專題04 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（考點清單+知識導圖+ 9個考點清單-題型解讀）（解析版）

清單04二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】四個二次的關系判別式二次函數(shù)(的圖象一元二次方程()的根有兩個不相等的實數(shù)根，()有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根()的解集()的解集【清單02】一元二次不等式的解法（1）先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；（2）寫出相應的方程，計算判別式：①時，求出兩根，且（注意靈活運用十字相乘法）；②時，求根；③時，方程無解（3）根據(jù)不等式，寫出解集.【清單03】分式不等式的解法①移項化零：將分式不等式右邊化為0：②③④⑤【考點題型一】一元二次不等式（含參）的求解（二次項系數(shù)不含參數(shù)）形如：（）或（）核心方法：十字相乘法+分類討論法【例1】1．（24-25高一上·甘肅武威·期中）解下列不等式:(1)；【答案】(1)【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可；【詳解】（1），即，，解得，所以的解集為.【變式1-1】（24-25高一上·甘肅白銀·期中）解不等式：(1)【答案】(1)【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式【分析】（1）解一元二次不等式得解；【詳解】（1）由，即，或，所以不等式的解集為.【變式1-2】（24-25高一上·四川成都·期中）求解不等式，并利用數(shù)軸表示解集.【答案】，數(shù)軸表示見詳解.【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質求解不等式.【詳解】對于方程，因為，所以有兩個不相等的實數(shù)根，解得，，畫出二次函數(shù)的圖象，結合圖象得的解集為.【考點題型二】一元二次不等式（含參）的求解（二次項系數(shù)含參）形如：（）或（）核心方法：十字相乘法+分類討論法【例2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）（1）已知實數(shù)，解關于的不等式.【答案】【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式、一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題【分析】（1）討論、，結合一元二次不等式的解法求解集．【詳解】（1）當時，，即，可得，解集為；當時，，當，則，若，即時，可得或，解集為；若，即時，可得，解集為；若，即時，可得或，解集為；當，則，可得，解集為，綜上，當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為．【變式2-1】（24-25高一上·北京·期中）分別求下列關于的不等式的解集：(1).【答案】(2)答案見解析【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】分解因式后，根據(jù)的大小關系分類討論求解.【詳解】（2）由可得，當，即時，由知，；當，即時，解得；當，即時，解得，綜上，時，解集為；時，解集為；時，解集為.【變式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）已知(1)若不等式的解集為，求a，b的值;(2)若b=2，且求關于的不等式的解集.【答案】(1)(2)答案見解析【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】（1）由不等式的解集得相應一元二次方程的解，結合韋達定理求解；（2）不等式變形為，再根據(jù)與1的大小分類討論得出不等式的解集．【詳解】（1）因為的解集為，所以，且和3是方程的兩個實數(shù)根.，解得:.（2）當時，等價于因為，得當，即時，不等式為，得，當，即時，解不等式得或，當，即時，解不等式得或，綜上，當時，不等式的解集為.當時，不等式的解集為.當時，不等式的解集為.【變式2-3】（24-25高一上·廣西南寧·階段練習）解關于x的不等式．【答案】答案見解析【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】對于一元二次不等式，當時，不等式變?yōu)橐淮尾坏仁?；當時，可根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質求解.先將二次函數(shù)因式分解，再分情況討論的取值范圍來求解不等式.【詳解】（1）當時,此時不等式化為，移項可得，兩邊同時除以，根據(jù)不等式兩邊同時除以一個負數(shù)，不等號方向改變，得到.（2）當時,將因式分解，得到.（i）當時,二次函數(shù)開口向下，方程的兩個根為和，且.不等式的解為.（ii）當時,二次函數(shù)開口向上，方程的兩個根為和.當，即時，不等式化為，即，此時.當，即時，不等式的解為或.當，即時，不等式的解為或.綜上所得,當時，不等式的解為；當時，不等式的解為；當時，不等式的解為或；當時，；當時，不等式的解為或.【考點題型三】一元二次不等式（含參）的求解（不能十字相乘法）核心方法：法【例3】（24-25高一上·廣東廣州·期中）設函數(shù).(1)對，恒成立，求的取值范圍.(2)解不等式.【答案】(1)；(2)答案見解析.【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【分析】（1）分類討論結合分離參數(shù)法、對勾函數(shù)的性質計算即可；（2）含參分類討論解一元二次不等式即可.