初中數(shù)學-方程思想解題實例

方程思想解題實例一、知識梳理方程思想是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當設(shè)定未知數(shù)，把所研究的數(shù)學問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組的數(shù)學模型，從而使問題得到解決的思維方法方程思想的獨特優(yōu)勢是使問題簡單化，方便解題，我們在初中階段陸續(xù)學習了一元一次方程，二元一次方程（組），分式方程，一元二次方程，感受到了方程思想在解決實際問題中的魅力。同樣，方程思想在幾何問題及函數(shù)問題中仍然有相當廣泛的應(yīng)用，我們會經(jīng)常利用到這些方程、方程組作為解題的工具方程思想的本質(zhì)是用設(shè)未知數(shù)用未知量表示已知量的方法，通過分析題中的等量關(guān)系，利用所學定理、性質(zhì)等尋找出等量關(guān)系。本專題主要從幾何中的方程思想及函數(shù)中的方程思想展開討論。二、課堂案例講練幾何中的方程思想在幾何中建立等量關(guān)系的常用方法有錯誤!利用勾股定理建立等量關(guān)系；錯誤!利用圖形中的線段相等建立等量關(guān)系；錯誤!利用圖形中的相似三角形對應(yīng)邊成比例建立等量關(guān)系。O,4利用三角形外角定理及三角形內(nèi)角和建立等式（一）利用勾股定理建立等量關(guān)系例1如圖所示，折疊長方形（四個角都是直角）的一邊AD使點D落在BC邊的點F處，已知AB=DC=8cm,AD=BC=10cm,求EC的長.解析:想求得EC長,利用勾股定理計算，需求得FC長,那么就需求出BF的長，利用勾股定理即可求得B解：設(shè)解析:想求得EC，DE=(8—x)cm.,/△ADE折疊后的圖形是^AFE,AAD=AF,ZD=ZAFE,DE=EF.a/AD=BC=1Ocm,aAAF=AD=10cm.又?.?AB=8cm,在Rt△ABF中,根據(jù)勾股定理，得AB2+BF2=AF2aA82+BF2=102ABF=6cm.AFC=BC-BF=10-6=4cm.a在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理，得:FC2+EC2=EF?A42+x2=(8-x)2，即16+X2=64-16x+X2冷化簡，得16x=48.Ax=3.故EC的長為3cm.

