陜西省西安市鄠邑區(qū)2024屆高三上學期期末考試理科數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市鄠邑區(qū)2024屆高三上學期期末考試理科數(shù)學試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，故選：C2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，解得，所以，則．故選：D3.跑步是一項健康的運動，可以讓我們的身體更加強壯.某跑步愛好者堅持每天跑步，如圖，這是該跑步愛好者某周跑步時長的折線圖.該跑步愛好者這周跑步時長的中位數(shù)是（）A.25 B.35 C.37.5 D.39【答案】B【解析】將該跑步愛好者這周的跑步時長按從小到大的順序排列為，則該跑步愛好者這周跑步時長的中位數(shù)是35.故選：B.4.已知拋物線的焦點為，點在上，且，則（）A.8 B.10 C.11 D.15【答案】B【解析】由拋物線的焦點為，點在上，且，根據(jù)拋物線的定義可得，解得，將代入拋物線，可得，所以．故選：B.5.已知是奇函數(shù)，則（）A.－1 B.1 C.－2 D.2【答案】B【解析】由函數(shù)，因為是奇函數(shù)，所以，即，整理得，解得，所以．故選：B.6.設數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，公比為，前項和為.若，則（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】A【解析】由題意可得，整理得，解得或，而，且數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以不符合題意，所以，則1，故.故選：A.7.如圖，在長方體中，，異面直線與所成的的余弦值為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，交于點，取的中點，連接.因為，所以與所成的角為（或其補角）.令，在中，由，得.又，，由余弦定理得，即，解得，所以.故選：C8.在中，在上，且在上，且．若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，則．因為，所以，則．故選：C9.已知函數(shù)若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，作出的大致圖象，如圖所示，要使得，即函數(shù)與的圖象有4個不同交點，則，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：A.10.已知為第一象限角，若函數(shù)的最大值是，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得：，則，解得，且為第一象限角，則，故.故選：D.11.已知是邊長為8的正三角形，是的中點，沿將折起使得二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在三棱錐中，平面，由二面角為，，得是正三角形，令其外接圓圓心為，則，令三棱錐外接球的球心為，球半徑為，則平面，即有，顯然球心在線段的中垂面上，令線段的中垂面交于，則，顯然，于是，四邊形是平行四邊形，且是矩形，而，因此，所以三棱錐外接球表面積.故選：C12.若函數(shù)，的導函數(shù)都存在，恒成立，且，則必有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，設函數(shù)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即，因，所以，即.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.展開式的系數(shù)之和是______．（用數(shù)字作答）【答案】256【解析】令，得．故答案為：.14.設公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，若，則__________.【答案】【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得，則，又.故答案為：15.某企業(yè)舉辦職工技能大賽，經(jīng)過層層選拔，最終等5名職工進入決賽．假設這5名職工的水平相當，則兩人中至少有1人進入前3名的概率是______．【答案】【解析】由題意可知這5名職工最終的排名情況有種，其中兩人中恰有1人進入前3名的情況有種，兩人都進入前3名的情況有種，故所求概率．故答案為：.16.已知雙曲線的左頂點為是雙曲線的右焦點，點在直線上，且的最大值是，則雙曲線的離心率是______．【答案】【解析】如圖所示，直線與軸交于點，設，則，因為，所以，又因為，當且僅當時，等號成立，所以，整理得，則，解得，所以雙曲線的離心率為．故答案為：．三、解答題：共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，內(nèi)角的對邊分別是，且.（1）求的值；（2）若的周長為18，求的面積.解：（1）因為，，所以因為，所以，則.（2）因為，所以.因為，所以，解得.因為的周長為18，所以，解得，則.故的面積為.18.中醫(yī)藥學是中國古代科學的瑰寶，也是打開中華文明寶庫的鑰匙．為了調(diào)查某地市民對中醫(yī)藥文化的了解程度，某學習小組隨機向該地100位不同年齡段的市民發(fā)放了有關(guān)中醫(yī)藥文化的調(diào)查問卷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：規(guī)定成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度低，成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度高．（1）從這100位市民中隨機抽取1人，求抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率；（2）將頻率視為概率，現(xiàn)從該地41歲50歲年齡段的市民中隨機抽取3人，記為對中醫(yī)藥文化了解程度高的人數(shù)，求的分布列和期望．解：（1）抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率為．（2）根據(jù)表格可知從41歲~50歲年齡段中隨機抽取1人，這個人是對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率．由題意可知的可能取值為，則，，，，故的分布列為0123的數(shù)學期望．（也可以寫成．）19.如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，為圓弧的兩個三等分點，是的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.證明：（1）證明：取的中點，連接.因為為圓弧的兩個三等分點，所以.因為分別為中點，所以，則，從而四邊形為平行四邊形，故.因為平面平面，所以平面.解：（2）以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以，，則.設平面的法向量為，則令，得.設平面的法向量為，則令，得.設平面與平面所成銳二面角為，則.故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.20.已知橢圓的離心率是，點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程.（2）直線與橢圓交于（異于點）兩點，記直線的斜率分別為，且，試問直線是否恒過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由.解：（1）由題意可得，解得，，，則橢圓的標準方程為.（2）當直線的斜率為時，設，因為，則，從而，因為在橢圓上，所以，所以，則，不符合題意;當直線的斜率不為0時，設直線，聯(lián)立，整理得，由題意可知，則，因為，所以，則，因為，所以，所以，將代入上式，得，則，整理得，即，因為，所以，故直線過定點.21.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性.（2）是否存在兩個正整數(shù)，，使得當時，？若存在，求出所有滿足條件的，的值；若不存在，請說明理由.解：（1），當時，，在上單調(diào)遞減.當時，令，得.，，則在上單調(diào)遞增，，，則在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.因為，所以，即，即，因為，為正整數(shù)，所以.當時，，因為，，所以，這與矛盾，不符合題意.當時，因為，，所以，所以，得，即.經(jīng)檢驗，當，時，不符合題意，當，時，符合題意，當，時，因為，所以，當時，，，所以.綜上，僅存在，滿足條件.（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個題目計分．［選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程是.（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；（2）是圓上的動點，求點到直線的距離的最大值.解：（1）由（為參數(shù)），得，即，則直線的普通方程為.由，得，即，則圓的直角坐標方程為.（2）由（1）可知圓的圓心坐標為，半徑為2，則圓心到直