【詳解】（1）若，顯然，符合題意；若，則，由，即在上恒成立，即，，令，當且僅當，即時取得最小值，所以，則的取值范圍為；（2）根據(jù)題意可知，若，則，若，當，即時，，當，此時原不等式為，即，當，此時，令，此時不等式解集為，若，此時，不等式解集為，綜上所述：當時，解集為R，當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為.【變式3-1】（24-25高一上·四川成都·階段練習）已知函數(shù)．(1)若關于的不等式解集為，求實數(shù)的取值范圍；(2)解不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)、一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題【分析】（1）轉化為一元二次不等式恒成立問題，分類討論，解出即可；（2）先由開口方向分，和三種情形，再由的不同情況分類求解不等式.【詳解】（1）根據(jù)題意，等價于，恒成立，當時，不等式可化為，不滿足題意．當，則滿足，即，解得，所以的取值范圍是．（2）由題意，得，①當時，不等式化為，解得；②當時，開口向上，此時，（?。磿r，方程無解，不等式解集為R；（ⅱ），即時，方程有唯一解，不等式解集為；（ⅲ），即時，方程有兩解，，，且，則不等式解集為或．③時，開口向下，此時，顯然，方程有兩解，，，且，不等式解集為．綜上所述，當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為或；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為R．【點睛】關鍵點點睛：求解不等式，要先由開口方向分，和三種情形，再由的不同情況分類求解不等式.【考點題型四】一元二次不等式與對應函數(shù)、方程的關系核心方法：根與系數(shù)的關系：【例4】（多選）（24-25高一上·廣東潮州·期中）已知不等式的解集為，下列說法正確的是（

）A．；B．，2是方程的兩個實數(shù)根；C．；D．不等式的解集為或．【答案】BCD【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)、一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關系【分析】由一元二次不等式的性質可得A正確，B錯誤；結合韋達定理可得C正確；由一元二次不等式的解法可得D正確；【詳解】對于A，由一元二次不等式的性質可得解集為閉區(qū)間時，，故A錯誤；對于B，由一元二次不等式的性質可得為方程的兩個根，故B正確；對于C，由B可得，解得，故C正確；對于D，由C可得不等式即，即，所以解集為或，故D正確；故選：BCD.【變式4-1】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎P于的不等式的解集為，求不等式的解集．【答案】【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】由題意可知：的根為，且，利用韋達定理可得之間的關系，代入運算即可.【詳解】由題意可知：的根為，且，則，可得，不等式即為，且，可得，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.【變式4-2】（24-25高一上·陜西西安·期中）若不等式的解集為，則；不等式的解集為【答案】【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】由題意確定的兩根求得，即可求解.【詳解】由題意方程，有兩根，所以，解得：，所以，所以即為：，即，即，所以解集為：，故答案為：，【考點題型五】解分式不等式【解題方法】轉化為一元二次不等式【例5】（24-25高一上·吉林·期中）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式【分析】將分式不等式化為整式不等式，解一元二次不等式即可.【詳解】不等式等價于不等式，即不等式，即不等式，解得或.故選：B【變式5-1】（24-25高一上·福建三明·期中）不等式的解集是（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式【分析】將分式不等式化為整式不等式結合一元二次不等式計算即可.【詳解】由不等式得：且，即且，解得或，故B正確.故選：B【變式5-2】（24-25高一上·上?！て谥校┎坏仁降慕饧癁?【答案】【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式【分析】根據(jù)分式不等式的解法計算即可求解.【詳解】由，得，解得或，原不等式的解集為.故答案為：【考點題型六】一元二次不等式在上恒（能）成立核心方法：判別法+分類討論法【例6】（24-25高三上·內蒙古鄂爾多斯·期中）已知關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【知識點】一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題【分析】不等式對應的二次函數(shù)開口向上，只需判別式小于0，函數(shù)圖像與軸無交點，則不等式大于0恒成立，從而求出參數(shù)取值范圍.【詳解】因為關于的不等式的解集為，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是．故答案為：【變式6-1】（24-25高一上·廣東深圳·期中）一元二次不等式對一切實數(shù)都成立，則的取值范圍是.【答案】【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題【分析】由一元二次不等式恒成立的條件，求的取值范圍.【詳解】一元二次不等式對一切實數(shù)都成立，則有，解得，所以的取值范圍是.故答案為：.【變式6-2】（24-25高一上·福建廈門·期中）“不等式對一切實數(shù)都成立”，則的取值范圍為．