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文檔簡介
甘肅省蘭州市蘭大附中2025屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.《九章算術(shù)》“少廣”算法中有這樣一個(gè)數(shù)的序列:列出“全步”(整數(shù)部分)及諸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去約其分子,將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡,又用最下面的分母去遍乘諸(未通者)分子和以通之?dāng)?shù),逐個(gè)照此同樣方法,直至全部為整數(shù),例如:及時(shí),如圖:記為每個(gè)序列中最后一列數(shù)之和,則為()A.147 B.294 C.882 D.17642.已知平面向量,滿足,且,則與的夾角為()A. B. C. D.3.函數(shù)的圖象如圖所示,為了得到的圖象,可將的圖象()A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位4.執(zhí)行如下的程序框圖,則輸出的是()A. B.C. D.5.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù),它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),則6和28不在同一組的概率為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),.若存在,使得成立,則的最大值為()A. B.C. D.7.已知是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為1的圓上的任意一點(diǎn),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到交圓于點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.2 C. D.8.已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù),使成立,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.9.設(shè)函數(shù),則,的大致圖象大致是的()A. B.C. D.10.已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:根據(jù)該折線圖可知,下列說法錯(cuò)誤的是()A.該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元11.定義在上函數(shù)滿足,且對任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立,若關(guān)于x的不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.12.甲、乙、丙三人參加某公司的面試,最終只有一人能夠被該公司錄用,得到面試結(jié)果以后甲說:丙被錄用了;乙說:甲被錄用了;丙說:我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯(cuò)誤,則下列結(jié)論正確的是()A.丙被錄用了 B.乙被錄用了 C.甲被錄用了 D.無法確定誰被錄用了二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,已知,則的最小值是________.14.過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,則的最小值是______.15.已知函數(shù),若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.16.展開式中的系數(shù)為_______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線所圍成的四邊形面積大于20,求的取值范圍.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為;(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交點(diǎn)分別為,,點(diǎn),求的值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線極坐標(biāo)方程為.若直線交曲線于,兩點(diǎn),求線段的長.20.(12分)已知數(shù)列中,(實(shí)數(shù)為常數(shù)),是其前項(xiàng)和,且數(shù)列是等比數(shù)列,恰為與的等比中項(xiàng).(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)若,當(dāng)時(shí),的前項(xiàng)和為,求證:對任意,都有.21.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)當(dāng)時(shí),證明:對任意恒成立.22.(10分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算,由此求得的值.【詳解】依題意列表如下:上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理,考查中國古代數(shù)學(xué)文化,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
根據(jù),兩邊平方,化簡得,再利用數(shù)量積定義得到求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?,滿足,且,所以,所以,所以,所以,所以與的夾角為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模,向量的夾角和數(shù)量積運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到,結(jié)合圖像變換知識得到答案.【詳解】由圖象知:,∴.又時(shí)函數(shù)值最大,所以.又,∴,從而,,只需將的圖象向左平移個(gè)單位即可得到的圖象,故選C.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對應(yīng)的特殊點(diǎn)求,一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求.4、A【解析】
列出每一步算法循環(huán),可得出輸出結(jié)果的值.【詳解】滿足,執(zhí)行第一次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第二次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第三次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第四次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第五次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第六次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第七次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第八次循環(huán),,;不成立,跳出循環(huán)體,輸出的值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖的計(jì)算,解題時(shí)要根據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步,考查分析問題和計(jì)算能力,屬于中等題.5、C【解析】
先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為,再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解:根據(jù)題意,將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),則基本事件總數(shù)為,則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),∴6和28不在同一組的概率.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法,涉及實(shí)際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.6、C【解析】
