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2025屆北京市第101中學(xué)高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)在線段上,且,平面經(jīng)過(guò)點(diǎn),則正方體被平面截得的截面面積為()A. B. C. D.2.2020年是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年,某市為早日實(shí)現(xiàn)目標(biāo),現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三個(gè)貧困縣扶貧,要求每個(gè)貧困縣至少分到一人,則甲被派遣到縣的分法有()A.6種 B.12種 C.24種 D.36種3.如圖所示,已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,雙曲線的右支上一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,滿足,且,則雙曲線的離心率是().A. B. C. D.4.?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,則實(shí)數(shù)λ的最大值為()A. B. C. D.5.已知圓:,圓:,點(diǎn)、分別是圓、圓上的動(dòng)點(diǎn),為軸上的動(dòng)點(diǎn),則的最大值是()A. B.9 C.7 D.6.世紀(jì)產(chǎn)生了著名的“”猜想:任給一個(gè)正整數(shù),如果是偶數(shù),就將它減半;如果是奇數(shù),則將它乘加,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算,經(jīng)過(guò)有限步后,一定可以得到.如圖是驗(yàn)證“”猜想的一個(gè)程序框圖,若輸入正整數(shù)的值為,則輸出的的值是()A. B. C. D.7.若,則下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.8.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,則的值為()A.1 B.2 C. D.49.在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且.若,的面積為,則()A.5 B. C.4 D.1610.若實(shí)數(shù)x,y滿足條件,目標(biāo)函數(shù),則z的最大值為()A. B.1 C.2 D.011.已知與之間的一組數(shù)據(jù):12343.24.87.5若關(guān)于的線性回歸方程為,則的值為()A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.512.已知定點(diǎn),,是圓上的任意一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù),若存在實(shí)數(shù)m,使得關(guān)于x的方程有4個(gè)不相等的實(shí)根,且這4個(gè)根的平方和存在最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.14.已知是拋物線上一點(diǎn),是圓關(guān)于直線對(duì)稱的曲線上任意一點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_______.15.某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,且.某用戶購(gòu)買了件這種產(chǎn)品,則這件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù)為_(kāi)________.16.連續(xù)擲兩次骰子,分別得到的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo),則點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為_(kāi)_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:(),四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為.是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),求的正切的最大值.18.(12分)底面為菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若,.(1)求證:;(2)求二面角的正弦值.19.(12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(1)求;(2)若,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),且,求的面積.20.(12分)在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,角、、的度數(shù)成等差數(shù)列,.(1)若,求的值;(2)求的最大值.21.(12分)設(shè)函數(shù)()的最小值為.(1)求的值;(2)若,,為正實(shí)數(shù),且,證明:.22.(10分)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),單位圓與角終邊的交點(diǎn)為,過(guò)作平行于軸的直線,設(shè)與終邊所在直線的交點(diǎn)為,.(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面,然后利用面面平行的性質(zhì)定理,得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示:確定一個(gè)平面,因?yàn)槠矫嫫矫妫裕?,所以四邊形是平行四邊?即正方體被平面截的截面.因?yàn)?,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四邊形故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì),面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.2、B【解析】
分成甲單獨(dú)到縣和甲與另一人一同到縣兩種情況進(jìn)行分類討論,由此求得甲被派遣到縣的分法數(shù).【詳解】如果甲單獨(dú)到縣,則方法數(shù)有種.如果甲與另一人一同到縣,則方法數(shù)有種.故總的方法數(shù)有種.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)答排列組合的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
易得,,又,平方計(jì)算即可得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為E,易得為平行四邊形,所以,又,故,,,所以,即,故離心率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線離心率的問(wèn)題,關(guān)鍵是建立的方程或不等關(guān)系,是一道中檔題.4、D【解析】
利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)出λ,由d∈[1,2],能求出實(shí)數(shù)λ取最大值.【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是減函數(shù),∴d=1時(shí),實(shí)數(shù)λ取最大值為λ.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.5、B【解析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),,故的最大值為,故選B.考點(diǎn):圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對(duì)稱性,求出所求式子的最大值.6、C【解析】
列出循環(huán)的每一步,可得出輸出的的值.【詳解】,輸入,,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)不成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,不成立,是偶數(shù)成立,則;,成立,跳出循環(huán),輸出的值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A:由于,即,,所以,所以,所以成立;選項(xiàng)B:由于,即,所以,所以,所以不成立;選項(xiàng)C:由于,所以,所以,所以成立;選項(xiàng)D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查不等關(guān)系和不等式,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
因?yàn)閳A與拋物線的準(zhǔn)線相切,則圓心為(3,0),半徑為4,根據(jù)相切可知,圓心到直線的距離等于半徑,可知的值為2,選B.【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?、C【解析】
