浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省臺(tái)金七校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】根據(jù)存在命題的否定可知，至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得的否定是，.故選：D.2.學(xué)校開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)是參加100米跑的同學(xué)}，是參加200米跑的同學(xué)}，是參加400米跑的同學(xué)}．學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)比賽．請你用集合的運(yùn)算說明這項(xiàng)規(guī)定（）A. B.C. D.【答案】D【解析】學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)比賽，故沒有同學(xué)參加三項(xiàng)比賽，即.故選：D.3.設(shè)，且，則下列運(yùn)算中正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】對于選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：例如，則，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：，故D正確.故選：D.4.如圖，①②③④中不屬于函數(shù)，，的一個(gè)是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)與關(guān)于對稱，可知①④正確，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故③正確，所以②不是已知函數(shù)圖象.故選：B.5.對于集合，和全集，“”是“”的什么條件（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】韋恩圖所示：由推出，反之由推出，所以“”是“”的充要條件.故選：A.6.圖（1）是某條公共汽車線路收支差額關(guān)于乘客量的圖象.由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏建議，如圖（2）（3）所示，這兩種建議是（）A.（2）：降低成本，票價(jià)不變；（3）：成本不變，提高票價(jià).B.（2）：提高成本，票價(jià)不變；（3）：成本不變，降低票價(jià).C.（2）：成本不變，提高票價(jià)；（3）：提高成本，票價(jià)不變.D.（2）：降低成本，提高票價(jià)；（3）：降低成本，票價(jià)不變.【答案】A【解析】（2）直線向上平移，當(dāng)乘客量為0時(shí)，差額絕對值變小，又收入為0，說明降低成本，兩直線平行，說明票價(jià)不變；（3）：當(dāng)乘客量為0時(shí)，差額未變，又收入為0，說明成本沒變，直線的傾斜角變大，說明相同的乘客量時(shí)收入變大，即票價(jià)提高了.故選：A.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，為偶函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)，），則在區(qū)間上的最小值為（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，可得在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最小值為.故選：B.8.若集合時(shí)，，均有恒成立，則的最大值為（）A.1 B.4 C.16 D.64【答案】B【解析】要使不等式恒成立，則恒成立，當(dāng)取得最大值，時(shí)，取得最大值，即恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)和都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為4.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】對于選項(xiàng)A：例如，則，，即，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，則，可得，所以，故B正確；對于選項(xiàng)C：例如，則，，即，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，則，可得，即，故D正確.故選：BD.10.波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德國著名的數(shù)學(xué)家.他在數(shù)學(xué)分析、微分幾何方面作出過重要貢獻(xiàn)，開創(chuàng)了黎曼幾何，并給后來的廣義相對論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).他提出了著名的黎曼函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)椋浣馕鍪綖椋?，下列關(guān)于黎曼函數(shù)的說法正確的是（）A. B.，，C.的值域?yàn)?D.為偶函數(shù)【答案】ABD【解析】通過題目信息可知對于有理數(shù)和無理數(shù)具有不同的取值，且當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，：對于A選項(xiàng)，代入驗(yàn)證易知其正確；對于B選項(xiàng)，不妨設(shè)，根據(jù)的性質(zhì)可得的最小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，若和中有無理數(shù)，則，若和均為有理數(shù)，不妨設(shè)，其中，，，均為正整數(shù)，則，，若與互質(zhì)，則，若與有大于的公約數(shù)，則，綜上可得，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，計(jì)算可知的函數(shù)值只能是有理數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，，，對于任意的，?dāng)為無理數(shù)時(shí)，和均為無理數(shù)，，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，可令，其中和是互質(zhì)的正整數(shù)且，則，，綜上可知對于任意的都有，是偶函數(shù)，D正確.故選：ABD.11.若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為；則下列說法正確的是（）A.的值與無關(guān) B.的值與無關(guān)C.函數(shù)，至少有一個(gè)零點(diǎn) D.函數(shù)，至多有三個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)AB：假設(shè)，，則，顯然，可知的值與無關(guān)，與有關(guān)，故A正確，B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)CD：令，可得，構(gòu)建，則，可知為奇函數(shù)，若，在單調(diào)遞增，其圖象如圖所示：可知y=gx與恒有1個(gè)交點(diǎn)，即恒有1個(gè)零點(diǎn)；若，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其圖象如圖所示：可知y=gx與可能有1、2或3個(gè)交點(diǎn)，即可能有1、2或3個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：函數(shù)，x∈R至少有一個(gè)零點(diǎn)，至多有三個(gè)零點(diǎn)，故CD正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【解析】由，知是的子集，所以或或.由集合中元素的互異性，知，所以，故，.從而，而，故.經(jīng)驗(yàn)證滿足條件.13.已知，若，，則的最小值為__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，，可知，則，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為.14.若函數(shù)，（，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】可看作由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增即可，由對勾函數(shù)的單調(diào)性，只需，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減即可，由對勾函數(shù)的單調(diào)性，只需，解得，綜上，的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，，.（1）求，；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.解：（1）由已知得，，，，.（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以，若，即時(shí)，，符合題意；若，即時(shí)，，所以，所以；若，即時(shí)，，所以，所以，綜上，.16.設(shè)奇函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)，）.（1）求的定義域和；（2），求函數(shù)的值域.解：（1）因?yàn)?，令，可得，可知的定義域?yàn)?；因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則，解得，可得，則，即，可知是奇函數(shù).綜上所述：（2）由（1）可知，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知，即，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則，所以的值域?yàn)?17.設(shè)函數(shù).（1）若，求證：在0，2內(nèi)存在零點(diǎn)；（2）若不等式的解集是，且時(shí)，恒成立，求的取值范圍.解：（1）由，即，，，，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在性定理知在0，2上存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，是零點(diǎn)，此時(shí)存在零點(diǎn)；綜上在0，2內(nèi)存在零點(diǎn)（2）依題意得，且，是方程的兩根，由韋達(dá)定理得，，，所以，依題意，得在上恒成立，因?yàn)?，，所以只需，令，，令，則，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，，.18.函數(shù)滿足：對任意實(shí)數(shù)，，有成立；函數(shù)，，，且當(dāng)時(shí)，gx>0.（1）求并證明函數(shù)為奇函數(shù)；（2）證明：函數(shù)在0，+（3）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋?，則，得f1=0；令，則，得；證明：，令，依題意得，即f-x=-f所以是奇函數(shù).（2）由得，即，，，，則，則，可得，即，所以函數(shù)在0，+∞上單調(diào)遞增（3）因?yàn)?，，且函?shù)為奇函數(shù)，則，可知是偶函數(shù)，且，因?yàn)?，可得，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)在0，+∞上單調(diào)遞增，可得因?yàn)?，則，可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立；綜上所述：.可得，解得，且，所以的取值范圍為.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若最多存在個(gè)實(shí)數(shù)，，，，，使得，，則稱函數(shù)為“級函數(shù)”.（1）函數(shù)①，②是否為“級函數(shù)”，如果是，求出的值，如果不是，請說明理由；（2）若函數(shù)，求值；（3）若函數(shù)，求，的取值范圍.（用表示）解：（1）①函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，且在上遞增，在0，+∞上遞減，所以為“級函數(shù)”，且；②在上遞減，且此時(shí)；在0，+∞