【答案】【知識點】一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題【分析】根據(jù)即可求解.【詳解】因為不等式對一切實數(shù)都成立，所以，即，解得，所以的取值范圍為.故答案為:.【考點題型七】不等式在區(qū)間上恒（能）成立核心方法：變量分離法+基本不等式+對勾函數(shù)【例7-1】（24-25高一上·湖南長沙·期中）若不等式對一切恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【分析】首先分離參數(shù)，然后結合對勾函數(shù)的性質求得函數(shù)的最值，從而可確定t的取值范圍．【詳解】因為不等式對一切恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，由對勾函數(shù)的性質可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，且當時，，當時，，所以，故，故選：D【例7-2】（24-25高三上·四川成都·階段練習）已知關于x的不等式在上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題、基本不等式求和的最小值【分析】分離參數(shù)，轉化為不等式的存在問題進行求解，構造均值不等式求得最值，從而得到結果.【詳解】當時，由可得，因為，由基本不等式可得，當且僅當，即時，等號成立，故.故選：B.【變式7-1】（24-25高一上·北京大興·期中）若不等式對任意的恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【分析】令，將問題轉化為，分類討論與兩種情況討論，得到關于的不等式，解之即可得解.【詳解】令，的對稱軸為，當，即時，，所以，則，故；當，即時，，所以，則，故；綜上，，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【變式7-2】（24-25高一上·北京·期中）命題“”為假命題的一個充分不必要條件是.【答案】（答案不唯一）【知識點】根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題、對勾函數(shù)求最值【分析】問題化為為真命題，利用對勾函數(shù)的單調性求最大值，即可得，結合充分不必要條件寫出一個符合要求的參數(shù)范圍即可.【詳解】由題設，為假命題，故為真命題，又在上遞增，則，只需即可，所以，原命題為假命題的一個充分不必要條件是.故答案為：（答案不唯一）【考點題型八】一元二次不等式的實際問題核心方法：分解因式解不等式【例8】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）單板滑雪是北京冬奧會比賽項目之一，如圖，若，某運動員自起跳點起跳后的運動軌跡（虛線部分）可近似看作一元二次函數(shù)圖象，運動員豎直高度（單位：m）與距離起跳點的水平距離（單位：m）近似滿足函數(shù)關系式，則運動員豎直高度不低于48m時，水平距離最多為m.【答案】97.5【知識點】一元二次不等式的實際應用【分析】由題意直接代入后解一元二次不等式即可；【詳解】由題意可得，，即，解得，因此，運動員水平距離最多為97.5m.故答案為：97.5.【變式8-1】（23-24高一上·陜西·階段練習）某禮服租賃公司共有300套禮服供租賃，若每套禮服每天的租價為200元，則所有禮服均被租出；若將每套禮服每天的租價在200元的基礎上提高10x元（，），則被租出的禮服會減少10x套.若要使該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入超過6.24萬元，則該禮服租賃公司每套禮服每天的租價應定為（

）A．220元 B．240元 C．250元 D．280元【答案】C【知識點】一元二次不等式的實際應用【分析】根據(jù)題意列出收入表達式，則得到一元二次不等式，解出即可.【詳解】依題意，每天有套禮服被租出，該禮服租賃公司每天租賃禮服的收入為元.因為要使該禮服租賃公司每天租賃6.24萬元，所以，即，解得.因為且，所以，即該禮服租賃公司每套禮服每天的租價應定為250元.故選：C.【變式8-2】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其年產(chǎn)量為x萬件時利潤為萬元.(1)當時，年利潤為，若公司生產(chǎn)量年利潤不低于400萬時，求生產(chǎn)量x的范圍；(2)在（1）的條件下，當時，年利潤為.求公司年利潤的最大值.【答案】(1)(2)480萬元【知識點】基本（均值）不等式的應用、一元二次不等式的實際應用【分析】（1）令，解之即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質和基本不等式即可得解.【詳解】（1）當時，令，即，解得：，所以生產(chǎn)量x的范圍是；（2）當時，，則，當時，，當且僅當時，等號成立，則此時最大值為萬元，綜上，公司年利潤的最大值為480萬元.【考點題型九】一元二次不等式中的新定義問題【例9】（23-24高一·江蘇）定義兩個函數(shù)的關系，函數(shù)，的定義域為，，若對任意的，均存在，使得，我們就稱為的“子函數(shù)”．(1)若，，判斷是否為的“子函數(shù)”，并說明理由；(2)若是的“子函數(shù)”，求a的取值范圍．【答案】(1)是為的“子函數(shù)”；理由見解析(2)【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)的值域或最值、根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)、一次函數(shù)的圖像和性質【分析】（1）先求出和的值域，根據(jù)子函數(shù)定義判斷的值域是否是值域的子集即可．（2）先求出的值域，再根據(jù)軸動區(qū)間定討論的值域，利用子函數(shù)的定義建立關于a的不等式關系，即可求出a的范圍．