專題02 高一上期末真題精-選（壓軸56題 18類考點(diǎn)專練）（解析版）-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教A版必修一）

專題02高一上期末真題精選（壓軸58題18類壓軸專練）壓軸01：集合及其運(yùn)算中的新定義題壓軸02：一元二次不等式中的恒成立問題壓軸03：一元二次不等式中的能成立問題壓軸04：二次函數(shù)的最值問題（動(dòng)軸定范圍）壓軸05：二次函數(shù)的最值問題（定軸動(dòng)范圍）壓軸06：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（小題）壓軸07：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（大題，含指數(shù)，對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)，三角函數(shù)）壓軸08：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（抽象函數(shù)）壓軸09：雙變量函數(shù)值相等問題壓軸10：雙變量函數(shù)值不等問題壓軸11：指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的零點(diǎn)問題壓軸12：指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的恒成立問題壓軸13：指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的能成立問題壓軸14：指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的恒成立問題壓軸15：三角函數(shù)中的零點(diǎn)問題壓軸16：三角函數(shù)中的恒成立問題壓軸17：三角函數(shù)中的存在性問題壓軸18：三角函數(shù)中的新定義問題壓軸01集合及其運(yùn)算中的新定義題（共5小題）1．（22-23高一上·北京昌平·期末）已知集合都是的子集，中都至少含有兩個(gè)元素，且滿足：①對(duì)于任意，若，則；②對(duì)于任意，若，則.若中含有4個(gè)元素，則中含有元素的個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算、利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個(gè)數(shù)、集合新定義【分析】令且，，根據(jù)已知條件確定可能元素，進(jìn)而寫出且時(shí)的可能元素，討論、，結(jié)合確定的關(guān)系，即可得集合A、B并求出并集中元素個(gè)數(shù).【詳解】令且，，如下表行列分別表示，集合可能元素如下：----------則，若，不妨令，下表行列分別表示，---------------------由，而，且，顯然中元素超過4個(gè)，不合題設(shè)；若，則，下表行列分別表示，---------------由，而，且，要使中元素不超過4個(gè)，只需，此時(shí)，顯然，即，則，即且，故，所以，即，而，故，共7個(gè)元素.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令且，，結(jié)合已知寫出可能元素，由且時(shí)的可能元素且研究的關(guān)系.2．（多選）（23-24高一上·山東濟(jì)南·期末）通常我們把一個(gè)以集合作為元素的集合稱為族.若以集合的子集為元素的族，滿足下列三個(gè)條件：（1）和在中；（2）中的有限個(gè)元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合在中，則稱族為集合上的一個(gè)拓?fù)?已知全集為的非空真子集，且，則（

