2025年高考數(shù)學(xué)一輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專(zhuān)題檢測(cè)專(zhuān)題15 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題5題型分類(lèi)-備2025年高考數(shù)學(xué)一輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專(zhuān)題檢測(cè)（解析版）

專(zhuān)題15導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題5題型分類(lèi)1、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍.求解步驟：第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫(huà)出其圖像；第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).2、函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令f（x）＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．3、求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過(guò)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.（一）函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．（4）結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).注：導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，由于涉及多類(lèi)問(wèn)題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類(lèi)討論等），需要學(xué)生對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過(guò)極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，分類(lèi)討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，及分類(lèi)是否全面，都是需要思考的地方題型1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1-1．（2024高三下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知，（n為正整數(shù)，）．(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，，證明：有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)進(jìn)行二次求導(dǎo)，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，確定一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求證.（2）根據(jù)題意，只需證即可，結(jié)合結(jié)合同構(gòu)函數(shù)，即可容易證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，記，則所以在區(qū)間上單調(diào)遞增而，所以存在，使得，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增又，，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，，要證，即證，令，則，所以在單調(diào)遞減，，即，要證只需證，令，則，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，即，∴，即，所以成立，∴原命題得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，解決第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用進(jìn)行放縮，以及利用同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明，屬綜合困難題.1-2．（2024·江西九江·二模）已知函數(shù)，．(1)若直線與曲線相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)已知切線方程求列方程求切點(diǎn)坐標(biāo)，再代入求參即可；(2)先分段討論最小值，再分情況根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)值域判斷每種情況下零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴∴（*）消去a整理，得，∴∴（2）①當(dāng)時(shí)，，，∴在上無(wú)零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，，．若，，此時(shí)，是的一個(gè)零點(diǎn)，若，，此時(shí)，不是的零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的零點(diǎn)即為的零點(diǎn)．令，得，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，（i）若，即時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)，即在上無(wú)零點(diǎn)（ii）若，即時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有一個(gè)零點(diǎn)（iii）若，即時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)（iv）若，即時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)或時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有三個(gè)零點(diǎn)1-3．（2024·山東·一模）已知，且0為的一個(gè)極值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：①函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；②，其中且．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求得，由0為的一個(gè)極值點(diǎn)，可得，進(jìn)而求解；（2）①當(dāng)時(shí)，由，可得單調(diào)遞減，由，可得，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，結(jié)合其導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，結(jié)合，和零點(diǎn)存在性定理，可知存在，使得，進(jìn)而得到單調(diào)性，結(jié)合得到在上單調(diào)遞增；結(jié)合，，存在，得到函數(shù)的單調(diào)性，可得而在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，可得在單減，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，最后綜合即可得證.②由（1）中在單增，所以，有，可得.令，利用放縮法可得，再結(jié)合，分別利用累加發(fā)可得，，即可求證.【詳解】（1）由，則，因?yàn)?為的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，又因?yàn)椋裕?，在上單調(diào)遞增；.綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以0為的一個(gè)極值點(diǎn)，故.（2）①當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，所以對(duì)，有，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減．又因?yàn)?，所以，，在上單調(diào)遞增；因?yàn)椋?，所以存在，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以在單減，又，，由零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；綜上所述，在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)．②因?yàn)?，由?）中在上的單調(diào)性分析，知，所以在單增，所以對(duì)，有，即，所以．令，則，所以，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第（2）②，關(guān)鍵在于先證明，令，利用放縮法可得，再結(jié)合累加法即可得證.1-4．（2024·山東·一模）已知函數(shù)．(1)若對(duì)時(shí)，，求正實(shí)數(shù)a的最大值；(2)證明：；(3)若函數(shù)的最小值為m，試判斷方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)1(2)證明見(jiàn)解析(3)有唯一的實(shí)數(shù)解，理由見(jiàn)解析【分析】（1）將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，通過(guò)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最值，從而求出結(jié)果；（2）利用（1）中結(jié)果，得到，通過(guò)令，從而得到，再通過(guò)過(guò)累加即可得出結(jié)果；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在性原理即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題知，令，所以，又因?yàn)闀r(shí)，，a為正實(shí)數(shù)，故在區(qū)間恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且．①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，符合題意．②當(dāng)時(shí)，，，由零點(diǎn)存在定理，時(shí)，有，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)不符合，綜上所述，正實(shí)數(shù)a的最大值為1．（2）由（1）知，當(dāng)，時(shí)，，令時(shí)，有，即，所以，，，，累加得，即，所以（3）因?yàn)?，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在定理，時(shí)，有，即，因此，而函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，又因?yàn)椋?，則，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即．設(shè)，則，令，則在區(qū)間上恒成立所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在定理，時(shí)，，即，因此，又，設(shè)，則在區(qū)間上恒成立，所以函數(shù)在上遞增，于是且，而函數(shù)在上遞減，在上遞增，∴，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)，故方程有唯一的實(shí)數(shù)解．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：零點(diǎn)代換：當(dāng)存在零點(diǎn)，且滿(mǎn)足等式時(shí)，對(duì)應(yīng)在此點(diǎn)處的等量運(yùn)算也成立，即若有，則有.1-5．（2024高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求得，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）先求得的范圍，利用換元法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及零點(diǎn)存在性定理證得時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).【詳解】（1）根據(jù)題意得，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，又，；，，故．，設(shè)，，則，，則，由，得．因此，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．由于，故，又，由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，所以有兩個(gè)零點(diǎn)和，即方程有兩個(gè)根和．的圖象如下，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋史匠逃幸粋€(gè)根；當(dāng)時(shí)，其中，因?yàn)?，故由圖角可知，有兩個(gè)不同的根，，且．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的過(guò)程中，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)討論要做到不重不漏.