廣西南寧三中、柳鐵一中等2025屆高三最后一模數學試題含解析

廣西南寧三中、柳鐵一中等2025屆高三最后一模數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且A、B兩點在拋物線準線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．2．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，則?R（A∩B）＝（）A．[0，） B．（﹣∞，0）∪[，+∞）C．（0，） D．（﹣∞，0]∪[，+∞）3．隨著人民生活水平的提高，對城市空氣質量的關注度也逐步增大，下圖是某城市月至月的空氣質量檢測情況，圖中一、二、三、四級是空氣質量等級，一級空氣質量最好，一級和二級都是質量合格天氣，下面敘述不正確的是（）A．1月至8月空氣合格天數超過天的月份有個B．第二季度與第一季度相比，空氣達標天數的比重下降了C．8月是空氣質量最好的一個月D．6月份的空氣質量最差.4．的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為A．-40 B．-20 C．20 D．405．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、高分別為，，，且，則此三棱錐外接球表面積的最小值為（）A． B． C． D．6．“完全數”是一些特殊的自然數，它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和恰好等于它本身.古希臘數學家畢達哥拉斯公元前六世紀發(fā)現了第一、二個“完全數”6和28，進一步研究發(fā)現后續(xù)三個完全數”分別為496，8128，33550336，現將這五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28不在同一組的概率為（）A． B． C． D．7．已知點，若點在曲線上運動，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．8．已知定點，，是圓上的任意一點，點關于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓9．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過點，則（）A． B． C． D．10．已知集合，則等于（）A． B． C． D．11．設點是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，若，則（）A． B． C． D．12．已知i為虛數單位，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集為A，且A中共含有n個整數，則當n最小時實數a的值為_____．14．已知，則_____.15．如圖，在中，已知，為邊的中點．若，垂足為，則的值為__．16．設，則“”是“”的__________條件.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設等差數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）求的前項和及使得最小的的值.18．（12分）已知函數（為常數）（Ⅰ）當時，求的單調區(qū)間；（Ⅱ）若為增函數，求實數的取值范圍.19．（12分）已知函數，曲線在點處的切線方程為.（1）求，的值；（2）證明函數存在唯一的極大值點，且.20．（12分）如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.（1）求證:平面平面;（2）在線段上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長,若不存在,請說明理由.21．（12分）已知函數，函數.（Ⅰ）判斷函數的單調性；（Ⅱ）若時，對任意，不等式恒成立，求實數的最小值.22．（10分）設為拋物線的焦點，，為拋物線上的兩個動點，為坐標原點.（Ⅰ）若點在線段上，求的最小值；（Ⅱ）當時，求點縱坐標的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

直線恒過定點，由此推導出，由此能求出點的坐標，從而能求出的值．【詳解】設拋物線的準線為，直線恒過定點，如圖過A、B分別作于M，于N，由，則，點B為AP的中點、連接OB，則，∴，點B的橫坐標為，∴點B的坐標為，把代入直線，解得，故選：C．【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數的求法，考查拋物線的性質，是中檔題，解題時要注意等價轉化思想的合理運用，屬于中檔題.2、D【解析】

求函數的值域得集合，求定義域得集合，根據交集和補集的定義寫出運算結果.【詳解】集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，），∴A∩B＝（0，），∴?R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）.故選：D.【點睛】該題考查的是有關集合的問題，涉及到的知識點有函數的定義域，函數的值域，集合的運算，屬于基礎題目.3、D【解析】由圖表可知月空氣質量合格天氣只有天，月份的空氣質量最差．故本題答案選．4、D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應的常數項=80，由5-2r=-1得r=3,對應的常數項=-40，故所求的常數項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數項==-40+80=405、B【解析】

根據三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進而得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值．【詳解】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個頂點位于長方體的四個頂點，即為三棱錐，且長方體的長、寬、高分別為，∴此三棱錐的外接球即為長方體的外接球，且球半徑為，∴三棱錐外接球表面積為，∴當且僅當，時，三棱錐外接球的表面積取得最小值為．故選B．【點睛】（1）解決關于外接球的問題的關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑，同時要作一圓面起襯托作用．（2）長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時可考慮通過構造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題．6、C【解析】

先求出五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個的基本事件總數為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，根據即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據題意，將五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則基本事件總數為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，∴6和28不在同一組的概率.故選：C.【點睛】本題考查古典概型的概率的求法，涉及實際問題中組合數的應用.7、B【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結合圖象可得位于，結合點到直線的距離公式和兩點的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關系知在時，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積最值，解題關鍵是掌握直線與圓的位置關系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數形結合思想易得．8、B【解析】

根據線段垂直平分線的性質，結合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，如下圖所示：所以有，而是中點，連接，故，因此當在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點的軌跡是雙曲線.故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了數學運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.9、A【解析】

