上海市華東師大三附中2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析_第1頁(yè)
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上海市華東師大三附中2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,正三棱柱各條棱的長(zhǎng)度均相等,為的中點(diǎn),分別是線段和線段的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),且滿足,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),下列結(jié)論中不正確的是A.在內(nèi)總存在與平面平行的線段B.平面平面C.三棱錐的體積為定值D.可能為直角三角形2.如圖,網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成,若粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.3.已知復(fù)數(shù),滿足,則()A.1 B. C. D.54.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則方程的最小實(shí)根的值為()A. B. C. D.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.46.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為()A. B. C. D.7.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形,則該幾何體的各個(gè)面中,最大面的面積為()A.2 B.5 C. D.8.在中,已知,,,為線段上的一點(diǎn),且,則的最小值為()A. B. C. D.9.若直線與曲線相切,則()A.3 B. C.2 D.10.若,則的虛部是()A. B. C. D.11.3本不同的語(yǔ)文書(shū),2本不同的數(shù)學(xué)書(shū),從中任意取出2本,取出的書(shū)恰好都是數(shù)學(xué)書(shū)的概率是()A. B. C. D.12.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.60二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在正方體中,已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),則下列四個(gè)命題中:①三棱錐的體積不變;②;③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),二面角的余弦值為;④若正方體的棱長(zhǎng)為2,則的最小值為;其中說(shuō)法正確的是____________(寫(xiě)出所有說(shuō)法正確的編號(hào))14.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則該二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)等于_____.15.若函數(shù)與函數(shù),在公共點(diǎn)處有共同的切線,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.16.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年級(jí)的人數(shù)依次成等差數(shù)列,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人,那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均為正三角形,E為AB的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.18.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;(2),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),解不等式;(Ⅱ)若的最小值為1,求的最小值.20.(12分)已知矩陣的一個(gè)特征值為3,求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.21.(12分)貧困人口全面脫貧是全面建成小康社會(huì)的標(biāo)志性指標(biāo).黨的十九屆四中全會(huì)提出“堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),建立解決相對(duì)貧困的長(zhǎng)效機(jī)制”對(duì)當(dāng)前和下一個(gè)階段的扶貧工作進(jìn)行了前瞻性的部署,即2020年要通過(guò)精準(zhǔn)扶貧全面消除絕對(duì)貧困,實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會(huì)的奮斗目標(biāo).為了響應(yīng)黨的號(hào)召,某市對(duì)口某貧困鄉(xiāng)鎮(zhèn)開(kāi)展扶貧工作.對(duì)某種農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)銷售進(jìn)行指導(dǎo),經(jīng)調(diào)查知,在一個(gè)銷售季度內(nèi),每售出一噸該產(chǎn)品獲利5萬(wàn)元,未售出的商品,每噸虧損2萬(wàn)元.經(jīng)統(tǒng)計(jì),兩市場(chǎng)以往100個(gè)銷售周期該產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量的頻數(shù)分布如下表:市場(chǎng):需求量(噸)90100110頻數(shù)205030市場(chǎng):需求量(噸)90100110頻數(shù)106030把市場(chǎng)需求量的頻率視為需求量的概率,設(shè)該廠在下個(gè)銷售周期內(nèi)生產(chǎn)噸該產(chǎn)品,在、兩市場(chǎng)同時(shí)銷售,以(單位:噸)表示下一個(gè)銷售周期兩市場(chǎng)的需求量,(單位:萬(wàn)元)表示下一個(gè)銷售周期兩市場(chǎng)的銷售總利潤(rùn).(1)求的概率;(2)以銷售利潤(rùn)的期望為決策依據(jù),確定下個(gè)銷售周期內(nèi)生產(chǎn)量噸還是噸?并說(shuō)明理由.22.(10分)已知直線與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn),與圓相交于兩點(diǎn).(I)求與的關(guān)系式;(II)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.若當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,求橢圓的離心率.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交,則交線與平面ABC平行;B項(xiàng)利用線面垂直的判定定理;C項(xiàng)三棱錐與三棱錐體積相等,三棱錐的底面積是定值,高也是定值,則體積是定值;D項(xiàng)用反證法說(shuō)明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項(xiàng),用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確;B項(xiàng),如圖:當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿足BM=CN,則線段MN必過(guò)正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正確;C項(xiàng),當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確;D項(xiàng),若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時(shí)DM,DN的長(zhǎng)大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯(cuò)誤.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力,意在考查對(duì)線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,是中檔題.2、C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體,結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體,其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3、A【解析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出,求出的模即可.【詳解】解:,,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問(wèn)題,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值,然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的,通過(guò)計(jì)算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以,故當(dāng)時(shí),,所以,而,所以,又當(dāng)時(shí),的極大值為1,所以當(dāng)時(shí),的極大值為,設(shè)方程的最小實(shí)根為,,則,即,此時(shí)令,得,所以最小實(shí)根為411.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問(wèn)題,涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識(shí),本題有一定的難度及高度,是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.5、C【解析】試題分析:根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),令,得;當(dāng)時(shí),令,得,故輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為1.考點(diǎn):程序框圖.6、C【解析】