分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)可通過(guò)判別式、開(kāi)口方向、根的大小等等來(lái)制定.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，往往要結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來(lái)進(jìn)行.（二）根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類(lèi)參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿(mǎn)足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類(lèi)討論法：一般命題情境為沒(méi)有固定的區(qū)間，求滿(mǎn)足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿(mǎn)足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.題型2：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)2-1．（2024高二下·浙江臺(tái)州·期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；(3)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）分析在和，時(shí)的正負(fù)判斷即可；（3）根據(jù)（2）可得，又，設(shè)，根據(jù)時(shí)為臨界條件，分與兩種情況，分別求導(dǎo)分析的單調(diào)性，進(jìn)而得到的正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得到的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解即可【詳解】（1）由題意，，，故，又，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即（2）由題意，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)（3）由（2）可得，，故設(shè)，則①若，則，在上為減函數(shù)，故，故在上為減函數(shù)，不滿(mǎn)足題意；②若，i）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，，故存在使得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，且，設(shè)，易得，故在單調(diào)遞增，故，故，故.故在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上有在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)ii）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，故為減函數(shù)，因?yàn)椋蚀嬖谑沟贸闪ⅲ试趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，，故存在使得成立，故在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增.又，故，且，，故，故存在使得，綜上有在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，同時(shí)結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，需要根據(jù)題意確定臨界條件分類(lèi)討論，再分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)零點(diǎn)存在性定理分析，屬于難題2-2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】.【分析】方法一：直接求導(dǎo)，分情況討論函數(shù)單調(diào)性及最值情況，進(jìn)而可得零點(diǎn)情況，進(jìn)而可得參數(shù)取值范圍；方法二：構(gòu)造函數(shù)法并分離參數(shù)求得參數(shù)范圍.【詳解】解：方法一：由可得，設(shè)，，，則，令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故.①當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，令，解得或或，且，此時(shí)在單減，單增，單減，單增，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜合①②③知在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).方法二：由題意可得，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，，令，，易知在單減，在上單增，所以，又趨近于和正無(wú)窮時(shí)，趨近于正無(wú)窮，所以.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．2-3．（2024·四川成都·一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)和，即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）的單調(diào)區(qū)間，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點(diǎn)，即可得到的取值范圍.【詳解】（1）由，①當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得.∴的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.②當(dāng)時(shí)，令，或.當(dāng)，即時(shí)，∴在單增，當(dāng)，即時(shí)，由得，，由得，.∴單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.當(dāng)，即時(shí)，由得，，由得，.∴的單增區(qū)間為，的單減區(qū)間為.（2）由.（i）當(dāng)時(shí)，只需，即時(shí)，滿(mǎn)足題意；（ii）當(dāng)時(shí)，在上單增，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，的極大值，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的極小值，，，只有才能滿(mǎn)足題意，即有解.令，，則.∴在單增.∵∴，方程無(wú)解.∴綜上所述，.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．2-4．（2024高三上·廣東·階段練習(xí)）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論和，分別解導(dǎo)數(shù)不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)性.（2）由（1）的單調(diào)性，可求得函數(shù)的極值，由極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，令，得，令，得.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得，.①當(dāng)即時(shí)，，在R上單調(diào)遞增.②當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.③當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知只有一個(gè)極小值點(diǎn).且，，當(dāng)時(shí)，，，從而，因此有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，其中，，，則，即函數(shù)的極大值小于0，則在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，即函數(shù)的極大值小于0，則在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上，若有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查分析問(wèn)題的能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.2-5．（2024·浙江·二模）設(shè)函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)記，若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，0，1【分析】（1）求出，利用其單調(diào)性和特殊值可得使得，再由可得答案；（2）由時(shí)，求出的零點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，利用范圍可得在有1個(gè)零點(diǎn)：分、、討論，利用的單調(diào)性和函數(shù)值可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，有，單調(diào)遞增，又，則可知，使得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，則可知；（2）依題意，函數(shù)的定義域是，當(dāng)時(shí)，，即，而，時(shí)，，時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；①當(dāng)時(shí)，若，有，且，有，又，由（1）可知又，則所以在有1個(gè)零點(diǎn)：若，有，若，有，可知在有1個(gè)零點(diǎn)，符合題意：若，有在單調(diào)遞增，，（i）若，則當(dāng)，有，（ii）若，又，則可知，使得；由（i）、（ii），則可知有在單調(diào)遞減，所以，又有，所以在至少有1個(gè)零點(diǎn)，則可知在至少有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；若，有在單調(diào)遞增，又，則可知，使得，所以在單調(diào)遞增，則有，又有，所以在至少有1個(gè)零點(diǎn)，則可知在至少有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，由，記，由①可知，有且僅有滿(mǎn)足題意，即時(shí)，滿(mǎn)足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為，0，1.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：1、分類(lèi)參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿(mǎn)足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍；2、分類(lèi)討論法：一般命題情境為沒(méi)有固定的區(qū)間，求滿(mǎn)足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿(mǎn)足題意的參數(shù)的各個(gè)小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.2-6．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)極大值乘以極小值小于零列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由，則.設(shè)，是的兩根，則在，遞增，在遞減，所以的極大值與極小值分別為，，且，，同理可得，所以，將，代入化簡(jiǎn)得，由.題型3：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求值3-1．（2024·陜西寶雞·二模）已知是方程的一個(gè)根，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】化簡(jiǎn)方程，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得，由此求得的值.【詳解】依題意，，由，得，，設(shè)單調(diào)遞增，由得，即，即，所以，所以.故選：B3-2．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，，（），則的取值范圍是.【答案】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而可畫(huà)出其圖象，即可得及范圍，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在上的值域，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，令得或，或，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，?dāng)x趨近于負(fù)無(wú)窮時(shí)，趨近于零，所以的圖象如圖所示，所以若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則，又因?yàn)?，，所以，不妨令，，則，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，，所以，所?故答案為：.3-3．（2024·福建福州·二模）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則.【答案】1【分析】令，由的圖象可得最多只有兩個(gè)解，所以由題意可知有兩解，且，由圖象可知有兩解，有一解，代入即可求出結(jié)果.【詳解】由，得，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以的圖象如圖所示，

