【七上數學】壓軸題九大攻略【學生版】

七年級數學上冊壓軸題九大攻略目錄TOC\o"1-1"\h\u21338攻略01絕對值的三種化簡方法 124198攻略02數軸上的三種動點問題 620582攻略03代數式化簡求值的四種考法 1216509攻略04整式中加減無關型的三種考法 1530846攻略05整式中的兩種規(guī)律探索問題 1925054攻略06一元一次方程特殊解的四種考法 2513064攻略07一元一次方程實際應用的六種考法 302351攻略08線段上動點問題的三種考法 4330249攻略09幾何中動角問題的兩種考法 53攻略01絕對值的三種化簡方法絕對值版塊的內容在我們這學期比重較大，尤其是絕對值的化簡。并且，在壓軸題中，常見的題型是利用數軸化簡絕對值和利用其幾何意義化簡絕對值，本攻略就這兩塊難點詳細做出分析?！局R點梳理】1.絕對值的定義一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|2.絕對值的意義①代數意義：正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0；②幾何意義：一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小。3.絕對值的化簡：類型一、利用數軸化簡絕對值例1．有理數a、b、c在數軸上位置如圖，則的值為（

）．A． B． C．0 D．例2．有理數，在數軸上對應的位置如圖所示，那么代數式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-3【變式訓練1】已知，數、、的大小關系如圖所示：化簡____．【變式訓練2】有理數a、b、c在數軸上的位置如圖．（1）判斷正負，用“>”或“<”填空：，，．（2）化簡：【變式訓練3】有理數，在數軸上的對應點如圖所示：（1）填空：______0；______0；______0；（填“＜”、“＞”或“＝”）（2）化簡：【變式訓練4】有理數a、b、c在數軸上的位置如圖：(1)用“＞”或“＜”填空a_____0，b_____0，c﹣b______0，ab_____0．(2)化簡：|a|+|b+c|﹣|c﹣a|．類型二、利用幾何意義化簡絕對值例1.同學們都知道，|5-（-2）|表示5與-2之差的絕對值，實際上也可理解為5與-2兩數在數軸上所對的兩點之間的距離．試探索（1）求|5-（-2）|=________；（2）同樣道理|x+1008|=|x-1005|表示數軸上有理數x所對點到-1008和1005所對的兩點距離相等，則x=________；（3）類似的|x+5|+|x-2|表示數軸上有理數x所對點到-5和2所對的兩點距離之和，請你找出所有符合條件的整數x，使得|x+5|+|x-2|=7，這樣的整數是__________．（4）由以上探索猜想對于任何有理數x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【變式訓練1】閱讀下面的材料：點A、B在數軸上分別表示實數a、b，A、B兩點之間的距離表示為∣AB∣，當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；當A、B兩點都不在原點時：①如圖2，點A、B都在原點的右邊：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；②如圖3，點A、B都在原點的左邊：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；③如圖4，點A、B在原點的兩邊：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，綜上，數軸上A、B兩點之間的距離∣AB∣=∣a-b∣．回答下列問題：(1)數軸上表示2和5的兩點之間的距離是_________，數軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是________，數軸上表示1和-3的兩點之間的距離是___________；(2)數軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是________，如果∣AB∣=2，那么x為__________．(3)當代數式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值時，相應的x的取值范圍是__________．【變式訓練2】結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數軸上表示4和1的兩點之間的距離是；數軸上表示﹣3和2兩點之間的距離是；一般地，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離可以表示為|m﹣n|．那么，數軸上表示數x與5兩點之間的距離可以表示為，表示數y與﹣1兩點之間的距離可以表示為．（2）如果表示數a和﹣2的兩點之間的距離是3，那么a＝；若數軸上表示數a的點位于﹣4與2之間，求|a+4|+|a﹣2|的值；（3）當a＝時，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【變式訓練3】（問題提出）的最小值是多少？（閱讀理解）為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．的幾何意義是這個數在數軸上對應的點到原點的距離，那么可以看作這個數在數軸上對應的點到1的距離；就可以看作這個數在數軸上對應的點到1和2兩個點的距離之和．下面我們結合數軸研究的最小值．我們先看表示的點可能的3種情況，如圖所示：（1）如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．（2）如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），看出到1和2的距離之和等于1．