《平面與平面垂直》第1課時同步學案

高中數(shù)學精選資源3/3《平面與平面垂直》第1課時同步學案問題情境導入在公路旁，為了防止山體滑坡，常用石塊修筑護坡斜面，并使護坡斜面與水平面成適當?shù)慕嵌龋恍拗畨螘r，為了使水壩堅固耐用，必須使水壩面與水平面成適當?shù)慕嵌热绾螐臄?shù)學的觀點認識這種現(xiàn)象？新課自主學習自學導引1.二面角.半平面的定義一個平面內(nèi)的一條直線，把一個平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為半平面面角的定義從一條直線出發(fā)的_____所組成的圖形稱為二面角面角的相關(guān)概念這條直線稱為二面角的_____，這兩個半平面稱為二面角的_____面角的畫法面角的記法二面角或2.二面角的平面角.定義以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作_____于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角稱為二面角的平面角圖形范圍的范圍是_____規(guī)定二面角的大小用它的平面角的大小來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角稱為直二面角3.兩個平面相交，如果所成的二面角是_____，就說這兩個平面互相垂直平面和垂直，記作：4.平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的，那么這條直線與另一個平面垂直.答案1.兩個半平面棱面2.垂直3.直二面角4.交線預習測評1.下列命題中錯誤的是（）A.如果平面平面,那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B.如果平面不垂直于平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C.如果平面平面,平面平面,那么平面D.如果平面平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面2.從二面角內(nèi)一點分別向二面角的兩個面引垂線,則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角的關(guān)系是（）A.互為余角B.相等C.其和為周角D.互為補角3.已知互相垂直的平面交于直線,若直線滿足,則（）A.B.C.D.4.如圖,空間四邊形中,平面平面,,且,則與平面所成的角是_____.答案1.答案：D解析:如果平面平面,那么平面內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于平面,其他與交線不垂直的直線均不與平面垂直,故D錯誤.2.答案：D解析:畫圖知從二面角內(nèi)一點分別向二面角的兩個面引垂線，則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角互為補角.3.答案：C解析:因為,所以,又,所以.4.答案：解析:如圖,過作于點,因為平面平面,所以平面,則即為與平面所成的角.因為,所以.新知合作探究探究點1二面角及其平面角知識詳解1.二面角的定義及相關(guān)概念.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面.2.畫法及記法.二面角或以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角稱為二面角的平面角，如圖中的就是二面角的平面角.平面角是直角的二面角稱為直二面角.4兩個平面互相垂直的定義及記法.兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直平面與垂直，記作：[特別提示]（1）二面角是一個空間圖形，而二面角的平面角是平面圖形，二面角的大小通過其平面角的大小來度量，體現(xiàn)了由空間圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化的思想.（2）二面角的平面角的定義是兩條“射線”的夾角，不是兩條直線的夾角，因此，二面角的取值范圍是.（3）找二面角的方法.①定義法：在二面角的棱上找一點，在兩個半平面內(nèi)過該點分別作垂直于棱的射線.②垂面法：過棱上一點作與棱垂直的平面，該平面與二面角的兩個半平面形成交線，這兩條射線（交線）所成的角，即為二面角的平面角.③垂線法：利用線面垂直的性質(zhì)來尋找二面角的平面角，這是最常用也是最有效的一種方法.典例探究例1如圖,在正方體中,求二面角的正切值.解析解答本題的關(guān)鍵是作出二面角的平面角,利用與均為等腰三角形,根據(jù)二面角的平面角的定義可作出二面角的平面角求解.答案如圖,取的中點,連接.由題意知,又為的中點,所以,所以是二面角的平面角.因為平面平面,所以.設(shè)正方體的棱長為,則.在中,,所以二面角的正切值為.變式訓練1在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,其他四個側(cè)面都是側(cè)棱長為的等腰三角形,求二面角-的大小.答案如圖,作平面,垂足為,則,取的中點,連接,則.又因為,所以平面,所以,所以為二面角的平面角.又,所以.而,所以.故二面角的大小是.探究點2平面與平面垂直的性質(zhì)定理知識詳解1.平面與平面垂直的性質(zhì)定理.文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直圖形語言符號語言2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，方法是在其中一個面內(nèi)作（找）與交線垂直的直線.典例剖析例2如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的點，四邊形ABCD是邊長為a的菱形且，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.（1）若為的中點,求證:平面;（2）求證:.解析（1）連接,在菱形中,由,可得為正三角形,則,從而平面;（2）要證,只需證平面即可.答案（1）如圖,在菱形中,連接.所以為正三角形.又因為是的中點,所以.又因為平面平面,平面平面,所以平面.(2)如圖,連接.因為是正三角形,是的中點,所以.又因為,所以平面.又因為平面,所以.變式訓練2已知是所在平面外的一點,且平面,平面平面,求證:.答案如圖,在平面內(nèi)作于點.因為平面平面,且交線為平面,所以平面.又因為平面,所以.因為平面平面,所以.又因為,所以平面,又因為平面,所以.易錯易混解讀例如圖,平面,求二面角的余弦值.錯解平面,為二面角的平面角.在中,,,即二面角的余弦值為.錯因分析忽視二面角的平面角定義中的垂直關(guān)系而誤認為為所求二面角的平面角.正解平面平面,.又平面.又平面.為二面角的平面角.在中,.又.在中,,即二面角的余弦值為.糾錯心得求二面角的大小的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，這就需要緊扣它的三個條件，即這個角的頂點是否在棱上；角的兩邊是否分別在兩個平面內(nèi)；這兩邊是否都與棱垂直.課堂快速檢測1.平面平面,直線,則（）A.B.C.與相交D.以上都有可能2.平面平面,平面,則（）A.B.C.與斜交D.3.若平面與平面不垂直,那么平面內(nèi)能與平面垂直的直線有（）A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條4.在正方體中,截面與底面所成二面角的正切值為（）A.B.C.D.5.若,點,則下列命題中正確的有_____.(填序號)(1)過垂直于的平面垂直于;(2)過垂直于的直線垂直于;(3)過垂直