由圖可知最多只有兩個(gè)解，若要有三解，則有兩解，且，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，所以由圖象可知有兩解，有一解，所以，故答案為：1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是令，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有兩解，且有兩解，有一解，然后代入化簡(jiǎn)即可，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.（三）零點(diǎn)與不等式的證明問(wèn)題證明雙變量不等式的基本思路：首先進(jìn)行變量的轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿(mǎn)足的關(guān)系式，或者通過(guò)比值代換eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(令t＝\f(x2,x1)))，利用關(guān)系式將其中一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示，代入要證明的不等式，化簡(jiǎn)后根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值，并把最值應(yīng)用到所證不等式.題型4：零點(diǎn)與不等式的證明問(wèn)題4-1．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），證明：.【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）具體見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系得出單調(diào)區(qū)間；（2）先求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，進(jìn)而通過(guò)的符號(hào)得出的單調(diào)區(qū)間，再通過(guò)特值法和放縮法判斷出零點(diǎn)的位置，進(jìn)而得到的符號(hào)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，最后再通過(guò)放縮法證明問(wèn)題.【詳解】（1），，時(shí)，，時(shí)，，則函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2），令，∵，則在R上單調(diào)遞增，∴時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，且.令，，則時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，∴x>0時(shí)，，則，于是x>0時(shí)，.∴，∴時(shí)，，于是（x2唯一），使得.∴時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.則函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值.又∵，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題第（2）問(wèn)有難度，看似是雙變量的問(wèn)題實(shí)際上是單變量問(wèn)題，在探討的零點(diǎn)時(shí)首先要想到特值，本題含指數(shù)函數(shù)可以嘗試驗(yàn)證x=0是否是零點(diǎn)；在判斷第二個(gè)零點(diǎn)時(shí)用到了放縮法，因此我們需要對(duì)課本上的常見(jiàn)放縮不等式進(jìn)行總結(jié)和歸納，比如常見(jiàn)的等等.4-2．（2024·寧夏）已知函數(shù)（I）如，求的單調(diào)區(qū)間；（II）若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明>6.【答案】（Ⅰ）增區(qū)間，減區(qū)間（Ⅱ）證明見(jiàn)解析【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)當(dāng)從而單調(diào)減少.(Ⅱ)由條件得：從而因?yàn)樗詫⒂疫呎归_(kāi)，與左邊比較系數(shù)得，故又由此可得于是4-3．（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)①當(dāng)時(shí)，試證明函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)；②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，且，試證明.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）①當(dāng)時(shí)，求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后證明函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)；②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，利用分析法結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化證明即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，所以，所以在定義域上單調(diào)遞減，其單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間．（2）①由定義域?yàn)椋?，令，因?yàn)?，，設(shè)方程的兩根分別為，，且，則，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以在處取得極小值，在處取得極大值，又，故，則，又因?yàn)?，，且，故有，由零點(diǎn)存在性定理可知，在恰有一個(gè)零點(diǎn)，在也恰有一個(gè)零點(diǎn)，易知是的零點(diǎn)，所以恰有三個(gè)零點(diǎn)；②由①知，，則，因?yàn)?，所以，所以要證，即證，即證，即證，即證，即證．令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，故式成立，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．4-4．（2024·山東日照·三模）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)分類(lèi)討論研究函數(shù)的單調(diào)性，確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)值的符號(hào)即可得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）把原函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有三個(gè)根，構(gòu)造，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合根的分布得，要證，等價(jià)于證，等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)從而證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，又，（?。┊?dāng)單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)，記，則，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，所以，①當(dāng)，則單調(diào)遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；②當(dāng)，由（ⅱ）知，有兩個(gè)零點(diǎn)，記兩零點(diǎn)為，且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，令，則，所以，所以，且趨近0，趨近于正無(wú)窮大，趨近正無(wú)窮大，趨近負(fù)無(wú)窮大，所以函數(shù)有三零點(diǎn)，綜上所述，；（2）等價(jià)于，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由（1）可得，則，所以，所以，則滿(mǎn)足，，要證，等價(jià)于證，易知，令，則，令得，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，下面證明，由，即證，即證，即證，即證，令，，令，則，所以，所以，則，所以，所以，所以，所以，所以原命題得證.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.4-5．（2024·江蘇泰州·一模）已知函數(shù)，，．(1)若，求證：（?。┰诘膯握{(diào)減區(qū)間上也單調(diào)遞減；（ⅱ）在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)若，記的兩個(gè)零點(diǎn)為，求證：．【答案】(1)（i）詳見(jiàn)解析（ii）詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析【分析】（1）（i）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)的遞減區(qū)間，證出在此區(qū)間也遞減即可；（ii）求出，構(gòu)造函數(shù)，求出其導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較判斷；（2）根據(jù)（ii）中分別求出的范圍，相加即可；【詳解】（1）證明：(1)(ⅰ)因?yàn)?，由令得的遞減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，，所以在的遞減區(qū)間上也遞減．(ⅱ)因?yàn)?，由得，令，則.因?yàn)?，且，所以必有兩個(gè)異號(hào)的零點(diǎn)，記正零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則由，得，所以，又對(duì)稱(chēng)軸，所以所以.又，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．又令，解得.所以取，當(dāng)時(shí)，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．故時(shí)，在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）由（ⅱ）知，對(duì)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以所?-6．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù).（1）若.證明函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)?，利用?dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，使在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，進(jìn)而分別計(jì)算并判斷，，與零的大小比較，最后由零點(diǎn)的存在性定理即可確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）由是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，知，進(jìn)而表示，再由分析法逐步反推不等式，最后令，構(gòu)造函數(shù)，由（1）的單調(diào)性分析，表示最小值并由雙勾函數(shù)證得，即可得證.【詳解】（1）由題可知，定義域當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，（為的導(dǎo)函數(shù)）單調(diào)遞增，使.時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增所以由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知，在遞減，，，且，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)又，且所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)綜上，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