前思后想：翻折中較復雜的計算，需找到翻折后相應(yīng)的直角三角形，利用勾股定理求解所需線段，另本題也可以利用三角形相似，及線段相等建立等量關(guān)系來解決.課堂訓練：.有兩張相同的矩形紙片，邊長分別為2和8,若將兩張紙片交叉重疊,則得到重疊部分面積最小是最大的是..動手操作：在一張長12cm、寬5cm的矩形紙片內(nèi)，要折出一個菱形.小穎同學按照取兩組對邊中點的方法折出菱形EFGH（見方案一），小明同學沿矩形的對角線AC折出NCAE=NCAD,NACF=NACB的方法得到菱形AECF（見方案二）q（1）你能說出小穎、小明所折出的菱形的理由嗎？⑵請你通過計算，⑵請你通過計算，比較小穎和小明同學的折法中,哪種菱形面積較大？（二）利用三角形相似的性質(zhì)建立等量關(guān)系例1:有一塊兩直角邊長分別為3cm和4cm的直角三角形鐵皮,要利用它來裁剪一個正方形，有兩種方法:一種是正方形的一邊在直角三角形的斜邊上，另兩個頂點在兩條直角邊上，如圖（1）;另一種是一組鄰邊在直角三角形的兩直角邊上，另一個頂點在斜邊上，如圖（2）.兩種情形下正方形的面積哪個大？得:12得:12解析：（1）利用三角形的面積關(guān)系求出AB邊上的高，再利用相似三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長;（2）設(shè)出正方形的邊長，再利用相似三角形的性質(zhì)求出正方形的邊長.解：I.。因為以ABC為直雨三角胺臉邊長分別為3皿和41:町貝歷二』承我々5.作皿邊上的高6，會［吁電3下一凡3區(qū)4J7H~9919故匚H二"二cm.易得:：ADC^AACB,設(shè)正方形DEF鎖邊長為區(qū)方，圖圖3｛或冷機匕5叱設(shè)正方形邊長為/cm.易淳：AAJJEtoAACE,.：yADDE±7E：最f立工3-4解的才早.―,377九■<第二種情形R正方形的面枳大.前思后想:(1)利用面積法求出直角三角形斜邊上的高是解答此題的關(guān)鍵；(2)也可根據(jù)△ADEs^ACB或4BFEs^bCA來解答.課堂訓練：.如圖，鐵道口的欄桿AB的短臂OA=1.25m,長臂OB=16.5m,?當短臂端點A?下降0.85m時，長臂端點B升高多少？下面是小明的解題過程：一.AOA'O“如圖，連接AA，,因為AO=A，O,BO=B'O,所以f=?又21=NBOBOAOAA'2,所以AAA。，O^ABBZO,有一=——，因為AO=1.25,BO=16.5,AAZ=0.85,所BOBB'1.250.85…, ………..16.5dd；，解得BB'=11.22,?即長臂端點B升圖了11.22m”.16.5你認為小明的解題過程正確嗎?如果不正確，請寫出你的答案..如圖，在矩形FGHN中，點F、G在邊BC上,點N、H分別在邊AB、AC上,且AD±BC,垂足為D,AD交NH于點E,AD=8cm,BC=24cm,NF：NH=1：2，求此矩形的面積.AA.如圖3,在梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,DC=5,AB=4<2,ZB=45°.動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動;動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動.設(shè)運動的時間為t秒.(1)求BC的長.C(2)試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形.C（三）利用線段相等建立等量關(guān)系例1.如圖，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,AD=10cm,BC=30cm,動點P從點A開始沿AD邊向點D以每秒lcm的速度運動，同時動點Q從點C開始沿CB邊向點B以每秒3cm的速度運動，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒.（l）t為何值時，四邊形ABQP是平行四邊形？（2）四邊形ABQP能成為等腰梯形嗎?如果能，求出t的值；如果不能,請說明理由.解析：（1）當AP=BQ時,四邊形ABQP是平行四邊形；⑵若四邊形ABQP能成為等腰梯形，則一定要滿足PD=CQ.解：(1)當AP=BQ時,四邊形ABQP是平行四邊形，而AP=tx1=t；BQ=BC—CQ=30-tx3=30—3t.??t=30—3t解之得：t=7.5(2)四邊形ABQP能成為等腰梯形.二?四邊形ABCD為等腰梯形AAB=CD,ZB=ZC.若四邊形ABQP是等腰梯形.則AB=PQ,ZB=ZPQB,.\CD=PQ,ZC=ZPQB .CD〃PQ???四邊形PQCD為平行四邊形?,?PD=CQ.WPD=AD-AP=10-tx1=10-t；CQ=tx3=3t,則10-t=3t,解得t=2.5.前思后想：做此類運動題時要先在圖上畫出符合題意的大致圖象，然后設(shè)出未知量，根據(jù)題意尋找等量關(guān)系，第（2）問可這樣思考：先逆向假設(shè)四邊形ABQP能成為等腰梯形，則PD=CQ,建立相關(guān)的等式，若能解出符合題意的值,則存在，然后再順向?qū)懗鲞^程

課堂訓練：1.如圖，在直角梯形ABCD中,AD〃BC,ZC=90°,BC=16,DC=12,AD=21。動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā),在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P,Q分別從點D,C同時出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設(shè)運動的時間為t(秒)。當t為何值時,以B,P,Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？2.如圖，直角梯形八BCD中,AD〃BC,NABC=90。,已知Ag4B=3,2.如圖，直角梯形八BCD中,AD〃BC,NABC=90。,已知Ag4B=3,BC=4,動點P從

