垂直于弦的直徑教案

24．1．2垂直于弦的直徑教學(xué)任務(wù)分析教學(xué)目標知識技能理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程。能應(yīng)用垂徑定理進行計算和證明。使學(xué)生經(jīng)歷實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，；養(yǎng)成良好的探索創(chuàng)新，合作交流的學(xué)習習慣，以及利用數(shù)學(xué)方法分析、解決實際問題的能力。過程方法在定理的探究過程中鍛煉學(xué)生從對具體，形象的圓的軸對稱性的觀察、分析、經(jīng)過交流、驗證，到把垂徑定理用數(shù)學(xué)語言有條理的清晰的表述出來。情感態(tài)度使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的嚴謹性和探索精神，培養(yǎng)學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度和積極參與的主動精神．通過圓的對稱性，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的審美觀，通過探索垂徑定理的過程使學(xué)生獲得成功的體驗，并激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的激情．重點垂徑定理的內(nèi)容、應(yīng)用及有關(guān)輔助線的作法。難點理解垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論及垂徑定理的證明方法。教學(xué)流程安排教學(xué)任務(wù)學(xué)生活動教師活動導(dǎo)入新課，使學(xué)生明了本節(jié)課的學(xué)習任務(wù)。完成以下題目：1.如右圖：在⊙O中弦是______，直徑是______，半徑是_______其中弦AB所對的優(yōu)弧是_________劣弧是_________出示趙州橋的圖片，向?qū)W生介紹趙州橋。介紹本節(jié)課要解決的問題。引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習相關(guān)知識點。學(xué)習圓的軸對稱性學(xué)生完成課本80面“探究”把一個圓沿著它的任意一條直徑所在的直線對折,重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？教師導(dǎo)學(xué)：1.如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁___________的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫____________,這條直線叫這個圖形的____________.（1）通過對折，發(fā)現(xiàn)折痕兩邊______。強化：（1）圓是______圖形，任何一條________都是它的對稱軸。（2）判斷：任意一條直徑都是圓的對稱軸（）學(xué)習垂徑定理垂徑定理的應(yīng)用1.完成教材中“思考”：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E.完成如下自學(xué)提示：（1）我發(fā)現(xiàn)這個圖形是_______圖形，它的對稱軸是_______（2）圖中相等的線段有___________，相等的弧有___________.（3）以上發(fā)現(xiàn)可以表示為_________________（4）題目當中有哪些條件，得到了哪些結(jié)論？用文字敘述為:（5）用幾何語言表示垂徑定理為∵∴2.學(xué)生完成以下題目：在下列哪個圖中有AE=BE，AC=BC，AD=BD.為什么？一．學(xué)生自學(xué)例1：一條排水管的截面如圖所示。已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16。求截面圓心O到水面的距離。學(xué)生完成強化練習：（男生完成1題，女生完成2題）1.若已知排水管的半徑OB=10，截面圓心O到水面的距離OC=6，求水面寬AB。2.若已知排水管的水面寬AB=16。截面圓心O到水面的距離OC=6，求排水管的半徑OB。3.已知：⊙O中弦AB∥CD。求證：AC＝BD二．學(xué)生自學(xué)81面解決趙州橋主橋拱半徑的問題引導(dǎo)學(xué)生用圓的軸對稱性來解釋線段相等和弧相等。幫助分析并強化垂徑定理的條件和結(jié)論，重點幫助學(xué)生理解定理中的“直徑”。教師導(dǎo)學(xué):1。圓心O到水面的距離怎樣表示？所要求的邊與直角三角形有什么關(guān)系？求直角三角形的邊通常要用什么定理？怎樣將AB轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊？轉(zhuǎn)化的依據(jù)是什么？在學(xué)生完成強化練習1,2題后，引導(dǎo)總結(jié)求弦心距，弦，半徑常見的方法。教師導(dǎo)學(xué)：（1）題目是怎樣將趙州橋這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的？(2)題目中的條件分別轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題中的那些條件？（3）本題與“例一”的解題思路有何共同點？教師引導(dǎo)學(xué)生強化：解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，在解決有關(guān)弦的問題經(jīng)常要用到勾股定理。

【教學(xué)過程】提出問題趙州橋的半徑是多少？已知：跨度（即弦長）為37.4m拱高（即弓形高）為7.2m求：半徑探究圓的軸對稱性，得出垂徑定理圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．請同學(xué)們思考：圓的軸對稱性與我們上節(jié)課學(xué)過的圓中的弦和弧有什么關(guān)系嗎？(通過改變對稱軸的位置，觀察軸對稱后弦和弧的變化)垂徑定理：（1）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。小小小杏梅ǎ海?）∵直徑CD⌒⌒⌒⌒∴AM=BM，AC=BC，AD=BD（2）∵直徑CD平分弦AB于點M∴CD⊥AB，AC=BC，AD=BD分析：（1）定理中的直徑（過圓心）的條件能否省略？定理中的垂直于弦的條件能否省略？（2）為什么要添上“不是直徑”這個條件？⌒鞏固練習，深入思考⌒1、如圖2，AB所在圓的圓心是點O，過O作OC⊥AB于點D，若OD=3，弦AB=8，求此圓的半徑和弓形高CD．圖2圖2⌒*說明：學(xué)生觀察圖形，利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)分析圖形條件，發(fā)現(xiàn)若OC⊥AB，則有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理構(gòu)造方程．⌒⌒變題1：如圖2，AB所在圓的圓心是點O，過O作OC⊥AB于點D，若CD=4，弦AB=16，求此圓的半徑和弦心距．⌒變題2：如圖2，AB所在圓的圓心是點O，半徑長為6，過O作OC⊥AB于點D，若OD=4，求弦AB和弓形高CD。在學(xué)生解決問題的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進行歸納：弦長、半徑、拱形高、弦心距（圓心到弦的距離）四個量中，只需要知道兩個量，其余兩個量就可以求出來．2、解決趙州橋的問題⌒⌒⌒⌒3、如圖3，已知AB，請你利用尺規(guī)作圖的方法作出的AB中點，說出你的作法．師生活動設(shè)計：根據(jù)基本尺規(guī)作圖可以發(fā)現(xiàn)不能直接作出弧的中點，但是利用垂徑定理只需要作出弧所對的弦的垂直平分線，垂直平分線與弧的交點就是弧的中點．拓展創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性以及創(chuàng)新意識．解決下列問題1．銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準備更換一段新管道．如圖7所示，污水水面寬度為60cm，水面至管道頂部距離為10cm，問修理人員應(yīng)準備內(nèi)徑多大的管道?圖7圖8師生活動設(shè)計：讓學(xué)生在探究過程中，進一步把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，掌握通過作輔助線構(gòu)造垂徑定理的基本結(jié)構(gòu)圖，進而發(fā)展學(xué)生的思維．〔解答〕如圖8所示，連接OA，過O作OE⊥AB，垂足為E，交圓于F，則AE=AB=30cm．令⊙O的半徑為R則OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．解得R=50cm．修理人員應(yīng)準備內(nèi)徑為100cm的管道．2．如圖5，某條河上有一座圓弧形拱橋ACB，橋下面水面寬度AB為7．2米，橋的最高處點C離水面的高度2．4米．現(xiàn)在有一艘寬3米，船艙頂部為方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里，問：這艘船是否能夠通過這座拱橋？說明理由．圖5圖6學(xué)生活動：學(xué)生根據(jù)實際問題，首先分析題意，然后采取一定的策略來說明能否通過這座拱橋，這時要采取一定的比較量，才能說明能否通過，比如，計算一下在上述條件下，在寬度為3米的情況下的高度與2米作比較，若大于2米說明不能經(jīng)過，否則就可以經(jīng)過