（3）如圖③，在2的右邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．因此，我們可以得出結論：當在1，2之間（包括在1，2上）時，有最小值1．（問題解決）（1）的幾何意義是，請你結合數軸探究：的最小值是．（2）請你結合圖④探究的最小值是，由此可以得出為．（3）的最小值為．（4）的最小值為．（拓展應用）如圖，已知使到-1，2的距離之和小于4，請直接寫出的取值范圍是．類型三、分類討論法化簡絕對值例1.化簡：.【變式訓練1】若，則的值為_________．【變式訓練2】（1）數學小組遇到這樣一個問題：若a，b均不為零，求的值．請補充以下解答過程（直接填空）①當兩個字母a，b中有2個正，0個負時，x=；②當兩個字母a，b中有1個正，1個負時，x=；③當兩個字母a，b中有0個正，2個負時，x=；綜上，當a，b均不為零，求x的值為．（2）請仿照解答過程完成下列問題：①若a，b，c均不為零，求的值．②若a，b，c均不為零，且a+b+c=0，直接寫出代數式的值．攻略02數軸上的三種動點問題數軸的動點問題，無論在平時練習，還是月考，期中期末考試中屬于壓軸題的版塊，其過程復雜，情況多變。那么，本攻略對其中常考的三種題型（求時間、求距離或者對應點、定值問題）做出詳細分析與梳理。【知識點梳理】1.數軸上兩點間的距離數軸上A、B兩點表示的數為分別為a、b，則A與B間的距離AB=|a－b|；2.數軸上點移動規(guī)律數軸上點向右移動則數變大（增加），向左移動數變?。p?。?；當數a表示的點向右移動b個單位長度后到達點表示的數為a+b；向左移動b個單位長度后到達點表示的數為a－b.類型一、求值（速度、時間、距離）例1．如圖在數軸上A點表示數a，B點表示數b，a，b滿足＋＝0；(1)點A表示的數為；點B表示的數為；(2)若點A與點C之間的距離表示為AC，點B與點C之間的距離表示為BC，請在數軸上找一點C，使AC＝2BC，則C點表示的數；(3)若在原點O處放一擋板，一小球甲從點A處以1個單位／秒的速度向左運動；同時另一小球乙從點B處以2個單位／秒的速度也向左運動，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點）以原來的速度向相反的方向運動，設運動的時間為t（秒），請分別表示出甲，乙兩小球到原點的距離（用t表示）．例2．如圖，數軸上兩個動點A，B起始位置所表示的數分別為，4，A，B兩點各自以一定的速度在數軸上運動，已知A點的運動速度為2個單位/秒．(1)若A，B兩點同時出發(fā)相向而行，正好在原點處相遇，請直接寫出B點的運動速度．(2)若A，B兩點于起始位置按上述速度同時出發(fā)，向數軸正方向運動，幾秒時兩點相距8個單位長度？(3)若A，B兩點于起始位置按上述速度同時出發(fā)，向數軸負方向運動，與此同時，C點從原點出發(fā)作同方向的運動，如果在運動過程中，始終有，求C點的運動速度．【變式訓練1】如圖，將一條數軸在原點O和點B處各折一下，得到一條“折線數軸”．圖中點A表示-10，點B表示10，點C表示18，我們稱點A和點C在數軸上相距28個長度單位．動點P、Q同時出發(fā)，點P從點A出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著“折線數軸”的正方向運動，從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄罅⒖袒謴驮?；動點Q從點C出發(fā)，以1單位/秒的速度沿著數軸的負方向運動，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀叮笠擦⒖袒謴驮伲O運動的時間為t秒．問：(1)動點P從點A運動至點C需要多少時間？(2)求P、Q兩點相遇時，t的值和相遇點M所對應的數．【變式訓練2】如圖，已知、、是數軸上三點，點表示的數為4，，．(1)點表示的數是______，點表示的數是______．(2)動點、分別從、同時出發(fā)，點以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，點以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設點的運動時間為（）秒．①用含的代數式表示：點表示的數為______，點表示是數為______；②當時，點、之間的距離為______；③當點在上運動時，用含的代數式表示點、之間的距離；④當點、到點的距離相等時，直接寫出的值．【變式訓練3】如圖，點A、B為數軸上的點（點A在數軸的正半軸），，N為AB的中點，且點N表示的數為2．(1)點A表示的數為______，點B表示的數為______；(2)點M為數軸上一動點，點C是AM的中點，若，求點M表示的數，并畫出點M的位置；(3)點P從點N出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)，設運動時間為秒．在運動過程中，點P、Q之間的距離為3時，求運動時間t的值．類型二、定值問題例1．已知：a是單項式-xy2的系數，b是最小的正整數，c是多項式2m2n－m3n2－m－2的次數．請回答下列問題：(1)請直接寫出a、b、c的值．a＝，b＝，c＝．(2)數軸上，a、b、c三個數所對應的點分別為A、B、C，點A、B、C同時開始在數軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，假設t秒鐘過后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB，點A與點C之間的距離表示為AC．

