山西省汾陽市汾陽中學(xué)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

山西省汾陽市汾陽中學(xué)2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側(cè)面都是相同的等腰三角形．研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長除以倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率．設(shè)胡夫金字塔的高為，假如對胡夫金字塔進行亮化，沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶，則需要燈帶的總長度約為A． B．C． D．2．如圖，已知三棱錐中，平面平面，記二面角的平面角為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（）A． B． C． D．3．若，則下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．4．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．5．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．36．在長方體中，，則直線與平面所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)z滿足i?z＝2+i，則z的共軛復(fù)數(shù)是（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i8．某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）A． B． C． D．9．三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足（且），若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù).設(shè)，若對任意不相等的正數(shù)，，恒有，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．12．已知集合，，則（）A． B．C．或 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則=___________，_____________________________14．若函數(shù)滿足：①是偶函數(shù)；②的圖象關(guān)于點對稱.則同時滿足①②的，的一組值可以分別是__________.15．在矩形中，，為的中點，將和分別沿，翻折，使點與重合于點.若，則三棱錐的外接球的表面積為_____.16．已知向量，且向量與的夾角為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分（滿分：分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示．組別頻數(shù)（1）已知此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；（2）在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案.（ⅰ）得分不低于的可以獲贈次隨機話費，得分低于的可以獲贈次隨機話費；（ⅱ）每次贈送的隨機話費和相應(yīng)的概率如下表.贈送的隨機話費/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，若，則，，.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）當時，證明：對任意恒成立.19．（12分）已知函數(shù)（1）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若且A為銳角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面積.20．（12分）如圖，正方形是某城市的一個區(qū)域的示意圖，陰影部分為街道，各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等，處為紅綠燈路口，紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下：先直行綠燈30秒，再左轉(zhuǎn)綠燈30秒，然后是紅燈1分鐘，右轉(zhuǎn)不受紅綠燈影響，這樣獨立的循環(huán)運行.小明上學(xué)需沿街道從處騎行到處（不考慮處的紅綠燈），出發(fā)時的兩條路線（）等可能選擇，且總是走最近路線.（1）請問小明上學(xué)的路線有多少種不同可能？（2）在保證通過紅綠燈路口用時最短的前提下，小明優(yōu)先直行，求小明騎行途中恰好經(jīng)過處，且全程不等紅綠燈的概率；（3）請你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值，為小明設(shè)計一條最佳的上學(xué)路線，且應(yīng)盡量避開哪條路線？21．（12分）設(shè)點，動圓經(jīng)過點且和直線相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線交于、兩點，且直線與軸交于點，設(shè)，，求證：為定值.22．（10分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（2）設(shè)點在上，點在上，求的最小值以及此時的直角坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè)胡夫金字塔的底面邊長為，由題可得，所以，該金字塔的側(cè)棱長為，所以需要燈帶的總長度約為，故選D．2、A【解析】

作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因為平面平面,平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因為,故.故,當且僅當重合時取等號.又直線與平面所成角為,且為直線與平面內(nèi)的直線所成角,故,當且僅當平面時取等號.故.故選：A【點睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系,同時運用線面角的最小性進行判定.屬于中檔題.3、B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.【詳解】選項A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項C：由于，所以，所以，所以成立；選項D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.【點睛】本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達式，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)區(qū)間，由此確定正確選項.【詳解】因為，由單調(diào)遞增，則（），解得（），當時，D選項正確.C選項是遞減區(qū)間，A，B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D【點睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識.5、D【解析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.6、C【解析】

在長方體中，得與平面交于，過做于，可證平面，可得為所求解的角，解，即可求出結(jié)論.【詳解】在長方體中，平面即為平面，過做于，平面，平面，平面，為與平面所成角，在，，直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點睛】本題考查直線與平面所成的角，定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”，三步驟缺一不可，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

兩邊同乘-i，化簡即可得出答案．【詳解】i?z＝2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i，選D.【點睛】的共軛復(fù)數(shù)為8、C【解析】由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2，高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2，高為2的圓錐的一半，所以，半圓柱的體積為，上部半圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故應(yīng)選．9、B【解析】

設(shè)，，，根據(jù)向量線性運算法則可表示出和；分別求解出和，，根據(jù)向量夾角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.【詳解】設(shè)棱長為1，，，由題意得：，，，又即異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項：【點睛】本題考查異面直線所成角的求解，關(guān)鍵是能夠通過向量的線性運算、數(shù)量積運算將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角的求解問題.10、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式，進而求出，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有，①，②①②得，又因為，所以，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì)，要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法，屬于中檔題.11、D【解析】