）A．族為集合上的一個(gè)拓?fù)銪．族為集合上的一個(gè)拓?fù)銫．族為集合上的一個(gè)拓?fù)銬．若族為集合上的一個(gè)拓?fù)?，將的每個(gè)元素的補(bǔ)集放在一起構(gòu)成族，則也是集合上的一個(gè)拓?fù)洹敬鸢浮緼BD【知識(shí)點(diǎn)】集合的應(yīng)用、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算、集合新定義、交并補(bǔ)混合運(yùn)算【分析】對(duì)于ABC，直接由拓?fù)涞亩x驗(yàn)證即可；對(duì)于D，不妨設(shè)族為集合上的一個(gè)拓?fù)?，根?jù)補(bǔ)集的性質(zhì)可證也是一個(gè)拓?fù)?【詳解】對(duì)于A，首先滿足條件（1），其次，中的有限個(gè)元素取交后得到的集合為或，都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合為或，都在中，滿足條件（3），故A正確；對(duì)于B，首先滿足條件（1），其次，中的有限個(gè)元素取交后得到的集合為或或，都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合為或或，都在中，滿足條件（3），故B正確；對(duì)于C，不妨設(shè)，則，不在中，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意不妨設(shè)族為集合上的一個(gè)拓?fù)?，由條件（2）可知中的有限個(gè)元素取交后得到的集合都在，且由條件（3）可知中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合都在，則，下證：也是集合上的一個(gè)拓?fù)?首先滿足條件（1），其次，設(shè)，則，而，故，故，同理可證，故中的有限個(gè)元素取交后得到的集合都在中，任意多個(gè)元素取并后得到的集合都在中，滿足條件（3），故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是首先得到利用補(bǔ)集的性質(zhì)處理，由此即可順利得解.3．（23-24高二下·山西臨汾·期末）對(duì)于一個(gè)由整數(shù)組成的集合，中所有元素之和稱為的“小和數(shù)”，的所有非空子集的“小和數(shù)”之和稱為的“大和數(shù)”．已知集合，則的“小和數(shù)”為，的“大和數(shù)”為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】集合新定義、判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)【分析】根據(jù)題意，求出集合中所有元素之和即為“小和數(shù)”；將集合的個(gè)子集，分為與，其中，，且無重復(fù)，則與的“小和數(shù)”之和為的“小和數(shù)”，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，的“小和數(shù)”為，集合共有11個(gè)元素，則一共有個(gè)子集，對(duì)于任意一個(gè)子集，總能找到一個(gè)子集，使得，，且無重復(fù)，則與的“小和數(shù)”之和為的“小和數(shù)”，這樣的子集對(duì)共有個(gè)，其中當(dāng)時(shí)，，則子集對(duì)有，則的“大和數(shù)”為.故答案為：；4．（24-25高一上·山東德州·期中）把一個(gè)集合分成若干個(gè)非空子集，，，，如果滿足：①，②，那么這些子集的全體稱為集合的一個(gè)劃分，記為.若集合，則集合的一個(gè)劃分為；利用余數(shù)構(gòu)造集合的劃分是解決子集中元素整除問題的常用手段.設(shè)為集合的子集，并且中任意兩個(gè)元素之和不能被3整除，則中元素個(gè)數(shù)的最大值為.【答案】，，（作答時(shí)，寫出一個(gè)即可）676【知識(shí)點(diǎn)】集合新定義【分析】根據(jù)“劃分”的定義直接求集合的一個(gè)劃分即可；利用集合中元素被3除的余數(shù)構(gòu)造集合的劃分，進(jìn)而根據(jù)題意得中元素個(gè)數(shù)的最大值?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，若集合，則集合的劃分有：，，（作答時(shí)，寫出一個(gè)即可）；對(duì)于集合，所有被3除余數(shù)為1的元素組成的集合為，元素個(gè)數(shù)為675；所有被3除余數(shù)為2的元素組成的集合為，元素個(gè)數(shù)為675；所有能被3整除的元素組成的集合為，元素個(gè)數(shù)為674；由題意，，且中任意兩個(gè)元素之和不能被3整除，又因?yàn)?，集合中任意一個(gè)元素與集合中任意一個(gè)元素之和能被3整除，所以集合中的元素和集合中的元素不能都屬于集合，因?yàn)榧现腥我庖粋€(gè)元素與集合或與集合中任意一個(gè)元素之和都不能被3整除，且集合中任意兩個(gè)元素之和都能被3整除，所以當(dāng)集合中元素個(gè)數(shù)最多時(shí)，集合，其中；或者，其中；故集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為676.故答案為：，，（作答時(shí)，寫出一個(gè)即可）；676.5．（22-23高一上·北京東城·期末）對(duì)于非空數(shù)集A，若其最大元素為M，最小元素為m，則稱集合A的幅值為，若集合A中只有一個(gè)元素，則.(1)若，求；(2)若，，求的最大值，并寫出取最大值時(shí)的一組；(3)若集合的非空真子集兩兩元素個(gè)數(shù)均不相同，且，求n的最大值.【答案】(1)(2)的最大值為，(3)n的最大值為11【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、判斷元素與集合的關(guān)系、集合新定義、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)新定義即可求出；（2）由，且要使得取到最大，則只需中元素不同且7,8,9分布在3個(gè)集合中，4,5,6,分布在3個(gè)集合中，1,2,3分布在3個(gè)集合中這樣差值才會(huì)最大，總體才會(huì)有最大值.（3）要n的值最大，則集合的幅值最小，且是集合的兩兩元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，故對(duì)集合中元素分析列出方程解出即可.【詳解】（1）由集合知，，所以.（2）因?yàn)?，，由此可知集合中各?個(gè)元素，且完全不相同，根據(jù)定義要讓取到最大值，則只需中元素不同且7,8,9分布在3個(gè)集合中，4,5,6,分布在3個(gè)集合中，1,2,3分布在3個(gè)集合中這樣差值才會(huì)最大，總體才會(huì)有最大值，所以的最大值為，所以有一組滿足題意，（3）要n的值最大，則集合的幅值要盡量最小，故幅值最小從0開始，接下來為，因?yàn)槭羌系膬蓛稍貍€(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，不妨設(shè)是集合中只有一個(gè)元素的非空真子集，此時(shí)，例如,則是集合中有兩個(gè)元素的非空真子集，且，例如，同理是集合中有三個(gè)元素的非空真子集，且，例如，是集合中有個(gè)元素的非空真子集，且，例如，所以，解得或（舍去），所以n的最大值為11.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.壓軸02一元二次不等式中的恒成立問題（共4小題）1．（23-24高一上·陜西西安·期末）已知關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題【分析】分討論，當(dāng)時(shí)利用判別式求解即可.【詳解】由不等式可得，當(dāng)時(shí)，原不等式為，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，由恒成立，可得，解得，綜上，則的取值范圍是.故選：C2．（22-23高三上·河南·期末）已知，，若時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題、基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)題意設(shè)，，由一次函數(shù)以及不等式分析得時(shí)，，變形后代入，然后利用基本不等式求解.【詳解】設(shè)（），（），因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由不等式恒成立，得：或，即當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，則，即，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.3．（23-24高二下·黑龍江綏化·期末）已知函數(shù)．(1)若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)；(2)答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】解含有參數(shù)的一元二次不等式、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題【分析】（1）討論或兩種情況，由不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍；（2）首先不等式整理為，討論對(duì)應(yīng)方程的兩根大小關(guān)系，解不等式.【詳解】（1）即為，所以不等式對(duì)于任意x∈R恒成立，當(dāng)時(shí)，得，顯然符合題意；當(dāng)時(shí)，得，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．（2）不等式即為，即．又，不等式可化為，若，即時(shí)，得或，即解集為或；若，即時(shí)，得，即解集為；若，即時(shí)，得或，即解集為或．綜上可知，當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或．4．（23-24高一上·陜西漢中·期末）已知函數(shù)(1)若不等式的解集為，求的值；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】由一元二次不等式的解確定參數(shù)、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解、根與系數(shù)關(guān)系求得.（2）利用分離常數(shù)法，結(jié)合基本不等式求得的取值范圍.【詳解】（1）原不等式可化為，因?yàn)樵摬坏仁降慕饧癁椋芍膬筛鶠楹?，則，即，解得；所以.（2）若對(duì)任意的恒成立，則對(duì)任意的x∈2,4，恒成立，即對(duì)任意的x∈2,4，恒成立，所以，又因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.壓軸03一元二次不等式中的能成立問題（共3小題）1．（23-24高二上·河南焦作·期末）若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題【分析】根據(jù)題意和一元二次不等式能成立可得對(duì)于，成立，令，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出.【詳解】存在，不等式成立，則，能成立，即對(duì)于，成立，令，，則，令，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，又，所以f(x)>?3，所以.故選：C2．（23-24高一下·四川·期末）若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的，不等式恒成立，則的最大值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】解正弦不等式、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題【分析】先以為變量，結(jié)合一元二次不等式的存在性問題可得，解不等式結(jié)合題意可得，即可得的最大值.【詳解】因?yàn)?，即，若存在?shí)數(shù)使得上式成立，則，且，即，可得，則，解得，由題意可知：，所以的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：雙變量問題的解題關(guān)鍵是一次只研究其中一個(gè)變量，本題先以為變量，轉(zhuǎn)化為存在性問題分析求解.3．（23-24高一上·四川內(nèi)江·期末）已知二次函數(shù)的最小值為，且是其一個(gè)零點(diǎn)，都有．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最小值；(3)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的解析式、一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題、求二次函數(shù)的值域或最值、根據(jù)零點(diǎn)求函數(shù)解析式中的參數(shù)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性和最小值設(shè)頂點(diǎn)式，代入零點(diǎn)即可得到解析式；（2）分和討論即可；（3）通過分離參數(shù)法和基本不等式即可求出的范圍.