2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第五章三角函數(shù)解三角形三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)理

PAGEPAGE1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無(wú)對(duì)稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對(duì)稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無(wú)概念方法微思索1．正(余)弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是多少？相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離呢？提示正(余)弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期；相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離也為半個(gè)周期．2．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函數(shù)，偶函數(shù)的充要條件分別是什么？提示(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．1．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若，是函數(shù)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則A．2 B． C．1 D．【答案】A【解析】，是函數(shù)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，，故選．2．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）下列函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間，單調(diào)遞增的是A． B． C． D．【答案】A【解析】不是周期函數(shù)，可解除選項(xiàng)；的周期為，可解除選項(xiàng)；在處取得最大值，不行能在區(qū)間，單調(diào)遞增，可解除．故選．3．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)函數(shù)，已知在，有且僅有5個(gè)零點(diǎn)．下述四個(gè)結(jié)論：①在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②在有且僅有2個(gè)微小值點(diǎn)③在單調(diào)遞增④的取值范圍是，其中全部正確結(jié)論的編號(hào)是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】當(dāng)，時(shí)，，，在，有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，，，故④正確，因此由選項(xiàng)可知只需推斷③是否正確即可得到答案，下面推斷③是否正確，當(dāng)時(shí)，，，若在單調(diào)遞增，則，即，，故③正確．故選．4．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的最小正周期為，故選．5．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)，則A．的最小正周期為，最大值為3 B．的最小正周期為，最大值為4 C．的最小正周期為，最大值為3 D．的最小正周期為，最大值為4【答案】B【解析】函數(shù)，故函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最大值為，故選．6．（2024?天津）設(shè)函數(shù)，，其中，．若，，且的最小正周期大于，則A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】由的最小正周期大于，得，又，，得，，則，即．，由，得．，．取，得．，．故選．7．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的最小正周期為：．故選．8．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）函數(shù)的最大值為A． B．1 C． D．【答案】A【解析】函數(shù)．故選．9．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．的一個(gè)周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 C．的一個(gè)零點(diǎn)為 D．在，單調(diào)遞減【答案】D【解析】．函數(shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，周期，故正確，．當(dāng)時(shí)，為最小值，此時(shí)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故正確，當(dāng)時(shí)，，則的一個(gè)零點(diǎn)為，故正確，．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，故錯(cuò)誤，故選．10．（2024?山東）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)，，，故選．11．（2024?北京）若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)_________．【答案】【解析】解法1:，其中，，所以最大值為，所以，即，所以，所以，時(shí)均滿意題意，故可選時(shí)，．解法，，又函數(shù)的最大值為2，所以當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)函數(shù)取到最大值，此時(shí)，，則，于是，時(shí)均滿意題意，故可選時(shí)，．故答案為：．12．（2024?上海）函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_________．【答案】【解析】函數(shù)的最小正周期為，故答案為：．13．（2024?江蘇）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象中與軸最近的對(duì)稱軸的方程是__________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，則的對(duì)稱軸為，，即，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以平移后的圖象中與軸最近的對(duì)稱軸的方程是，故答案為：，14．（2024?北京）函數(shù)的最小正周期是__________．【答案】【解析】，，的周期，故答案為：．15．（2024?北京）設(shè)函數(shù)，若對(duì)隨意的實(shí)數(shù)都成立，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】函數(shù)，若對(duì)隨意的實(shí)數(shù)都成立，可得：，，解得，，則的最小值為：．故答案為：．16．（2024?江蘇）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，即，，當(dāng)時(shí)，，故答案為：．17．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）函數(shù)的最大值是__________．【答案】1【解析】，令且，，則，當(dāng)時(shí)，，即的最大值為1，故答案為：118．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）函數(shù)的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】函數(shù)，其中，可知函數(shù)的最大值為：．故答案為：．19．（2024?上海）已知函數(shù)，．（1）的周期是，求，并求的解集；（2）已知，，，，求的值域．