（2）由是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，知要證需證令需證令與（1）同理得所以故【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)的存在性定理研究函數(shù)的零點(diǎn)，還考查了利用分析法證明不等式，屬于難題.4-7．（2024高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若存在極值，求的取值范圍；(2)若，已知方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，，證明：.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值的定義分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法、對(duì)數(shù)均值不等式進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，?dāng)，即時(shí)，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，不可能有極值，舍去；當(dāng)，即時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在取得極大值，符合題意；綜上：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由得:.由得即構(gòu)造.易知在單調(diào)遞增且.∴.即取對(duì)數(shù)得設(shè).則即.利用對(duì)數(shù)均值不等式有即證得.要證.只要證明.設(shè).由（*）可且則在單調(diào)遞減，則.即對(duì)數(shù)均值不等式.證明如下:不妨設(shè)，要證，即證，，令即證，即即證:.令，則所以結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用對(duì)數(shù)均值不等式.（四）導(dǎo)數(shù)與“隱零點(diǎn)”問(wèn)題利用“隱零點(diǎn)”證明不等式：關(guān)鍵在于“設(shè)而不求”及“等量代換”，常見(jiàn)的有不含參和含參兩種類(lèi)型：①不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題：已知不含參函數(shù)f(x)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x)＝0的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程f′(x)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意確定x0的合適范圍.②含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題：已知含參函數(shù)f(x，a)，其中a為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程f′(x，a)＝0的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程f′(x，a)＝0的根為x0，則(i)有關(guān)系式f′(x0，a)＝0成立，該關(guān)系式給出了x0，a的關(guān)系；(ii)注意確定x0的合適范圍，往往和a的取值范圍有關(guān).題型5：導(dǎo)數(shù)與“隱零點(diǎn)”問(wèn)題5-1．（2024·全國(guó)）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí).【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（Ⅱ）見(jiàn)解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求出導(dǎo)函數(shù)，分與考慮的單調(diào)性及性質(zhì)，即可判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅱ）由（Ⅰ）可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，根據(jù)的正負(fù)，即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，即可證明其最小值不小于，即證明了所證不等式.試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí),，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)b滿(mǎn)足且時(shí)，,故當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（Ⅱ）由（Ⅰ），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當(dāng)時(shí)，.考點(diǎn)：常見(jiàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算求解能力.5-2．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，記較小零點(diǎn)為，求證：.【答案】(1)答案見(jiàn)詳解(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)對(duì)分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可求解；（2）分析要證的，利用可得代換，即證，令函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，有，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，可得，令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由第一問(wèn)可知，且較小的零點(diǎn)，則要證，即證，即證，而可得（易檢驗(yàn)），代換上式中，所以即證，即證，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，而，所以，即，得證.一、單選題1．（2024·天津）函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】恒成立，所以單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1個(gè).2．（2024·全國(guó)）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫(xiě)出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.3．（2024·全國(guó)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則A． B． C． D．1【答案】C【詳解】因?yàn)椋O(shè)，則，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則函數(shù)有唯一零點(diǎn)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，只有當(dāng)時(shí)，才滿(mǎn)足題意，即是函數(shù)的唯一零點(diǎn)，所以，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.4．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿(mǎn)足：①定義域?yàn)?；②；③有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合的單調(diào)性可知，由此可知另一根為，由的范圍可求出的范圍，即可求出的取值范圍.【詳解】函數(shù)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，因?yàn)?，令，即有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，得或，若，令，可得或；令，可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，同理若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，要使有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，則，而，則，因?yàn)?，則，則，則有一根是確定的為，又因?yàn)?，所以的另一根為，所以，因?yàn)椋?故選：B.5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若有3個(gè)不同的解，，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】對(duì)函數(shù)變形，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及圖象，把原函數(shù)有3個(gè)不同的解轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，從而利用根的分布求解即可.【詳解】，令，則，令得，令得且，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，如圖：

則，所以有3個(gè)不同的解等價(jià)于有兩個(gè)解，，整理可得，且，，根據(jù)根的分布得，解得，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：復(fù)合方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題的解題策略為：首先要能觀察出復(fù)合的形式，分清內(nèi)外層；其次要能根據(jù)復(fù)合的特點(diǎn)進(jìn)行分析，將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題；最后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式解決問(wèn)題.二、多選題6．（2024高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)C．當(dāng)，且時(shí)，可能有三個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)在上單調(diào)時(shí)，【答案】BC【分析】特殊值法可排除A項(xiàng)，利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判定B，取特殊值結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值可判定C，利用導(dǎo)函數(shù)非負(fù)結(jié)合判別式可判定D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，若時(shí)，，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，則，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，取，即時(shí)，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)極小值為，函數(shù)極大值為，即，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，若在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則恒成立，所以，解得，所以D錯(cuò)誤，故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題C項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合極大小值的正負(fù)及取特殊點(diǎn)判斷函數(shù)值符合是關(guān)鍵.7．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，若存在，使得，則稱(chēng)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義求函數(shù)的零點(diǎn)，由定義可得函數(shù)的零點(diǎn)的范圍，結(jié)合函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為含參方程有解問(wèn)題，求導(dǎo)，可得答案.【詳解】由題意，可得，，易知，則，，則在有解，求導(dǎo)得：，令，解得，可得下表：極大值則當(dāng)時(shí)，取得最大值為，，則的取值范圍為，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以的值可以是，，.故選：BCD.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.三、填空題8．（2024·北京）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；對(duì)于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；對(duì)于③，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無(wú)解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，求解此類(lèi)問(wèn)題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．9．（2024高三上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）已知定義在上的函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：①為奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.【答案】5【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性及分段函數(shù)解析式畫(huà)圖象數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】，則，，在上為負(fù)，遞減；在為正，遞增，，，，作出在的圖象.