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)都有，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又因?yàn)槎魏瘮?shù)的最小值為，所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，又因?yàn)槭瞧湟粋€(gè)零點(diǎn)，所以，解得，所以的解析式為.（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，.（3）因?yàn)殛P(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，即不等式在上有解，所以，記，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4，所以，即，故存在實(shí)數(shù)符合題意，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.壓軸04二次函數(shù)的最值問題（動(dòng)軸定范圍）（共3小題）1．（23-24高一上·河南·期末）已知二次函數(shù)滿足.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、求二次函數(shù)的解析式【分析】（1）設(shè)，根據(jù)條件建立方程組，即可求解；（2）由（1）可得，對(duì)分類討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，所?（2），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，.綜上，.2．（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域、求二次函數(shù)的值域或最值、求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域【分析】（1）由題意可得，解出不等式組即可；（2）利用換元法令，則函數(shù)等價(jià)于，，分為和兩種情形，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性得其最大值.【詳解】（1）由題意知，解得，故.（2），令，，可得，，其對(duì)稱軸為直線，當(dāng)，即時(shí)，.當(dāng)，即時(shí)，綜上可知，3．（23-24高一上·廣東梅州·期末）已知二次函數(shù).(1)若，求在上的值域；(2)求在上的最小值.【答案】(1)0,4(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求二次函數(shù)的值域或最值【分析】（1）先確定單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求值域；（2）分，，討論，確定單調(diào)性即可得最小值.【詳解】（1）若，則，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在?1,1上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以在上的值域?yàn)?,4；（2）二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，綜上：.壓軸05二次函數(shù)的最值問題（定軸動(dòng)范圍）（共2小題）1．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的最小值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、求二次函數(shù)的值域或最值、由奇偶性求參數(shù)【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，求出的值，可得出函數(shù)在時(shí)的解析式，利用奇函數(shù)的定義求出函數(shù)在時(shí)的解析式，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）作出函數(shù)的圖象，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可得出函數(shù)在上的最小值.【詳解】（1）解：由于是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.則，解得，即當(dāng)時(shí)，；則當(dāng)時(shí)，，，故.（2）解：作出函數(shù)的大致圖象如圖所示：當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，則，則，則；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，則，則，則；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，.綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：“定軸動(dòng)區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：（1）根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時(shí)需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行分析；（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.5．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知二次函數(shù)滿足且.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求在上最小值的表達(dá)式.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、求二次函數(shù)的解析式【分析】（Ⅰ）由，可設(shè)函數(shù)式為，代入求得，得函數(shù)解析式；（Ⅱ）由對(duì)稱軸是，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，按，，分類，分別求得最小值，得分段函數(shù)．【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以令二次函?shù)為：又因?yàn)椋?，∴，，∴．（Ⅱ）因?yàn)閷?duì)稱軸為：，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若在當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上可得.【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)解析式，方法是待定系數(shù)法，考查求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，必須按對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系分類求解．壓軸06根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（小題）（共5小題）1．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求解析式中的參數(shù)值、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】代入點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將恒等變換為，最后利用函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意知，解得，所以，即，易得在R上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以為奇函?shù)．又，故等價(jià)于，則，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性在求解抽象不等式中的應(yīng)用，屬于難題.解題關(guān)鍵在于對(duì)抽象不等式的處理，其一，要利用函數(shù)解析式將化成f4x，其二，利用奇偶性處理負(fù)號(hào)，其三，根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào).2．（23-24高一上·廣西賀州·期末）若定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)題意，設(shè)，，分析的奇偶性和單調(diào)性，由此分情況解不等式可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，，是定義在,,上的奇函數(shù)，即，故，函數(shù)為偶函數(shù)，由題意當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)在上為減函數(shù)，又由為偶函數(shù)，則在上為增函數(shù)，又由，則，同時(shí)，或，必有或，即的取值范圍為.故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)明確其奇偶性，并分情況解不等式.3．（23-24高一上·湖南邵陽·期末）已知函數(shù).若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)奇偶性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式來求得的取值范圍.【詳解】由于，所以的定義域?yàn)椋?，，，所以是奇函?shù)，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由得，即，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，首先要判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再根據(jù)或來確定函數(shù)的奇偶性.求解含有函數(shù)符號(hào)的不等式時(shí)，可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等知識(shí)去掉函數(shù)符號(hào)，由此來對(duì)問題進(jìn)行求解.4．（23-24高二上·湖南邵陽·期末）已知是定義在R上的偶函數(shù)，若、且時(shí)，恒成立，且，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，，令，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，對(duì)任意的，，所以，函數(shù)為上的偶函數(shù)，且，由可得，即，即，所以，，即，解得.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：形如的已知條件，往往是給出函數(shù)的單調(diào)性，可以利用函數(shù)單調(diào)性的定義來進(jìn)行求解.利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性來求解不等式，可將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式的形式，然后結(jié)合單調(diào)性、奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)，再解不等式來求得答案.5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足．若當(dāng)時(shí)，總有，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)奇偶性解不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】令，根據(jù)條件可得函數(shù)在上遞增，再根據(jù)，得到在上是偶函數(shù)，從而將，轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】令，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，總有，即，即，當(dāng)時(shí)，總有，所以在上遞增，又因?yàn)?，所以，，所以在上是偶函?shù)，又因?yàn)?，所以，即，所以，即，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題令是關(guān)鍵，利用在上遞增，結(jié)合在上是偶函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求解.壓軸07根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（大題，含指數(shù)，對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)，三角函數(shù)）（共3小題）1．