B點出發(fā)，沿線段BC向點C作勻速運動;動點Q從點D出發(fā),沿線段DA向點X作勻速運

動.過Q點垂直于八。的射線交八C于點M,交BC于點N.P、Q兩點同時出發(fā)，速度都為

每秒1個單位長度.當Q點運動到八點，P、Q兩點同時停止運動.設(shè)點Q運動的時間為t秒.⑴求NC.PN的長(用t的代數(shù)式表示)；(2)當t為何值時，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形？(3)當t為何值時，四邊形PCDQ構(gòu)成等腰梯形?；(4)是否存在某一時刻，使射線QN恰好將梯形ABCD的面積和周長同時平分？若存在，求出此時t的值;若不存在,請說明理由(四)設(shè)未知量求角度例1：已知：如圖所示，在△'BC中,AB=AC,D為AC上一點,且BD=BC,E為AB上一點，且AD=DE=EB那么ZA的度數(shù)是 _度.解析：設(shè)NEBD=x,根據(jù)等邊對等角得出NA=2x,NC=NABC=3x,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出2x+3x+3x=180°,所以NA=45°前思后想：等腰三角形中求某個角的度數(shù)時，通常都可以根據(jù)“三角形內(nèi)角和、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)”，找出相應(yīng)的等量關(guān)系，通過列方程解決此類問題。課堂練習:.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°,則頂角的度數(shù)為.等腰三角形兩角的度數(shù)之比為4:1，其內(nèi)角的度數(shù)分別為..如圖，在.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°,則頂角的度數(shù)為.等腰三角形兩角的度數(shù)之比為4:1，其內(nèi)角的度數(shù)分別為..如圖，在^ABC中,AB=AC,點D在AC上，且BD=BC=AD,則NA=...*—.如圖，點O是等邊^(qū)ABC內(nèi)一點，連接OA、OB、OC,將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60端△ADC,連接OD.0）求證：4COD是等邊三角形；（2）若OA=3,OC=4,OB=5,試判斷^AOD的形狀，并說明理由.（3）若NAOB=11（T,NBOC=a,請?zhí)骄浚寒攁為多少度時,^AOD是等腰三角形?函數(shù)中的方程思想函數(shù)中的方程思想主要體現(xiàn)在：1.求兩個函數(shù)圖象的交點問題； 2.已知y的值,求相應(yīng)x的值。例1:如囪，直線產(chǎn)■聯(lián)+Q與湘京于點竣與直線廠1交于點E,月酉續(xù)婢嵋與幡交于點q「則總底匚的面積為解析：根據(jù)題意分別求出A,B,C,D的坐標，再用Saa-Sar5即可求出^ABC的面積.

△Acd ABCD解：因為直線產(chǎn)-3身4中，L=4,故A點坐標為（0,4）；今41s解：因為直線產(chǎn)-3身4中，L=4,故A點坐標為（0,4）；今41s+4=Q,則1t=3,故口點坐標為（3,0）,■則，游-1?.故。點坐標/C-H,口），4-5

肝

4-5因為暗為亶線產(chǎn)-京4直線產(chǎn)|底的交點，故可列出方程組《4尸―/4~4」，胡得故％白金?皿―§也BW*小孫知'吟案礴況-打4線―-①、*二亙，故照坐標為?，Z）Jy=2 "前思后想：本題也可將4ABC的面積分成兩個三角形面積的和來求解例2 （2012南京）若反比例函數(shù)y=-與一次函數(shù)y=x+2的圖象沒有交點，則kx的值可以是（）A.-2B.-1C.1D.2解析:函數(shù)圖象交點問題都可以通過聯(lián)立方程組（也就是利用兩個函數(shù)值相等）來解決，此題聯(lián)立方程后會得到一個一元二次方程，沒有交點就意味著此方程無解，也就是判別式小于0.k解：令一=x+2,得*2+2**=0由兩圖象沒有交點，可得此方程無解，即b2-4ac=4+4k<0,X解得k<-l,故選A點評：用方程思想解函數(shù)圖象交點問題,適應(yīng)面更廣，方法更簡單,只需令yl=y2,在所形成的一元二次方程中，若求兩函數(shù)圖象交點，解出方程即可,若圖象無交點，則判別式<0,若圖象有交點，則判別式三0,若圖象有兩個不同的交點，則判別式>0課堂練習：. （2011黃石）若一次函數(shù)y=kx+1的圖象與反比例函數(shù)y=一的圖象沒有公共點，則實數(shù)k的取值x范圍是..一次函數(shù)圖象y=kx+2與拋物線y=2xz+3x+l的交點個數(shù)為..已知，如圖，一次函數(shù)y=2x+1與反比例函數(shù)y=-交于A,B兩點,其中點A的橫坐標為l.X（1）求反比例函數(shù)y=-的解析式；x（2）過點A作y軸的平行線，過點B作x軸的平行線，兩平行線相交于點C,求^ABC的面積.課后作業(yè)檢測1.在^ABC中，/A—/C=35。,/B-/A=5。,求/B=.2.在^ABC中，AB=AC,BD平分2.在^ABC中，AB=AC,BD平分NABC交AC邊于點D,3.如圖，ZA=15°,AB=BC=CD=DE=EF,則NDEF=ZBDC=75°,則NA的度數(shù)是一.…I.如圖，已知第一象限內(nèi)的圖象是反比例函數(shù)￥二1圖象的一個分支,第二象限內(nèi)的圖象是2反比例函數(shù)工圖象的一個分支，在工軸上方有一條平行于工軸的直線上與它們分別交于點A、B,過點A、B作X軸的垂線,垂足分別為c、D.若四邊形ACDB的周長為8且則點A的坐標是..如圖①，在梯形ABCD中,AD//BC,/A=60°,動點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度沿著A-B-C-D的方向不停移動，直到點P到達點D后才停止.已知^PAD的面積S（單位：■川）與點P移動的時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式如圖②所示，則點P從開始移動到停止移動一共用了秒（結(jié)果保留根號）..如圖,已知^ABC中,AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點D為AB的中點.（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動.（1）①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后,△BPD與^COP是否全等,請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△COP全等？（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā),都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在^ABC的哪條邊上相遇？A