【解析】（1）由于的周期是，所以，所以．令，故或，整理得或．故解集為或，．（2）由于，所以．所以．由于，，所以．，故，故．所以函數(shù)的值域?yàn)椋?0．（2024?全國(guó)）已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）設(shè)，求在區(qū)間，的最大值與最小值．【解析】．（1）的最小正周期；（2），，，，．即在區(qū)間，的最大值為，最小值為．1．（2024?東湖區(qū)校級(jí)模擬）若函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為，則的最小值為A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】把函數(shù)，依據(jù)所得圖象的一條對(duì)稱軸方程是，可得：，，可得：，由于：，故的最小值為．故選．2．（2024?鏡湖區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)的部分圖象如圖所示，給出以下結(jié)論，則其中正確的為①的最小正周期為2；②圖象的一條對(duì)稱軸為直線；③在上是減函數(shù)；④的最大值為．A．①④ B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【解析】由函數(shù)的部分圖象如圖所示，可得，①正確；由圖知，左側(cè)第一個(gè)零點(diǎn)為：，所以對(duì)稱軸為：，所以不是對(duì)稱軸，②不正確；在，，上是減函數(shù)；③正確；因?yàn)檎?fù)不定，的最大值為．所以④不正確綜上可得：①③正確．故選．3．（2024?二模擬）設(shè)函數(shù)，已知在，上單調(diào)遞增，則的取值可以是A．1 B． C． D．【答案】D【解析】在，上，，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，，且，求得，故選．4．（2024?天津二模）已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【解析】時(shí)，可得：，．要是函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得：．故選．5．（2024?香坊區(qū)校級(jí)一模）已知函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且滿意函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則A． B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)題意，函數(shù)的最小正周期為，即，則，則，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且滿意函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在時(shí)取得最大值，則有，變形可得：，又由，即，則，故選．6．（2024?新華區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且恒成立，則此函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由題意知，，即，，即．因?yàn)闀r(shí)，取得最大值，所以，即，，，即，，故選．7．（2024?松原模擬）已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．若將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則得函數(shù)的圖象D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D【解析】對(duì)于函數(shù)，令，可得，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故正確；令，可得，是最小值，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故正確；將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象，故選項(xiàng)正確；在區(qū)間上，，，沒(méi)有單調(diào)性，故錯(cuò)誤，故選．8．（2024?二模擬）已知函數(shù)的最小正周期為2，則的值為A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的最小正周期為2，則，解得；所以．故選．9．（2024?黃州區(qū)校級(jí)二模）若函數(shù)，則A．（1）（3）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（1）（3） D．（3）（2）（1）【答案】B【解析】對(duì)于函數(shù)，（1），（2），（3），，（1）；，（2）；，（1），故有（1）（2）（3），故選．10．（2024?碑林區(qū)校級(jí)模擬）關(guān)于函數(shù)有下列四個(gè)結(jié)論：①是奇函數(shù)；②是周期函數(shù)；③，；④在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．其中全部正確結(jié)論的序號(hào)是A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【解析】函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù)．故①正確．，所以函數(shù)的最小值正周期為，故函數(shù)為周期函數(shù)，故②正確．當(dāng)時(shí)，，，不對(duì)；故③錯(cuò)誤；由在單調(diào)遞增，而在單調(diào)遞減，可知在單調(diào)遞增，函數(shù)在單調(diào)遞增，依據(jù)①可知是奇函數(shù)，在區(qū)間，單調(diào)遞增，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；故④正確；故選．11．（2024?全國(guó)I卷模擬）直線與函數(shù)的圖象的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若在，上是增函數(shù)，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】直線與函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為一個(gè)周期，則，所以，所以，由，解得，；所以函數(shù)在，上是單調(diào)增函數(shù)；又在上是單調(diào)增函數(shù)，即，，，解得；所以的取值范圍是，．故選．12．（2024?瀘州二模）下列不等式成立的是A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，而函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)，故有，故解除．由于，而函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)，故有，故解除．由于，，而函數(shù)在區(qū)間0，，上是增函數(shù)，故有，即，故解除．由于，，且函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故，即，故正確，故選．13．（2013?資陽(yáng)二模）下列不等式成立的是A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，函數(shù)在0，上是增函數(shù)，故有，即，故解除．由于函數(shù)在，上是增函數(shù)，，，故解除．由于函數(shù)在上是增函數(shù)，，故解除．由于，，函數(shù)在上是減函數(shù)，，即，故正確，故選．14．（2013?新津縣校級(jí)一模）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．【答案】B【解析】由正切函數(shù)的周期公式得：．故選．15．（2024?遼寧模擬）函數(shù)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為A．， B．， C． D．【答案】【解析】由于D函數(shù)的對(duì)稱中心為，令，解得，故函數(shù)的對(duì)稱中心為，故選．