專題06 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)（10大考點(diǎn)知識(shí)串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）

專題06雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1雙曲線的定義1、雙曲線定義：在平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，兩個(gè)定點(diǎn)、為焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距，表示為.2、雙曲線定義的集合語言表示：．要點(diǎn)注意：（1）若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；（2）若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；（3）若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；（4）若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。知識(shí)點(diǎn)2雙曲線的方程與幾何性質(zhì)1、雙曲線的方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性質(zhì)圖形性質(zhì)范圍x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：eq\a\vs4\al(2a)；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：eq\a\vs4\al(2b)；半實(shí)軸長(zhǎng)：eq\a\vs4\al(a)，半虛軸長(zhǎng)：eq\a\vs4\al(b)離心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x2、等軸雙曲線在雙曲線中，若，則雙曲線的長(zhǎng)軸和短軸相等，即等軸雙曲線，等軸雙曲線的性質(zhì)有：（1）離心率：等軸雙曲線的離心率為：；（2）漸近線：等軸雙曲線的漸近線為：；等軸雙曲線的漸近線互相垂直，且斜率分別為45°和135°.3、雙曲線的焦點(diǎn)三角形（1）定義：雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的成為焦點(diǎn)三角形，（2）焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用：設(shè)，，，則，，焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是知識(shí)點(diǎn)3直線與雙曲線的位置關(guān)系1、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系2、直線與雙曲線的位置關(guān)系將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程，（1）當(dāng)，即，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)，即，設(shè)該一元二次方程的判別式為，若，直線與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；若，直線與雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；若，直線與雙曲線相離，沒有公共點(diǎn)；注意：直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可能相交或相切.3、直線與雙曲線相交的弦長(zhǎng)問題若直線與雙曲線（，）交于，兩點(diǎn)，則或（）．4、解決中點(diǎn)弦問題的兩種方法（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立方程，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行舍而不求，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算；（2）點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過雙曲線上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有.證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴.考點(diǎn)1雙曲線定義的辨析【例1】（2023·河北石家莊·高二石家莊精英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知平面直角坐標(biāo)系中，,點(diǎn)P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且,則下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為一條直線B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為一條射線C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡不存在D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線【變式1-1】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式1-2】（2023·廣西玉林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，若，則.【變式1-3】（2023·江西南昌·高二江西師大附中?？计谥校┮阎?jiǎng)訄AC與圓外切，與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．雙曲線一支【變式1-4】（2023·重慶·高二統(tǒng)考期末）與圓：及圓：都外切的圓的圓心在（）A．橢圓上B．雙曲線的一支上C．拋物線上D．圓上考點(diǎn)2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2023·湖北武漢·高二武漢外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【變式2-1】（2023·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習(xí)）與橢圓：共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【變式2-2】（2023·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）一條漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．B．C．D．【變式2-3】（2023·安徽宣城·高二宣城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）與雙曲線有相同離心率和相同漸近線的雙曲線方程是（）A．B．C．D．【變式2-4】（2023·福建泉州·高二?？计谥校┣鬂M足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）經(jīng)過點(diǎn)，且；（2）經(jīng)過點(diǎn)、．考點(diǎn)3根據(jù)雙曲線方程求參數(shù)【例3】（2023·陜西榆林·高二?？茧A段練習(xí)）已知曲線表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式3-1】（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式3-2】（2023·上?！そy(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的（）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【變式3-3】（2023·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中）方程表示實(shí)軸在軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式3-4】（2023·河南鄭州·高二鄭州四中校考期末）已知曲線的方程為（），若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．或5D．考點(diǎn)4雙曲線的焦點(diǎn)三角形應(yīng)用【例4】（2023·山東德州·高二統(tǒng)考期中）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且，則（）A．B．C．1D．【變式4-1】（2023·河北石家莊·高二校聯(lián)考期中）設(shè)，分別是雙曲線的下、上焦點(diǎn)，P是該雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（）A．B．C．D．【變式4-2】（2022·廣東江門·高二臺(tái)山市第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，是雙曲線上一點(diǎn)，且．若的面積為，則的周長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【變式4-3】（2023·福建漳州·高二福建省華安縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且的面積是16，則【變式4-4】（2022·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P在雙曲線的右支上，直線交曲線C于點(diǎn)Q（異于P），點(diǎn)F為C的左焦點(diǎn)，若為銳角，則b的取值范圍為（）A．B．C．D．考點(diǎn)5雙曲線中距離和差的最值【例5】（2023下·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┮阎狥是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為（）A．5B．6C．7D．8【變式5-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）設(shè)，為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P（0，2）．當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（）A．B．C．D．