l)

令〃⑺=2-51n.；+l,貝IJ/Q)=2、+*>0,

所以，“⑴在上單調(diào)遞增，H（/）<?（11）=|2+51n3-8<0,

33

所以，"⑺<0在［￡（0《I）成立，即硝）在飛（04）上單調(diào)遞減,

3

所以低In3,gp—(2r+3)>—ln3.

r-12

所以，21nx+31nw>，ln3-10成立,

所以，3°苦\；>33成立，原不等式成立.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合已知條件，將問題轉(zhuǎn)化為證明

罟⑵+3）吟2進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即可.

14.已知awR,設(shè)函數(shù)〃x)=aln(x+a)+lnx.

（1）討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性;

（2）若/（》）《5*+1115-1恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）0<a<l.

【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論〃的范圍確定導(dǎo)數(shù)正負(fù)可得出單調(diào)性；

（2）根據(jù)/_l>x可將不等式等價(jià)為aln（x+a）—/r+inaK0,構(gòu)造函數(shù)

/?（x）=aln（x+a）—/x+lna,求出導(dǎo)數(shù)，當(dāng)。之1時(shí)，，易得。=1；當(dāng)0va<l時(shí)，，得出函數(shù)單

調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為Ina-/一恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可出.

，/、a1（a+\）x+a

【詳解】解：（1）/W=--+-=-z..X>（）且X>-〃，

x+axx（x+a）

@a>0,>0,/(x)單調(diào)遞增：

②於一1,/。)<0,/("單調(diào)遞減：

(3)—1<e?<0,-------->—a>0,

a,一時(shí)，r(M<。，/(X)單調(diào)遞減；

xe(一麻,+8)時(shí)，/^)>0,/("單調(diào)遞增.

(2)/(x)=^ln(x+d)+lnx<eHX+ln--1,

即aln(x+4)+lnx?e"'+lnx-lna-l,a>0,即aln(x+a)+lnaWe"'-1,

令g(x)="-xT(x>。)，則g'(x)="-l>0,

???g(力在(0,y)單調(diào)遞增，.?.g(x)>g(0)=0,即"一”一1>0,即

Zx-l>?2x?則原不等式等價(jià)'為aIn(x+a)+Ina?a-x,

即?ln(x+?)-tz2.v4-ln?<0,

令Mx)=a】n(x+4)-a2x-lna,

md\a2~Q~x+ci—a'

則h(x)=---------a'=-----------------，

x+ax+a

令"(x)=0,可得x=!zC,

a

當(dāng)cdl時(shí)，〃'(力40,則力(6在(0,+e)單調(diào)遞減，

則只需滿足〃(0)=a1na+lnaW。，.?.InaWO,解得0<aW1,=1：

/.2\/?2\

當(dāng)0<a<l時(shí)，可得/心)在0,二^-單調(diào)遞增，在—,+<?單調(diào)遞減，

IaJIaJ

則〃(x)max="=。1?1工一。(1一/)+111440,整理可得］n〃一/一白《。，

^(p(a)=\na-a2-a,l/lij(pr(a)=--2a-l=-1-2t/--,

aa

則可得。(。)在((用單調(diào)遞增，在&)單調(diào)遞減，

則WGmax二夕9=一52-=<(),故。<"1時(shí),，7(X)W0恒成立,

I，/4

綜上，Ova41.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造合適的

函數(shù)，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題.

15.已知函數(shù)/(%)=￡2.

.1

⑴討論的單調(diào)性；

(2)設(shè)〃是兩個(gè)不相等的正數(shù)，月"+ln/?=〃+lna,證明：a+b+\nab>2.

【答案】⑴八力在(e,0),(0,1)上單調(diào)遞減；在(1,y。)上單調(diào)遞增.

⑵證明見解析

【分析】(1)先求函數(shù)的定義域.，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0,解出x,然后在定義域范圍內(nèi)

分析即可.

(2)利用分析法證明，變形要證明的式子，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.

【詳解】(1)/(%)=%的定義域?yàn)?y,o)u(o,*0),

令r(6=o,得：x=i,

當(dāng)4變化時(shí)廣(X),/(6的關(guān)系如下表:

XS，o)0(0,1)1(1,+00)

/'("—無(wú)意義一0+

小)無(wú)意義、

“X)在(—,0),(0,1)上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

(2)證明：要證a+Z?+lrG〃>2,

只需證：(t7+lnZ?)+(Z?+ln：7)>2

根據(jù)a+ln/?=Z?+lna,只需證：b+Inf；>1

不妨設(shè)a<b,由a+ln/2=h+lna得：a-\na=b-\nb^

兩邊取指數(shù)，e“TM=ein「化簡(jiǎn)得：J=上

ab

pve.pv?