【詳解】（1）由“子函數(shù)”的定義可知，若為的“子函數(shù)”，則的值域是的值域的子集，故只需要判斷的值域是否是值域的子集即可，因為開口向上，對稱軸為，所以當時，，又，，故，所以的值域為，因為在上單調遞增，且，，所以的值域為，顯然，所以是的“子函數(shù)”；（2）因為，所以當時，，易得；當時，，由得，即，綜上：的值域為，因為，開口向上，對稱軸為，所以當時，在上單調遞增，故，即，根據(jù)子函數(shù)的定義及數(shù)軸法得，即，故；當時，在上單調遞減，故，即，所以，即，故；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，且，，故，所以，解得，故；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，且，，故，所以，解得，故；綜上：，即.【變式9-1】（23-24高三下·四川）設表示函數(shù)在閉區(qū)間I上的最大值．若正實數(shù)a滿足，則正實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、利用函數(shù)單調性求最值或值域、求二次函數(shù)的值域或最值【分析】作圖分析函數(shù)的特點，再分類討論.【詳解】函數(shù)的圖像如下：

的對稱軸為x=2，，；分類討論如下：①當時，，依題意，，而函數(shù)在時是增函數(shù)，，，故不可能；②當時，，依題意，，即，令，解得：，，，，如圖；則有：并且，解得：；或者并且，無解；故選：A.【變式9-2】（23-24高二上·廣東廣州）對任意實數(shù)a，b，定義函數(shù)，已知函數(shù)，，記．(1)若對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若，且，求使得等式成立的x的取值范圍；(3)在（2）的條件下，求在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)，(2)(3)【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、解含有參數(shù)的一元二次不等式、一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題、分段函數(shù)的值域或最值【分析】（1）根據(jù)條件可得對任意的恒成立，利用根的判別式即可求出取值范圍；（2）整理為，表示出，分類討論即可；（3）由（2）得到，，，分類討論求出取值范圍進而得最小值.【詳解】（1）解：由題意可得，（2）恒成立，即對任意的恒成立，所以，解得，；（2）解：因為，所以，因為，，所以，時，；①當時，，所以，又因為，所以；②當時，，所以，因為，，所以，，所以上式不成立；綜上可知，的取值范圍是；（3）由（2）知，且，即，所以當時，，所以（1），當時，，①當時，又，即時，；②當時，即時，（6）；綜上，，，，由，解得時，；由，解得時，；當，即時，（6）；綜上．【點睛】本題考查利用二次函數(shù)根的判別式求參數(shù)取值范圍，考查新定義函數(shù)的最值，分類思想，屬于難題．提升訓練一、單選題1．（24-25高一上·陜西寶雞·期中）若不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】先根據(jù)解集分析出與的關系以及的正負，然后化簡不等式求解出解集即可.【詳解】因為的解集為，所以且，所以，所以，解得，所以不等式的解集為，故選：A.2．（24-25高一上·北京·期中）已知不等式對任意的恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】分式不等式、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】根據(jù)恒成立，轉化為，即可根據(jù)分式不等式的求解得解.【詳解】由于對任意的恒成立，故，進而，故選：B3．（24-25高一上·云南文山·階段練習）已知關于的一元二次不等式的解集為，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】由原不等式的解可得b，c的值，然后可得新不等式的解.【詳解】由題設知方程有兩根2和4，故由韋達定理得，則.因此，解得.即關于x的不等式的解集為.故選：D．4．（24-25高一上·河北石家莊·期中）若存在，使得不等式成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題【分析】把問題轉化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可.【詳解】因為，所以.問題“存在，使得不等式成立”轉化為“大于或等于的最小值”.因為，當時取“”.所以.故選：C5．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知不等式的解集為，且不等式對于任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】由一元二次不等式的解確定參數(shù)、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【分析】由一元二次不等式的解集求出a，利用不等式恒成立得出關于m的不等式組，求出m的范圍．【詳解】由題意得：一元二次方程的兩根分別為2，3，由根與系數(shù)的關系，可得，則不等式，即對于任意的恒成立，等價于，或，解得，或，則實數(shù)的取值范圍為.故選：B6．（24-25高一上·廣東珠?！て谥校┟}“，使”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)、一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題【分析】直接利用特稱命題和全稱命題的轉換和二次函數(shù)的性質的應用求出結果．