7.(2012江寧二模)數(shù)學實驗室：小明取出一張矩形紙片A5C。，Ad=BC=5AB=CD=25.他先在矩形ABCD的邊A5上取一點M接著在CD上取一點N,然后將紙片沿MN折疊，使MB，與。N交于點K,得到△MNK(如圖①).C(1)試判斷△MNK的形狀，并說明理由.(2)如何折疊能夠使△MNK的面積最大?請你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值.1)1)(備用圖)8.全國第十屆數(shù)學教育方法論暨MM課題實施20周年紀念活動于9月27在無錫市一中拉開帷幕.與會期間全國數(shù)十位老師上了精彩紛呈的展示課,其中青島一位老師的“折紙”課,武漢的裴光亞教授評價是：“栩栩如生，五彩繽紛”.課堂上老師提出這樣一個問題:你能用手中的矩形紙片盡可能大的折出一個菱形嗎？有兩位同學很快折出了各自不同的菱形，如下圖：圖?圖-4(1)如果圖?圖-4(1)如果該矩形紙片的長為4,寬為3,則圖1、圖2兩圖中的菱形面積分別為.⑵這時老師說，這兩位同學折出的菱形都不是最大的，聰明的你能夠想出最大的菱形應(yīng)該怎樣折出來嗎？如圖3所示:在矩形ABCD中，設(shè)AB=3,AD=4,請你在圖中畫出面積最大的菱形的示意圖，標注上適當?shù)淖帜?，并求出這個菱形的面積.(3)借題發(fā)揮：如圖4,在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,若折疊該矩形，使得點D與AB邊的中點E重合,折痕交AD于點F,交BC于點G,邊DC折疊后與BC交于點M.試求^EBM的面積.

9.如圖，在等腰梯形ABCD9.如圖，在等腰梯形ABCD中,AD〃:BC,AB=CD=10,AD=6,BC=18,M是CD的中點，P是BC邊上的一動點(P與B,C不重合)，連接PM并延長交AD的延長線于Qq(1)當P在B,C之間運動到什么位置時，四邊形ABPQ是平行四邊形？請說明理由.(2)當四邊形ABPQ是直角梯形時，點P與C距離是多少？.如圖，在直角梯形ABCD中,NA=90°,AB〃CD,AB=1,CD=6。(1)若AD=5,在線段AD上是否存在點P,使得以點P、A、B為頂點的三角形和以點P、C、D為頂點的三角形相似？若存在，這樣的點P有幾個？它們到點A的距離是多少？若不存在,請說明理由。(2)若設(shè)AD=m,在線段AD上存在唯一的一個點P,使得以點P、A、B為頂點的三角形和以點P、C、D為頂點的三角形相似？求m的值。一,1 ,,,.如圖，已知直線y=5X+1與y軸交于點A,與X軸交于點D,拋物線1y=-X2+bx+c與直線交于A、E兩點，與X軸交于B、C兩點，且B點坐標為(1,0)。⑴求該拋物線的解析式；圖2。⑵動點P在X軸上移動，當4PAE是直角三角形時，求點P的坐標P圖2。.（2012?揚州）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-l,0）、B（3,0）、C（0,3）三點,直線/是拋物線的對稱軸.（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;（2）設(shè)點P是直線I上的一個動點，當^PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線I上是否存在點M,使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.-2答案：（一）利用勾股定理建立等量關(guān)系174—. 2方案二：35.21cm2, 方案二小明同學所折的菱.（1）略（方案二：35.21cm2, 方案二小明同學所折的菱（二）利用三角形相似的性質(zhì)建立等量關(guān)系不正確.作A,C±AB,B'D±AB,所以NA/CO=NB,DO=90°,又N1=N2，所以△OCA's^odb，A'CA'O因為A,O=AO=1.25,B/O=BO=16.5,A′C=0.85,所以0.851.25BD所以0.851.25BD―165，解得B,D=11.22,即長臂端點B升高了11.22m46.08cm23.(1)BC=10（2）分三種情況討論：①當NC=MC3.(1)BC=1010t=10—2t得t= ②當MN=NC時，如圖2,過N作NE1MC于E,圖1圖2圖1圖21 1由等腰三角形三線合一性質(zhì)得EC=-MC=-（10—21）=5-1?.?NC=NC,/DHC=/NEC=90°??.△NECs^DHCNCEC - DCHC25