時(shí)，，向上平移2個(gè)單位；時(shí)，，再向上平移2個(gè)單位，，.縱軸右邊圖象與左邊圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由圖可知函數(shù)的圖象在縱軸右邊上有4個(gè)交點(diǎn)，在縱軸左邊上有1個(gè)交點(diǎn)點(diǎn)，∴共有5個(gè)零點(diǎn).故答案為：5.10．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．【答案】6【分析】令，首先分析的根的情況，進(jìn)一步結(jié)合的根的情況即可得解.【詳解】首先分以下兩種情形來(lái)研究函數(shù)的性態(tài)：情形一：當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令，由此可以列出以下表格：所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且有極大值，極小值.情形二：當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令，由此可以列出以下表格：所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且有極小值.綜合以上兩種情況，且注意到當(dāng)趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，也趨于負(fù)無(wú)窮，當(dāng)在1的左邊趨于1時(shí)，趨于，且，當(dāng)趨于正無(wú)窮時(shí)，也趨于正無(wú)窮，由此即可在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出與的圖象如下圖：

其中、、為方程的三個(gè)根，、為方程的兩個(gè)根，由圖可知，；所以由以上分析可知方程有三個(gè)根、、，現(xiàn)在只需把回代到方程中即可，且注意到，，，所以方程、、分別有個(gè)根.綜上所述方程一共有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故答案為：6.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于首先利用換元法令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為的根的情況，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)去分析這個(gè)函數(shù)的性態(tài)，由此得出方程的根的個(gè)數(shù)，最終回代即可.11．（2024·陜西西安·一模）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為.【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)根，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與最小值，求得，再求得，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合，求得函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)只有一個(gè)根，即在內(nèi)只有一個(gè)根，令，可得，再令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，即，所以函數(shù)，則，令時(shí)，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又由，故函數(shù)在上的最大值為，最小值為，最大值與最小值的和為.故答案為：.四、解答題12．（2024·全國(guó)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷出，使得，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可知為在上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，首先可判斷出在上無(wú)零點(diǎn)，再利用零點(diǎn)存在定理得到在上的單調(diào)性，可知，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性可判斷出存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，可證得；綜合上述情況可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：定義域?yàn)椋呵伊睿?，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，，使得當(dāng)時(shí)，；時(shí)，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減則為唯一的極大值點(diǎn)即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn).（2）由（1）知：，①當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞增

在上單調(diào)遞減又為在上的唯一零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又

在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不存在零點(diǎn)又，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，此時(shí)不存在零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，即，又在上單調(diào)遞減在上存在唯一零點(diǎn)④當(dāng)時(shí)，，即在上不存在零點(diǎn)綜上所述：有且僅有個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題.解決零點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來(lái)說(shuō)明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可.13．（2024·全國(guó)）已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：只有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）增區(qū)間是，，減區(qū)間是；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）將代入，求導(dǎo)得，令求得增區(qū)間，令求得減區(qū)間；（2）令，即，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題，研究函數(shù)單調(diào)性可得.【詳解】（1）當(dāng)a=3時(shí)，，．令解得x=或x=．由解得：；由解得：．故函數(shù)的增區(qū)間是，，減區(qū)間是．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】【通性通法】等價(jià)轉(zhuǎn)化＋零點(diǎn)存在性定理由于，所以等價(jià)于．設(shè),則,僅當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增.故至多有一個(gè)零點(diǎn),從而至多有一個(gè)零點(diǎn).又,故有一個(gè)零點(diǎn).綜上,只有一個(gè)零點(diǎn).［方法二］：函數(shù)零點(diǎn)與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系因?yàn)?，所以等價(jià)于，令，則．因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以直線與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，即只有一個(gè)零點(diǎn)．［方法三］：【通性通法】含參分類(lèi)討論＋零點(diǎn)存在性定理．①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，只有一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)與時(shí)，，再令或，則有．當(dāng)與時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．因?yàn)椋?，所以．極大值與極小值同正同負(fù)，故只有一個(gè)零點(diǎn)．［方法四］：等價(jià)轉(zhuǎn)化＋零點(diǎn)存在性定理由于，所以，等價(jià)于．設(shè)，則，僅當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．故至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而至多有一個(gè)零點(diǎn)．結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，取，則有，取，則有，所以在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，故有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，只有一個(gè)零點(diǎn)．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：通過(guò)分離參數(shù)將原函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易求單調(diào)性的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，該法既是該類(lèi)型題的通性通法，也是該題的最優(yōu)解；方法二：將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，是常見(jiàn)的解題思路，對(duì)于證明題，這種方式顯得不是特別嚴(yán)謹(jǐn)；方法三：直接對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，也是該類(lèi)型問(wèn)題的通性通法，但對(duì)于該題，顯得有些復(fù)雜；方法四：該法同方法一，只是在零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用過(guò)程中取點(diǎn)不一樣．14．（2024·全國(guó)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以?xún)H在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問(wèn)題.15．（2024·全國(guó)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對(duì)分類(lèi)討論,對(duì)分兩部分研究【詳解】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒(méi)有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類(lèi)，否定和肯定并用，否定只需要說(shuō)明一邊不滿(mǎn)足即可，肯定要兩方面都說(shuō)明.16．