（22-23高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求a的值，判斷的單調(diào)性并說明理由；(2)若對(duì)任意的，不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，是R上的遞增函數(shù)，證明見解析；(2)【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)奇偶性解不等式、由奇偶性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）由函數(shù)為奇函數(shù)，，求a的值，得到的解析式，用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用參數(shù)分離法結(jié)合基本不等式可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)，定義域是R，依題意有，得，即，此時(shí)滿足題意.，由此可判斷出是R上的遞增函數(shù).以下用定義證明：，且，則，，即，故是R上的遞增函數(shù).（2）是奇函數(shù)且在R上的單調(diào)遞增，不等式，可得，得，即，對(duì)任意的，恒成立，即在上恒成立，時(shí)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：此類函數(shù)不等式對(duì)于求值或范圍的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性和區(qū)間上的單調(diào)性，脫去函數(shù)的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為解一般不等式的問題.2．（23-24高一上·陜西西安·期末）已知函數(shù)且.(1)判斷的奇偶性并給出證明；(2)若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)定義域?yàn)?，奇函?shù)，證明見解析；(2)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）先求出的定義域，再由奇函數(shù)定義證明即可；（2）利用奇函數(shù)和分類討論單調(diào)性，先將條件轉(zhuǎn)化為不等式組恒成立問題，再轉(zhuǎn)化為分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題求解a的范圍即可.【詳解】（1）要使有意義，需滿足，解得，故定義域?yàn)?判斷是奇函數(shù).證明：定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；又，所以為奇函數(shù)；（2）由，得．由（1）知為奇函數(shù)，則，所以，因?yàn)椋?，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，則要使恒成立，即恒成立，即要使①，②，③均恒成立.由，不等式①②顯然恒成立，由，且當(dāng)時(shí)，，故不等式③也恒成立，故當(dāng)時(shí)，即對(duì)于任意的，恒成立.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，則恒成立，由，即①，②，③均恒成立當(dāng)時(shí)，要使①恒成立，則，則；不等式②顯然恒成立；要使不等式③恒成立得，，由解得；故當(dāng)時(shí)，要使①②③均恒成立，則綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求解或轉(zhuǎn)化抽象（或復(fù)合）同構(gòu)型函數(shù)不等式時(shí)，常利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式，但首先要使不等式各部分有意義，不能忽視函數(shù)定義域的研究.3．（22-23高一上·江蘇常州·期末）已知函數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意，都有．(1)求使得成立的x的取值集合；(2)求證：為周期為4的周期函數(shù)，并直接寫出在區(qū)間上的解析式；(3)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見詳解，(3)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)不等式恒成立問題、由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、正切函數(shù)圖象的應(yīng)用、函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合周期的定義分析證明，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解析式；（3）先利用換元令，結(jié)合二次函數(shù)求得，再根據(jù)的性質(zhì)求的最大值，再利用基本不等式求得，結(jié)合恒成立問題分類討論分析求解.【詳解】（1）由題意可得：，則，解得，則，故使得成立的x的取值集合.（2）∵，即，則，∴為周期為4的周期函數(shù)，又∵是定義在R上的奇函數(shù)，則，即，當(dāng)時(shí)，則，故；又∵是定義在R上的奇函數(shù)，則有：當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；綜上所述：當(dāng)時(shí)，則.（3）對(duì)于，令，則的對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)，取到最大值，故當(dāng)時(shí)，取到最小值，故，由（2）可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，則的最大值為，又∵為周期為4的周期函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，則的最大值為，∴的最大值為，則對(duì)任意恒成立，又∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則有：當(dāng)時(shí)，則，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）對(duì)，則；（2）對(duì)，則；（1）對(duì)，則；（1）對(duì)，則.壓軸08根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（抽象函數(shù)）（共3小題）1．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式的解集．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2).【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用【分析】（1）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱得出的奇偶性，再由函數(shù)單調(diào)性的定義得出的單調(diào)區(qū)間.（2）由變形，構(gòu)造新函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)確定新函數(shù)的性質(zhì)，再由單調(diào)性及奇偶性即可求得解集.【詳解】（1）令，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以是偶函數(shù)．令，則，不妨假設(shè)，則．所以，即，所以在上單調(diào)遞增，又是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減．故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）可得，則，不妨假設(shè)，則．所以，得．令函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減．由，得得，所以，兩邊平方可得，即．故不等式的解集為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題第（2）問的關(guān)鍵地方是構(gòu)造，并得到的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合題意的不等式即可得到求解2．（23-24高一·江蘇南通·期末）定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，都有成立，且當(dāng)時(shí)，．(1)求的值；(2)證明：在上為增函數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，解不等式．【答案】(1)0(2)證明見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）直接令，即可求出的值（2）利用已知，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可（3）根據(jù)，可得，然后利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）令，則；所以.（2）設(shè)，則，所以，，即，所以在上為增函數(shù)；（3），，，在上為增函數(shù)，解得：，所以不等式的解集為．3．（23-24高一上·重慶北碚·期末）函數(shù)滿足對(duì)一切有，且；當(dāng)時(shí)，有.(1)求的值;(2)判斷并證明在R上的單調(diào)性；(3)解不等式【答案】(1)(2)在R上的單調(diào)遞減，證明過程見解析(3).【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、解不含參數(shù)的一元二次不等式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）賦值法求出和，進(jìn)而賦值求出；（2）先求出時(shí)，，進(jìn)而得到時(shí)，，再利用定義法證明出函數(shù)的單調(diào)性；（3）變形得到，求出，結(jié)合（2）中函數(shù)的單調(diào)性求出，從而求出答案.【詳解】（1）中，令，則，因?yàn)椋?，令得，，解得，令得，，即，解得；?）設(shè)，則，所以，所以時(shí)，，又因?yàn)闀r(shí)，有，且，所以時(shí)，，在R上的單調(diào)遞減，證明過程如下：設(shè)，且，則，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以，故，故在R上的單調(diào)遞減；（3）由題意得，因?yàn)?，所以，即，解得，中，令得，，故，故，由?）可知，在R上的單調(diào)遞減，故，解得或，所以原不等式的解集為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解抽象函數(shù)的函數(shù)值或函數(shù)奇偶性，單調(diào)性，往往利用賦值法，結(jié)合題目中的條件進(jìn)行求解.壓軸09雙變量函數(shù)值相等問題（共3小題）1．（23-24高一上·河南許昌·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)不等式恒成立問題、由奇偶性求參數(shù)、求cosx(型)函數(shù)的值域、求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)列式求解即可；（2）分離參數(shù)得在上恒成立，令，則，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解最值即可；（3）把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域?yàn)楹瘮?shù)值域的子集，利用函數(shù)單調(diào)性求解其值域，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)，分類討論求解函數(shù)的值域，列不等式組求解即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以，所以，解得.（2）由（1）知，則，所以，故在上恒成立，令，則，且，所以，令，則函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，所以.（3）若，使得成立，則函數(shù)的值域?yàn)楹瘮?shù)值域的子集，，則函數(shù)在上為減函數(shù)，所以.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，則，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，顯然成立.綜上可知.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一般地，已知函數(shù)，，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集.2．（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)fx,gx分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且(1)求函數(shù)fx(2)設(shè)，對(duì)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、由奇偶性求函數(shù)解析式、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】（1）方程組法去求解與的解析式即可解決；（2）對(duì)，使得，即為函數(shù)的值域?yàn)?1,1為函數(shù)hx的值域的子集，討論解之.【詳解】（1）由題意