16．（2013?寶雞二模）已知正切函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則A．或0 B．1或0 C．或0或1 D．1或【答案】C【解析】正切函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，是正切函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心，，．故，0或1，故選．17．（2024?靖遠(yuǎn)縣四模）已知直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則的最小值是A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，可得，則，即，因?yàn)?，所以．故選．18．（2024?河南模擬）函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，則，所以其圖象的對(duì)稱軸方程為，解得，當(dāng)時(shí)，．故選．19．（2024?河南模擬）已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是，且在上是單調(diào)函數(shù)，則的最大值為A．5 B．6 C．10 D．12【答案】D【解析】函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是，，即，．且在上是單調(diào)函數(shù)，明顯對(duì)稱軸在此區(qū)間的左側(cè)．，，兩邊同時(shí)乘以，可得①，且②，再把①②這2個(gè)式子相加，可得，，即得最大值為12，故選．20．（2024?重慶模擬）函數(shù)的圖象A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C．關(guān)于軸對(duì)稱 D．關(guān)于軸對(duì)稱【答案】B【解析】對(duì)于函數(shù)，令，可得，故它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選．21．（2024?樂(lè)山模擬）已知點(diǎn)在函數(shù)且，的圖象上，直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸．若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，，得，得，又因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)，所以，得，得．所以．又因?yàn)?，所以?．當(dāng)時(shí)，，得，又，所以，此時(shí)直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)．所以．當(dāng)時(shí)，，得，又，所以，此時(shí)，所以直線不是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸．所以，，故選．22．（2024?朝陽(yáng)區(qū)二模）已知函數(shù)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是A．函數(shù)的圖象關(guān)于，中心對(duì)稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增【答案】C【解析】對(duì)于函數(shù)，令，求得，故函數(shù)的圖象不關(guān)于，中心對(duì)稱，故解除；令，求得，不是最值，故函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故解除；在區(qū)間上，，，當(dāng)，，0，時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，故正確；在區(qū)間，上，，，沒(méi)有單調(diào)性，故錯(cuò)誤，故選．23．（2024?廣西二模）已知函數(shù)，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，那么函數(shù)的圖象A．關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱 C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【解析】相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，，，，．令，；即對(duì)稱軸為：，；故均錯(cuò)誤；令，；即對(duì)稱中心為：，，；即錯(cuò)，對(duì)；故選．24．（2024?商洛模擬）若函數(shù)在，上的最小值小于零，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】，，，，設(shè)，則，，作出函數(shù)的圖象如圖，由得，則或，則當(dāng)時(shí)的，第一個(gè)零點(diǎn)為，即當(dāng)時(shí)，，要使在，上的最小值小于0，則只須要，即可，得，得，的取值范圍為，．故選．25．（2024?廣州一模）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于隨意的都有成立，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)，若對(duì)于隨意的，都有，是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，的最小值就是函數(shù)的半周期，；故選．26．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)的值域是A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】由余弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在，上是增，在上減，故其最大值在處取到為1最小值在處取到為0，故其值域是，；故選．27．（2024?廣西一模）已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，則當(dāng)取最小值時(shí)，函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】的一個(gè)零點(diǎn)是，由得，得，即或，，，的最小值為，此時(shí)，由，，得，，當(dāng)時(shí)，的一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)區(qū)間為，，故選．28．（2024?咸陽(yáng)一模）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B． C． D．【答案】C【解析】解得，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．故選．29．（2024?新疆一模）函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間有零點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，得，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，，在區(qū)間單調(diào)遞減，且，，即，得，，即，，，當(dāng)時(shí)，，由得，在區(qū)間有零點(diǎn)，滿意，當(dāng)時(shí)，，得，綜上，故選．二、填空題30．（2024?道里區(qū)校級(jí)一模）若，是函數(shù)兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)，則__________．【答案】2【解析】因?yàn)?，是函?shù)兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)，所以，解得．故答案為：2．31．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）函數(shù)的最小正周期是，則2，該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_________．【答案】2；，，【解析】函數(shù)的最小正周期是，則，令，求得，故函數(shù)的增區(qū)間為，，，故答案為：2；，，．