①t秒鐘過后，AC的長度為（用含t的關系式表示）；②請問：BC-AB的值是否會隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求出其值．【變式訓練1】如圖，已知數軸上點A表示的數為12，B是數軸上一點．且．動點P從點A出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為秒．(1)寫出數軸上點B表示的數___，點P表示的數___（用含t的代數式表示）；(2)動點Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P，Q同時出發(fā)，問點P運動多少秒時追上點Q；(3)若M為AP的中點，N為PB的中點，點P在運動的過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長．【變式訓練2】如圖，已知數軸上點A表示的數為9，B是數軸負方向上一點，且．動點P從點A出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，運動時間為秒．(1)數軸上點B表示的數為_____，點P表示的數為________；（用含t的代數式表示）(2)動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P，Q同時出發(fā)，問t為何值時，點P追上點Q？此時P點表示的數是多少？(3)若點M是線段的中點，點N是線段的中點．點P在運動的過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求出的長度；【變式訓練3】點A、B在數軸上對應的數分別為a、b，且a、b滿足．(1)如圖1，求線段AB的長；(2)若點C在數軸上對應的數為x，且x是方程的根，在數軸上是否存在點P使，若存在，求出點P對應的數，若不存在，說明理由；(3)如圖2，點P在B點右側，PA的中點為M，N為PB靠近于B點的四等分點，當P在B的右側運動時，有兩個結論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個結論正確，請判斷正確的結論，并直接寫出該值．類型三、點之間的位置關系問題例1．如圖，已知在數軸上有A，B兩點，點A表示的數為8，點B在A點的左邊，且．若有一動點P從數軸上點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著數軸向右勻速運動．設點P的運動時間為t秒．(1)解決問題：①當時，寫出數軸上點B，P所表示的數；②若點P，Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，問點P運動多少秒與點Q相距3個單位長度？(2)探索問題：若M為AQ的中點，N為BP的中點．當點P在A，B兩點之間運動時，探索線段MN與線段PQ的數量關系（寫出過程）．例2.如圖，在數軸上A點表示的數為a，B點表示的數為b，C點表示的數為c，b是最大的負整數，且a，c滿足|a+3|+（c﹣9）2＝0．點P從點B出發(fā)以每秒3個單位長度的速度向左運動，到達點A后立刻返回到點C，到達點C后再返回到點A并停止．(1)a＝，b＝；(2)點P從點B離開后，在點P第二次到達點B的過程中，經過x秒鐘，PA+PB+PC＝13，求x的值．(3)點P從點B出發(fā)的同時，數軸上的動點M，N分別從點A和點C同時出發(fā)，相向而行，速度分別為每秒4個單位長度和每秒5個單位長度，假設t秒鐘時，P、M、N三點中恰好有一個點是另外兩個點的中點，請直接寫出所有滿足條件的t的值．【變式訓練1】如圖，已知A、B、C是數軸上三點，點O為原點，點C表示的數為6，BC＝4，AB＝12．(1)寫出數軸上點A、B表示的數；(2)動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，沿數軸向右勻速運動．點P的速度是每秒6個單位長度，點Q的速度是每秒3個單位長度，點M為AP的中點，點N在線段CQ上，且CN＝CQ，設運動時間為t（t＞0）秒．①求數軸上點M、N表示的數（用含t的式子表示）；②當M、B、N三個點中的其中一個點是另兩點構成的線段的中點的時候，求t的值．【變式訓練2】已知，如圖1：數軸上有A、B、C三點，點A表示的數為－5，點B表示的數為13，點C表示的數為－2，將一條長為9個單位長度的線段MN放在該數軸上（點M在點N的左邊）．(1)求線段AB中點表示的數；(2)如圖2：若從點M與點A重合開始，將線段MN以0.3個單位長度/秒的速度沿數軸向右移動，經過x秒后，點N恰為線段BC的中點，求x的值；(3)如圖3：在（2）的基礎上，若線段MN向右移動的同時，動點P從點C開始以0.6個單位長度/秒的速度也沿數軸向右移動，設移動的時間為t秒，當P、N、B三個點中恰有一個點為另兩個點所組成線段的中點時，求t的值．【變式訓練3】已知A、B、C為數軸上三點，若點C到A的距離是點C到B的距離的2倍，我們就稱點C是的優(yōu)點．例如：如圖1，A，B為數軸上兩點，點A表示的數為－1，點B表示的數為2，表示數1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是的優(yōu)點；表示數0的點D到點C的距離是1，到點B的距離是2，那么點D是的優(yōu)點．(1)在圖1中，點C是的優(yōu)點，也是（A，_____________）的優(yōu)點；點D是的優(yōu)點，也是（B，_____________）的優(yōu)點；(2)如圖2，A，B為數軸上兩點，點A所表示的數為－2，點B所表示的數為4．設數所表示的點是的優(yōu)點，求的值；(3)如圖3，A，B為數軸兩點，點A所表的數為－20，點B所表示的數為40．現有一只電子螞蟻Р從點B出發(fā)，以5個單位每秒的速度向左運動，到達點A停止，設點Р的運動時間為t秒，在點Р運動過程中，是否存在P、A和B中恰有一個點為其余兩點的優(yōu)點﹖如果存在請求出t的值；如果不存在，說明理由．

攻略03代數式化簡求值的四種考法類型一、整體代入求值例1.若，那么_________．例2.已知，則_________．例3.當時，多項式的值為5，則當時，該多項式的值為（