①，所以

，函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)與奇函數(shù)，所以所以

②，由①②解得，；（2），由，則，所以的值域?yàn)?1,1，，

，設(shè)，根據(jù)知為增函數(shù)，若，則，則，若，則在上單調(diào)遞增，則，即，因?yàn)閷?duì)，使得，則，所以，解得，所以；若，則，即，則，解得，所以，綜上所述，若對(duì)，使得，則.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．3．（23-24高一上·四川瀘州·期末）“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有”，已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(2)若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】判斷或證明函數(shù)的對(duì)稱性、求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、函數(shù)不等式恒成立問題、函數(shù)不等式能成立（有解）問題【分析】（1）根據(jù)題意證明即可；（2）由題意可得：在上的值域是在上的值域的子集，根據(jù)題意二次函數(shù)分類討論函數(shù)在0,1內(nèi)單調(diào)性，結(jié)合對(duì)稱性以及包含關(guān)系分析求解.【詳解】（1）由題意可知：，且的定義域?yàn)?，關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（2）設(shè)在上的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?，由題意可知：，由（1）可知，因?yàn)?，則，可得，所以，即，又因?yàn)榈膱D象開口向上，對(duì)稱軸為，則有：若，即時(shí)，可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,2對(duì)稱，則，可知在?1,0的，可知在的最大值為，最小值為，可得，且，滿足，即符合題意；若，即時(shí)，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,2對(duì)稱，則，可知在?1,0的，可知在的最大值為，最小值為，可得或，解得，且或，解得；若，即時(shí)，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,2對(duì)稱，則，可知在?1,0的，可知在的最大值為，最小值為，即，則，解得；若，即時(shí)，可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，可得，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,2對(duì)稱，則，可知在?1,0的，可知在的最大值為，最小值為，所以，且，滿足，即符合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性分類討論函數(shù)在0,1內(nèi)單調(diào)性，進(jìn)而判斷函數(shù)在0,1內(nèi)最值；2.根據(jù)對(duì)稱性判斷在內(nèi)的最值.壓軸10雙變量函數(shù)值不等問題（共4小題）1．（23-24高一上·甘肅蘭州·期末）已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)．若對(duì)任意都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)不等式能成立（有解）問題、對(duì)數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】首先由題意轉(zhuǎn)化為，討論兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】，若對(duì)任意都有成立，則，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，當(dāng)，，，則，即，則，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即，所以的值域?yàn)?，即在區(qū)間的最大值為2，，當(dāng)時(shí)，hx在單調(diào)遞增，hx的最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)hx的圖象如下圖，函數(shù)hx在上單調(diào)遞增，hx的最小值為，

