4.3.2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（同步練習(xí)）（含解析）-【一堂好課】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步名師重點(diǎn)課堂（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）

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）A．元 B．元 C．元 D．元2．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．3．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則等于（

）A． B． C． D．4．在正項(xiàng)數(shù)列中，首項(xiàng)，且是直線上的點(diǎn)，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足、、成等差數(shù)列.其前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題6．設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．C． D．7．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．恒成立C．恒成立 D．恒成立8．“內(nèi)卷”是指一類文化模式達(dá)到最終的形態(tài)以后，既沒(méi)有辦法穩(wěn)定下來(lái)，也沒(méi)有辦法轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌男螒B(tài)，而只能不斷地在內(nèi)部變得更加復(fù)雜的現(xiàn)象，熱愛(ài)數(shù)學(xué)的小明由此想到了數(shù)學(xué)中的螺旋線．連接嵌套的各個(gè)正方形的頂點(diǎn)就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，具體作法是：在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，作它的內(nèi)接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°；再作正方形EFGH的內(nèi)接正方形MNPQ，且使得∠FMN=15°；依次進(jìn)行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示．設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（其中第1個(gè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，第2個(gè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為，…），第n個(gè)直角三角形（陰影部分）的面積為（其中第1個(gè)直角三角形AEH的面積為，第2個(gè)直角三角形EQM的面積為，…），則（

）A．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列 B．C．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和三、填空題9．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.10．已知函數(shù)（k為常數(shù)，且）．下列條件中，能使數(shù)列為等比數(shù)列的是______（填序號(hào)）．①數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；②數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列；③數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列．11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_(kāi)_____．四、解答題12．已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.13．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，滿足．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若不等式2對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．14．已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：，設(shè)的前項(xiàng)的和為，求證：.參考答案：1．D【分析】根據(jù)從2021年6月1日起，將到期存款的本息一起取出再加a元之后還存一年定期儲(chǔ)蓄，即求解.【詳解】設(shè)此人2020年6月1日存入銀行的錢為元，2021年6月1日存入銀行的錢為元，以此類推，則2025年6月1日存入銀行的錢為元，那么此人2025年6月1日從銀行取出的錢有元．由題意，得，，，……，，所以．故選：D．2．A【分析】先利用求通項(xiàng)公式，判斷出為等比數(shù)列，直接求和.【詳解】在中，令，得，所以．由得，兩式相減得，即，又，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.故選：A．【點(diǎn)睛】(1)數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法：①觀察歸納法；②公式法；③由Sn求an；④累加（乘）法；⑤由遞推公式求通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列求和常用方法：①等差（比）公式法；②倒序相加法；③分組求和法；④裂項(xiàng)相消法；⑤錯(cuò)位相減法．3．B【分析】由題意，用基本量表示，化簡(jiǎn)可得，再表示，化簡(jiǎn)可得，代入即得解【詳解】設(shè)公比為q，∵，∴q≠1.故選：B4．B【分析】由題意，代入點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)入直線方程可得，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式即得解【詳解】在正項(xiàng)數(shù)列中，，且是直線上的點(diǎn)，可得，所以，可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和.故選：B5．C【分析】先根據(jù)，，成等差數(shù)列以及單調(diào)遞減，求出公比，再由即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式即可求出.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，得：，設(shè)的公比為，則，解得：或，又單調(diào)遞減，，，解得：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，.故選：C．6．BCD【分析】利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；利用等比數(shù)列的求和公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用裂項(xiàng)求和法可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)任意的，.當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩式作差得，可得，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；，所以，，C選項(xiàng)正確；，，所以，，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對(duì)于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對(duì)于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.7．BC【分析】根據(jù)條件寫出，兩式作比可得，為隔項(xiàng)等比數(shù)列，由，代入計(jì)算可得，代入可求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出前項(xiàng)和公式，從而判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】，故，又，故，故，，所以A錯(cuò)誤，B正確；，，所以C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：數(shù)列中出現(xiàn)兩項(xiàng)的和或積時(shí)，經(jīng)常令代替再寫一項(xiàng)，兩式做差或做商，從而找出隔項(xiàng)的關(guān)系，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.8．BD【分析】應(yīng)用勾股定理、三角函數(shù)得到此過(guò)程中前后兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)關(guān)系，即可知A、C正誤，并寫出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求通項(xiàng)公式，即知B、D正誤.【詳解】由題設(shè)，，若，則，即，∴，即，，故，B正確；∴，以此類推可得，∴是公比為的等比數(shù)列且，A、C錯(cuò)誤；由圖知：，而，∴，故，D正確.故選：BD9．【分析】化簡(jiǎn)數(shù)列將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，再對(duì)n分奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行討論，分別求解出的取值范圍，最后綜合得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，.①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，即對(duì)任意正奇數(shù)n恒成立，當(dāng)時(shí)，有最小值1，所以.②當(dāng)n是正偶數(shù)時(shí)，，即，又，故對(duì)任意正偶數(shù)n都成立，又隨n增大而增大，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，綜合①②可知.故答案為：.10．②【分析】由題意先求出的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列的定義即可判斷①②③；【詳解】①中，，即，得，∵常數(shù)，∴數(shù)列不是等比數(shù)列；②中，，即，得，且，∵，且為非零常數(shù)，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列；③中，，即，得，∵常數(shù)，∴數(shù)列不是等比數(shù)列．故答案為：②.11．【解析】根據(jù)可求得的通項(xiàng)公式，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，所以可得，代入所求，利用裂項(xiàng)相消法求和，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又滿足上式，所以，所以，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為，故答案為：【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)，求得的通項(xiàng)公式，易錯(cuò)點(diǎn)為，若滿足上式，則寫成一個(gè)通項(xiàng)公式的形式，若不滿足上式，則需寫成分段函數(shù)形式，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬中檔題.12．（1）；（2）【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公比的方程組，求解方程組得到首項(xiàng)、公比的值即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解其前n項(xiàng)和即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由于：，故：.【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式是數(shù)列求和的基礎(chǔ).13．(1)證明見(jiàn)詳解；(2)【分析】（1）利用得，變形得，則可證明等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案；（3）令，通過(guò)計(jì)算的正負(fù)，求出的最大值，將題目轉(zhuǎn)化為，解不等式即可.（1）①②①-②得，即，變形可得，又，得故數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，.（2）令，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，又，，因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的正整數(shù)恒成立，，解得.14．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（