）A． B．5 C． D．3【變式訓練1】已知，則的值為_______．【變式訓練2】若，，則___．【變式訓練3】若，則的值為（）A． B． C． D．【變式訓練4】已知a+b=2ab，那么＝（）A．6 B．7 C．9 D．10類型二、特殊值法代入求值例1.設，則的值為（

）A．2 B．8 C． D．【變式訓練1】已知（x﹣1）6＝a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，將x＝0代入這個等式中可以求出a0＝1．用這種方法可以求得a6+a5+a4+a3+a2+a1的值為（）A．﹣16 B．16 C．﹣1 D．1【變式訓練2】若，則______．【變式訓練3】特殊值法，又叫特值法，是數學中通過設題中某個未知量為特殊值，從而通過簡單的運算，得出最終答案的一種方法．例如：已知：，則（1）取時，直接可以得到；（2）取時，可以得到；（3）取時，可以得到；（4）把（2），（3）的結論相加，就可以得到，結合（1）的結論，從而得出．請類比上例，解決下面的問題：已知．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．類型三、降冪思想求值例．若，則_____；【變式訓練1】若實數x滿足x2﹣2x﹣1＝0，則2x3﹣7x2＋4x﹣2016＝_____．【變式訓練2】如果的值為5，則的值為______．【變式訓練3】已知x2﹣3x＝2，那么多項式x3﹣x2﹣8x+9的值是_____．【變式訓練4】已知，則的值是______．類型四、含絕對值的代數式求值例1．若，且，則的值是________例2.已知＝5，＝4，且，則，則的值為（

）A．6 B．±6 C．14 D．6或14【變式訓練1】已知，且，則的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【變式訓練2】已知，a與b互為倒數，c與d互為相反數，求的值．【變式訓練3】已知，，且，則______．

攻略04整式中加減無關型的三種考法類型一、不含某一項例.已知關于x的整式A、B，其中A＝4x2+（m﹣1）x+1，B＝nx2+2x+1．若當A+2B中不含x的二次項和一次項時，求m+n的值．【變式訓練1】若多項式不含和x項，則的值為_______．【變式訓練2】若多項式與多項式相減后不含二次項，則的值為______．【變式訓練3】．先化簡再求值：（1），其中．（2）已知整式與整式的差不含x和項，試求出的值．【變式訓練4】若要使多項式化簡后不含x的二次項，則m等于（）A．1 B． C．5 D．類型二、與某一項的取值無關例1.已知，，且多項式的值與字母取值無關，求的值．【變式訓練1】已知代數式的值與x的取值無關，則________．【變式訓練2】定義：若，則稱x與y是關于m的相關數．(1)若5與a是關于2的相關數，則_____．(2)若A與B是關于m的相關數，，B的值與m無關，求B的值．【變式訓練3】（1）化簡求值，其中．（2）已知，若多項式的值與字母的取值無關，求的值．【變式訓練4】定義：若，則稱與是關于的關聯數．例如：若，則稱與是關于2的關聯數；(1)若3與是關于的關聯數，則__________．(2)若與是關于-2的關聯數，求的值．(3)若與是關于的關聯數，，的值與無關，求的值．類型三、問題探究例1.有這樣一道題：計算的值，其中，小明把抄成．但他的計算結果卻是正確的，你能說出其中的原因嗎？請你求出正確結果．【變式訓練1】李老師寫出了一個整式ax2+bx-2-（5x2+3x），其中a，b為常數，且表示為系數，然后讓同學賦予a，b不同的數值進行計算．(1)甲同學給出了a=6，b=-2，請按照甲同學給出的數值化簡整式；(2)乙同學給出了一組數據，計算的最后結果與x的取值無關，請求出乙同學給出的a，b的值．【變式訓練2】有這樣一道題：“當，時，求多項式值．”小明認為：本題中，是多余的條件．小強反對說：“這不可能，多項式中含有和，不給出、的值，就不能求出多項式的值．”你同意誰的觀點？請說明理由．【變式訓練3】有這樣一道題“當時，求多項的值”，小馬虎做題時把錯抄成，但他做出的結果卻是正確的，你知道這是怎么回事嗎？請說明理由，并求出結果．【變式訓練4】已知，小紅錯將“”看成了“”，算得結果為．(1)求；(2)小軍跟小紅說：“的大小與取值無關”，小軍的說法對嗎？為什么？攻略05整式中的兩種規(guī)律探索問題類型一、數字類規(guī)律探索例.觀察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，據此規(guī)律，當（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0時，代數式x2019﹣1的值為_____．【變式訓練1】a是不為1的有理數，我們把稱為a的差倒數，如2的差倒數為，－1的差倒數為，已知，是差倒數，是差倒數，是差倒數，以此類推……，的值是（）A．5 B． C． D．【變式訓練2】有2021個數排成一行，對于任意相鄰的三個數，都有中間數等于前后兩數的和，如果第一個數是0，第二個數是1，那么前6個數的和是______，這2021個數的和是______．【變式訓練3】有一列數，…，那么第n個數為______．【變式訓練4】楊輝三角又稱賈憲三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，如圖，觀察下面的楊輝三角：按照前面的規(guī)律，則的展開式中從左起第三項為______．類型二、圖形類規(guī)律探索例.如圖，兩條直線相交，有1個交點，三條直線相交最多有3個交點，四條直線相交最多有______個交點，n條直線相交最多有______個交點．【變式訓練1】如圖都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第_____個圖形共有45個小球．【變式訓練2】為慶?！傲ひ弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽．如圖所示：按照上面的規(guī)律，擺第n個“金魚”和第(n＋1)個“金魚”需用火柴棒的根數為130根，則n的值為______．【變式訓練3】如圖是某廣場用地板鋪設的部分圖案，中央是一塊正六邊形的地板磚，周圍是正三角形和正方形的地板磚．從里向外的第1層包括6個正方形和6個正三角形，第2層包括6個正方形和18個正三角形，依此遞推，第10層中含有正三角形個數為___個，第層含有正三角形個數為___個．【變式訓練4】觀察下列圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，用6064個五角星擺出的圖案應該是第_______個圖形．攻略06一元一次方程特殊解的四種考法類型一、整數解問題例.已知關于x的方程有負整數解，則所有滿足條件的整數a的值之和為（

