2025屆酒泉市重點(diǎn)中學(xué)高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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2025屆酒泉市重點(diǎn)中學(xué)高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.2.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或3.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為的共軛復(fù)數(shù)),則的值為()A.1 B.2 C. D.4.在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是()A. B.C. D.5.集合中含有的元素個(gè)數(shù)為()A.4 B.6 C.8 D.126.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A.6 B.5 C.4 D.37.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里8.若,則下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.9.已知,若則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律:每一層最左與最右的數(shù)字均為2,除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積,則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近()A. B. C. D.11.設(shè),,,則,,三數(shù)的大小關(guān)系是A. B.C. D.12.已知復(fù)數(shù),則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若雙曲線C:(,)的頂點(diǎn)到漸近線的距離為,則的最小值________.14.在中,角的對(duì)邊分別為,且.若為鈍角,,則的面積為____________.15.在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和點(diǎn),若點(diǎn)在的平分線上,且,則向量的坐標(biāo)為___________.16.公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則的值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù),()有幾個(gè)零點(diǎn),并證明你的結(jié)論;(3)設(shè)函數(shù),若函數(shù)在為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋耶?dāng)時(shí),.(1)求函數(shù)的解析式;(2)記函數(shù),若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,在正四棱錐中,底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)且(1)求直線與平面所成角的正弦值;(2)求銳二面角的大?。?0.(12分)已知的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,.(1)若,證明:.(2)若,,求的面積.21.(12分)如圖,在正四棱錐中,,點(diǎn)、分別在線段、上,.(1)若,求證:⊥;(2)若二面角的大小為,求線段的長(zhǎng).22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為(),將曲線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線.(1)求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn),求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項(xiàng).【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當(dāng)時(shí),;又當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時(shí),,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系,屬于中檔題.2、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論.【詳解】由題意得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離.①當(dāng)時(shí),,∴,∴.②當(dāng)時(shí),,∴,∴.綜上可得的值是或.故選B.【點(diǎn)睛】利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)需確定三個(gè)量:角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.3、D【解析】

按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則先求出,再寫出,進(jìn)而求出.【詳解】,,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模,考查基本運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

分析函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào),結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】令,可得,即函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,則函數(shù)為奇函數(shù),排除C、D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,,則,排除B選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào),考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.5、B【解析】解:因?yàn)榧现械脑乇硎镜氖潜?2整除的正整數(shù),那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B6、A【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再求出向量的坐標(biāo),根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ,k=0時(shí)解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的圖象,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于綜合題,但是難度不大,解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo),再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果,屬于簡(jiǎn)單題.7、A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角,再結(jié)合AB可求,應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用,關(guān)鍵是將給的角度、線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系,利用正余弦定理求解.屬于中檔題.8、B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A:由于,即,,所以,所以,所以成立;選項(xiàng)B:由于,即,所以,所以,所以不成立;選項(xiàng)C:由于,所以,所以,所以成立;選項(xiàng)D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查不等關(guān)系和不等式,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù),得到有解,則,得,,得到,再根據(jù),有,即,可化為,根據(jù),則的解集包含求解,【詳解】因?yàn)椋杂薪?,即有解,所以,得,,所以,又因?yàn)?,所以,即,可化為,因?yàn)椋缘慕饧?,所以或,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題,10、A【解析】

結(jié)合所給數(shù)字特征,我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式,觀察可知,每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布,結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式和對(duì)數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖,將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式,可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”,前10層的指數(shù)之和為,所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問題,邏輯推理,等比數(shù)列前項(xiàng)和公式應(yīng)用,屬于中檔題11、C【解析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式,將a,b,c與,比較即可.【詳解】由,,,所以有.選C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)值,指數(shù)值和正弦值大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.12、A【解析】

利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn),由此求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】依題意,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第一象限.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)雙曲線的方程求出其中一條漸近線,頂點(diǎn),再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【詳解】由雙曲線C:(,,可得一條漸近線,一個(gè)頂點(diǎn),所以,解得,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式求最值,注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

轉(zhuǎn)化為,利用二倍角公式可求解得,結(jié)合余弦定理可得b,再利用面積公式可得解.【詳解】因?yàn)?,所以.又因?yàn)?,且為銳角,所以.由余弦定理得,即,解得,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.15、【解析】