【詳解】因為“，使”是假命題，所以，恒成立是真命題，當時，，即，不恒成立，不符合題意；當時，有，解得.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為.故選：C.7．（24-25高一上·吉林長春·期中）若兩個正實數(shù)，滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．，或C． D．，或【答案】D【知識點】一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】應用基本不等式求出，不等式有解，只需即可.【詳解】因為正實數(shù)，滿足，所以，所以，當且僅當且，即時等號成立.因為不等式有解，所以只需，即即可，所以或.故選：D8．（24-25高一上·河南駐馬店·階段練習）已知關于的不等式恰有個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【知識點】由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】對二次不等式左邊進行因式分解，先分二次項系數(shù)為正得到解集，分析得到不符合題意；再討論二次項系數(shù)為負得到解集，因為里面包含了正負兩種情況，所以再次分類討論，得到可能的解集中的三個整數(shù)元素，從而得到不等式，解得的取值范圍.【詳解】∵當，即，不等式解集為或，存在無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意，故舍去；當，即或，當時，，不等式解集為，由∵，∴原不等式的個整數(shù)解為：，∴，則；當時，，不等式解集為，由∵，∴原不等式的個整數(shù)解為：，∴，則；綜上所述：或.故選：A二、多選題9．（24-25高一上·湖南長沙·階段練習）不等式的解集是，則下列選項正確的是（

）A．且B．不等式的解集是C．D．不等式的解集是【答案】BCD【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)和一元二次不等式的關系，可以確定，并且，是方程的兩個根，再利用韋達定理可得，，再分析選項即可.【詳解】對于，，，是方程的兩個根，所以，，所以，，所以，，所以錯誤；對于，，由可得不等式解集為，所以正確；對于，當時，，，所以正確；對于，由題得，因為，所以，所以，所以不等式的解集是，所以正確．故選：.10．（24-25高一上·全國·期中）已知關于x的不等式解集為，則（

）A． B．C． D．的解集為【答案】AB【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)、基本不等式求和的最小值【分析】A由不等式解集可得的符號；B由韋達定理即可得三者關系，即可判斷選項正誤；C選項，由B選項分析結合基本不等式可判斷選項正誤；D選項，由B選項分析可解不等式.【詳解】A選項，關于x的不等式解集為，則，故A正確；B選項，由題可得方程的根為，則由韋達定理，，則，故B正確；C選項，由以上分析可知：，當且僅當，即時取等號，故C錯誤；D選項，由B選項分析，，結合，可得，故D錯誤.故選：AB三、填空題11．（24-25高一上·湖南長沙·階段練習）不等式的解集為．【答案】【知識點】分式不等式【分析】將分式不等式，移項通分后再轉化為整式不等式，結合一元二次不等式求解即可.【詳解】不等式，移項得，即，可化為，解得，則原不等式的解集為．故答案為：．12．（24-25高一上·云南昆明·期中）若“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識點】根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【分析】由“，”為假命題，所以，恒成立，進而分離參數(shù)，求得的取值范圍即可.【詳解】因為“，”為假命題，所以，恒成立，即在上恒成立，當時，取得最小值.故答案為：.四、解答題13．（24-25高一上·江蘇南京·階段練習）已知函數(shù)，，，.(1)若關于的不等式的解集為或x>2，求實數(shù)，的值；(2)當時，圖像始終在圖象上方，求實數(shù)的取值范圍；(3)當時，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)(3)【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)、求二次函數(shù)的值域或最值、由一元二次不等式的解確定參數(shù)、一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解集列方程即可求解；（2）將原問題轉換為在上恒成立，從而對分類討論即可求解；（3）由題意得在上的值域是在上的值域的子集，分別求出兩個函數(shù)在上的值域，列不等式即可求解.【詳解】（1）因為關于的不等式的解集為或，所以且方程的兩根為，，所以，解得，.（2）當時，，因為函數(shù)的圖象始終在圖象上方，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，當時，不恒成立，所以不合題意；當時，依題意得，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍為.（3）當時，，記.當時，，所以當時，，記.因為對任意，總存在，使得成立，所以，所以，解得.實數(shù)的取值范圍為.14．（24-25高一上·浙江杭州·期中）設函數(shù)，其中.(1)若，（i）當時，求的最大值和最小值;（ii）對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)（i）；（ii）(2)【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)【分析】（1）當時，（i）由二次函數(shù)的性質直接求最大最小值；（ii）解不等式得解集，再根據(jù)不等式的解集與集合的關系