江蘇無(wú)錫市湖濱中學(xué)2024-2025學(xué)年高二（上）數(shù)學(xué)第15周階段性訓(xùn)練模擬練習(xí)【含答案】

江蘇無(wú)錫市湖濱中學(xué)2024-2025學(xué)年高二（上）數(shù)學(xué)第15周階段性訓(xùn)練模擬練習(xí)一．選擇題（共5小題）1．若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1an＝an﹣1，則a2024＝（）A． B．2 C．3 D．﹣12．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，若，則＝（）A．2 B． C． D．3．已知點(diǎn)P（2，0），點(diǎn)Q在圓x2+y2＝1上運(yùn)動(dòng)，則線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是（）A．（x﹣1）2+y2＝1 B．x2+（y﹣1）2＝1 C．4（x﹣1）2+4y2＝1 D．4x2+4（y﹣1）2＝14．已知直線l：ax+by＝r2，圓C：x2+y2＝r2，其中r＞0．若點(diǎn)P（a，b）在圓C外，則直線l與圓C的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交或相切5．?dāng)?shù)列{an}滿足，則數(shù)列{log2an}的前8項(xiàng)和為（）A．63 B．127 C．255 D．256二．多選題（共4小題）（多選）6．設(shè)等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，公差為d，已知a3＝12，S12＞0，a7＜0．則（）A．a(chǎn)6＞0 B．﹣4＜d＜﹣3 C．Sn＜0時(shí)，n的最小值為13 D．Sn最大時(shí)，n＝7（多選）7．拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到（2，t）時(shí)，|PF|＝4，直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（4，1），下列結(jié)論正確的是（）A．拋物線的方程為y2＝8x B．存在直線l，使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于x+y﹣6＝0對(duì)稱 C．|PM|+|PF|的最小值為6 D．當(dāng)直線l過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，以AF為直徑的圓與y軸相切（多選）8．已知點(diǎn)M（0，4），點(diǎn)P在曲線x2＝12y上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓x2+（y﹣3）2＝1上運(yùn)動(dòng)，則的值可能是（）A．1 B．3 C．4 D．5（多選）9．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E滿足＝λ+μ，（0≤λ≤1，0≤μ≤1），則（）A．若λ＝μ，則B1C⊥AE B．若λ+μ＝1，則B1C∥平面A1DE C．若λ+μ＝1，則AE+D1E的最小值為 D．若λ2+μ2＝1，則AE與平面BB1C1C的所成角為定值三．填空題（共5小題）10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，nan+1＝2（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，則滿足不等式Sn≥30的n的最小值為．11．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．12．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D，E．若，四邊形ADEB的面積為，則p＝．13．若數(shù)列{an}滿足an+1＝1﹣，且a1＝2，則a2024＝．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：x2﹣＝1的左、右頂點(diǎn)分別為P、Q，點(diǎn)D在雙曲線上且位于第一象限，若|DP|＝t|DQ|且∠DQP＝2∠DPQ，則t的值是．四．解答題（共9小題）15．已知圓C的圓心在直線3x﹣y＝0上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，3），B（1，5）．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|＝2，求直線l的方程．

16．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝2，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足b1+2b2+22b3+…+2n﹣1bn＝an，求數(shù)列{nbn}的前n項(xiàng)和Tn．17．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F2的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線與橢圓C分別交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)P不在直線MN上），求△PMN面積的最大值．18．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)雙曲線C左頂點(diǎn)A的直線l與圓E：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5相切．（1）求直線l的方程；（2）若直線l與雙曲線交于另一點(diǎn)P，求△PF1F2的面積．

19．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足，且a1＝3．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若{an?log3an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn．20．已知橢圓的離心率為，橢圓C的左，右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l：x﹣my﹣1＝0（m≠0）與x軸交于點(diǎn)T，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交橢圓C交于另一點(diǎn)R，求△TQR面積的最大值．21．在公比不為1的等比數(shù)列{an}中，a3＝，S3＝．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝log2，且{bn}為遞增數(shù)列，若cn＝，求證：c1+c2+c3+…+cn＜．

22．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，對(duì)任意的n∈N*有an＞0，an＝2﹣1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}，b1＝﹣，?n∈N*，2n+1（bn+1﹣bn）＝an+1，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．23．已知橢圓，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，且兩切線垂直．（1）求a；（2）已知點(diǎn)Q（0，﹣1），若直線l與橢圓交于M，N，且以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)Q（M，N不與Q重合），求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)．

