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高中數(shù)學(xué)精選資源2/2§1周期變化課程內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)凝練了解三角函數(shù)的周期性,三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù).通過(guò)實(shí)例及具體函數(shù),研究函數(shù)的周期性,提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).一、周期函數(shù)一般地,對(duì)于函數(shù)y=f(x),x∈D,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)任意的x∈D,都有x+T∈D且滿足f(x+T)=f(x),那么函數(shù)y=f(x)稱作周期函數(shù),非零常數(shù)T稱作這個(gè)函數(shù)的周期.二、最小正周期如果在周期函數(shù)y=f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就稱作函數(shù)y=f(x)的最小正周期.1.判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的變化是周期變化. ()(2)鐘表的分針每小時(shí)轉(zhuǎn)一圈,它的運(yùn)行是周期變化. ()(3)我國(guó)每年夏季小麥的產(chǎn)量是周期變化的. ()答案(1)√(2)√(3)×2.(教材P3練習(xí)1改編)鐘表的分針每小時(shí)轉(zhuǎn)一圈,則它周期變化最小正周期為_(kāi)_______.60分鐘[因?yàn)榉轴樏啃r(shí)轉(zhuǎn)一圈,且重復(fù)旋轉(zhuǎn),所以是周期變化,最小正周期為60分鐘.]3.觀察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7,…”尋找規(guī)律,則第25個(gè)數(shù)字是________.2[觀察可知2,0,1,7每隔四個(gè)數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)一次,具有周期性,故第25個(gè)數(shù)字為2.]探究一周期變化的判斷[知能解讀]周期變化的作用1.應(yīng)用周期變化中“周而復(fù)始”的規(guī)律性可以達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)”“化無(wú)限為有限”的目的;2.只要確定好周期變化中重復(fù)出現(xiàn)的“基本單位”,就可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一個(gè)周期內(nèi)解決.判斷下列現(xiàn)象是否為周期變化,并說(shuō)明理由.(1)地球的自轉(zhuǎn);(2)連續(xù)拋擲一枚骰子,朝上一面的點(diǎn)數(shù);(3)鐘表的秒針的轉(zhuǎn)動(dòng);(4)某段高速公路每天通過(guò)的車輛數(shù).解(1)地球每天自轉(zhuǎn)一圈,并且每一天內(nèi)的任何時(shí)段總會(huì)重復(fù)前一天內(nèi)相同時(shí)段的動(dòng)作,因此是周期變化.(2)連續(xù)拋擲一枚骰子,朝上一面的點(diǎn)數(shù)有可能為1,2,…,6,并且前一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),下一次可能出現(xiàn),也可能不出現(xiàn),故出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是隨機(jī)的,因此不是周期變化.(3)鐘表的秒針的轉(zhuǎn)動(dòng),每一分鐘轉(zhuǎn)一圈,并且每分鐘總是重復(fù)前一分鐘的動(dòng)作,因此是周期變化.(4)某段高速公路每天通過(guò)的車輛數(shù),會(huì)因時(shí)間、天氣、交通狀況等因素而發(fā)生變化,沒(méi)有確定的規(guī)律,因此不是周期變化.[方法總結(jié)]周期變化的判斷關(guān)鍵:首先要認(rèn)真審題,明確題目的實(shí)際背景,然后牢牢抓住“間隔相同,現(xiàn)象(或值)重復(fù)出現(xiàn)”這一重要特征進(jìn)行判斷.[訓(xùn)練1]判斷下列現(xiàn)象是否為周期變化:(1)交通路口的紅綠燈變化;(2)北京天安門廣場(chǎng)的國(guó)旗每天日出時(shí)升旗,日落時(shí)降旗,每天的升旗時(shí)間;(3)中央電視臺(tái)每晚7:00的新聞聯(lián)播.解(1)紅綠燈按一定順序有規(guī)律的變化,是周期變化.(2)北京每天的日出、日落隨節(jié)氣變化,并非恒定,相鄰兩天的升旗時(shí)間間隔是變化的,不是常數(shù),所以不是周期變化.(3)每24小時(shí),新聞聯(lián)播重復(fù)一次,所以是周期變化.探究二周期性的應(yīng)用2020年5月1日是星期五,問(wèn)2020年10月1日是星期幾?解按照公歷記法,2020年5,7,8這三個(gè)月份都是31天,6、9月份各30天,因此從2020年5月1日到9月30日共有153天.