）A． B． C． D．【變式訓練1】關于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整數，則符合條件的所有整數k的值的和是（）A．0 B．4 C．6 D．10【變式訓練2】從，，，1，2，4中選一個數作為的值，使得關于的方程的解為整數，則所有滿足條件的的值的積為（）A． B． C．32 D．64【變式訓練3】若整數使關于的一元一次方程有非正整數解，則符合條件的所有整數之和為（

）A． B． C．0 D．3【變式訓練4】已知關于x的方程的解是非正整數，則符合條件的所有整數m的和是（

）A． B． C．2 D．4類型二、含絕對值型例.有些含絕對值的方程，可以通過討論去掉絕對值，轉化成一元一次方程求解．例如：解方程，解：當時，方程可化為：，解得，符合題意；當時，方程可化為：，解得，符合題意．所以，原方程的解為或．請根據上述解法，完成以下兩個問題：（1）解方程：；（2）試說明關于的方程解的情況．【變式訓練1】若，則____．【變式訓練2】已知關于的方程的解滿足，則符合條件的所有的值的和為______．【變式訓練3】已知方程的解是負數，則值是（）A． B． C． D．【變式訓練4】有些含絕對值的方程，可以通過分類討論去掉絕對值，轉化成一元一次方程求解．例如：解方程解：當時，方程可化為：，符合題意當<0時，方程可化為：=-3，符合題意所以原方程的解為：或=-3仿照上面解法，解方程：類型三、相同解的問題例.若關于的方程的解與方程的解相同，求的值．【變式訓練1】若關于x的方程的解與方程的解相同，則a的值為______．【變式訓練2】若關于的方程的解與方程的解相同，則的值為______．【變式訓練3】如果關于x的方程與的解相同，那么m的值是（）A．1 B．±1 C．2 D．±2類型四、解的情況例.已知關于x的方程為一元一次方程，且該方程的解與關于x的方程的解相同．（1）求m，n的值；（2）在（1）的條件下，若關于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny無解，求a的值．【變式訓練1】若關于x的方程無解，則a=______．【變式訓練2】解關于x的方程：【變式訓練3】如果關于x的方程無解，那么m的取值范圍（

）A．任意實數 B． C． D．攻略07一元一次方程實際應用的六種考法類型一、數字問題例．（1）把100拆分成2個數的和，使得第一個數加3，第二個數減3，得到的結果相等．則拆分成的這兩個數分別是和；（2）把100拆分成2個數的和，使得第一個數乘2．第二個數除以2，得到的結果相等．則拆分成的這兩個數分別是和；（3）把100拆分成4個數的和，使得第一個數加5，第二個數減5，第三個數乘5，第4個數除以5，得到的的結果都相等，問拆分成的這四個數分別是多少．【變式訓練1】將連續(xù)的奇數1，3，5，7，9，……排成如圖所示的數表．(1)寫出數表所表示的規(guī)律；（至少寫出4個）(2)若將方框上下左右移動，可框住另外的9個數．若9個數之和等于297，求方框里中間數是多少？【變式訓練2】如圖所示的10×5（行×列）的數陣，是由一些連續(xù)奇數組成的．(1)形如圖框中的四個數，設第一行的第一個數為x，用含x的式子表示另外三個數；(2)若這樣框中的四個數的和是200，求出這四個數；(3)是否存在這樣的四個數，它們的和為296？為什么？【變式訓練3】將連續(xù)的偶數0，2，4，6，8，…排成如圖所示的數表．(1)十字形框內的五個數之和是中間數的______；若設十字形框內的五個數中最中間一個數是x，用代數式表示十字形框內五個數之和為______；(2)若將十字形框上下左右移動，可框住另外五個數，這五個數還有上述規(guī)律嗎？直接寫出答案，不需要證明；(3)十字形框能否框到五個數，使這五個數之和等于2400呢？若能，請寫出這五個數，若不能，請說明理由．類型二、配套問題例．列方程解應用題某啤酒公司的啤酒車間先將散裝啤酒灌裝成瓶裝啤酒，再將瓶裝啤酒裝箱出車間．該車間有灌裝、裝箱生產線共21條，每條灌裝生產線每小時裝350瓶，每條裝箱生產線每小時裝450瓶．某日，生產前車間內已有未裝箱的瓶裝啤酒5200瓶，8:00開始，車間內的生產線全部投入生產．(1)若當日到10:00時，該車間內未裝箱的瓶裝啤酒達到5500瓶.設灌裝生產線有x條，當日到10:00時，灌裝生產線共裝多少瓶啤酒（用含x的代數式表示）？該車間內灌裝生產線有多少條？(2)若該日車間工作8小時，灌裝生產線設計多少條時？該日車間內的瓶裝啤酒恰好全部裝箱？【變式訓練1】小林到某紙箱廠參加社會實踐，該廠計劃用50張白板紙制作某種型號的長方體紙箱．如圖，每張白板紙可以用A，B，兩種方法剪裁，其中A種裁法：一張白板紙裁成4個側面；B種裁法：一張白板紙裁成2個側面與4個底面．且四個側面和兩個底面恰好能做成一個紙箱．設按A種方法剪裁的有x張白板紙．(1)按B種方法剪裁的有______張白板紙；（用含x的代數式表示）(2)將50張白板紙裁剪完后，可以制作該種型號的長方體紙箱多少個？【變式訓練2】某服裝廠要生產同一種型號的服裝，已知3m長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套．