揭陽市重點中學(xué)2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

揭陽市重點中學(xué)2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點，則（）．A． B． C． D．2．設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．3．已知實數(shù)滿足線性約束條件，則的取值范圍為（）A．(-2,-1］ B．(-1,4］ C．[-2,4) D．[0,4]4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，記，，…，N.若，則（）A． B． C． D．5．設(shè)，，則（）A． B． C． D．6．已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．7．已知正四面體的棱長為，是該正四面體外接球球心，且，，則（）A． B．C． D．8．費馬素數(shù)是法國大數(shù)學(xué)家費馬命名的,形如的素數(shù)(如：)為費馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是()A． B． C． D．9．我國南北朝時的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問各得金幾何？”則在該問題中，等級較高的二等人所得黃金比等級較低的九等人所得黃金（）A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤10．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，函數(shù)（），則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為（）A．2 B．4 C．5 D．612．如圖，在中，點，分別為，的中點，若，，且滿足，則等于（）A．2 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，則________.14．在矩形ABCD中，，，點E，F(xiàn)分別為BC，CD邊上動點，且滿足，則的最大值為________.15．如圖，在平行四邊形中，，,則的值為_____.16．等腰直角三角形內(nèi)有一點P，，，，，則面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點．求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.18．（12分）已知函數(shù)．（1）若在處取得極值，求的值；（2）求在區(qū)間上的最小值；（3）在（1）的條件下，若，求證：當(dāng)時，恒有成立．19．（12分）語音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場上流行多種可實現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購買“小愛同學(xué)”和100名購買“天貓精靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200（1）若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于兩點A，B，求線段的長.21．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍22．（10分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項和為，且，．（1）求．（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)角終邊上的點坐標(biāo)，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因為終邊上有一點，所以，故選：B【點睛】此題考查二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于簡單題目.2、D【解析】令，可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象（如圖所示）.當(dāng)時，.由得.設(shè)過原點的直線與函數(shù)的圖象切于點，則有，解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時.又當(dāng)直線經(jīng)過點時，有，解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個交點時，實數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個零點時，實數(shù)的取值范圍是.選D.點睛：已知函數(shù)零點的個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解.3、B【解析】

作出可行域，表示可行域內(nèi)點與定點連線斜率，觀察可行域可得最小值．【詳解】作出可行域，如圖陰影部分（含邊界），表示可行域內(nèi)點與定點連線斜率，，，過與直線平行的直線斜率為－1，∴．故選：B．【點睛】本題考查簡單的非線性規(guī)劃．解題關(guān)鍵是理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題表示動點與定點連線斜率，由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論．4、D【解析】

通過計算，可得，最后計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以所以猜想可知：由所以所以故選：D【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算以及不完全歸納法的應(yīng)用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔題.5、D【解析】

集合是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可【詳解】，，則故選【點睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

用排除法，通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè)，由于，排除B選項；由于，所以，排除C選項；由于當(dāng)時，，排除D選項.故A選項正確.故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.7、A【解析】

如圖設(shè)平面，球心在上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得，根據(jù)平面向量的加法的幾何意義，重心的性質(zhì)，結(jié)合已知求出的值.【詳解】如圖設(shè)平面，球心在上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因為為重心，因此，則，因此，因此，則，故選A.【點睛】本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.8、B【解析】

基本事件總數(shù)，能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和只有，，，共有個，根據(jù)古典概型求出概率．【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，基本事件總數(shù)能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有，，，共有個則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是本題正確選項：【點睛】本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問題，是基礎(chǔ)題．9、C【解析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得，故選C10、C【解析】

由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價條件為，再利用大角對大邊，結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本題考查充分必要條件的判定，同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.11、B【解析】

由函數(shù)的性質(zhì)可得：的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對稱，由函數(shù)圖像的作法可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關(guān)于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足，可得的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對稱，函數(shù)的圖像與函數(shù)（）的圖像的位置關(guān)系如圖所示，可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關(guān)于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和為4.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12、D【解析】

選取為基底，其他向量都用基底表示后進(jìn)行運算．【詳解】由題意是的重心，，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取兩個不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運算，這樣做目標(biāo)明確，易于操作．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)圖像歸納，根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】根據(jù)圖像：，，故，故.故答案為：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.14、【解析】

利用平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點E，F(xiàn)的坐標(biāo)，由可得，利用數(shù)量積運算求得，再利用線性規(guī)劃的知識求出的最大值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（1）所示：設(shè)，，，即，又，令，其中，畫出圖形，如圖（2）所示：當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最大值.故答案為：【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、簡單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)ABCD是平行四邊形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．【詳解】∵AB＝2，AD＝1，∴＝1﹣4＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，相等向量和相反向量的定義，向量數(shù)量積的運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

利用余弦定理計算，然后根據(jù)平方關(guān)系以及三角形面積公式，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)由題可知：由，，，所以化簡可得：則或，即或由，所以所以故答案為：【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，仔細(xì)觀察，細(xì)心計算，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連結(jié)NE.則N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.∴＝，＝.∴＝且NE與AM不共線．∴NE∥AM.∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝，∵D(，0，0)，F(xiàn)(，，1)，∴＝(0，，1)，∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.18、（1）2；（2）；（3）證明見解析【解析】

（1）先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，由已知函數(shù)在處取得極值，得到，即可求解的值；（2）由（1）得，定義域為，分，和三種情況討論，分別求得函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論；（3）由，得到，把，只需證，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）由，定義域為，則，因為函數(shù)在處取得極值，所以，即，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，所以.(2)由（1）得，定義域為，當(dāng)時，有，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為，當(dāng)時，由得，且，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為，當(dāng)時，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，綜上可得：當(dāng)時，在區(qū)間上的最小值為1，當(dāng)時，在區(qū)間上的最小值為.（3）由得，當(dāng)時，，則，欲證，只需證，即證，即，設(shè)，則，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，故，即當(dāng)時，恒有成立.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．19、（1）多2350人；（2）有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【解析】

（1）根據(jù)題意，知100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性人數(shù)和購買“天貓精靈”的女性的人數(shù)，即可求得答案；（2）根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出，與臨界值比較，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）由題可知，100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，由于地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，估計購買“小愛同學(xué)”的女性有人.估計購買“天貓精靈”的女性有人.則，∴估計該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.（2）由題可知，，∴有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【點睛】本題考查隨機(jī)抽樣估計總體以及獨立性檢驗的應(yīng)用，考查計算能力.20、（1）l：，C：；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；

（2）由（1）可得曲線是圓，求出圓心坐標(biāo)及半徑，再求得圓心到直線的距離，即可求得的長.【詳解】（1）由題意可得直線：，由，得，即，所