因每星期有7天,故由153=22×7-1知,從2020年5月1日再過(guò)154天恰好與5月1日都是星期五,這一天是2020年10月2日,因此2020年10月1日是星期四.[變式1]試確定自2020年5月1日再過(guò)200天是星期幾?解由200=28×7+4知,自2020年5月1日再過(guò)200天是星期二.[變式2]從2020年5月1日到2020年10月1日經(jīng)過(guò)了幾個(gè)星期五?幾個(gè)星期一?解因?yàn)閺?020年5月1日到2020年10月1日的154天中有22個(gè)完整的周期,在每個(gè)周期中有且僅有一個(gè)星期五和一個(gè)星期一,故共經(jīng)過(guò)了22個(gè)星期一,22個(gè)星期五.[變式3]試確定自2020年5月1日再過(guò)7k+3(k∈Z)天后那一天是星期幾?解每隔七天,周一至周日依次循環(huán),故7k天后為周五,7k+3天后為星期一.[方法總結(jié)]應(yīng)用周期性解決實(shí)際問(wèn)題的兩個(gè)要點(diǎn)提醒:計(jì)算兩個(gè)日期的間隔時(shí)間時(shí)要注意幾月有30天,幾月有31天,二月有28天(或29天).[訓(xùn)練2]受日月的引力影響,海水會(huì)發(fā)生漲落,這種現(xiàn)象叫作潮汐.已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(m)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位:時(shí))的函數(shù),記作y=f(t),下表是某日部分時(shí)間的浪高數(shù)據(jù):t(時(shí))03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.51.01.5根據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度不低于1m時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放,判斷一天內(nèi)對(duì)沖浪愛(ài)好者能開(kāi)放幾次?時(shí)間最長(zhǎng)的一次是什么時(shí)段?有多長(zhǎng)時(shí)間?解由題中表格可知,一天內(nèi)能開(kāi)放三次,時(shí)間最長(zhǎng)的一次是上午9時(shí)至下午3時(shí),共6個(gè)小時(shí).探究三周期函數(shù)的定義及應(yīng)用[知能解讀]常見(jiàn)周期函數(shù)的形式周期函數(shù)除常見(jiàn)的定義式f(x+T)=f(x)外,還有如下四種形式:(1)f(x+a)=-f(x);(2)f(x+a)=eq\f(1,fx);(3)f(x-a)=-eq\f(1,fx);(4)f(x-a)=f(x+a).以上四種形式的函數(shù)都是以2a為周期的周期函數(shù).設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-x2.(1)求證:f(x)是周期函數(shù);(2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí),求f(x)的解析式.解題流程:第一步泛讀題目明確待求結(jié)論:證明f(x)是周期函數(shù)并求f(x)在x∈[2,4]上的解析式.第二步精讀題目挖掘已知條件:f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且f(x+2)=-f(x).第三步建立聯(lián)系尋找解題思路:利用f(x+2)=-f(x)求出函數(shù)的周期,并利用函數(shù)的周期求函數(shù)在x∈[2,4]上的解析式.第四步書(shū)寫(xiě)過(guò)程規(guī)范養(yǎng)成習(xí)慣.(1)證明∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).∴f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)解∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2].∴4-x∈[0,2].∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8.∵f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8.故當(dāng)x∈[2,4]時(shí),f(x)=x2-6x+8.[方法總結(jié)]利用函數(shù)的周期性,可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題,轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,進(jìn)而解決問(wèn)題.[訓(xùn)練3]定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(-x),且f(x)=f(x+6),當(dāng)x∈[0,3]時(shí),f(x)單調(diào)遞增,則f(x)在下列哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減()A.[3,7] B.[4,5

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