t——8t5—t即一二——

5 31一一③當MN=MC時，如圖3,過M作MF1CN于F點.FC=-NC=^2?.?NC=NC,/MFC=/DHC=90。??.△MFCs、dhcFCMCHC1-t2.DC10—213560t——17圖310 25 60綜上所述，當t——、t——或t——時，△MNC為等腰三角形。（三）利用線段相等建立等量關(guān)系1.分三種情況:①若PQ=BQ。在Rt、PMQ中，PQ2―12+122，由PQ2=BQ2得12+122=(16-1)2,7解得t=—■；2②若BP=BQ。在Rt、PMB中，BP2=(16—21)2+⑵。由BP2=BQ2得:(16—21)2+122=(16-1)2 即3t2—321+144=0。由于A=—704<0???3t2-321+144:0無解，.，.PBWBQ③若PB=PQ。由PB2;PQ2,得12+122=(16-21)2+12216整理，得3t2-641+256—0。解得t——,t—16（不合題意，舍去）132綜合上面的討論可知：當t=7秒或t—16秒時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等23腰三角形。2.(1)NC=t+1,PN=3-2t,(2)(四)設(shè)未知量求角度t=2,(3)t=1,（4）不能，原因略1.60°或120° 2.120(1)略(2)略(3)125°或1函數(shù)中的方程思想11.K<—-4,30°或20°,80°,80°3.36° 4.10°或140°2.22.2個 3./r、 3(l)y x25(2)T課后作業(yè)檢測1.75°40604.G5.4+2^36.(1)①⑻1.75°40604.G5.4+2^36.(1)①⑻耳EB略②^cm/s(2)ys7.（1）略（2）分兩種情況:情況一：將矩形紙片對折，使點B與點D重合,此時點K也與點D重合.設(shè)MK=MD=x,則AM=25-x,在Rt^DNM中，由勾股定理，得%2=(25-％1+52,解得，x=13.即MD=ND=13."=325情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時折痕為AC.A設(shè)MK=AK=CK=x,則UDK=25-x,同理可得1PMK=NK=13..S =32.5.△mnk8.解：（1）第一個菱形的面積=3*4：2=6'第二個菱形也是正方形「邊長為3；…則其一為面積=3X3=9;a（2）如圖：（以BD或AC為對角線,E、F在AD,BC上，且EF垂直平分BD或AC）如圖,設(shè)線段ED的長為x.a二?四邊形BFDE是菱形.ED=8￡=乂4又\,矩形ABCD中AB=3,AD=4A.?.AE=4-xA在Rt△ABE中AE2+AB2=BE泌.（4-x）2+32=x2（5分）, 25解之得：x=—o一25???ED=——875???S菱形eafd二DE-AB=-8(3)如圖:a???對折m?.DF=EFa設(shè)線段DF的長為x,則EF=xk/AD=3.??AF=3-x???點E是AB的中點，且AB=2a.AE=BE=1在RtAAEF中有AE2+AF2=EF2V.I2+(3-x)2=x2、, 5解之得：x=3一 4.\AF=3-x=-3在矩形ABCD中由于對折.\ZD=ZFEM=9GoAZ1+Z2=90°a又?「NA=NB=90°AZ1+N3=90°AZ2=Z3aAAAEF^ABME,

AFAE = ,BEBM3BM=-4AS=-BE*BM=-