根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運(yùn)用,屬于中檔題.10、C【解析】
畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實(shí)數(shù)x,y滿足條件,目標(biāo)函數(shù)如圖:當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值為故答案選C【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)的最值:當(dāng)時(shí),直線過(guò)可行域且在軸上截距最大時(shí),值最大,在軸截距最小時(shí),z值最?。划?dāng)時(shí),直線過(guò)可行域且在軸上截距最大時(shí),值最小,在軸上截距最小時(shí),值最大.11、D【解析】
利用表格中的數(shù)據(jù),可求解得到代入回歸方程,可得,再結(jié)合表格數(shù)據(jù),即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù),可得又,.解得故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)的性質(zhì),考查了學(xué)生概念理解,數(shù)據(jù)處理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn),如下圖所示:所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此當(dāng)在如下圖所示位置時(shí)有,所以有,而是中點(diǎn),連接,故,因此,綜上所述:有,所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力,考查了分類討論思想.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先確定關(guān)于x的方程當(dāng)a為何值時(shí)有4個(gè)不相等的實(shí)根,再將這四個(gè)根的平方和表示出來(lái),利用函數(shù)思想來(lái)判斷當(dāng)a為何值時(shí)這4個(gè)根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意,當(dāng)時(shí),,此時(shí),此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,方程最多2個(gè)不相等的實(shí)根,舍;當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如下所示:從左到右方程,有4個(gè)不相等的實(shí)根,依次為,,,,即,由圖可知,故,且,,從而,令,顯然,,要使該式在時(shí)有最小值,則對(duì)稱軸,解得.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)和方程的知識(shí),但需要一定的邏輯思維能力,屬于較難題.14、【解析】
由題意求出圓的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo),求出對(duì)稱圓的圓坐標(biāo)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值,減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為,則有,解方程組可得,所以曲線的方程為,圓心為,設(shè),則,又,所以,,即,所以,故答案為:.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)動(dòng)點(diǎn)距離的最小值問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值為到圓心的距離減半徑,屬于中檔題目.15、【解析】
直接計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:則質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù):故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正太分布中原則,審清題意,簡(jiǎn)單計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】
連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果,列出滿足條件的結(jié)果有11種,利用古典概型即得解【詳解】由題意知,連續(xù)擲兩次骰子共有種結(jié)果,而滿足條件的結(jié)果為:共有11種結(jié)果,根據(jù)古典概型概率公式,可得所求概率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)分析可得必在橢圓上,不在橢圓上,代入即得解;(2)設(shè)直線PA,PB的傾斜角分別為,斜率為,可得.則,,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱,所以必在橢圓上,∴不在橢圓上∴,,即.(2)設(shè)橢圓上的點(diǎn)(),設(shè)直線PA,PB的傾斜角分別為,斜率為又∴.,,(不妨設(shè)).故當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.18、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)先由線面垂直的判定定理證明平面,再證明線線垂直即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量,再利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】(1)證明:連接,由平行且相等,可知四邊形為平行四邊形,所以.由題意易知,,所以,,因?yàn)?,所以平面,又平面,所?(2)設(shè),,由已知可得:平面平面,所以,同理可得:,所以四邊形為平行四邊形,所以為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),所以平行且相等,從而平面,又,所以,,兩兩垂直,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,,,由平面幾何知識(shí),得.則,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,由,可得,令,則,,所以.同理,平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面所成角為,則,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法,重點(diǎn)考查了空間向量的應(yīng)用,屬中檔題.19、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理邊化角,再利用余弦定理求解即可.(2)為為的中線,所以再平方后利用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解,再代入可解得,再代入面積公式求解即可.【詳解】(1)由,可得,由余弦定理可得,故.(2)因?yàn)闉榈闹芯€,所以,兩邊同時(shí)平方可得,故.因?yàn)?所以.所以的面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問(wèn)題,同時(shí)也考查了向量在解三角形中的運(yùn)用,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)由角的度數(shù)成等差數(shù)列,得.又.由正弦定理,得,即.由余弦定理,得,即,解得.(2)由正弦定理,得.由,得.所以當(dāng),即時(shí),.【方法點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題基本思想方法:從條件出發(fā),利用正弦定理(或余弦定理)進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化.逐步化為純粹的邊與邊或角與角的關(guān)系,即考慮如下兩條途徑:①統(tǒng)一成角進(jìn)行判斷,常用正弦定理及三角恒等變換;②統(tǒng)一成邊進(jìn)行判斷,常用余弦定理、面積公式等.21、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)分類討論,去絕對(duì)值求出函數(shù)的解析式,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),得出的單調(diào)性,得出取最小值,即可求的值;(2)由(1)得出,利用“乘1法”,令,化簡(jiǎn)后利用基本不等式求出的最小值,即可證出.【詳解】(1)解:當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí),取最小值.(2)證明:由(1)可知.要
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