2025屆甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)蘭州第一中學(xué)高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2025屆甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)蘭州第一中學(xué)高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,且的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),若實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.若θ是第二象限角且sinθ=,則=A. B. C. D.3.已知命題:R,;命題:R,,則下列命題中為真命題的是()A. B. C. D.4.若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.設(shè)為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則實(shí)數(shù)的值是()A.1 B.-1 C.0 D.26.執(zhí)行下面的程序框圖,若輸出的的值為63,則判斷框中可以填入的關(guān)于的判斷條件是()A. B. C. D.7.若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,則實(shí)數(shù)a為()A. B.2 C. D.8.已知直線過(guò)雙曲線C:的左焦點(diǎn)F,且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)A,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.9.已知,,,,則()A. B. C. D.10.運(yùn)行如圖程序,則輸出的S的值為()A.0 B.1 C.2018 D.201711.已知菱形的邊長(zhǎng)為2,,則()A.4 B.6 C. D.12.集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中第一題:“今有共買(mǎi)物,人出八,盈三錢(qián);人出七,不足四,問(wèn)人數(shù)物價(jià)各幾何?”借用我們現(xiàn)在的說(shuō)法可以表述為:有幾個(gè)人合買(mǎi)一件物品,每人出8元,則付完錢(qián)后還多3元;若每人出7元,則還差4元才夠付款.問(wèn)他們的人數(shù)和物品價(jià)格?答:一共有_____人;所合買(mǎi)的物品價(jià)格為_(kāi)______元.14.函數(shù)的最小正周期是_______________,單調(diào)遞增區(qū)間是__________.15.?dāng)?shù)學(xué)家狄里克雷對(duì)數(shù)論,數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn),是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù),稱(chēng)為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于有以下結(jié)論:①的值域?yàn)?②;③;④其中正確的結(jié)論是_______(寫(xiě)出所有正確的結(jié)論的序號(hào))16.已知邊長(zhǎng)為的菱形中,,現(xiàn)沿對(duì)角線折起,使得二面角為,此時(shí)點(diǎn),,,在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,,.過(guò)頂點(diǎn),的平面與棱,分別交于,兩點(diǎn).(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求證:四邊形是平行四邊形;(Ⅲ)若,試判斷二面角的大小能否為?說(shuō)明理由.18.(12分)已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,且.若點(diǎn)為的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的兩條切線,其中為切點(diǎn).(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過(guò)定點(diǎn),并求面積的最小值.19.(12分)已知.(1)若的解集為,求的值;(2)若對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線、的極坐標(biāo)方程;(2)在極坐標(biāo)系中,射線與曲線,分別交于、兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)),定點(diǎn),求的面積21.(12分)已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求的值;(2)若不等式恒成立,求正整數(shù)的最小值.22.(10分)購(gòu)買(mǎi)一輛某品牌新能源汽車(chē),在行駛?cè)旰?,政府將給予適當(dāng)金額的購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)擬購(gòu)買(mǎi)該品牌汽車(chē)的消費(fèi)者,就購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查,其樣本頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計(jì)擬購(gòu)買(mǎi)該品牌汽車(chē)的消費(fèi)群體對(duì)購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)將頻率視為概率,從擬購(gòu)買(mǎi)該品牌汽車(chē)的消費(fèi)群體中隨機(jī)抽取人,記對(duì)購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值高于萬(wàn)元的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)統(tǒng)計(jì)最近個(gè)月該品牌汽車(chē)的市場(chǎng)銷(xiāo)售量,得其頻數(shù)分布表如下:月份銷(xiāo)售量(萬(wàn)輛)試預(yù)計(jì)該品牌汽車(chē)在年月份的銷(xiāo)售量約為多少萬(wàn)輛?附:對(duì)于一組樣本數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)題意,由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)為偶函數(shù),又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,分析可得,解可得的取值范圍,即可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象,由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),即函數(shù)為偶函數(shù),由,得,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,得,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式,注意分析函數(shù)的奇偶性,屬于中等題.2、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.3、B【解析】

根據(jù),可知命題的真假,然后對(duì)取值,可得命題的真假,最后根據(jù)真值表,可得結(jié)果.【詳解】對(duì)命題:可知,所以R,故命題為假命題命題:取,可知所以R,故命題為真命題所以為真命題故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用,識(shí)記真值表,屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),由它是純虛數(shù),求得,從而確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】是純虛數(shù),則,,,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù),由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得,所以由復(fù)數(shù)定義可知,解得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,復(fù)數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)程序框圖,逐步執(zhí)行,直到的值為63,結(jié)束循環(huán),即可得出判斷條件.【詳解】執(zhí)行框圖如下:初始值:,第一步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第二步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第三步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第四步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第五步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第六步:,此時(shí)要輸出,結(jié)束循環(huán);故,判斷條件為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查完善程序框圖,只需逐步執(zhí)行框圖,結(jié)合輸出結(jié)果,即可確定判斷條件,屬于??碱}型.7、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由實(shí)部為求得值.【詳解】解:在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,,即.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.8、B【解析】

直線的傾斜角為,易得.設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E,可得中,,則,所以雙曲線C的離心率為.故選B.9、D【解析】

令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時(shí),令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.10、D【解析】

依次運(yùn)行程序框圖給出的程序可得第一次:,不滿足條件;第二次:,不滿足條件;第三次:,不滿足條件;第四次:,不滿足條件;第五次:,不滿足條件;第六次:,滿足條件,退出循環(huán).輸出1.選D.11、B【解析】

