2025年高考數學一輪專題復習全套考點突破和專題檢測專題12 導數的應用-函數的單調性問題5題型分類-備2025年高考數學一輪專題復習全套考點突破和專題檢測（原卷版）

專題12導數的應用--函數的單調性問題5題型分類一、單調性基礎知識1、函數的單調性函數單調性的判定方法：設函數在某個區(qū)間內可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數.2、已知函數的單調性問題①若在某個區(qū)間上單調遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調遞增；②若在某個區(qū)間上單調遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調遞減.二、討論單調區(qū)間問題類型一：不含參數單調性討論（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）求根作圖得結論（如能直接求出導函數等于0的根，并能做出導函數與x軸位置關系圖，則導函數正負區(qū)間段已知，可直接得出結論）；（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數整體的正負）；（5）正負未知看零點（若導函數正負難判斷，則觀察導函數零點）；（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數無法觀察出零點，則求二階導）；求二階導往往需要構造新函數，令一階導函數或一階導函數中變號部分為新函數，對新函數再求導.（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導正負判斷一階導函數的單調性，進而判斷一階導函數正負區(qū)間段）；類型二：含參數單調性討論（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數的取值恒正恒負）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；（5）導數圖象定區(qū)間；（一）利用導函數與原函數的關系確定原函數圖象原函數的單調性與導函數的函數值的符號的關系，原函數單調遞增導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）；原函數單調遞減導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）.題型1：利用導函數與原函數的關系確定原函數圖象1-1．（天津市西青區(qū)為明學校2023-2024學年高三上學期開學測數學試題）已知函數的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數的圖象如下圖所示，則該函數的大致圖象是（

）A． B．C． D．1-2．（天津市瑞景中學2023-2024學年高二下學期期中數學試題）設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．1-3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數的圖象如圖所示（其中是函數的導函數），下面四個圖象中可能是圖象的是（

）A． B．C． D．1-4．（2024·陜西西安·一模）已知定義在上的函數的大致圖像如圖所示，是的導函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．（二）求單調區(qū)間1.求函數的單調區(qū)間的步驟如下：（1）求的定義域（2）求出.（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標出，穿針引線.（4）在定義域內，令，解出的取值范圍，得函數的單調遞增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數的單調遞減區(qū)間.若一個函數具有相同單調性的區(qū)間不只一個，則這些單調區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應用“和”、“，”隔開.2.導數求函數的單調區(qū)間或判斷函數的單調性問題時應注意如下幾方面：（1）在利用導數討論函數的單調區(qū)間時，首先要確定函數的定義域；（2）不能隨意將函數的2個獨立的單調遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；（3）利用導數解決含參函數的單調性問題時，一般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數形結合思想的應用.3.已知含量參函數在區(qū)間上單調或不單調或存在單調區(qū)間，求參數范圍（1）已知函數在區(qū)間上單調遞增或單調遞減，轉化為導函數恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導函數的形式及圖象特點，如一次函數最值落在端點，開口向上的拋物線最大值落在端點，開口向下的拋物線最小值落在端點等.（2）已知區(qū)間上函數不單調，轉化為導數在區(qū)間內存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍.（3）已知函數在區(qū)間上存在單調遞增或遞減區(qū)間，轉化為導函數在區(qū)間上大于零或小于零有解.題型2：求單調區(qū)間2-1．（2024高三下·江西鷹潭·階段練習）函數的單調遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．2-2．（2024高二下·湖北·期中）函數的單調遞增區(qū)間（

）A． B． C． D．2-3．（2024·上海靜安·二模）函數（）A．嚴格增函數B．在上是嚴格增函數，在上是嚴格減函數C．嚴格減函數D．在上是嚴格減函數，在上是嚴格增函數題型3：已知含量參函數在區(qū)間上單調或不單調或存在單調區(qū)間，求參數范圍3-1．（2024·陜西西安·三模）若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3-2．（2024·山東濟寧·一模）若函數且在區(qū)間內單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3-3．（2024·寧夏銀川·三模）若函數在區(qū)間上不單調，則實數m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>13-4．（2024高三上·江蘇蘇州·期中）若函數在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．3-5．（2024高三上·山西朔州·期中）已知函數（）在區(qū)間上存在單調遞增區(qū)間，則實數的取值范圍是A． B． C． D．3-6．（2024高二下·天津和平·期中）已知函數的單調遞減區(qū)間是，則（

）A．3 B． C．2 D．（三）函數單調性的討論1.確定不含參的函數的單調性，按照判斷函數單調性的步驟即可，但應注意一是不能漏掉求函數的定義域，二是函數的單調區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開.2、關于含參函數單調性的討論問題，要根據導函數的情況來作出選擇，通過對新函數零點個數的討論，從而得到原函數對應導數的正負，最終判斷原函數的增減.（注意定義域的間斷情況）.3、需要求二階導的題目，往往通過二階導的正負來判斷一階導函數的單調性，結合一階導函數端點處的函數值或零點可判斷一階導函數正負區(qū)間段.4、利用草稿圖象輔助說明.題型4：不含參數單調性討論4-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.試判斷函數在上單調性并證明你的結論；4-2．（2024高三·全國·專題練習）已知，若，求的單調區(qū)間.4-3．（2024·貴州·二模）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)討論在上的單調性．題型5：含參數單調性討論5-1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數．討論的單調性；5-2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性.5-3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性.5-4．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）已知函數.討論函數的單調性.5-5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性.5-6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，其中，討論函數的單調性.5-7．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，討論的單調區(qū)間.5-8．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.判斷函數的單調性.一、單選題1．（2024高三·全國·課后作業(yè)）函數（a、b為正數）的嚴格減區(qū)間是（