由題意可知,,由可得出,,利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,進(jìn)而可得出,由此可得出,可得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】,,由于,則,同理可知,,函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢愠闪?,所以,函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,同理可知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,則,,則,構(gòu)造函數(shù),其中,則.當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算,涉及指對同構(gòu)思想的應(yīng)用,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,有一定的難度.7、C【解析】
設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當(dāng)時(shí),取得等號.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識,是一道容易題.8、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=﹣1時(shí),y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時(shí),等號成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r(shí)成立時(shí),等號成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.9、B【解析】
采用排除法:通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A;通過判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號排除選項(xiàng)D和選項(xiàng)C即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A:由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)椋潢P(guān)于原點(diǎn)對稱,因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故選A排除;對于選項(xiàng)D:因?yàn)?故選項(xiàng)D排除;對于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.10、D【解析】
用收入減去支出,求得每月收益,然后對選項(xiàng)逐一分析,由此判斷出說法錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項(xiàng)說法正確;月收益最低,B選項(xiàng)說法正確;月總收益萬元,月總收益萬元,所以前個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益,C選項(xiàng)說法正確,后個(gè)月收益比前個(gè)月收益增長萬元,所以D選項(xiàng)說法錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析,考查收益的計(jì)算方法,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對應(yīng)于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點(diǎn)睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.12、C【解析】
假設(shè)若甲被錄用了,若乙被錄用了,若丙被錄用了,再逐一判斷即可.【詳解】解:若甲被錄用了,則甲的說法錯(cuò)誤,乙,丙的說法正確,滿足題意,若乙被錄用了,則甲、乙的說法錯(cuò)誤,丙的說法正確,不符合題意,若丙被錄用了,則乙、丙的說法錯(cuò)誤,甲的說法正確,不符合題意,綜上可得甲被錄用了,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理能力,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】分析:可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為:,然后再結(jié)合余弦定理整理為,再由cosC的余弦定理得到a,b的關(guān)系式,最后利用基本不等式求解即可.詳解:已知,可得,將角A,B,C的余弦定理代入得,由,當(dāng)a=b時(shí)取到等號,故cosC的最小值為.點(diǎn)睛:考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運(yùn)用,能正確轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.14、【解析】
由切線的性質(zhì),可知,切由直角三角形PAO,PBO,即可設(shè),進(jìn)而表示,由圖像觀察可知進(jìn)而求出x的范圍,再用的式子表示,整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.【詳解】由題可知,,設(shè),由切線的性質(zhì)可知,則顯然,則或(舍去)因?yàn)榱?,則,由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查在以直線與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問題,應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子,進(jìn)而利用分析函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值,屬于較難題.15、【解析】
函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn),畫出函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn),畫出函數(shù)圖象如下圖所示:由圖象可知:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問題,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.16、【解析】
把按照二項(xiàng)式定理展開,可得的展開式中的系數(shù).【詳解】解:,故它的展開式中的系數(shù)為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),不等式為.若,則,解得或,結(jié)合得或.若,則,不等式恒成立,結(jié)合得.綜上所述,不等式解集為.(Ⅱ)則的圖象與直線所圍成的四邊形為梯形,令,得,令,得,則梯形上底為,下底為11,高為..化簡得,解得,結(jié)合,得的取值范圍為.點(diǎn)睛:含絕對值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.18、(Ⅰ),曲線(Ⅱ)【解析】試題分析:(1)消去參數(shù)可得直線的直角坐標(biāo)系方程,由可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)將(為參數(shù))代入曲線的方程得:,,利用韋達(dá)定理求解即可.試題解析:(1),曲線,(2)將(為參數(shù))代入曲線的方程得:.所以.所以.19、【解析】
由,化簡得,由,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,因?yàn)榍€的參數(shù)方程為,整理得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,整理得,設(shè),則,根據(jù)弦長公式求解即可.【詳解】由,化簡得,又因?yàn)?,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,因?yàn)榍€的參數(shù)方程為,消去,整理得,將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,消去,整理得,設(shè),則,所以,將,代入上式,整理得.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,結(jié)合弦長公式的運(yùn)用,屬于中檔題.20、(1)見解析(2)(3)見解析【解析】
(1)令可得,即.得到,再利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解,(2)由(1)知,.設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以,再根據(jù)恰為與的等比中項(xiàng)求解,(3)由(2)得到時(shí),,,求得,再代入證明?!驹斀狻浚?)解:令可得,即.所以.時(shí),可得,當(dāng)時(shí),所以.顯然當(dāng)時(shí),滿足上式.所以.,所以數(shù)列是等差數(shù)列,(2)由(1)知,.設(shè)等比數(shù)列的公比為,所以,恰為
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