浙江省金華十校2023-2024學年高一上學期期末調研考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省金華十校2023-2024學年高一上學期期末調研考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.2.已知集合，，若，則實數可以為（）A.1 B.3 C.4 D.7【答案】D【解析】由，知，C不可能；由，知且，否則中有元素1或者3，矛盾，即AB不可能；當時，，符合題意，因此實數可以為7.故選：D.3.若對于任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】A【解析】令函數，顯然在上單調遞減，，因為任意，不等式恒成立，于是，所以.故選：A.4.哥哥和弟弟一起拎一重量為的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力為，弟弟用力為，若，且的夾角為120°時，保持平衡狀態(tài)，則此時與重物重力之間的夾角為（）A.60° B.90° C.120° D.150°【答案】C【解析】根據力的平衡，的合力為，如圖所示：由于，且的夾角為，則為等邊三角形，則，則與重物重力之間的夾角為.故選：C.5.“”是“函數的定義域為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】函數的定義域為則恒成立，即，解得，故“”是“函數的定義域為”的必要不充分條件.故選：B.6.已知函數，，是正實數．若存在唯一的實數，滿足，則的最小值為（）A.46 B.48 C.52 D.64【答案】B【解析】根據函數，是正數，且存在唯一的實數，滿足,可得，即，由，則，所以，故.故選：B.7.某種廢氣需要經過嚴格的過濾程序，使污染物含量不超過20%后才能排放．過濾過程中廢棄的污染物含量（單位：）與時間（單位：）之間的關系為，其中是原有廢氣的污染物含量（單位：），是正常數．若在前消除了20%的污染物，那么要達到排放標準至少經過（答案取整數）（）參考數據：，，，A. B. C. D.【答案】B【解析】由題有，設小時后污染物含量不超過，則，解得，即至少經過29小時能達到排放標準.故選：B.8.若實數，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設，則為偶函數，設，則因為在上均為增函數，故，故，故在上為增函數，且為偶函數.又，則，即，當且僅當時取等號.故，故.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.在中（）A.若，則 B.若，則C. D.【答案】ACD【解析】對A，在中，由余弦函數單調性可得，故A正確；對B，若為鈍角，為銳角，則，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，故D正確.故選：ACD.10.已知（）（）A.當時，的值域為 B.當時，C.當時，是偶函數 D.當時，是奇函數【答案】BC【解析】當時，，此時的值域為，故A錯誤，當時，在上單調遞增，所以，B正確，當時，，，所以是偶函數，C正確，當時，，，則，，定義域不關于原點對稱，故為非奇非偶函數，D錯誤.故選：BC.11.已知函數（）的最小正周期為，則（）A.B.函數在上為增函數C.是的一個對稱中心D.函數的圖像關于軸對稱【答案】BD【解析】對A，，又最小正周期為，故，則，故A錯誤；對B，，當時，，為正弦函數的單調遞增區(qū)間，故B正確；對C，，故不是的一個對稱中心，故C錯誤；對D，為偶函數，圖像關于軸對稱，故D正確.故選：BD.12.已知函數，則（）A.函數是周期函數B.函數有最大值和最小值C.函數有對稱軸D.對于，函數單調遞增【答案】BC【解析】因為，對于C選項，因為，所以，函數的圖象關于直線對稱，C對；對于D選項，因，，故函數在上不單調，D錯；對于B選項，因為函數的圖象關于直線對稱，要求函數的最大值和最小值，只需求出函數在上的最大值和最小值即可，設，當時，，令，因為函數在上單調遞增，函數在上單調遞增，所以，函數在上單調遞增，當時，，因為函數、在上均為增函數，所以，函數在上為增函數，所以，函數在上為增函數，由對稱性可知，函數在上為減函數，故函數在處取得最大值，且，故函數在處取得最小值，且最小值為，當時，則，則函數在上為減函數，對任意的、，且，則，，則，由不等式的基本性質可得，即，所以，函數在上單調遞減，又因為當時，函數取得最大值，故函數僅在處取得最大值，對任意的，，，若，則，若，則，則，則，所以，.綜上所述，對任意的，，又因為函數在上單調遞減，故當時，在處取得最小值，綜上所述，函數既有最大值，也有最小值，C對；對于A選項，由C選項可知，函數僅在處取得最大值，若函數是以為周期的周期函數，則，與題意矛盾，故函數不可能是周期函數，A錯.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______0（填＞或＜）．【答案】＞【解析】，故2對應的角度終邊在第二象限，則.14.函數（為月份），近似表示某地每年各個月份從事旅游服務工作的人數，游客流量越大所需服務工作的人數越多，則可以推斷，當______時，游客流量最大．【答案】8【解析】因為，所以，所以當，即時，取最大值，所以時，取最大值，又游客流量越大所需服務工作的人數越多，所以時，游客流量最大．15.已知函數則方程的所有根之積為______．【答案】【解析】令，由可得，當時，由，即，則，即方程無解；當時，由，可得或.（1）當時，當時，由可得，解得，，當時，由可得，；（2）當時，當時，由可得，，方程無解，當時，由可得，，因此，方程的所有根之積為.16.若函數的值域為，則實數的最小值為______．【答案】【解析】根據題意，函數定義域為，因為的值域為，所以在上恒成立，當時，則，則，此時必有，變形可得，當時，則，則，此時必有，變形可得，綜合可得：在上恒成立，設，，則，因為，所以且，由基本不等式可得，即，所以，因為在上恒成立，所以，解得，故實數的最小值為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）結合題意可得：.（2）結合題意可得：.18.已知向量，．（1）若，求的坐標；（2）若，求與的夾角．解：（1）由題意，設．，，，或．（2），，，即，．設與的夾角為，則．又，，與的夾角為．19.已知函數．（1）求函數的最小正周期與對稱軸方程；（2）當且時，求的值．解：（1）由題設有，所以，函數的最小正周期是，由，可得，所以，函數的對稱軸方程為.（2）由得，即，因為，所以．若，則與，矛盾，則．從而．于是．20.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，是扇形弧上的動點，過作的平行線交于．記．（1）求的長（用表示）；（2）求面積的最大值，并求此時角的大?。猓海?）過，作的垂線，垂足分別為，，則，，，．（2）．，，，即時，，因此，當時，面積最大值為．21.已知函數．（1）當時，討論的單調性（不必給出證明）；（2）當時，求的值域；（3）若存在，，使得，求的取值范圍．解：（1）當時，，因為為減函數，為增函數，故在上單調遞減.（2）當時，，當且僅當時取等號；所以的值域為．（3）令，則問題等價于存在，，使得，令，因為在有兩個零點，故，即，解得．由韋達定理和根的定義可知：，．，又因為，故的取值范圍為．22.二次函數的最大值為，且滿足，，函數．（1）求函數的解析式；（2）若存在，使得，且的所有零點構成的集合為，證明：