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)已知有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【答案】(1)(2)（i）（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求得，令，得到，得到在上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到，求得的取值范圍.（2）（i）由，轉(zhuǎn)化為，令，得到，令，求得，進(jìn)而得到得到單調(diào)性，得到，進(jìn)而求得的取值范圍；（ii）由（i）不妨設(shè)，得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）解：由，可得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，要使得函數(shù)在上單調(diào)遞增，則滿(mǎn)足，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）證明：（i）由，即，即，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，又由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又由當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，所以，即的取值范圍；（ii）由（i）不妨設(shè)，則，因?yàn)槭堑?個(gè)零點(diǎn)，所以，，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，單調(diào)遞減，要證：，可得，其中，可得，由，所以.【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見(jiàn)同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.17．（2024高三上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)（）.(1)求a的取值范圍；(2)過(guò)點(diǎn)與分別作的切線，兩切線交于M點(diǎn)，求M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離.【答案】(1)(2)0【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，利用二次方程根的分布列不等式即可求解；（2）先求出，然后求出兩條切線方程，聯(lián)立方程即可求解交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得解.【詳解】（1）由得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意只需使在有兩個(gè)異號(hào)根即可，所以，解得；綜上，.（2）當(dāng)時(shí)，.又，故，.又知當(dāng)時(shí)，有，所以，即，故.又，所以在處的切線方程為，所以在處的切線方程為，聯(lián)立整理得兩直線交點(diǎn)橫坐標(biāo).故M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離0.18．（2024·全國(guó)）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)?，故，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過(guò)分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握19．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題設(shè)在上有解，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)最大值，即可得參數(shù)范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)分布，再轉(zhuǎn)化證明結(jié)論為，分析法轉(zhuǎn)化結(jié)論，并構(gòu)造中間函數(shù)研究恒成立證明結(jié)論.【詳解】（1）由，即在上有解，所以在上有解，令，只需，由，當(dāng)，則，遞增，當(dāng)，則，遞減，所以最大值為，故.（2）由題意，有兩個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)解，令與有兩個(gè)交點(diǎn)，而，且，當(dāng)，則，故在上遞增，且值域?yàn)?；?dāng)，則，故在上遞減，且值域?yàn)?；所以最大值為，故，且，圖象如下，

不妨令，要證，即證，需證，先證：又，則，所以，故，令，則，故，可得，，所以，要證，即證，即證，令且，則，令，則，即在上遞增，所以，即在上恒成立，故，所以在上遞增，故，即成立，綜上，；再證：由，故上，遞減，上，遞增，所以，則零點(diǎn)在兩側(cè)，所以，要證，即，又，需證，而，所以，只需，即，即證，，且，即證，且，只需，，令，且，則，令，則，在時(shí)，即遞增，所以，故，即在上遞減，由，故，即恒有，綜上，成立；所以，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的零點(diǎn)分布得，將結(jié)論化為證，構(gòu)造中間函數(shù)研究恒成立求證結(jié)論即可.20．（2024·陜西）設(shè)（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析，詳見(jiàn)解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）由題設(shè)，所以，此式等價(jià)于數(shù)列的前項(xiàng)和，由錯(cuò)位相減法求得；（Ⅱ）因?yàn)?，，所以在?nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，由于，所以，由此可得，故，繼而得.試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，所以①由②①②得，所以（Ⅱ）因?yàn)?，所以在?nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，由于，所以由此可得故所以考點(diǎn)：1.錯(cuò)位相減法；2.零點(diǎn)存在性定理；3.函數(shù)與數(shù)列.21．（2024高三上·河南洛陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）（1）證明不等式：（第一問(wèn)必須用隱零點(diǎn)解決，否則不給分）；（2）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍.（第二問(wèn)必須用分段討論解決，否則不給分）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)最小值為正即可推理作答.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)情況作答.【詳解】（1）令函數(shù)，，求導(dǎo)得：，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，則存在，使得，即，有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以.（2）函數(shù)定義域R，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，由得，，由得，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，，而，即存在，使得，則函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，取且，則，即存在，使得，則函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)2，當(dāng)時(shí)，若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即有在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，因此函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，在上最多一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)，若，恒有，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)，若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即有在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，在上最多一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)，綜上得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最多一個(gè)零點(diǎn)，所以a的取值范圍是.22．（2024高三上·河北·期中）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)記函數(shù)，若恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）由題意得，令求出零點(diǎn)，即可得的單調(diào)區(qū)間；（2）恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，令，求導(dǎo)后，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題討論函數(shù)單調(diào)性，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，令，則，而，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）解：若恒成立，則，整理得，則，設(shè)，則，令，則，整理得，設(shè)，，可知兩個(gè)函數(shù)均過(guò)定點(diǎn)，若，即時(shí)，為的切線，切點(diǎn)為，①當(dāng)，即時(shí)，，，不在定義域，不合題意；②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間，恒有，，所以在單調(diào)遞增，，則，符合題意；③當(dāng)，即時(shí)，設(shè)零點(diǎn)為，則所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所以且，與矛盾；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．23．（2024高三上·云南·階段練習(xí)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，求在上的單調(diào)性；(2)若，令，討論方程的解的個(gè)數(shù)．【答案】(1)在上遞增(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，并判斷在的正負(fù)，可得在上的單調(diào)性；（2）方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的手段即可解決.【詳解】（1）因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，所以，則當(dāng)時(shí)，，，可得，所以在上遞增．（2）因?yàn)?，，所以，，令，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，有極小值．令，解得．令，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，的圖像經(jīng)過(guò)特殊點(diǎn)，，．當(dāng)時(shí)，，從而；當(dāng)時(shí)，，，從而．根據(jù)以上信息，我們畫(huà)出的大致圖像如圖所示．