令：g(x)=一,則g(a)=g(〃)，g(x)=-------=y(x)，

XX

根據(jù)(l)得g(〈在(Y0,0),(0,1)上單調(diào)遞減;

在(1.y)上單調(diào)遞增(如下圖所示)，

由于g(X)在(0,1)上單調(diào)遞減,在于+00)上單調(diào)遞增,

要使g(a)=g(b)且一"

則必有0va<l*>l,即0va<l<6

由Ovavlvb得:b>\y\-\na>\.

要證。+Inc,>1,只需證：b>i-\na,

由于g(x)在(1,+Q0)上單調(diào)遞增，要證:b>\-\na,

只需證：g(b)>g(l-lna),

又g(a)=g(b),只需證:g(a)>g(l-lna),

e

只需證：。"、/嶗_；,

—>-------=--------

aI-ln?1-lna

只需證：e"(l-lna)>e,

只需證：匕也>[,

ee

只需證：匕也-4>0,

即證-------e-a>0,

e

令e(x)=1hlV-e"v,(O<x<l),^(l)=O,(j?(fl)=1,

只需證：>(x)>O,(O<x<l),

，/、1T11ex-av

(P(x)=---+e-=----+—=-------，

exexeexe

令人(x)=e"-ex,

Ml)=O,"(x)=eX-evO,(Ovxvl)M(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以人(力>〃(1)=0,

所以d(x)=—^Z^<0

ex?e

所以8(力在(0,1)上單調(diào)遞減，所以8(x)>0⑴=0

所以夕(〃)>0

所以：a+b+\nab>2.

【點(diǎn)睛】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合簡(jiǎn)答題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，

難度相當(dāng)大，主要考向有以下幾點(diǎn)：

1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(含參數(shù))或判斷函數(shù)(含參數(shù))的單調(diào)性；

2、求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，或知道切線方程求參數(shù)；

3、求函數(shù)的極值(最值)；

4、求函數(shù)的零點(diǎn)(零點(diǎn)個(gè)數(shù))，或知道零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍；

5、證明不等式；

解決方法：對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)解決，

在證明不等式或求參數(shù)取值范圍時(shí)，通常會(huì)對(duì)函數(shù)進(jìn)行參變分離，構(gòu)造新函數(shù),

對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)再結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性等解決.

16.求函數(shù)—彳+1的極小值.

【答案】:

O

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合極值的定義運(yùn)算求值.

【詳解】./y=4.r-l,

當(dāng)時(shí)，＜0,當(dāng)時(shí)，y'＞。，

44

則函數(shù)），=2/_1+1在上單調(diào)遞減，在4,+8）上單調(diào)遞增,

17

當(dāng)x=T時(shí)，函數(shù)y=2『—X+1取到極小值y=

48

提升題型訓(xùn)練

一、單選題

1.若函數(shù)），=/（幻的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則該函數(shù)圖象大致是（）

［分析】直接根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像判斷原函數(shù)的單調(diào)性即可.

【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖像可知，原函數(shù)的單調(diào)性為先單增后單減再單增，符合的只有A選項(xiàng).

故選：A

2.函數(shù)/*)=&'-gV-x的極小值為()

113

A.0B.-------C.e—D.不存在

2e2

【答案】A

【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出極小值.

【詳解】/(x)=xe'-^-x2-x,:.f\x)=ex+xex-x-\=(x+})^ex-\),

令沖)>0,解得X<-1或x>o；令r(x)<0,解得TvxvO,

\/(X)在(fT，(O,吹)單調(diào)遞增,在(T，。)單調(diào)遞減，

\/(X)在x=0處取得極小值為0.

故選：A.

3.若毛，仁

則"不<々"是"/sin百>x}sin々"成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性，直接利用

充要條件的定義進(jìn)行判斷

sinxr,、xcosx-sinx

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/(%)=-------,則尸(x)=--------；——

X

令M%)=xcosx-sin."c0.—,則"'(x)=-Ksinx<。,

I2J

故〃(％)=xcosx-sinx,x“。，為減函數(shù)，且〃(0)=0,

3口/、xcosx-sinx,、

故/(x)=-----------<0’

71

故〃耳=手在0,上單調(diào)遞減.

,,...,sinx.sinx..

rL2

故由$</可得--->----,即xsinX1>Nsinx2,

x\X22

反之故由七sin%>xNin七可得把心>也乜，根據(jù)減函數(shù)可得芭<七.

X1x2

故"菁<七"是"Wsin*>/肉11占”成立的充要條件.

故選：C

4.在半徑為R的球內(nèi)放置一圓柱體，使圓柱體的兩底面圓周上所有的點(diǎn)都在球面上，當(dāng)圓

柱體的體積鼓大時(shí)，其高為()

A.巫R(shí)B.在RC.—RD.好R

3322

【答案】A

【分析】由題意畫出圖形，利用勾股定理可得匯+，=R2,得出圓柱的體積公式，換元后

4

求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出體積的最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的高即可.