參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1an＝an﹣1，∴，∴，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1﹣（﹣1）＝2，，∴{an}是周期為3的周期數(shù)列，而2024＝3×674+2，故．故選：A．2．【解答】解：由題意可得，解得，所以．故選：C．3．【解答】解：由題意，P（2，0），在圓x2+y2＝1中，點(diǎn)Q在圓上，線段PQ的中點(diǎn)為M，設(shè)M（x，y），則Q（2x﹣2，2y），∴（2x﹣2）2+（2y）2＝1，即：4（x﹣1）2+4y2＝1．故選：C．4．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)P（a，b）在圓C外，所以可得a2+b2＞r2，圓心C到直線l的距離，所以直線l與圓相交．故選：A．5．【解答】解：由，a1＝2，得log2a1＝1，log2an+1＝2log2an，因此數(shù)列{log2an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{log2an}的前8項(xiàng)和為．故選：C．二．多選題（共4小題）6．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，由S12＞0，則，又a7＜0，則a6＞0，故A正確；對(duì)于B，結(jié)合選項(xiàng)A知a6＞0，a7＜0，a6+a7＞0，又a3＝12，所以，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，結(jié)合選項(xiàng)A知，又S12＞0，所以Sn＜0時(shí)，n的最小值為13，故C正確；對(duì)于D，結(jié)合選項(xiàng)A和B知，當(dāng)1≤n≤6時(shí)，an＞0，當(dāng)n≥7時(shí)，an＜0，所以當(dāng)Sn最大時(shí)，n＝6，故D錯(cuò)誤．故選：AC．7．【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)：由y2＝2px，所以，即p＝4，所以y2＝8x，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)AB的中點(diǎn)M（x0，y0），則，兩式相減，（y1+y2）（y1﹣y2）＝8（x1﹣x2），即2y0?kAB＝8，因?yàn)锳，B關(guān)于x+y﹣6＝0對(duì)稱，所以kAB＝1，所以y0＝4，x0＝2，所以（2，4）在拋物線上，不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：過(guò)P作PE垂直與準(zhǔn)線于E，則|PM|+|PF|＝|PM|+|PE|≥6，當(dāng)P，E，M共線時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：如圖所示，因?yàn)镚為AF的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作GD⊥y軸，所以，所以以AF為直徑的圓與y軸相切，故D正確；故選：ACD．8．【解答】解：拋物線x2＝12y的焦點(diǎn)F（0，3），準(zhǔn)線l：y＝﹣3，圓x2+（y﹣3）2＝1的圓心為F，半徑為1，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥l于A，設(shè)點(diǎn)P（xP，t），t≥0，|PF|＝|PA|＝t+3，|PQ|≤|PF|+|FQ|＝|PA|+1＝t+4，當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線，點(diǎn)F位于P，Q之間時(shí)等號(hào)成立，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即t＝0時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，即A、B不可能，C、D可能．故選：CD．9．【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，若λ＝μ，則，∴E在BC1上，∴AE在右側(cè)面內(nèi)的射影為BC1，又B1C⊥BC1，∴根據(jù)三垂線定理可得B1C⊥AE，∴A選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)，若λ+μ＝1，又＝λ+μ，則E在B1C上，又易知A1D∥B1C，∴B1C?平面A1DE，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)分析可知E在B1C上，如圖，將△AB1C與△D1B1C展開在同一平面內(nèi)，則易證△AB1C與△D1B1C均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴當(dāng)E為B1C的中點(diǎn)時(shí)，AE+D1E的最小值為AD1＝AC＝，∴C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，若λ2+μ2＝1，則E在平面BB1C1C內(nèi)以B為圓心，半徑r＝BC＝1的圓上，如圖，∵AB⊥平面BB1C1C，∴AE與平面BB1C1C的所成角為∠AEB，而tan∠AEB＝＝1，∴∠AEB＝，故AE與平面BB1C1C的所成角為定值，∴D選項(xiàng)正確．故選：ACD．三．填空題（共5小題）10．【解答】解：由題意可知，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，，所以，則，所以，由Sn≥30，即，2n﹣3≥n+2，解得n≥6，所以n的最小值為6，故答案為：n?2n+1；6．11．【解答】解：由可得，兩式相減可得，當(dāng)n＝1時(shí)，，故，故答案為：．12．【解答】解：由題意可知直線AB有斜率且不為0，設(shè)AB所在直線方程為，聯(lián)立，得．