）．A． B．與C．與 D．2．（2024高二上·浙江·開學考試）已知函數在區(qū)間上是減函數，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024高三·全國·專題練習）三次函數在上是減函數，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024高三下·青海西寧·開學考試）已知函數.若對任意，，且，都有，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024高三·全國·專題練習）若函數在其定義域的一個子區(qū)間內不是單調函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數在，上單調遞增，在上單調遞減，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．（2024·全國）已知，則（

）A． B． C． D．8．（2024·全國）設，則（

）A． B． C． D．9．（2024高三上·河南·階段練習）下列函數中，既是偶函數又在上單調遞增的函數是（

）A． B． C． D．10．（2024高三上·河南·階段練習）函數的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．11．（2024高二下·河南許昌·階段練習）函數在下面哪個區(qū)間內是增函數A． B． C． D．12．（2024·全國）已知函數在區(qū)間上單調遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．13．（2024高二下·福建泉州·期末）已知函數的導函數的圖像如下圖，那么的圖像可能是（）A． B．C． D．14．（2024高二下·河北邯鄲·期末）函數的導函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．15．（2024·湖南）若函數的導函數在區(qū)間上是增函數，則函數在區(qū)間上的圖象可能是A．B．C．D．16．（2024·全國）函數的圖像大致為A． B．C． D．17．（2024高三上·陜西榆林·階段練習）函數的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

18．（2024·全國）函數的圖像大致為()A． B．C． D．19．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學考試）已知實數滿足：，則（

）A． B． C． D．20．（2024高二下·山東菏澤·期末）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．21．（2024高二上·湖南張家界·階段練習）設分別是定義在上的奇函數和偶函數，當時，．且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．22．（2024高三·全國·專題練習）已知在上是可導函數，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）

A． B．C． D．23．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學考試）若函數為定義在上的偶函數，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．24．（2024·全國·模擬預測）已知冪函數，若，則下列說法正確的是（

）A．函數為奇函數 B．函數為偶函數C．函數在上單調遞增 D．函數在上單調遞減25．（2024·江西鷹潭·模擬預測）函數的單調遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．26．（2024高二下·重慶·期中）若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．27．（2024·甘肅蘭州·一模）已知是偶函數，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．28．（2024·全國·模擬預測）已知，且，，，其中是自然對數的底數，則（

）A． B． C． D．29．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知實數，滿足，，其中是自然對數的底數，則的值為（

）A． B． C． D．30．（2024高三·貴州貴陽·階段練習）已知，，對，且，恒有，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．31．（2024·四川南充·三模）已知函數使（為常數）成立，則常數的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題32．（2024高二上·山東濟寧·期末）已知函數的定義域為且導函數為，如圖是函數的圖像，則下列說法正確的是

A．函數的增區(qū)間是B．函數的增區(qū)間是C．是函數的極小值點D．是函數的極小值點33．（2024·湖北武漢·二模）函數的圖像可能是（

）A． B．C． D．34．（2024·山東濰坊·模擬預測）下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是增函數的是（

）A． B． C． D．35．（2024高二下·廣東潮州·開學考試）已知函數，則（

）A．在單調遞增B．有兩個零點C．曲線在點處切線的斜率為D．是奇函數36．（2024·河北·模擬預測）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若，則（

）A． B．C． D．37．（2024·浙江金華·模擬預測）當且時，不等式恒成立，則自然數可能為（

）A．0 B．2 C．8 D．12三、填空題38．（2024高二下·四川眉山·階段練習）的單調遞減區(qū)間是.39．（2024·內蒙古赤峰·模擬預測）已知函數，則的單調遞減區(qū)間為.40．（2024·四川雅安·模擬預測）給出兩個條件：①，；②當時，（其中為的導函數）．請寫出同時滿足以上兩個條件的一個函數．（寫出一個滿足條件的函數即可）41．（2024高三上·湖北黃岡·階段練習）已知函數，則不等式的解集為．42．（2024·寧夏銀川·三模）若函數在區(qū)間上不單調，則實數的取值范圍為．四、解答題43．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，.(1)若，求a的取值范圍；(2)求函數在上的單調性.44．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，判斷的單調性，并說明理由.45．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論的單調性.46．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論的單調性；47．（2024高三·全國·專題練習）已知函數.(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)設，討論函數的單調性.48．（2024高三·北京海淀·專題練習）設函數．(1)若曲線在點處的切線與軸平行，求；(2)求的單調區(qū)間．49．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論的單調性.50．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論的單調性.51．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性；52．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，討論的單調性.53．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性.54．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，其中，討論函數的單調性.55．（2024高三·全國·專題練習）已知.（），討論的單調性.56．（2024高三·全國·專題練習）已知，討論函數的單調性.57．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，討論函數的單調性.58．（2024高三·全國·專題練習）已知函數（，且）求函數的單調區(qū)間；59．（2024高三·全國·專題練習）設函數，其中，討論的單調性.60．（2024高三·全國·專題練習）設，函數，討論在的單調性.61．（2024·北京）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數在上的單調性；(3)證明：對任意的，有．62．（陜西省咸陽市高新一中2023-2024學年高二上學期第二次質量檢測文科數學試題）設函數的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點（1，－11）．(1)求a、b的值．(2)討論函數f（x）的單調性．63．