(1)現庫存有布料300m，應如何分配布料做上衣和做褲子才能恰好配套？可以生產多少套衣服？(2)如果恰好有這種布料227m，最多可以生產多少套衣服？本著不浪費的原則，如果有剩余，余料可以做幾件上衣或褲子？（本問直接寫出結果）【變式訓練3】某工廠接受了15天內生產1200臺GH型電子產品的總任務．已知每臺GH型產品由4個G型裝置和3個H型裝置配套組成．工廠現有80名工人，每個工人每天能加工8個G型裝置或4個H型裝置．工廠將所有工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置，并要求每天加工的G、H型裝置數量正好全部配套組成GH型產品．(1)按照這樣的生產方式，工廠每天能配套組成多少套GH型電子產品？(2)為了在規(guī)定期限內完成總任務，工廠決定補充一些新工人，這些新工人只能獨立進行G型裝置的加工，且每人每天只能加工4個G型裝置．請問至少需要補充多少名新工人？類型三、銷售利潤問題例.甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤，決定將甲服裝按50%的利潤定價，乙服裝按40%的利潤率定價．在實際出售時，應顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店老板共獲利157元．甲、乙兩件服裝的成本各為多少元？【變式訓練1】“虎年大吉，歲歲平安”，為了喜迎新春，某水果店在春節(jié)期間推出水果籃和堅果禮盒，每個水果籃的成本為200元，每盒堅果禮盒的成本為150元，每個水果籃的售價比每盒堅果禮盒的售價多100元，售賣1個水果籃獲得的利潤和售賣2盒堅果禮盒獲得的利潤相同．(1)求每個水果籃和每盒堅果禮盒的售價；(2)在年末時，該水果店購進水果籃1250個和堅果禮盒1200盒，進行“新春特惠”促銷活動．水果店規(guī)定，每人每次最多購買水果籃1個或堅果禮盒1盒，每個水果籃在售價的基礎上打九折后再參與店內“每滿100元減m元”的活動，每盒堅果禮盒直接參與店內“每滿100元減m元”的活動．售賣結束時，堅果禮盒全部售賣完，售賣過程中由于部分水果變質導致水果籃有50個沒辦法售出．若該水果店獲得的利潤率為20%，求m的值．【變式訓練2】某工廠有甲、乙兩個車間，甲車間生產A產品，乙車間生產B產品，去年兩個車間生產產品的數量相同且全部售出．已知A產品的銷售單價比B產品的銷售單價高100元，1件A產品與1件B產品售價和為300元．(1)A、B兩種產品的銷售單價分別是多少元？(2)今年，該工廠計劃依托工業(yè)互聯網將乙車間改造為專供用戶定制B產品的生產車間．預計A產品在售價不變的情況下產量將在去年的基礎上增加a%；B產品產量將在去年的基礎上減少a%，但B產品的銷售單價將提高2a%．則今年A、B兩種產品全部售出后總銷售額將在去年的基礎上增加．求a的值．【變式訓練3】某超市計劃購進甲、乙兩種型號的節(jié)能燈共1000只，這兩種節(jié)能燈的進價、售價如下表：進價（元/只）售價（元/只）甲型2530乙型4560（1）如果進貨款恰好為37000元，那么可以購進甲型節(jié)能燈多少只？（2）超市為慶祝元旦進行大促銷活動，決定對乙型節(jié)能燈進行打折銷售，要求全部售完后，乙型節(jié)能燈的利潤率為20%，請問乙型節(jié)能燈需打幾折？【變式訓練4】武漢大洋百貨經銷甲、乙兩種服裝，甲種服裝每件進價500元，售價800元；乙種服裝商品每件售價1200元，可盈利50%．（1）每件甲種服裝利潤率為，乙種服裝每件進價為元；（2）若該商場同時購進甲、乙兩種服裝共40件，恰好總進價用去27500元，求商場銷售完這批服裝，共盈利多少？（3）在元旦當天，武漢大洋百貨實行“滿1000元減500元的優(yōu)惠”（比如：某顧客購物1200元，他只需付款700元）．到了晚上八點后，又推出“先打折”，再參與“滿1000元減500元”的活動．張先生買了一件標價為3200元的羽絨服，張先生發(fā)現竟然比沒打折前多付了20元錢問大洋百貨商場晚上八點后推出的活動是先打多少折之后再參加活動？類型四、工程問題例．某工程隊承包德阿公路綿竹市境內一段長為1755米的道路改造工程，由甲、乙兩個施工小隊分別從南、北兩端同時施工．已知甲隊比乙隊平均每天多施工3米，經過5天施工后，兩個小隊共完成施工路段135米．(1)求甲、乙兩個小隊平均每天各施工多少米？(2)為加快進度，通過改進施工技術，在剩余的工程中，甲隊平均每天能比原來多施工1米，乙隊平均每天能比原來多施工2米，甲、乙同時按此施工，能夠比原來提前多少天完成道路改造任務？【變式訓練1】某校職工周轉房已經落成，有一些結構相同的房間需要粉刷墻面．已知3名一級技工去粉刷8個房間，結果有30m2墻面未來得及粉刷；同樣時間內5名二級技工粉刷了10個房間，另外又多粉刷20m2墻面．每名一級技工比二級技工一天多粉刷12m2墻面．(1)求每個房間需要粉刷的墻面面積；（列方程解決問題）(2)若粉刷1m2墻面給付一級技工6元費用，給付二級技工5.5元費用，問一級技工和二級技工每人每天各掙多少工錢？【變式訓練2】湖北荊宜高速公路是“國家高速公路網規(guī)劃”中的建設工程，該工程預算國撥總投資為24億元，分土建、路面、設施三個建設項目，路面投資占土建投資的，設施投資比土建投資少40%、由于物價的上漲，工程建設實際總投資隨之增長，路面投資的增長率是土建投資增長率的2.5倍，設施投資的增長率達到路面投資增長率的2倍，(1)三個項目的預算投資分別是多少億元？(2)由于合理施工，使公路提前半年通車，每月可通行車輛100萬輛，每輛車的平均收益為40元．這樣，可將提前半年通車收益的70%用于該工程建設的實際投資，減少了國撥投資，使預算國撥總投資減少的百分率與土建投資的增長率相同，該工程的實際總投資是多少億元？類型五、行程問題例．甲騎摩托車從A地去B地，乙開汽車從B地去A地，同時出發(fā)，勻速行駛，各自到達終點后停止，甲、乙兩人間的距離為）與甲行駛的時間為之間的關系如圖所示．