根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系,利用余弦定理和數(shù)量積公式,即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示,菱形形的邊長(zhǎng)為2,,∴,∴,∴,且,∴,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題..12、D【解析】

利用交集的定義直接計(jì)算即可.【詳解】,故,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,注意常見(jiàn)集合的符號(hào)表示,本題屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、753【解析】

根據(jù)物品價(jià)格不變,可設(shè)共有x人,列出方程求解即可【詳解】設(shè)共有人,由題意知,解得,可知商品價(jià)格為53元.即共有7人,商品價(jià)格為53元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)文化及一元一次方程的應(yīng)用,屬于中檔題.14、,,【解析】

化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù),最小正周期,令,,可得,,所以單調(diào)遞增區(qū)間是,,.故答案為:,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用,余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.15、②【解析】

根據(jù)新定義,結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②③,由定義求得比小的有理數(shù)個(gè)數(shù),即可確定④.【詳解】對(duì)于①,由定義可知,當(dāng)為有理數(shù)時(shí);當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí),則值域?yàn)?,所以①錯(cuò)誤;對(duì)于②,因?yàn)橛欣頂?shù)的相反數(shù)還是有理數(shù),無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù),所以滿足,所以②正確;對(duì)于③,因?yàn)椋?dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí),可以是有理數(shù),也可以是無(wú)理數(shù),所以③錯(cuò)誤;對(duì)于④,由定義可知,所以④錯(cuò)誤;綜上可知,正確的為②.故答案為:②.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義函數(shù)的綜合應(yīng)用,正確理解題意是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵,屬于中檔題.16、【解析】

分別取,的中點(diǎn),,連接,由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知球心必在的延長(zhǎng)線上,設(shè)球心為,半徑為,,由勾股定理可得、,再根據(jù)球的面積公式計(jì)算可得;【詳解】如圖,分別取,的中點(diǎn),,連接,則易得,,,,由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知球心必在的延長(zhǎng)線上,設(shè)球心為,半徑為,,可得,解得,.故該球的表面積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球的計(jì)算,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)不能為.【解析】

(1)由平面平面,可得平面,從而證明;(2)由平面與平面沒(méi)有交點(diǎn),可得與不相交,又與共面,所以,同理可證,得證;(3)作交于點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,根據(jù)三垂線定理,確定二面角的平面角,若,,由大角對(duì)大邊知,兩者矛盾,故二面角的大小不能為.【詳解】(1)由平面平面,平面平面,且,所以平面,又平面,所以;(2)依題意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面與平面平行,即兩個(gè)平面沒(méi)有交點(diǎn),則與不相交,又與共面,所以,同理可證,所以四邊形是平行四邊形;(3)不能.如圖,作交于點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,由,,,所以平面,則平面,又,根據(jù)三垂線定理,得到,所以是二面角的平面角,若,則是等腰直角三角形,,又,所以中,由大角對(duì)大邊知,所以,這與上面相矛盾,所以二面角的大小不能為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問(wèn)題,和二面角的求解問(wèn)題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力;解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,屬中檔題.18、(1)(2)見(jiàn)解析,最小值為4【解析】

(1)根據(jù)焦點(diǎn)到直線的距離列方程,求得的值,由此求得拋物線的方程.(2)設(shè)出的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,由此判斷出直線恒過(guò)拋物線焦點(diǎn).求得三角形面積的表達(dá)式,進(jìn)而求得面積的最小值.【詳解】(1)依題意,解得(負(fù)根舍去)∴拋物線的方程為(2)設(shè)點(diǎn),由,即,得∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,即∵,∴∵點(diǎn)在切線上,①,同理,②綜合①、②得,點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.即直線恒過(guò)拋物線焦點(diǎn)當(dāng)時(shí),此時(shí),可知:當(dāng),此時(shí)直線直線的斜率為,得于是,而把直線代入中消去得,即:當(dāng)時(shí),最小,且最小值為4【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式,考查拋物線方程的求法,考查拋物線的切線方程的求法,考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,考查拋物線中三角形面積的最值的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于難題.19、(1);(2)【解析】

(1)利用兩邊平方法解含有絕對(duì)值的不等式,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的值;(2)利用絕對(duì)值不等式求出的最小值,把不等式化為只含有的不等式,求出不等式解集即可.【詳解】(1)不等式,即兩邊平方整理得由題意知和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根即,解得(2)因?yàn)樗砸共坏仁胶愠闪?,只需?dāng)時(shí),,解得,即;當(dāng)時(shí),,解得,即;綜上所述,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了含有絕對(duì)值的不等式解法與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了分類(lèi)討論思想,是中檔題.20、(1),;(2).【解析】

(1)先把參數(shù)方程化成普通方程,再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程;(2)先利用極坐標(biāo)求出弦長(zhǎng),再求高,最后求的面積.【詳解】(1)曲線的極坐標(biāo)方程為:,因?yàn)榍€的普通方程為:,曲線的極坐標(biāo)方程為;(2)由(1)得:點(diǎn)的極坐標(biāo)為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,點(diǎn)到射線的距離為的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化,同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問(wèn)題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.21、(1)e;(2)2.【解析】

(1)根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì),得出,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出曲線在點(diǎn)處的切線為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性,即可得出的值;(2)設(shè),求導(dǎo),求出的單調(diào)性,從而得出最大值為,結(jié)合恒成立的性質(zhì),得出正整數(shù)的最小值.【詳解】(1)根據(jù)題意,與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),所

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