由已知可得，根據二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過點，則，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數定義、二倍角公式，考查計算求解能力，屬于基礎題.10、C【解析】

先化簡集合A，再與集合B求交集.【詳解】因為，，所以.故選：C【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法，屬于基礎題.11、B【解析】∵∵∴∵，∴∴故選B點睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質及橢圓的定義.求解與橢圓性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯系.12、A【解析】

根據復數乘除運算法則，即可求解.【詳解】.故選：A.【點睛】本題考查復數代數運算，屬于基礎題題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解析】

討論三種情況，a＜0時,根據均值不等式得到a（﹣a）≤﹣14，計算等號成立的條件得到答案.【詳解】已知關于x的不等式（ax﹣a1﹣4）（x﹣4）＞0，①a＜0時，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，故解集為（a，4），由于a（﹣a）≤﹣14，當且僅當﹣a，即a＝﹣1時取等號，∴a的最大值為﹣4，當且僅當a4時，A中共含有最少個整數，此時實數a的值為﹣1；②a＝0時，﹣4（x﹣4）＞0，解集為（﹣∞，4），整數解有無窮多，故a＝0不符合條件；③a＞0時，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，∴故解集為（﹣∞，4）∪（a，+∞），整數解有無窮多，故a＞0不符合條件；綜上所述，a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題考查了解不等式，均值不等式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.14、【解析】

對原方程兩邊求導，然后令求得表達式的值.【詳解】對等式兩邊求導，得，令，則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式，考查利用導數轉化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.15、【解析】

，由余弦定理，得，得，，，所以，所以．點睛：本題考查平面向量的綜合應用．本題中存在垂直關系，所以在線性表示的過程中充分利用垂直關系，得到，所以本題轉化為求長度，利用余弦定理和面積公式求解即可．16、充分必要【解析】

根據充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關系.【詳解】當時，有，故“”是“”的充分條件.當時，有，故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件，故答案為：充分必要.【點睛】本題考查充分必要條件的判斷，可利用定義來判斷，也可以根據兩個條件構成命題及逆命題的真假來判斷，還可以利用兩個條件對應的集合的包含關系來判斷，本題屬于容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）；時，取得最小值【解析】

（1）設等差數列的公差為，由，結合已知，聯立方程組，即可求得答案.（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.【詳解】（1）設等差數列的公差為，由及，得解得數列的通項公式為（2）由（1）知時，取得最小值.【點睛】本題解題關鍵是掌握等差數列通項公式和前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.18、（Ⅰ）單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）對函數進行求導，利用導數判斷函數的單調性即可；（Ⅱ）對函數進行求導，由題意知,為增函數等價于在區(qū)間恒成立，利用分離參數法和基本不等式求最值即可求出實數的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）由題意知，函數的定義域為，當時，，令，得，或，所以，隨的變化情況如下表：遞增遞減遞增的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由題意得在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立.，當且僅當，即時等號成立.所以，所以的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數求函數的單調區(qū)間、利用分離參數法和基本不等式求最值求參數的取值范圍；考查運算求解能力和邏輯推理能力；利用導數把函數單調性問題轉化為不等式恒成立問題是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型.19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導，可得（1），（1），結合已知切線方程即可求得，的值；（2）利用導數可得，，再構造新函數，利用導數求其最值即可得證．【詳解】（1）函數的定義域為，，則（1），（1），故曲線在點，（1）處的切線方程為，又曲線在點，（1）處的切線方程為，，；（2）證明：由（1）知，，則，令，則，易知在單調遞減，又，（1），故存在，使得，且當時，，單調遞增，當，時，，單調遞減，由于，（1），（2），故存在，使得，且當時，，，單調遞增，當，時，，，單調遞減，故函數存在唯一的極大值點，且，即，則，令，則，故在上單調遞增，由于，故（2），即，．【點睛】本題考查導數的幾何意義以及利用導數研究函數的單調性，極值及最值，考查推理論證能力，屬于中檔題．20、（1）見解析；（2）存在，長【解析】

（1）先證面,又因為面,所以平面平面.（2）根據題意建立空間直角坐標系.列出各點的坐標表示,設,則可得出向量,求出平面的法向量為,利用直線與平面所成角的正弦公式列方程求出或,從而求出線段的長.【詳解】解:（1）證明:因為四邊形為矩形,∴.∵∴∴∴面∴面又∵面∴平面平面（2）取為原點,所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標系.如圖所示:則,,,,,設,;∴,,設平面的法向量為,∴,不防設.∴,化簡得,解得或;當時,,∴;當時,,∴;綜上存在這樣的點,線段的長.【點睛】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應用,考查利用線面所成角求參數問題,是幾何綜合題,考查空間想象力以及計算能力.21、(1)故函數在上單