當(dāng)時(shí)，hx的圖象如下圖，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)hx在上單調(diào)遞增，hx的最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)hx的最小值為，所以，當(dāng)時(shí)，hx的最小值為，，即，解得：或，即；當(dāng)時(shí)，函數(shù)hx的最小值為，，即，解得：或，即；綜上可知，或故答案為：或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是求函數(shù)hx的最小值，需討論，結(jié)合函數(shù)的圖象，判斷單調(diào)性，求函數(shù)的最值.2．（23-24高一上·安徽宿州·期末）已知函數(shù).(1)若為偶函數(shù)，求函數(shù)的定義域；(2)若過點(diǎn)，設(shè)，若對(duì)任意的，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)不等式恒成立問題、求含sinx（型）的二次式的最值、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求含sinx(型)函數(shù)的定義域【分析】（1）先得出的值，然后解出的解，即為函數(shù)的定義域；（2）先求出的最小值，然后分類討論求出hx的最大值，進(jìn)而得出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以,即，因?yàn)椋?，解得：，，所以，，所以的定義域?yàn)?（2）因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)閷?duì)任意的，，都有成立，所以，，，因?yàn)?，所以，設(shè)，則有圖象開口向下，對(duì)稱軸為的拋物線，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，故；當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以，綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是根據(jù)題意得，再利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)進(jìn)行分類討論即可.3．（23-24高一上·安徽阜陽·期末）函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)，可以將其推廣為：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為關(guān)于的奇函數(shù)，給定函數(shù)，關(guān)于中心對(duì)稱．(1)求的值(2)已知函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)不等式恒成立問題、由奇偶性求參數(shù)、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】（1）根據(jù)恒成立，即可得解；（2）由題意得，，又，，抓住對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系討論，從而可得出答案．【詳解】（1）因?yàn)榈膱D象存在對(duì)稱中心則的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，所以恒成立，即恒成立，解得．（2）因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，值域?yàn)?，即最大值為，又，，，所以，，又，，?dāng)，即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，解得，舍去；當(dāng)，即，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，解得，所以；當(dāng)，即，在單調(diào)遞增，所以，解得（舍），綜上所述：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問，關(guān)鍵是理解題意先將問題轉(zhuǎn)化為，然后利用的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系分三種情況討論，求出的最大值得解.4．（23-24高一上·河北邯鄲·期末）已知不等式的解集為，函數(shù)（，且），（，且）．(1)求不等式的解集；(2)若對(duì)于任意的，均存在，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或；(2)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)不等式能成立（有解）問題、函數(shù)不等式恒成立問題、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式與方程的關(guān)系及一元二次不等式的解法，求出解集;（2）由函數(shù)恒成立問題和存在性問題，得到，利用換元轉(zhuǎn)化進(jìn)行分類討論求解的范圍.【詳解】（1）不等式的解集為，即是的兩個(gè)根，故，，∴，即為，解得或，∴不等式的解集為或．（2）由題意可知，，，令，則，，對(duì)稱軸方程為，①若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)在上單調(diào)遞減，，由，得；②若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，由，得；③若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，由，得，綜合①②③可知，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．壓軸11指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的零點(diǎn)問題（共3小題）1．（23-24高二下·黑龍江綏化·期末）已知函數(shù)，．(1)若，求的值；(2)令，且在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．【答案】(1)(2)．【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、指數(shù)冪的化簡(jiǎn)、求值、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【分析】（1）由已知可得的解析式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算即可求證，利用倒序相加即可求值；（2）由已知可得，設(shè)，問題等價(jià)為在上有零點(diǎn)，參變分離得在上有解，通過換元由單調(diào)性求取值范圍即可.【詳解】（1），，，則，設(shè)，則，兩式相加得，則，故．（2），設(shè)，當(dāng)，則，則函數(shù)等價(jià)為，．函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，等價(jià)為在上有零點(diǎn)，即在上有解，即在上有解，即，設(shè)，則，有，在上恒成立，則在上遞增，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即實(shí)數(shù)n的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.求的值，由的解析式，通過合理配對(duì)，使得某兩項(xiàng)相加為定值；2.函數(shù)零點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程有實(shí)數(shù)根，通過參變分離，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求值域.2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù).(1)若函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)，且.【答案】(1)；(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍、求反函數(shù)、零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)【分析】（1）由反函數(shù)定義可得，從而結(jié)合的值域?yàn)镽，討論m的取值，結(jié)合解不等式，求得答案；（2）利用零點(diǎn)存在定理，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可證明函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)，從而得到，進(jìn)而將要證明的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由此構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)y=gx與互為反函數(shù)，所以.因?yàn)榈闹涤驗(yàn)镽，所以能取遍0,+∞內(nèi)的所有值，當(dāng)時(shí)，能取遍0,+∞內(nèi)的所有值，符合題意；當(dāng)時(shí)，則只需，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為0,1；（2）由（1）可得，定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，（）由零點(diǎn)存在定理有，存在零點(diǎn)，使得，又因?yàn)棣誼在上單調(diào)遞增，所以φx僅有1個(gè)零點(diǎn)，且.等價(jià)于，令，顯然函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則.所以，故，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于函數(shù)不等式的證明，解答時(shí)要結(jié)合函數(shù)存在零點(diǎn)，得到關(guān)于零點(diǎn)的等式，進(jìn)而結(jié)合該等式化簡(jiǎn)，從而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，證明結(jié)論.3．（23-24高一上·福建龍巖·期末）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)，，求的最值；(2)設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)不斷，證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且.【答案】(1)，，(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）確定的值域，換元令，將化為，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可求得答案；（2）分和討論，時(shí)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理證明即可；時(shí)，說明函數(shù)值恒為正，即無零點(diǎn)，綜合可得結(jié)論；利用零點(diǎn)得出，即可化簡(jiǎn)為，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可證明不等式.【詳解】（1）由題意知，故，令，在在上單調(diào)遞增，故，則，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，.（2）函數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)不斷，當(dāng)時(shí)，與在上都單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，而，，即，故存在唯一的，使得，即函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，而，故，故此時(shí)在上無零點(diǎn)，綜上可知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故，即故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.壓軸12指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的恒成立問題（共3小題）1．（23-24高一上·福建·期末）已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，.(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)存在，使成立.（i）求t的取值范圍；（ii）若恒成立，求n的取值范圍.【答案】(1)(2)（i）（ii）【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求參數(shù)、求含sinx（型）的二次式的最值【分析】（1）由奇函數(shù)定義列出恒等式即可求解.（2）（i）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得在R上單調(diào)遞減，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)得，由此即可求解；（ii）將原不等式轉(zhuǎn)換為恒成立，通過換元法即可求解.【詳解】（1）由題意函數(shù)在R上為奇函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以解得，?jīng)檢驗(yàn)符合題意.（2）（i）由（1）得在R上為奇函數(shù)，顯然在0,+∞上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在0,+∞上單調(diào)遞減，從而在R上單調(diào)遞減，所以，即，因?yàn)閤∈R，所以，所以；（ii）由（2）（i）得，所以，若恒成立，則恒成立，所以當(dāng)，即時(shí)，，所以n的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問（i）的關(guān)鍵是先得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)可得關(guān)于的函數(shù)方程，由此即可順利得解.2．（23-24高一上·江西上饒·期末）已知，.(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.(2)對(duì)于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)2(2)【知識(shí)點(diǎn)】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、指數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)值域以及基本不等式即可求解.（2）由題意將原問題轉(zhuǎn)換為恒成立，首先由初步得出的一個(gè)范圍，進(jìn)一步利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，得到對(duì)于任意恒成立，由此即可進(jìn)一步求解.【詳解】（1）由題意當(dāng)時(shí)，，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值2.（2）對(duì)于任意，都有成立，則只需，由（1）可知，所以只需恒成立，首先有，即，由得，所以，進(jìn)一步可以化為，所以恒成立，即，即對(duì)于任意恒成立，因?yàn)?，所以?duì)于任意恒成立，即對(duì)于任意恒成立，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于第（2）問中雙變量求解參數(shù)取值范圍問題，由于雙變量是針對(duì)不同函數(shù)而言，因此可以對(duì)不同函數(shù)分別求最值進(jìn)行單獨(dú)處理，不需要得出之間的關(guān)系式.3．