【變式5-2】（2023·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知是雙曲線上的點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值是．【變式5-3】（2023·廣東廣州·高二廣州市第八十六中學(xué)校考期末）已知雙曲線：，，是其左右焦點(diǎn).圓：，點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是.【變式5-4】（2023·江蘇南京·高二?？奸_學(xué)考試）過雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為.考點(diǎn)6與雙曲線相關(guān)的軌跡問題【例6】（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）動(dòng)圓P過定點(diǎn)M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是（）A．B．C．D．【變式6-1】（2022·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀┦且粋€(gè)動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，若四邊形（為原點(diǎn)）的面積為4，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）A．B．C．D．【變式6-2】（2023·寧夏銀川·高二賀蘭縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)，構(gòu)成，且直線，的斜率之積為4，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.【變式6-3】（2023·重慶·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程是（）A．B．C．D．【變式6-4】（2023·廣東廣州·高二廣州市天河中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，記的軌跡為.則的方程為.考點(diǎn)7雙曲線離心率的值或范圍【例7】（2023·河北石家莊·高二石家莊二中?？茧A段練習(xí)）已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過向直線引垂線，垂足為點(diǎn)，，且，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【變式7-1】（2023·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【變式7-2】（2023·四川瀘州·高二瀘縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，，若存在點(diǎn)滿足，則的離心率為.【變式7-3】（2023·四川綿陽(yáng)·高二南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┰O(shè)，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為【變式7-4】（2023·湖北鄂州·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn).設(shè)，到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．考點(diǎn)8直線與雙曲線位置關(guān)系判斷【例8】（2023·陜西西安·高二西安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）若直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值可能為（）A．B．C．D．【變式8-1】（2023·湖北·高二宜昌市一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線：與雙曲線：的右支交于兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式8-2】（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)的直線與雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè)，則滿足條件的直線有（）A．2條B．3條C．4條D．5條【變式8-3】（2023·廣東清遠(yuǎn)·高二陽(yáng)山縣南陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在雙曲線的兩支上，則的取值范圍是（）A．或B．C．或D．【變式8-4】（2022·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀┮阎本€與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．考點(diǎn)9雙曲線的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法【例9】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（）A．B．C．D．【變式9-1】（2023·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校╇p曲線E：，過作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若不存在直線l使得P是線段的中點(diǎn)，則t的取值范圍是.【變式9-2】（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過點(diǎn)的直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若M恰好是線段AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率為．【變式9-3】（2023·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）已知A，B為雙曲線C：上的兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于直線：對(duì)稱，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.【變式9-4】（2023·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）過雙曲線的弦，且為弦的中點(diǎn)，求直線的方程.考點(diǎn)10直線與雙曲線相交弦長(zhǎng)【例10】（2023·河北唐山·遷西縣第一中學(xué)?？级＃ǘ噙x）已知直線經(jīng)過雙曲線（，）的左焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，若存在兩條直線，使得的最小值為4，則下列四個(gè)點(diǎn)中，C經(jīng)過的點(diǎn)為（）A．B．C．D．【變式10-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有（）A．一條B．兩條C．三條D．四條【變式10-2】（2023·廣東東莞·高二校考期中）動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)，動(dòng)點(diǎn)M的軌與經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線交于D、E兩點(diǎn)．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）求線段的長(zhǎng)．【變式10-3】（2023·江蘇蘇州·高二南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線與曲線E交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)．（1）求曲線E的方程；（2）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）若，求直線AB的方程．【變式10-4】（2023·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，到其中一條漸近線的距離為1，過且垂直于軸的直線交雙曲線于A，B，且.（1）求E的方程；（2）過的直線交曲線E于M，N兩點(diǎn)若，求直線的方程1．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中）雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A．4B．C．D．22．（2023·北京·高二陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)方程的結(jié)果是（）A．B．C．D．3．（2023·重慶·高二重慶十八中?？茧A段練習(xí)）曲線（）與曲線（）的（）A．焦距相等B．離心率相C．焦點(diǎn)相同D．頂點(diǎn)相同4．（2023·福建廈門·高二廈門一中校考階段練習(xí)）若離心率為的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則（）A．B．C．D．5．（2023·廣東揭陽(yáng)·高二惠來縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)（記為，），點(diǎn)是該橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則的面積為（）.A．B．C．D．6．（2023·湖北·高二鄖陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知雙曲線，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，過F點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，若，則這樣的直線l的條數(shù)為（）A．1條B．2條C．3條D．4條7．（2023·甘肅·高二天水市第一中學(xué)?？计谀┮阎獔A具有性質(zhì)：若是圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上異于任意一點(diǎn)，則為定值．類比圓的這個(gè)性質(zhì)，雙曲線也具有這個(gè)性質(zhì)：若是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上異于任意一點(diǎn)，則為定值（）A．B．C．D．8．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考