(1)以下是點M、點N、點P所代表的實際意義，請將M、N、P填入對應的橫線上．①甲到達終點_________．②甲乙兩人相遇_________．③乙到達終點_________．(2)AB兩地之間的路程為_________千米；(3)求甲、乙各自的速度；(4)如果乙到達A地后立刻原路原速返回到B地，在甲到達B地的過程中，甲出發(fā)_________小時，甲乙相距100千米．【變式訓練1】為抗擊疫情，支援B市，A市某蔬菜公司緊急調運兩車蔬菜運往B市．甲、乙兩輛貨車從A市出發(fā)前往B市，乙車行駛途中發(fā)生故障原地維修，此時甲車剛好到達B市．甲車卸載蔬菜后立即原路原速返回接應乙車，把乙車的蔬菜裝上甲車后立即原路原速又運往B市．乙車維修完畢后立即返回A市．兩車離A市的距離y（km）與乙車所用時間x（h）之間的函數圖象如圖所示．(1)甲車速度是_______km/h，乙車出發(fā)時速度是_______km/h；(2)求乙車返回過程中，乙車離A市的距離y（km）與乙車所用時間x（h）的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)乙車出發(fā)多少小時，兩車之間的距離是120km？請直接寫出答案．【變式訓練2】隨著互聯網的普及和城市交通的多樣化，人們出行的時間與方式有了更多的選擇，某市有出租車、滴滴快車等網約車，收費標準見下圖．出租車起步價：14元里程費：超過3公里的部分2.4元/公里（不足1公里按1公里計）滴滴快車起步價：12元里程費：2.5元/公里時長費：0.4元/分鐘（滴滴快車行駛的平均速度為40公里/時）(1)若乘坐這兩種網約車的里程數都是9公里，則發(fā)現乘坐出租車最節(jié)省錢，求乘坐出租車費用為多少元？(2)若從甲地到乙地，乘坐滴滴快車比出租車多用15元，求甲、乙兩地間的里程數．【變式訓練3】A、B兩地相距480km，C地在A、B兩地之間．一輛轎車以100km/h的速度從A地出發(fā)勻速行駛，前往B地．同時，一輛貨車以80km/h的速度從B地岀發(fā)，勻速行駛，前往A地．（1）當兩車相遇時，求轎車行駛的時間；（2）當兩車相距120km時，求轎車行駛的時間；（3）若轎車到達B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次經過C地，兩次經過C地的時間間隔為2.2h，求C地距離A地路程．類型六、方案問題例.春節(jié)即將來臨，甲、乙兩單位準備組織退休職工到某風景區(qū)游玩．甲、乙兩單位共102人，其中甲單位人數多于乙單位人數，且甲單位人數不夠100人．經了解，該風景區(qū)的門票價格如下表：數量（張）1﹣5051﹣100101張及以上單價（元/張）60元50元40元如果兩單位分別單獨購買門票，一共應付5500元．（1）如果甲、乙兩單位聯合起來購買門票，那么比各自購買門票共可以節(jié)省多少錢？（2）甲、乙兩單位各有多少名退休職工準備參加游玩？（3）如果甲單位有12名退休職工因身體原因不能外出游玩，那么你有幾種購買方案，通過比較，你如何購買門票才能最省錢？【變式訓練1】2021年“雙十一”期間，很多國貨品牌受到人們的青睞，銷量大幅增長．某平臺的體育用品旗艦店實行優(yōu)惠銷售，規(guī)定如下：對原價160元/件的某款運動速干衣和20元/雙的某款運動棉襪開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案A：買一件運動速干衣送一雙運動棉襪；方案B：運動速干衣和運動棉襪均按9折付款．某戶外俱樂部準備購買運動速干衣30件，運動棉襪x雙（）．(1)若該戶外俱樂部按方案A購買，需付款_______元（用含x的代數式表示）；若該戶外俱樂部按方案B購買，需付款_______元（用含x的代數式表示）．(2)若x＝40，通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算：(3)當購買運動棉襪多少雙時兩種方案付款相同．【變式訓練2】某企業(yè)有，兩條加工相同原材料的生產線，在一天內，生產線共加工噸原材料，加工時間為小時；在一天內，生產線共加工噸原材料，加工時間為小時．(1)當時，兩條生產線的加工時間分別是多少小時？(2)某一天，該企業(yè)把噸原材料分配到、兩條生產線，兩條生產線都在一天內完成了加工，且加工時間相同，則分配到兩條生產線的噸數是多少？【變式訓練3】某校計劃購買20張書柜和一批書架（書架不少于20只），現從A、B兩家超市了解到：同型號的產品價格相同，書柜每張210元，書架每只70元，A超市的優(yōu)惠政策為每買一張書柜贈送一只書架，B超市的優(yōu)惠政策為所有商品八折，設購買書架a只．(1)若該校到同一家超市選購所有商品，則到A超市要準備_____元貨款，到B超市要準備_____元貨款（用含a的式子表示）；(2)在（1）的情況下，當購買多少只書架時，無論到哪一家超市所付貨款都一樣？(3)假如你是本次購買的負責人，學校想購買20張書柜和100只書架，且可到兩家超市自由選購，請你設計一種購買方案，使付款額最少，最少付款額是多少？攻略08線段上動點問題的三種考法類型一、求值問題例.數軸上有A，B，C三點，A，B表示的數分別為m，n，點C在B的右側，．(1)如圖1，若多項式是關于x的二次三項式，請直接寫出m，n的值：(2)如圖2，在（1）的條件下，長度為1的線段（E在F的左側）在A，B之間沿數軸水平滑動（不與A，B重合），點M是的中點，N是的中點，在滑動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化，請判斷并說明理由；(3)若點D是的中點．①直接寫出點D表示的數____________（用含m，n的式子表示）；②若，試求線段的長．【變式訓練1】如圖1，點C在線段AB上，圖中共有三條線段AB，AC和BC，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“巧點”．