求解的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對任意不相等的正數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域為，，當時，，故在單調(diào)遞減；不妨設(shè)，而，知在單調(diào)遞減，從而對任意、，恒有，即，，，令，則，原不等式等價于在單調(diào)遞減，即，從而，因為，所以實數(shù)a的取值范圍是故選：D.【點睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.12、D【解析】

首先求出集合，再根據(jù)補集的定義計算可得；【詳解】解：∵，解得∴，∴.故選：D【點睛】本題考查補集的概念及運算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、?196?3【解析】

由二項式定理及二項式展開式通項得：，令x=1，則1+a0+a1+…+a7=（1+1）×（1-2）7=-2，所以a0+a1+…+a7=-3，得解．【詳解】由二項式(1?2x)7展開式的通項得，則，令x=1,則，所以a0+a1+…+a7=?3，故答案為：?196，?3.【點睛】本題考查二項式定理及其通項，屬于中等題.14、，【解析】

根據(jù)是偶函數(shù)和的圖象關(guān)于點對稱，即可求出滿足條件的和.【詳解】由是偶函數(shù)及，可取，則，由的圖象關(guān)于點對稱，得，，即，，可取.故，的一組值可以分別是，.故答案為：，.【點睛】本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】

計算外接圓的半徑，并假設(shè)外接球的半徑為R，可得球心在過外接圓圓心且垂直圓面的垂線上，然后根據(jù)面，即可得解.【詳解】由題意可知，，所以可得面，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，即，，設(shè)三棱錐外接球的半徑，因為外接球的球心為過底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點，則，所以外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐的外接球的應(yīng)用，屬于中檔題.16、1【解析】

根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解即可．【詳解】解：∵向量，且向量與的夾角為，∴||；所以：?（）2cos2﹣2＝1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表，利用公式計算出平均數(shù)的值，再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將、表示為，，利用題中所給數(shù)據(jù)，以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對稱性，求出對應(yīng)的概率；（2）根據(jù)題意，高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為，再結(jié)合得元、元的概率，分析得出話費的可能數(shù)據(jù)都有哪些，再利用公式求得對應(yīng)的概率，進而得出分布列，之后利用離散型隨機變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意可得，易知，，，；（2）根據(jù)題意，可得出隨機變量的可能取值有、、、元，，，，.所以，隨機變量的分布列如下表所示：所以，隨機變量的數(shù)學(xué)期望為.【點睛】本題考查概率的計算，涉及到平均數(shù)的求法、正態(tài)分布概率的計算以及離散型隨機變量分布列及其數(shù)學(xué)期望，在解題時要弄清楚隨機變量所滿足的分布列類型，結(jié)合相應(yīng)公式計算對應(yīng)事件的概率，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）（2）見解析【解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）要證對任意恒成立，即證對任意恒成立.設(shè)，，當時，，即可求得答案.【詳解】（1），，，函數(shù)在處的切線方程為.（2）要證對任意恒成立.即證對任意恒成立.設(shè)，，當時，，，令，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，，當時，對任意恒成立，即當時，對任意恒成立.【點睛】本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是掌握由導(dǎo)數(shù)求切線方程的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求證不等式恒成立的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于難題.19、（1）（2）【解析】

（1）利用降次公式、輔助角公式化簡解析式，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）先由求得，利用正弦定理得到，結(jié)合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面積.【詳解】（1）函數(shù)，，由，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為且為銳角，所以.由及正弦定理可得，又，由余弦定理可得，解得，.【點睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.20、（1）6種；（2）；（3）.【解析】

（1）從4條街中選擇2條橫街即可；（2）小明途中恰好經(jīng)過處，共有4條路線，即，，，，分別對4條路線進行分析計算概率；（3）分別對小明上學(xué)的6條路線進行分析求均值，均值越大的應(yīng)避免.【詳解】（1）路途中可以看成必須走過2條橫街和2條豎街，即從4條街中選擇2條橫街即可,所以路線總數(shù)為條.（2）小明途中恰好經(jīng)過處，共有4條路線：①當走時，全程不等紅綠燈的概率；②當走時，全程不等紅綠燈的概率；③當走時，全程不等紅綠燈的概率；④當走時，全程不等紅綠燈的概率.所以途中恰好經(jīng)過處,且全程不等信號燈的概率.（3）設(shè)以下第條的路線等信號燈的次數(shù)為變量，則①第一條：，則；②第二條：，則；③另外四條路線：；；，則綜上，小明上學(xué)的最佳路線為；應(yīng)盡量避開.【點睛】本題考查概率在實際生活中的綜合應(yīng)用問題，考查學(xué)生邏輯推理與運算能力，是一道有一定難度的題.21、（1）；（2）見解析．【解析】

（1）已知點軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，由此可得曲線的方程；（2）