初中數(shù)學(xué)模型-費(fèi)馬點(diǎn)

PAGE1.如左圖，0O為等邊6ABC的外接圓，P為劣弧C上一點(diǎn)，求證：PAPB+PC.1-2.1-2.如右圖，P為等邊6ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，求證PA≤PB+PC.如圖，P在6ABC所在平面上，若6ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120?，試證：當(dāng)PAPBPC達(dá)到最小值時(shí)，有∠APB=∠BPC=∠CPA=120?.如圖，直線l為一條供水管道，點(diǎn)A、B為l同側(cè)的兩個(gè)居民區(qū)，A到l的距離AAt=1，B到l的距離BBt=2，AtBt=2；現(xiàn)在需要規(guī)劃一套連接A、B與l的供水管道系統(tǒng)，希望鋪設(shè)管道的總距離盡可能小，施工隊(duì)三個(gè)工作人員直接連接折線At→A→B，AtA+AB在直線l上合適位置找一點(diǎn)P，當(dāng)PA+PB在直線l外合適位置找一點(diǎn)P，連接PA、PB并向直線l作垂線PP當(dāng)PA+PB+PPt4-1.如左圖，四邊形ABPC內(nèi)接于0O，連接PA、試證：AB·PCAC·PB=BC·4-2.如右圖，平面上任意四點(diǎn)ABPC，連接PA、試證：AB·PCAC·PBBC·5.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P，求PA+2PB+√5PC的最小值.1-1.如左圖，0O為等邊6ABC的外接圓，P為劣弧C上一點(diǎn)，求證：PAPB+PC.1-2.1-2.如右圖，P為等邊6ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，求證PA≤PB+PC.1-1.證明：在AP上取點(diǎn)Pt，使PB=PPt，∠BPA=∠BCA=60?，知等邊6BPPt，故∠ABPt=∠CBP，6ABPt=6CBP(SAS)，因此PAPPt+PtA=PB+PC.1-2.證明：將6BPC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60?至6BPtA，易知等邊6BPPt，因此PAPPt+PtA=PB+PC.2.如圖，P在6ABC所在平面上，若6ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120?，試證：當(dāng)PAPBPC達(dá)到最小值時(shí)，有∠APB=∠BPC=∠CPA=120?.BC6BCDAD交6BCDPtPtA+PtB+PtC≥PtA+PtD≥AD僅當(dāng)Pt與P重合時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)顯然有∠APB=∠BPC=∠CPA=120?.注意，當(dāng)6ABC某個(gè)內(nèi)角，例如∠BAC，大于120?時(shí)，P在A點(diǎn)處時(shí)PA+PB+PC取得最小值，滿足此條件的點(diǎn)P稱為6ABC的費(fèi)馬點(diǎn).我們可以以任意一邊3.如圖，直線l為一條供水管道，點(diǎn)A、B為l同側(cè)的兩個(gè)居民區(qū)，A到l的距離AAt=1，B到l的距離BBt=2，AtBt=2；現(xiàn)在需要規(guī)劃一套連接A、B與l的供水管道系統(tǒng)，希望鋪設(shè)管道的總距離盡可能小，求最佳方案需要鋪設(shè)0解：以AB為邊向上作等邊6ABC，其外接圓交CPt⊥l于P0，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)P，PPtl，由第一題的結(jié)論，我們有PAPBPPtPCPPt0CPt=P0Pt+P0C=P0A+P0B+P0C，即CP0.為鋪設(shè)管道的最小總長(zhǎng)度 0下面我們用軌跡法來(lái)求CPt的長(zhǎng)度0作AB0⊥BBt，以AB0為邊向上作等邊6AB0C0，(由6AB0B=6AC0C)0當(dāng)點(diǎn)B由B0→B時(shí)，點(diǎn)C由C0→C，作CH⊥CPt，易知∠CC0H=30?0此有CPtCHHPt=1CCCCt=11√31.5 0 4-1.如左圖，四邊形ABPC內(nèi)接于0O，連接PA、試證：AB·PCAC·PB=BC·4-2.如右圖，平面上任意四點(diǎn)ABPC，連接PA、試證：AB·PCAC·PBBC·4-1.證明：在PA上取點(diǎn)Pt，使∠ABPt=∠CBP，又∠BAPt=∠BCP，故有6ABPt6CBP；又∠BPtP=180BPtA=180BPC= P P∠BPP

=∠BCA，故有6PBP6ABC；于是有BC

PC PB因此AB·PCAC·PB=BC·PtABC·PtP=BC· BP4-1.證明：將6BPC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)相似至6BPA，由BC

，及∠ABC∠PtBP，知6PtBP～6ABC；與上面a似，有AB·PC+AC·PBBC·PtA+BC·PtP=BC·(PtA+PtP)≥BC·定理的推論.我們?cè)诤芏鄨?chǎng)合下見到的三邊等式或不等式關(guān)系實(shí)際上不過(guò)是托勒密定理在一些特殊情況下的推論.正如應(yīng)用命題1能夠得到費(fèi)馬點(diǎn)的結(jié)論，我5.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P，求PA+2PB+√5PC的最小值.解：以AB為直徑作0O，在圓上取點(diǎn)Q，使QB:QA=1:2，由托勒密定理，對(duì)任意點(diǎn)P，有PA·QB+PB·QAAB·PQ，即PA+2PB√5PQ，當(dāng)且僅當(dāng)P為0O與CQ交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)；因此有PA2PB√5