方程的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．所以，關(guān)于方程的解的個(gè)數(shù)有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，解為0個(gè)；當(dāng)或時(shí)，解為1個(gè)；當(dāng)時(shí)，解為2個(gè)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩函數(shù)的圖像，采取數(shù)形結(jié)合的手段解決.24．（2024高三上·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線在的切線為．(1)求a，b的值；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1).(2)證明見(jiàn)解析(3)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）直接求導(dǎo)得，根據(jù)即可得到答案；（2），轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立即可；（3）通過(guò)求導(dǎo)得到的最小值，利用隱零點(diǎn)法證明即可.【詳解】（1），則有，解得，，則.（2）由（1）知，，設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，所以在上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)?，令，令，得，設(shè)，由（2）知在上單調(diào)遞增，且，，故存在唯一零點(diǎn)使得，即存在唯一零點(diǎn)滿(mǎn)足，即得，則，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，，則，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.25．（2024高三上·河北保定·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；(2)當(dāng)時(shí)，求在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)..【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）當(dāng)時(shí)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求在上的最小值，證明；（2）當(dāng)時(shí)，求在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求在內(nèi)的單調(diào)性，由零點(diǎn)的存在定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，則在上恒成立，在上單調(diào)遞減，在上，，即在上恒成立；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，等價(jià)于，令，，在內(nèi)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)，，，，在內(nèi)單調(diào)遞增，，是的零點(diǎn)，，，在上有一個(gè)零點(diǎn)，所以在內(nèi)的有兩個(gè)零點(diǎn).26．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)，求關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù).【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性；（2）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，注意分類(lèi)討論參數(shù).【詳解】（1）令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上遞增；所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）由題設(shè)，即求解的個(gè)數(shù)，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，即遞增，又，即此時(shí)僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上遞增；則，令，則，所以，，故遞增；，，故遞減；則，即，而趨向于或時(shí)都趨向，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上，或，僅有一個(gè)解；且，有兩個(gè)解.27．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).(1)證明：在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）二次求導(dǎo)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；（2）結(jié)合第一問(wèn)，分三種情況進(jìn)行討論，求得的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，，所以，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞減，又，，，則存在，使得，即存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為的唯一極大值點(diǎn)，故在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）知，，，①當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以存在，使得，所以當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，所以當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以存在，使得；③當(dāng)時(shí)，，所以，則在沒(méi)有零點(diǎn)；綜上所述，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，要結(jié)合函數(shù)特征，利用導(dǎo)函數(shù)求出其單調(diào)性及極值和最值情況，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).28．（2024高三上·重慶·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，由極值定義可確定極值點(diǎn)并求得極值；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值.（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，，由（1）可得圖象如下圖所示，

只有一個(gè)實(shí)數(shù)解等價(jià)于與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知：當(dāng)或時(shí)，與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.29．（2024高三上·四川廣安·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合分類(lèi)討論思想，可得答案；（2）由（1）所得到函數(shù)單調(diào)性，求得極值，利用零點(diǎn)存在性定理，可得答案.【詳解】（1）∵，∴，①當(dāng)時(shí)，在上，，∴在遞增，②時(shí)，由，解得：或.在上，，在上，，在上，，∴在，遞增，在遞減，綜上，時(shí)，在遞增；時(shí)，在，遞增，在遞減.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在遞增.又，，由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，在，遞增，在遞減.∴，，若只有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得：，綜上，的取值范圍是.30．（2024高三上·江西南昌·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若方程有兩個(gè)不同的正根，求的取值范圍.【答案】(1)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求得，設(shè)，求得，得到在單調(diào)遞增，結(jié)合，得到單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得極值；（2）化簡(jiǎn)方程為，令，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性和，令，得到，設(shè)，得到，求得，結(jié)合，，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，則，設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，又因?yàn)椋试趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則的極小值為，無(wú)極大值.（2）解：因?yàn)?，所以，可得，令，可得，所以在單調(diào)遞減，故有兩個(gè)正根，等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，遞增，可得，令，所以，則，設(shè)，則，.所以，則，則，因?yàn)?，，此時(shí)存在兩零點(diǎn)，其中，，且，故.【點(diǎn)睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)或不等式的恒成立（有解）問(wèn)題的求解策略:形如的恒成立的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；形如的有解的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.31．（2024高三上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值為，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由時(shí)，函數(shù)有極值為，可得，據(jù)此可得答案；（2）由（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性與極值，即可得大致圖象，則有3個(gè)解等價(jià)于圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，即可得答案.【詳解】（1）由題，，時(shí)，函數(shù)有極值為，則，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意，故；（2）由（1），則，令或在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.則在處取極大值，在處取極小值，據(jù)此可得大致圖象如下.又有3個(gè)解等價(jià)于圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，則.