根據(jù)三視圖,可得該幾何體是一個(gè)三棱錐,并且平面SAC平面ABC,,過(guò)S作,連接BD,,再求得其它的棱長(zhǎng)比較下結(jié)論.【詳解】如圖所示:由三視圖得:該幾何體是一個(gè)三棱錐,且平面SAC平面ABC,,過(guò)S作,連接BD,則,所以,,,,該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖還原幾何體,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.7、D【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體,找到最大面,再求面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示,將其放在一個(gè)長(zhǎng)方體中,并記為三棱錐.,,,故最大面的面積為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時(shí),一般借助長(zhǎng)方體來(lái)實(shí)現(xiàn).8、A【解析】

在中,設(shè),,,結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可求,可得,再由已知條件求得,,,考慮建立以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中,設(shè),,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,則,所以,,解得,.以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則、、,為線段上的一點(diǎn),則存在實(shí)數(shù)使得,,設(shè),,則,,,,,消去得,,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因此,的最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題,綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是理解是一個(gè)單位向量,從而可用、表示,建立、與參數(shù)的關(guān)系,解決本題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于由,發(fā)現(xiàn)為定值,從而考慮利用基本不等式求解最小值,考查計(jì)算能力,屬于難題.9、A【解析】

設(shè)切點(diǎn)為,對(duì)求導(dǎo),得到,從而得到切線的斜率,結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)得切線方程,聯(lián)立方程組,求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為,∵,∴由①得,代入②得,則,,故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,直線方程的點(diǎn)斜式,屬于簡(jiǎn)單題目.10、D【解析】

通過(guò)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解復(fù)數(shù)為:的形式,即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知,所以的虛部是1.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算,復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

把5本書(shū)編號(hào),然后用列舉法列出所有基本事件.計(jì)數(shù)后可求得概率.【詳解】3本不同的語(yǔ)文書(shū)編號(hào)為,2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)編號(hào)為,從中任意取出2本,所有的可能為:共10個(gè),恰好都是數(shù)學(xué)書(shū)的只有一種,∴所求概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,解題方法是列舉法,用列舉法寫(xiě)出所有的基本事件,然后計(jì)數(shù)計(jì)算概率.12、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了頻率的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①②④【解析】

①∵,∴平面

,得出上任意一點(diǎn)到平面的距離相等,所以判斷命題①;②由已知得出點(diǎn)P在面上的射影在上,根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理,可判斷命題②;③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角系,如下圖所示,運(yùn)用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值,可判斷命題③;④過(guò)作平面交于點(diǎn),做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn),使得點(diǎn)在平面內(nèi),根據(jù)對(duì)稱性和兩點(diǎn)之間線段最短,可求得當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí),在一條直線上,取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵,∴平面

,所以上任意一點(diǎn)到平面的距離相等,所以三棱錐的體積不變,所以①正確;

②在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P在面上的射影在上,所以DP在面上的射影在上,又,所以,所以②正確;③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角系,如下圖所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.則:,,所以,設(shè)面的法向量為,則,即,令,則,設(shè)面的法向量為,,即,,由圖示可知,二面角是銳二面角,所以二面角的余弦值為,所以③不正確;④過(guò)作平面交于點(diǎn),做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn),使得點(diǎn)在平面內(nèi),則,所以,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí),在一條直線上,取得最小值.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,所以,所以,又所以,所以,,,故④正確.