點(diǎn)在的平分線可知與向量共線,利用線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在的平線上,所以存在使,而,可解得,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算,利用向量的坐標(biāo)求向量的模,屬于中檔題.16、56【解析】

根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;(2)有2個(gè)零點(diǎn),證明見解析;(3)【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可證明;記函數(shù),求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得,由零點(diǎn)存在性定理及單調(diào)性知存在唯一的,使,求得為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論:①當(dāng)時(shí),利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為的問題;②當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),在上恒成立,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意知,,列表如下:020極小值極大值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,.(2)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).證明如下:因?yàn)闀r(shí),所以,因?yàn)?所以在恒成立,在上單調(diào)遞增,由,,且在上單調(diào)遞增且連續(xù)知,函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn),由(1)可得時(shí),,即,故時(shí),,所以,由得,平方得,所以,因?yàn)?,所以在上恒成?所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,因?yàn)?所以,由,,且在上單調(diào)遞減且連續(xù)得在上僅有一個(gè)零點(diǎn),綜上可知:函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).(3)記函數(shù),下面考察的符號(hào).求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí)恒成立.當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以.∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.∵,∴,又因?yàn)樵谏线B續(xù),所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得存在唯一的,使,∴,因?yàn)?所以∴因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,,所以在,上恒成立.①當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上恒成立.記,則,當(dāng)變化時(shí),,變化情況如下表:極小值∴,故,即.②當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在上恒成立.綜合(1)(2)知,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍;考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力;通過構(gòu)造函數(shù),利用零點(diǎn)存在性定理判斷其零點(diǎn),從而求出函數(shù)的表達(dá)式是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.18、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)奇函數(shù)定義,可知;令則,結(jié)合奇函數(shù)定義即可求得時(shí)的解析式,進(jìn)而得函數(shù)的解析式;(2)根據(jù)零點(diǎn)定義,可得,由函數(shù)圖像分析可知曲線與直線在第三象限必1個(gè)交點(diǎn),因而需在第一象限有2個(gè)交點(diǎn),將與聯(lián)立,由判別式及兩根之和大于0,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),且,故;當(dāng)時(shí),,,則;故.(2)令,解得,畫出函數(shù)關(guān)系如下圖所示,要使曲線與直線有3個(gè)交點(diǎn),則2個(gè)交點(diǎn)在第一象限,1個(gè)交點(diǎn)在第三象限,聯(lián)立,化簡(jiǎn)可得,令,即,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式,分段函數(shù)圖像畫法,由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】

(1)以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為再求解與平面的法向量,繼而求得直線與平面所成角的正弦值即可.(2)分別求解平面與平面的法向量,再求二面角的余弦值判斷二面角大小即可.【詳解】解:在正四棱錐中,底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)所以平面取的中點(diǎn)的中點(diǎn)所以兩兩垂直,故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為因?yàn)樗运?所以,設(shè)平面的法向量是,因?yàn)?,所以,,取則,所以所以,所以直線與平面所成角的正弦值為.設(shè)平面的法向量是,因?yàn)?,所以,取則所以,由知平面的法向量是,所以所以,所以銳二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解線面夾角以及二面角的問題,屬于中檔題.20、(1)見解析(2)【解析】

(1)由余弦定理及已知等式得出關(guān)系,再由正弦定理可得結(jié)論;(2)由余弦定理和已知條件解得,然后由面積公式計(jì)算.【詳解】解:(1)由余弦定理得,由得到,由正弦定理得.因?yàn)?,,所以.?)由題意及余弦定理可知,①由得,即,②聯(lián)立①②解得,.所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理解三角形.考查三角形面積公式,由已知條件本題主要是應(yīng)用余弦定理求出邊.解題時(shí)要注意對(duì)條件的分析,確定選用的公式.21、(1)證明見解析;(2).【解析】試題分析:由于圖形是正四棱錐,因此設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O,則以O(shè)A為x軸正方向,以O(shè)B為y軸正方向,OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,可用空間向量法解決問題.(1)只要證明=0即可證明垂直;(2)設(shè)=λ,得M(λ,0,1-λ),然后求出平面MBD的法向量,而平面ABD的法向量為,利用法向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)可求得.試題解析:(1)連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O,以O(shè)A為x軸正方向,以O(shè)B為y軸正方向,OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)镻A=AB=,則A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,

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