32．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)，其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，令，然后分與討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，構(gòu)造，分，以及討論，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，記，則，①當(dāng)時(shí)，，，可得，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，，可知函數(shù)單調(diào)遞增，又由，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，由①②知函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故有；（2）因?yàn)楹瘮?shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，且，0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，又，不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，又，，所以在恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，可得，且時(shí)，，則存在，使得，此時(shí)在上，有，在上，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，故在上存在一個(gè)零點(diǎn)，則此時(shí)函數(shù)至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?是函數(shù)的唯一零點(diǎn)，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，可得，又，所以在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得，故當(dāng)在上，有，在上，有，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)在上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?是函數(shù)的唯一零點(diǎn)，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋项}意.綜上，滿(mǎn)足條件的值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：知道函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，要求參數(shù)的取值范圍，需結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和函數(shù)的單調(diào)性來(lái)處理，分類(lèi)討論時(shí)注意利用已有的確定零點(diǎn)來(lái)確定一段范圍上的函數(shù)值的符號(hào).33．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）討論參數(shù)a，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性；（2）問(wèn)題化為在上僅有一個(gè)解，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其在的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性判斷區(qū)間零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由，且，當(dāng)，則，此時(shí)在上遞增；當(dāng)，則時(shí)，，即在上遞增；時(shí)，，即在上遞減；綜上，，在上遞增；，在上遞增，在上遞減.（2）由題設(shè)在上僅有一個(gè)解，所以在上僅有一個(gè)解，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)遞增，且，所以在上無(wú)解；當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，即遞增，則，i.當(dāng)時(shí)，，即恒成立，即遞增，所以，故遞增，此時(shí)在上無(wú)解；ii.當(dāng)時(shí)，，趨向正無(wú)窮時(shí)趨向正無(wú)窮，則使，上，即，遞減；上，即，遞增；由，趨向正無(wú)窮時(shí)趨向正無(wú)窮，所以在恒負(fù)，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，故上，遞減；上，遞增；由于，趨向正無(wú)窮時(shí)趨向正無(wú)窮，所以在上恒負(fù)，上僅有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿(mǎn)足題設(shè)；綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上僅有一個(gè)解，構(gòu)造中間函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn).34．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求證：曲線僅有一條過(guò)原點(diǎn)的切線；(2)若時(shí)，關(guān)于的方程有唯一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【分析】（1）求導(dǎo)后得出切線方程，再代入原點(diǎn)求解即可；（2）化簡(jiǎn)可得有唯一解，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，再討論根的情況，數(shù)形結(jié)合分析的極值與的大小關(guān)系，結(jié)合恒成立問(wèn)題求解即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，當(dāng)切線過(guò)原點(diǎn)時(shí)有，即，故，因?yàn)?，所以，即切點(diǎn)有且只有一個(gè)，則曲線僅有一條過(guò)原點(diǎn)的切線，即得證.（2）關(guān)于的方程有唯一解，即方程，有唯一解，令，則.因?yàn)椋十?dāng)，即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.易知的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足題意，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，設(shè)有兩個(gè)根，，則，，故.①若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故要使得有唯一解，則或恒成立.此時(shí)，即，，.則極大值，令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以，又恒成立，故，；同理，極小值，當(dāng)時(shí)無(wú)最小值，此時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)使得恒成立.②若，則，，不滿(mǎn)足；③若，由①可得；故當(dāng)時(shí)，.綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）參變分離構(gòu)造函數(shù)；（2）求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，導(dǎo)數(shù)中有二次函數(shù)注意討論無(wú)根與有根的情況；（3）導(dǎo)函數(shù)中二次函數(shù)有根時(shí)討論極值點(diǎn)與特殊點(diǎn)的大小關(guān)系并討論；（4）數(shù)形結(jié)合列不等式求解.35．（2024·新疆·三模）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)；證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性即可；（2）首先將原式化簡(jiǎn)整理成，令得，再令，根據(jù)已知條件利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而要證即證即證，只需證，不妨設(shè)，則只需證，即，最后令，，其中，借助導(dǎo)數(shù)求解的最小值即可證明.【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，綜上當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）方程，即，等價(jià)于，令，其中，則，顯然，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且由時(shí)可得在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，，所以，要證，即證，即證，只需證，因?yàn)?，所以，整理可得，不妨設(shè)，則只需證，即，令，，其中，因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（2）問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)在于借助同構(gòu)思想將原始等價(jià)為，通過(guò)令，合理構(gòu)造函數(shù)來(lái)確定參數(shù)的取值范圍；第二步的關(guān)鍵點(diǎn)在于將等價(jià)轉(zhuǎn)換為，將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步證明.36．（2024·江西鷹潭·一模）設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，直線是曲線的切線，求的最小值；(2)已函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（），若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值