離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型自動(dòng)控制原理離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.1線性常系數(shù)差分方程對(duì)于線性定常離散控制系統(tǒng)，一般可用n階后向差分方程描述，即同理，線性定常離散系統(tǒng)也可用n階前向差分方程描述，即工程上對(duì)于線性定常系數(shù)差分方程的求解方法通常有迭代法和z變換法。1、迭代法若已知差分方程，并且給定輸出序列的初值，則可利用遞推關(guān)系，通過計(jì)算機(jī)迭代計(jì)算出輸出序列。例1-12已知二階后向差分方程,其中，輸入序列，初始條件為。試用迭代法求解輸出序列。解：根據(jù)初始條件和遞推關(guān)系，得

…2、z變換法

用z變換法求解線性定常系數(shù)差分方程與用拉氏變換法求解微分方程相類似。其實(shí)質(zhì)是將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，通過代數(shù)運(yùn)算及查表的方法來求出輸出序列。z變換法求解差分方程的一般步驟如下：

(1)利用z變換的實(shí)數(shù)位移定理對(duì)差分方程兩端取z變換，并代入相應(yīng)的初始條件，得到以z為變量的代數(shù)方程；

(2)求出代數(shù)方程的解；

(3)取z反變換，從而求得輸出序列。例1-13試用z變換法求解下列二階前向差分方程其中，初始條件為。解：對(duì)方程兩端取z變換，得

即代入初始條件，得即

利用反演積分法求出z反變換，得1.2脈沖傳遞函數(shù)1.脈沖傳遞函數(shù)定義在線性定常離散控制系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)離散輸出信號(hào)的z變換與離散輸入信號(hào)的z變換之比，稱為線性定常離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。設(shè)離散系統(tǒng)如圖1-14所示。根據(jù)線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義得：

圖1-14開環(huán)采樣系統(tǒng)輸出是連續(xù)信號(hào)的情況，如圖1-15所示。可以在系統(tǒng)輸出端虛設(shè)一個(gè)開關(guān)，如圖1-15中虛線所示。2、脈沖傳遞函數(shù)的性質(zhì)（1）脈沖傳遞函數(shù)是復(fù)變量z的復(fù)函數(shù)（一般是有理分式）。（2）脈沖傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)。（3）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的差分方程有直接關(guān)系。（4）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列的變換。（5）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)在z平面上有對(duì)應(yīng)的零、極點(diǎn)分布。圖1-15虛設(shè)采樣開關(guān)的開環(huán)采樣系統(tǒng)3.脈沖傳遞函數(shù)的求法傳遞函數(shù)的拉氏反變換是單位脈沖函數(shù)，將離散化得到脈沖響應(yīng)序列，將進(jìn)行z變換即可得到。這一變換過程可表示為例1-14已知采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1-16所示。（1）求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)；（2）寫出系統(tǒng)的差分方程。圖1-16采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：（1）首先將E(z)/z分解為部分分式形式查Ｚ變換表得4.開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（1）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時(shí)設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖1-17所示，在兩個(gè)串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)和之間，有理想采樣開關(guān)。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)定義，有由此可得（2）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時(shí)設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖1-18所示，在兩個(gè)串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間沒有理想采樣開關(guān)。此時(shí)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為上式作為一個(gè)整體進(jìn)行z變換，由脈沖傳遞函數(shù)定義得

圖1-17串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有理想采樣開關(guān)的開環(huán)采樣系統(tǒng)圖1-18環(huán)節(jié)之間無理想采樣開關(guān)的開環(huán)采樣系統(tǒng)例1-15已知開環(huán)采樣系統(tǒng)分別如圖1-17、圖1-18所示，其中，，輸入信號(hào)r(t)=1(t),試求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和輸出的z變換。解：根據(jù)z變換表，可知對(duì)于如圖1-17所示的采樣系統(tǒng)因此

對(duì)于如圖1-18所示的采樣系統(tǒng)5.閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)在采樣系統(tǒng)中，由于采樣開關(guān)在系統(tǒng)中的位置不同，因此閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的形式并不唯一。圖1-19所示的是常見的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖?？傻迷撻]環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)離散系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為

,其中為開環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。

圖1-19閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖其中例1-16設(shè)閉環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1-20所示，試求其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解：由圖可得對(duì)D(s)離散化，有