不妨設(shè)A在第一象限，A（x1，y1），B（x2，y2），則，又，所以，即x1＝3x2+p，聯(lián)立，解得或（舍），則，即，即所以，解得．故答案為：．13．【解答】解：由題意，∵且a1＝2，∴，∴數(shù)列中的各項(xiàng)以3為周期，∵a2024＝a3×674+2＝a2＝．故答案為：．14．【解答】解：如圖所示，設(shè)∠DPQ＝θ，則∠DQP＝2θ，設(shè)D（x1，y1），則，即，由雙曲線方程可得P（﹣1，0），Q（1，0），所以，又∠DQP＝2∠DPQ，kDP＝tanθ，kDQ＝tan（π﹣2θ），則tanθ?tan（π﹣2θ）＝4，解得，則，在三角形DPQ中，由正弦定理，可得．故答案為：．四．解答題（共9小題）15．【解答】解：（1）設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，則3（﹣）+＝0，1+9﹣D+3E+F＝0，1+25+D+5E+F＝0，聯(lián)立解得D＝﹣2，E＝﹣6，F(xiàn)＝6，∴圓C的方程為x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0，即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4．（2）直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為x﹣2＝0，則2＝2，滿足|MN|＝2．直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0，圓心C（1，3）到直線l的距離d＝＝，由題意可得4﹣＝，解得k＝﹣，直線l的方程為y﹣1＝﹣（x﹣2），即3x+4y﹣10＝0．綜上可得直線l的方程為：x﹣2＝0，3x+4y﹣10＝0．16．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由＝?，得（a1+d）2＝a1（a1+3d）．因?yàn)閐≠0，所以d＝a1＝2，所以an＝2n．（4分）（2）b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn＝an①b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn+2nbn+1＝an+1②②﹣①得：2n?bn+1＝2．∴bn+1＝21﹣n．當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝a1＝2，∴bn＝22﹣n．（8分）Tn＝+++…+，Tn＝+++…+，上兩式相減得Tn＝2++++…+﹣＝2+2?（1﹣）﹣，∴Tn＝8﹣．（12分）17．【解答】解：（1）由橢圓的定義可知三角形F1AB的周長(zhǎng)為4a＝8，所以a＝2，又離心率e＝，所以c＝1，則b2＝a2﹣c2＝3，所以橢圓的方程為；（2）①當(dāng)直線MN不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝kx，M（x，y），N（﹣x，﹣y），代入橢圓方程可得：x，則|MN|＝＝4，設(shè)與MN平行且與橢圓相切的直線方程為y＝kx+m，代入橢圓方程可得：（3+4k2）x2+8mkx+4m2﹣12＝0，則Δ＝64m2k2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝0，解得m2＝3+4k2，則點(diǎn)P到MN的最大距離為兩平行線間的距離，d＝，所以三角形PMN的面積的最大值為S＝，②若直線MN與x軸垂直時(shí)，則P在長(zhǎng)軸頂點(diǎn)時(shí)三角形PMN的面積取得最大值，且此時(shí)的面積為S＝，綜上，三角形PMN的面積的最大值為2．18．【解答】解：（1）由知左頂點(diǎn)A（﹣2，0），當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，l：x＝﹣2與圓E不相切，不符合題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝k（x+2），即kx﹣y+2k＝0，由與圓E相切得，解得k＝2或，所以直線l的方程為2x﹣y+4＝0或x+2y+2＝0．（2）由知a＝2，b＝1，所以漸近線斜率為，若直線l的斜率為，則與雙曲線只有點(diǎn)A一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，舍去；若直線l的方程為2x﹣y+4＝0，與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立，消去x并整理得15y2+8y＝0，解得y＝0或，因?yàn)閥A＝0，所以，又因?yàn)?，所以?9．【解答】解：（1）由，整理得（an+1+an）（an+1﹣3an）＝0，因?yàn)閍n＞0，所以an+1﹣3an＝0，即an+1＝3an，因?yàn)閍1＝3，所以數(shù)列{an}是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）得，所以，所以，所以＝＝，所以．20．【解答】解：（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，則，即，則a＝2b，，由C的左，右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，得，即，解得a2＝4，b2＝1，所以橢圓C的方程為．（2）顯然T（1，0），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則R（x1，﹣y1），由，消去x得（m2+4）y2+2my﹣3＝0，Δ＝4m2+12（m2+4）＞0，則，又，而x2﹣x1與1﹣x1同號(hào)，因此S△TQR＝S△PQR﹣S△PTR＝|y1|?（|x2﹣x1|﹣|1﹣x1|）＝|y1|?|（x2﹣x1）﹣（1﹣x1）|＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即m＝±2時(shí)等號(hào)成立，所以△TQ