（1）線段的中點__這條線段的“巧點”；（填“是”或“不是”）；（2）如圖2，已知AB＝15cm．動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動；點Q從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向點A勻速運動，點P，Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止．設移動的時間為t（s），當t＝__s時，Q為A，P的“巧點”．【變式訓練2】已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）(1)若AB＝11cm，當點C、D運動了1s，求AC+MD的值．(2)若點C、D運動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求的值．【變式訓練3】如圖，數軸上有兩點，點C從原點O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運動，點D從點B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運動．在運動過程中滿足，若點M為直線上一點，且，則的值為_______．類型二、證明定值問題例.如圖，已知線段，，線段在直線上運動（點在點的左側，點在點的左側），若．（1）求線段，的長；（2）若點，分別為線段，的中點，，求線段的長；（3）當運動到某一時刻時，點與點重合，點是線段的延長線上任意一點，下列兩個結論：①是定值，②是定值，請選擇你認為正確的一個并加以說明．【變式訓練1】已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運動（A在B的左側，C在D的左側），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）點D與點B重合時，線段CD以2個單位長度/秒的速度向左運動．①如圖1，點C在線段AB上，若M是線段AC的中點，N是線段BD的中點，求線段MN的長；②P是直線AB上A點左側一點，線段CD運動的同時，點F從點P出發(fā)以3個單位/秒的向右運動，點E是線段BC的中點，若點F與點C相遇1秒后與點E相遇．試探索整個運動過程中，FC－5DE是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【變式訓練2】如圖，數軸上點，表示的有理數分別為，3，點是射線上的一個動點（不與點，重合），是線段靠近點的三等分點，是線段靠近點的三等分點．（1）若點表示的有理數是0，那么的長為________；若點表示的有理數是6，那么的長為________；（2）點在射線上運動（不與點，重合）的過程中，的長是否發(fā)生改變？若不改變，請寫出求的長的過程；若改變，請說明理由．【變式訓練3】(1)如圖1，在直線上，點在、兩點之間，點為線段PB的中點，點為線段的中點，若，且使關于的方程無解.①求線段的長；②線段的長與點在線段上的位置有關嗎？請說明理由；(2)如圖2，點為線段的中點，點在線段的延長線上，試說明的值不變.類型三、數量關系例.數軸上兩點對應的數分別是，線段在數軸上運動，點在點的左邊，且點是的中點．（1）如圖1，當線段運動到點均在之間時，若，則_________，點對應的數為________，________；（2）如圖2，當線段運動到點在之間時，畫出草圖并求與的數量關系．【變式訓練1】如圖，已知線段AB，延長線段BA至C，使CB＝AB．（1）請根據題意將圖形補充完整．直接寫出＝_______；（2）設AB＝9cm，點D從點B出發(fā)，點E從點A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運動．①當點D在線段AB上運動，求的值；②在點D，E沿直線AB向左運動的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點．當點C恰好為線段BD的三等分點時，求MN的長．【變式訓練2】已知點C在線段AB上，AC＝2BC，點D、E在直線AB上，點D在點E的左側，（1）若AB＝18，DE＝8，線段DE在線段AB上移動，①如圖1，當E為BC中點時，求AD的長；②當點C是線段DE的三等分點時，求AD的長；（2）若AB＝2DE，線段DE在直線上移動，且滿足關系式，則＝．

攻略09幾何中動角問題的兩種考法類型一、判斷角的數量之間的關系例．如圖所示，O是直線上的一點，是直角，平分．（1）如圖①，若，求的度數；（2）在圖①，若，直接寫出的度數_________（用含a的代數式表示）；（3）將圖①中的繞頂點O順時針旋轉至圖②的位置．①探究和的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由；②在的內部有一條射線，滿足，試確定與的度數之間的關系，說明理由．【變式訓練1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．(1)如圖，若∠AOC＝30°，則∠DOE的度數是______；（直接寫出答案）(2)將（1）中的條件“∠AOC＝30°”改為“∠AOC是銳角”，猜想∠DOE與∠AOC的關系，并說明理由；(3)若∠AOC是鈍角，請先畫出圖形，再探索∠DOE與∠AOC之間的數量關系．（不用寫探索過程，將結論直接寫在你畫的圖的下面）【變式訓練2】如圖，以直線AB上一點O為端點作射線OC，使，將一個直角三角形的直角頂點放在點O處．（注：）（1）如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則________；（2）如圖②，將直角三角板DOE轉到如圖位置，當OC恰好平分時，求的度數；（3）如圖③，將直角三角板DOE繞點O轉動，如果OD始終在的內部，直接寫出和的數量關系_________．【變式訓練3】已知，，