【詳解】設(shè)圓柱底面圓半徑為小高為人，如圖，

則h=小片-戶,

圓柱體積為V=7vr'-h=R2—r2,

設(shè)《R〉一產(chǎn)=[,則，=*_產(chǎn)，

所以V=2k(W"),

R

故V'=-6/+2冗R2=_6T(產(chǎn)一-),

3

RRR

當(dāng)產(chǎn)=一時(shí)，v，=o,當(dāng)/>一時(shí)，r<o,當(dāng)/〈一時(shí)，丫，>0,

333

所以當(dāng)『=與時(shí)，圓柱體積取得最大值，此時(shí)h=2f=2得羊R

故選：A

③x=2是極值點(diǎn)；④)/⑴在(-2,2)上先減后增.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象的正負(fù)性得到原函數(shù)的增減性，再依次判斷即可

【詳解】解：對(duì)于①,由圖可得當(dāng)xe(-5,-3)時(shí)，/'(6>0,所以解I在(-5,-3)遞增,故

錯(cuò)誤；

對(duì)于②，由圖可得當(dāng)天?0,4)時(shí)，f(x)>0,/(幻單調(diào)遞增：xw(4,y)時(shí)，((X)<0,f(x)

單調(diào)遞減，所以尤=4是函數(shù)/*)的極大值點(diǎn)，故正確；

對(duì)于③，當(dāng)xe(0,2)時(shí)，r(x)>0,〃幻單調(diào)遞增；當(dāng)xw(2,4)時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞

增，所以x=2不是函數(shù)/（x）的極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤;

對(duì)于④，在區(qū)間（-2,2）內(nèi)導(dǎo)數(shù)r（”先為負(fù)數(shù)后為正數(shù)，所以函數(shù)/*）先遞減后遞增，故正

確，

故選：C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=〃”的單調(diào)性與極值，進(jìn)而可得出函數(shù)的圖象.

【詳解】解：因?yàn)?所以f（x）=e=?x,

令g(x)=/(*)=。'一貝ijg(x)=e'—/,

令g〈_r)=e，-5=0,解得x=2一ln2,且x<2-ln2時(shí)，g(x)<0,x>2-ln2時(shí)，g(x)>0,

所以x<2—ln2時(shí)，/（力單調(diào)遞減，心>2-出2時(shí)，/&）單調(diào)遞增，且/（0）=1>0,

/(l)=e-^<0,/'(2)=0,

所以在(0,1)上存在陽(yáng)，使得/(%)=0,又/(2)=0,令.尸(x)=e，-]x=0,則有2個(gè)實(shí)

數(shù)根即2,

所以當(dāng)％"或x>2時(shí),盟鄉(xiāng)>0,當(dāng)為。<2時(shí)，/'（力<。，

所以函數(shù)3="力在（7>,大）和（2,+8）上是增函數(shù),在伍,2）上是減函數(shù),且〃0）=1>0,

/（2）=0,結(jié)合選項(xiàng)得出A選項(xiàng)符合函數(shù)/（工）=］一二』2的大致圖象.

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

與極值是解決本題的關(guān)鍵,難度中等.

二、多選題

7.已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列不等關(guān)系中不事俄的是()

..2,_3.zIn22

A.In2>—B.In3<-C.In?i>—D.---<—

eeeInn7t

【答案】AC

【分析】構(gòu)造函數(shù)，需借助導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解.

【詳解】^/(x)=lnx--U>0),則八L二.

exexe

當(dāng)xe(e,+oo)時(shí)，e-xv(),二/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xc(0,e)時(shí)，e-x>0,/'*)>(),.??/*)單調(diào)遞增；

「?當(dāng)工二e時(shí)，/(幻取最大值，/(A)_=/(e)=lne--=l-l=O.

e

??./*)的值域?yàn)?F，O],

/./(x)=lnx--<0,即InxE2,當(dāng)且僅當(dāng)X=e時(shí)，等號(hào)成立.

ee

則有l(wèi)n2<3,故A選項(xiàng)錯(cuò)；ln3<2,故B選項(xiàng)對(duì)；In”二故C選項(xiàng)錯(cuò)；

eee

人/、Mx,八、，/、1-lnx

令g(x)=—(x>0),g(x)=——,

XX

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，g'(x)<o,二以工)單調(diào)遞減；

/、/八InnIn421n2In2

由ev兀v4,則有g(shù)(兀)>g(4),即an——>—=,

兀442

由In兀>0,可得里<多，故D選項(xiàng)對(duì).

Initn

故選：AC.

8.己知函數(shù)/(x)=co“+cos2x,則下列說(shuō)法正確的有()

A,函數(shù)/(%)為偶函數(shù)B.函數(shù)/(4)的最小值為-2

C.函數(shù)/(X)的最大值為2D.函數(shù)/(x)在(0,2兀)上有兩個(gè)極值點(diǎn)

【答案】AC

【分析】根據(jù)奇偶性直接判斷A；結(jié)合〃工)=2(-胃—求解最值判斷BC；利用導(dǎo)數(shù),

結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解極值點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷D.

【詳解】解