故答案為:①②④.【點(diǎn)睛】本題考查空間里的線線,線面,面面關(guān)系,幾何體的體積,在求解空間里的兩線段的和的最小值,仍可以運(yùn)用對(duì)稱的思想,兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解,屬于難度題.14、1【解析】

由題意可得,再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,求得二項(xiàng)展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)的值.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式的中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,,通項(xiàng)公式為,令,求得,可得二項(xiàng)展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)等于,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

函數(shù)的定義域?yàn)?,求出?dǎo)函數(shù),利用曲線與曲線公共點(diǎn)為由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,解得,,聯(lián)立解得的值.【詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)?,,,設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為,由于在公共點(diǎn)處有共同的切線,∴,解得,.由,可得.聯(lián)立,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,切線方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.16、【解析】

由三個(gè)年級(jí)人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級(jí)共有人,根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為,則且,解得:,用分層抽樣的方法抽取人,那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為人.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣問(wèn)題的求解,涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)要證明線面平行,需先證明線線平行,所以連接,交于點(diǎn)M,連接ME,證明;(Ⅱ)由題意可知點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)到平面ABC的距離,根據(jù)體積公式剩余部分的體積是.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接,交于點(diǎn)M,連接ME,則.因?yàn)槠矫?,平面,所以平面.(Ⅱ)因?yàn)槠矫鍭BC,所以點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)到平面ABC的距離.如圖,設(shè)O是AC的中點(diǎn),連接,OB.因?yàn)闉檎切?,所以,又平面平面,平面平面,所以平面ABC.所以點(diǎn)到平面ABC的距離,故三棱錐的體積為.而斜三棱柱的體積為.所以剩余部分的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線面平行,計(jì)算體積,意在考查推理證明,空間想象能力,計(jì)算能力,屬于中檔題型,一般證明線面平行的方法1.證明線線平行,則線面平行,2.證明面面平行,則線面平行,關(guān)鍵是證明線線平行,一般構(gòu)造平行四邊形,則對(duì)邊平行,或是構(gòu)造三角形中位線.18、(1);(2).【解析】

(1)將代入函數(shù)的解析式,將函數(shù)的及解析式變形為分段函數(shù),利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域;(2)由參變量分離法得出在區(qū)間內(nèi)有解,分和討論,求得函數(shù)的最大值,即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.函數(shù)的值域?yàn)椋唬?)不等式等價(jià)于,即在區(qū)間內(nèi)有解當(dāng)時(shí),,此時(shí),,則;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值函數(shù)的值域與含絕對(duì)值不等式有解的問(wèn)題,利用絕對(duì)值的應(yīng)用將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,考查分類討論思想的應(yīng)用,屬于中等題.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),令,作出的圖像,結(jié)合圖像即可求解;(Ⅱ)結(jié)合絕對(duì)值三角不等式可得,再由“1”的妙用可拼湊為,結(jié)合基本不等式即可求解;【詳解】(Ⅰ)令,作出它們的大致圖像如下:由或(舍),得點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,由對(duì)稱性知,點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣2,因此不等式的解集為.(Ⅱ)..取等號(hào)的條件為,即,聯(lián)立得因此的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式、基本不等式,屬于中檔題20、另一個(gè)特征值為,對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3,可得,再回代到方程即可解出另一個(gè)特征值為,最后利用求特征向量的一般步驟,可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.【詳解】矩陣的特征多項(xiàng)式為:,是方程的一個(gè)

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