（23-24高一上·福建三明·期末）已知函數(shù)，．(1)若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，若，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、指數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、求含sinx（型）的二次式的最值、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）由題意通過換元法，轉(zhuǎn)換為定區(qū)間動(dòng)軸的二次函數(shù)最值問題，對(duì)對(duì)稱軸位置分類討論即可求解.（2）由題意首先將原問題轉(zhuǎn)換為在恒成立，進(jìn)一步在恒成立．通過換元法求得即可.【詳解】（1）函數(shù)，令，，所以，，①當(dāng)，即時(shí)，，解得，②當(dāng)，即時(shí)，（舍去）．綜上所述，實(shí)數(shù)的值為．（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)，，都有成立，則．由（1）可知時(shí)，，所以．則在恒成立，即在恒成立，則在恒成立．令，，則，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，所以，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第一問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)最值求參數(shù)，第二問的關(guān)鍵是分離參數(shù)與換元法有機(jī)結(jié)合，由此即可順利得解.壓軸13指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的能成立問題（共3小題）1．（23-24高一上·吉林·期末）已知定義在R上的函數(shù)，且為偶函數(shù)．(1)解不等式；(2)設(shè)函數(shù)，命題，使成立．是否存在實(shí)數(shù)，使命題為真命題？如果存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)或(2)存在，【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求參數(shù)、由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)不等式恒成立問題、函數(shù)不等式能成立（有解）問題【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求得的值，即可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式，即可得解集；（2）由基本不等式求得的最小值，由命題為真命題，轉(zhuǎn)化為，即確定函數(shù)的最小值，設(shè)，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值，利用其單調(diào)性分類討論求解即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且定義域?yàn)?，所以，即，整理得，即得，所以．因?yàn)椋吹?，即．所以，上不等式等價(jià)于，所以或．所以或，所以原不等式的解集為或；（2）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為．若命題為真命題，則需．而，設(shè)，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以當(dāng)，即時(shí)，最小值為，所以時(shí)滿足題意．當(dāng)，即時(shí)，最小值為，解得，顯然無解．當(dāng)，即時(shí)，最小值為，解得，又，所以．綜合可知，時(shí)，命題為真命題，即得實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．（22-23高一上·遼寧葫蘆島·期末）設(shè)函數(shù)（a，b為常數(shù)且），且的最小值為0，當(dāng)時(shí)，，且為R上的奇函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)，有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、對(duì)數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、函數(shù)不等式能成立（有解）問題【分析】（1）由結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出，進(jìn)而由奇偶性得出函數(shù)的解析式；（2）可化為，即，再由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性討論即可.【詳解】（1）因?yàn)榍业淖钚≈禐?，所以，解得即.當(dāng)時(shí)，，即.故（2）因?yàn)?，所?所以可化為.即.令，構(gòu)造函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.即的最小值為.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，構(gòu)造函數(shù)，①若，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，，解得，不合題意；②若，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（i）當(dāng)，即時(shí)，，由，解得，不合題意；（ii）當(dāng)，即時(shí)，，由，解得，即，滿足題意；③若，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，由，解得，即滿足題意；綜上，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題二時(shí)，關(guān)鍵在于利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性得出，同時(shí)也將不等式的能成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行解決.3．（22-23高一上·陜西渭南·期末）已知函數(shù)．(1)用定義法證明在上單調(diào)遞增；(2)求不等式的解集；(3)若，對(duì)使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)或(3)【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式【分析】（1）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用奇偶性和單調(diào)性解不等式；（3）令，利用復(fù)合函數(shù)法求出，轉(zhuǎn)化為恒成立，即，，利用分離參數(shù)法和換元法轉(zhuǎn)化為恒成立.令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，進(jìn)而求出的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)，則，，，，，,，，故在上單調(diào)遞增．（2）由于，所以是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，兩邊同時(shí)平方可得，解得或所以原不等式的解集為或．（3）由于，使得成立，令，可知，由于單調(diào)遞增，，t在上單調(diào)遞增，則由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故，即，所以，令，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，則，令，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，則，即的取值范圍為．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）相等關(guān)系記的值域?yàn)锳,的值域?yàn)锽,①若，，有成立，則有；②若，，有成立，則有；③若，，有成立，故；（2）不等關(guān)系①若，，總有成立，故；②若，，有成立，故；③若，，有成立，故；④若，，有成立，故．壓軸14指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的新定義問題（共3小題）1．（23-24高二下·遼寧沈陽·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在正?shí)數(shù)，對(duì)任意的，總有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由.①；②.(2)已知，為給定的正實(shí)數(shù)，若函數(shù)具有性質(zhì)，求的取值范圍.（用含字母的式子表示）【答案】(1)①具有性質(zhì)，理由見解析；②不具有性質(zhì)，理由見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義、對(duì)數(shù)的運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義對(duì)函數(shù)與函數(shù)進(jìn)行判斷，從而確定正確答案.（2）性質(zhì)的定義列不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的知識(shí)求解的取值范圍.【詳解】（1）①對(duì)任意，，所以具有性質(zhì).②對(duì)任意，得，取，則，所以不具有性質(zhì).（2）由于，函數(shù)的定義域?yàn)镽，.若函數(shù)具有性質(zhì)，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，即，即.由于函數(shù)在0,+∞上遞增，得，即.當(dāng)時(shí)，得，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立；當(dāng)時(shí)，易得，由，得，得，得，由題意得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以解得.當(dāng)時(shí)，易得，由，得，得，得.由題意得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以解得.綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）的關(guān)鍵是對(duì)于性質(zhì)的定義的理解和應(yīng)用；（2）的關(guān)鍵是通過性質(zhì)的定義列不等式，然后對(duì)參數(shù)分類討論求解.2．（23-24高一上·云南大理·期末）布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)新定義：若滿足，則稱為的次不動(dòng)點(diǎn).(1)求函數(shù)的次不動(dòng)點(diǎn)；(2)若函數(shù)在上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)和(2)【知識(shí)點(diǎn)】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的次不動(dòng)點(diǎn)定義建立方程，求解即得；（2）因函數(shù)各有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，故相當(dāng)于對(duì)應(yīng)的兩個(gè)方程各有一個(gè)解，將兩個(gè)方程利用參變分離法轉(zhuǎn)化成求解對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域問題，最后求交即得.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)的次不動(dòng)點(diǎn)為，則，即，將等式兩邊平方整理得：或，均符合題意，故函數(shù)的次不動(dòng)點(diǎn)為和.（2）設(shè)函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)和次不動(dòng)點(diǎn)分別為和.則由可得：，即：，化簡(jiǎn)得：，，因在時(shí)為增函數(shù)，故，即；再由可得：，即：，化簡(jiǎn)得：，，因在時(shí)為增函數(shù)，故，即.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的是函數(shù)新定義問題.解題關(guān)鍵在于設(shè)出不動(dòng)點(diǎn)（或次不動(dòng)點(diǎn)）后，對(duì)于方程有解的問題最便捷的方法就是運(yùn)用參變分離法，把求參數(shù)取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題.3．（22-23高二下·山東青島·期末）定義一種新的運(yùn)算“”：，都有.(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，試判斷與的大小關(guān)系；(2)若關(guān)于x的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)或(3)且【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、由一元二次不等式的解確定參數(shù)、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)新定義運(yùn)算即可得解；（2）由函數(shù)新定義運(yùn)算即可得解，再利用函數(shù)零點(diǎn)的概念解不等式即可；（3）用換元法可判斷出，先由的值域?yàn)?，可得出的值域?yàn)?，再由可解得?shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1），，（2）原不等式可化為：，即，為滿足題意，必有，即或①令，由于，，結(jié)合①可得：，的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間，另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間，從而，即②由①②可得：或（3），設(shè)，令，，則，，，的值域?yàn)?，的值域?yàn)楦鶕?jù)題意可知：，解之得：且【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：理解函數(shù)新定義，用對(duì)數(shù)運(yùn)算知識(shí)得出函數(shù)解析式是關(guān)鍵，從而用函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)以及零點(diǎn)的概念解之.壓軸15三角函數(shù)中的零點(diǎn)問題（共2小題）1．（23-24高一下·廣東廣州·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?1)若，求A與；(2)證明：函數(shù)是偶函數(shù)；(3)證明函數(shù)是周期函數(shù)；(4)若的周期為T，在上是減函數(shù)，記的正的零點(diǎn)從小到大依次為，，，，證明在區(qū)間上有4048個(gè)零點(diǎn)，且．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析(4)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)、函數(shù)的周期性的定義與求解、由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)值計(jì)算求出余弦函數(shù)的參數(shù)值；（2）應(yīng)用偶函數(shù)定義證明；（3）應(yīng)用周期定義證明；（4）賦值法得出零點(diǎn)結(jié)合對(duì)稱性及周期性即可證明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及恒等式.【詳解】（1）因?yàn)椋?/p>

①令，可得，，

因?yàn)?，所以，由，得?/p>

由，得，解得．因?yàn)?，所以?/p>

所以，則

，所以．

解法二：因?yàn)椋裕?/p>

．因?yàn)?，所以，解得，或．?dāng)時(shí)，f1=0，與已知矛盾，所以，由，且，得

所以．（2）由（1）得，，

①中，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)；（3）令得，，

即有，從而可知，，

故，即．

所以函數(shù)是一個(gè)周期為的周期函數(shù)．（4）由（1）得，，在中，令，可得，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．中，令，得．所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在一個(gè)周期內(nèi)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．，所以在內(nèi)的零點(diǎn)為和．

，，．因此，對(duì)任意，在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)：，．

在上有4048個(gè)零點(diǎn)：，，，，，，，其中，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：賦值法得出零點(diǎn)結(jié)合對(duì)稱性及周期性即可證明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及恒等式.2．（23-24高一上·上?！て谀┮阎瘮?shù).(1)某同學(xué)打算用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)再某一周期內(nèi)的圖象，列表如下：x00100000請(qǐng)?zhí)顚懮媳淼目崭裉?，并寫出函?shù)的解析式；(2)若函數(shù)，將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在上恰有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a與零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)表格見解析，(2)?2，3037【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）、利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)、求圖象變化前（后）的解析式【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)確定參數(shù)的值，即可得函數(shù)解析式，即可完善表格；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求出的表達(dá)式，即可求得的表達(dá)式，結(jié)合方程的解的情況，分類討論，確定其解，結(jié)合題意以及正弦函數(shù)的周期性，即可求得答案.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，解得，故，故令；令，此時(shí)，則表格如下：x00100000（2）由題意函數(shù)，將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則，故，周期為，當(dāng)時(shí)，令，考慮方程的解的情況，，即在R上必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)為，在上恰有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則或，若，則，在共有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，在共有0個(gè)或2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則在上有個(gè)根或個(gè)根，此時(shí)與題意不符合；若，則在共有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，在共有0個(gè)或2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則在上有個(gè)根或個(gè)根，此時(shí)與題意不符合；同理，也不符合題意；故或，若，代入，則；此時(shí)的根為，方程在共有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，在上，有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，此時(shí)無解，故在上有個(gè)根，不符合題意；若，代入，則；此時(shí)的根為，方程在共有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，在上，此時(shí)無解，有1個(gè)實(shí)數(shù)根，故在上有個(gè)根，符合題意，綜上，，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3037.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難點(diǎn)在于（3）中函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定，解答時(shí)要分類討論，結(jié)合正弦函數(shù)的周期性以及正弦函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行解答.壓軸16三角函數(shù)中的恒成立問題（共3小題）1．（23-24高一上·山西長(zhǎng)治·期末）函數(shù)的部分圖象如圖所示，該圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)為最高點(diǎn)，的面積為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式【分析】（1）根據(jù)三角形的面積求得，進(jìn)而求得，利用點(diǎn)求得，從而求得的解析式.（2）先求得在區(qū)間的取值范圍，根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法化簡(jiǎn)不等式，根據(jù)恒成立問題以及對(duì)數(shù)不等式等知識(shí)求得正確答案.【詳解】（1）由題意可知：的面積，可得，所以周期，則，由，得，又，于是，所以；（2）由，則，得，即．由，得，即在上恒成立，亦即，因?yàn)?，所以，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)圖象與性質(zhì)求得三角函數(shù)的解析式，其中往往是通過周期，用來進(jìn)行求解，往往通過函數(shù)圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來進(jìn)行求解.求解不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來進(jìn)行求解.2．（23-24高一上·重慶·期末）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的對(duì)稱中心；(2)若為奇函數(shù)，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若過點(diǎn)，設(shè)，若對(duì)任意的，，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題、求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求含cosx的二次式的最值【分析】（1）由題設(shè)列求x即可得對(duì)稱中心；（2）由已知得，問題化為在上恒成立，結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍；（3）由已知得，將問題化為，根據(jù)三角函數(shù)及二次函數(shù)性質(zhì)研究最值，進(jìn)而求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，令，可得，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為.（2）由題設(shè)，，又，則，故，由，又，則，故，所以，當(dāng)，只需，可得；當(dāng)，只需，可得；當(dāng)，則，，此時(shí)滿足題設(shè)；綜上，.（3）由題設(shè)，又，則，對(duì)任意的，有，即，所以，則，有，故，，又，則，當(dāng)時(shí)，；此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，；此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，；此時(shí)，即；綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，問題化為在上